2011-10-05
Historia liczb
30 000 p.n.e. Obecność nacięć numerycznych
Pierwsze cyfry w Sumerze i Elamie. Pojawienie hieroglifów egipskich -
3300 p.n.e
pierwsza numeracja pisma
2700 p.n.e Sumeryjckie cyfry klinowe
2600 p.n.e Pojawienie się cyfr egipskich
2000 p.n.e Pojawienie się bazy dziesiętnej
1800 p.n.e Numeracja babilońska - pierwsza numeracja pozycyjna
1300 p.n.e Pojawienie się cyfr chińskich
VI w. p.n.e Odkrycie wartości niewymiernych. Pitagoras
Grecka numeracja alfabetyczna
III w. p.n.e
Pojawienie się zera w numeracji babilońskiej
Chińska numeracja pozycyjna bez zera
II w. p.n.e
Pojawienie się cyfr brahmi - indyjskich
IV w. n.e Indyjska numeracja pozycyjna. Numeracja dziesiętna z zerem.
V w. n.e Numeracja pozycyjna Majów z zerem
Wprowadzenie indyjskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej i zera na ziemiach
VIII w. n.e
islamu.
XII w. Wprowadzenie znaku zero na Zachodzie
XIII w. Pojawia się pojęcie ciągu. Fibonacci
Cyfry indyjsko-arabskie uzyskują formę graficzną i rozpowszechniają się na
XV w.
Zachodzie
Początki używania ułamków okresowych. Bombelli.
XVI w.
Bombelli i Cardan formuują pojęcie liczb zespolonych
Z.Kasperski- wyklady, t.2
Z.Kasperski- wyklady, t.2
1
LICZBY ZESPOLONE
HISTORIA
I. - zbiór liczb naturalnych (z ang. natural, naturalny): {1, 2, 3 & },
II. - zbiór liczb całkowitych (z niem. Zahlen, liczby): {& , -2, -1, 0,
1, 2,& },
III. - zbiór liczb wymiernych (z ang. quotient, iloraz) :
5�]�
= {5�e�: 5�e� = , 5�]�, 5�^� " 5�M�},
5�^�
IV. - zbiór liczb niewymiernych, np. 2, 3, Ą=3,141592654& ,
V. - zbiór liczb rzeczywistych (z ang. real, rzeczywisty): = *" ,
VI. oraz nowo poznawany  - zbiór liczb zespolonych (z ang.
complex, złożenie),
Z.Kasperski- wyklady, t.2
2
Z.Kasperski, wykłady, t2. 1
2011-10-05
ILUSTRACJA GRAFICZNA
Z.Kasperski- wyklady, t.2
3
Def.1. Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b), czyli
= 5�g� = 5�N�,5�O� : 5�N�,5�O� " .
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
y
M(a,b)
b
x
a
Z.Kasperski- wyklady, t.2
4
Z.Kasperski, wykłady, t2. 2
2011-10-05
PRZYKA
AD 1. Narysować na płaszczyz
nie liczby z1= (3, 2); z2= (-3, 1).
Def.2. Niech 5�g�1 = (5�N�1, 5�O�1), 5�g�2 = (5�N�2, 5�O�2). Wówczas
5�g�1 = 5�g�2 ś' (5�N�1 = 5�N�2) '" (5�O�1 = 5�O�2)
5�g�1 + 5�g�2 = 5�N�1 + 5�N�2, 5�O�1 + 5�O�2
5�g�1 " 5�g�2 = 5�N�15�N�2 - 5�O�15�O�2, 5�N�15�O�2 + 5�N�25�O�1
5�g� " 5�g� & " 5�g� = 5�g�5�[� .
n razy
PRZYKA
AD 2. Niech 5�g�1 = 0, 1 , 5�g�2 = (3, -4). Znalez
ć 5�g�1 + 5�g�2, 5�g�1 " 5�g�2, 5�g�22.
Z.Kasperski- wyklady, t.2
5
WA
ASNOŚCI:
1) 5�g�1 + 5�g�2 = 5�g�2 + 5�g�1,
2) 5�g�2 = 5�g�2 " 5�g�1,
3) 5�g�1 + 5�g�2 + 5�g�3 = 5�g�1 + 5�g�2 + 5�g�3
4) 5�g�1 " (5�g�2 " 5�g�3) = (5�g�1 " 5�g�2)" 5�g�3,
5) 5�g�1 " 5�g�2 + 5�g�3 = 5�g�1 " 5�g�2 + 5�g�15�g�3.
Def.3. Dla dowolnych 5�g�1, 5�g�2 " 5�6� 5�g�1 - 5�g�2 = 5�g� ś' 5�g�1 = 5�g� + 5�g�2,
5�g�1
= 5�g� ś' 5�g�2 " 5�g� = 5�g�1
5�g�2
Z.Kasperski- wyklady, t.2
6
Z.Kasperski, wykłady, t2. 3
2011-10-05
Oznaczmy: 0 =(0, 0); 1 = (1, 0)  odpowiednio zero i jedynka. Wówczas
Dla dowolnego z, z+ 0 = z; z.1 = z; z. 0 = 0.
Tw.1. Niech 5�g�1 = (5�N�1, 5�O�1), 5�g�2 = (5�N�2, 5�O�2). Wówczas
5�g�1 - 5�g�2 = 5�N�1 - 5�N�2, 5�O�1 - 5�O�2 ,
Tu proszę poprawić!!!
5�g�1 5�N�15�N�2+5�O�15�O�2 5�N�25�O�1-5�N�15�O�2
= , , dla 5�g�2 `" 0.
2 2 2 2
5�g�2 5�N�2+5�O�2 5�N�2+5�O�2
SZKIC DOWODU
5�g�1 " 5�g�2 = 5�N�15�N�2 - 5�O�15�O�2, 5�N�15�O�2 + 5�N�25�O�1
5�g�1
PRZYKA
AD 3. Niech z1=(3, 2), z2 = (-3, 1). Znależć z1- z2 oraz
5�g�2
Z.Kasperski- wyklady, t.2
7
Niech 5�>� = 5�g� = 5�e�, 0 ; 5�e� " 5�E� . Z def.3 i tw.1 wynika:
(5�e�1, 0) + 5�e�2, 0 = 5�e�1 + 5�e�2, 0 ,
(5�e�1, 0) " 5�e�2, 0 = 5�e�1 " 5�e�2, 0 ,
(5�e�1, 0) - - 5�e�2, 0 ,
5�e�2, 0 = 5�e�1
(5�e�1,0) 5�e�1
= , 0 , dla 5�e�2 `" 0.
(5�e�2,0) 5�e�2
WNIOSEK: K = R, czyli z =(x, 0) = x" 5�E�
Z.Kasperski- wyklady, t.2
8
Z.Kasperski, wykłady, t2. 4
2011-10-05
Def.4. Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy przez i,
czyli
i = (0, 1).
WA
ASNOŚD: i2 = -1  dowód z def. iloczynu
Tw.2. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można jednoznacznie zapisad w tzw.
postaci algebraicznej z = a + ib.
D-d. . . . . . . .
Z.Kasperski- wyklady, t.2
9
Def.5. Niech z = a + ib. Wówczas :
a= Re z (częśd rzeczywista: realis),
b = Im z (częśd urojona : imaginalis),
Liczby postaci z= (0, b) = ib noszą nazwę czysto urojonych, a osie Ox i Oy układu
współrzędnych nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i urojoną.
Z.Kasperski- wyklady, t.2
10
Z.Kasperski, wykłady, t2. 5
2011-10-05
OPERACJE NA LICZBACH W POSTACI ALGEBRAICZNEJ.
PRZYKA
AD 4. Niech z1= 1 + 2i ; z2 = -3 + 4i. Znalez
ć z1+ z2; z1- z2;
5�g�1
z1. z2; .
5�g�2
Def.6. Sprzężeniem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczbę
5�g� = a  ib.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA ( symetria względem osi Re ).
Z.Kasperski- wyklady, t.2
11
WA
ASNOŚCI
1. Iloczyn liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej :
,
2. Sprzężenie liczby sprzężonej:
,
3. Sprzężenie sumy jest sumą sprzężeń:
,
4. Sprzężenie różnicy jest różnicą sprzężeń:
,
5. Sprzężenie iloczynu jest iloczynem sprzężeń:
,
6. Sprzężenie ilorazu jest ilorazem sprzężeń:
, zakładając że ,
Z.Kasperski- wyklady, t.2
12
Z.Kasperski, wykłady, t2. 6
2011-10-05
Def.7. Modułem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczbę rzeczywistą
r = .
WA
ASNOŚCI:
1. Moduł liczby zespolonej , sprzężonej , i przeciwnej :
,
2. Kwadrat modułu liczby zespolonej:
,
3. Moduł iloczynu liczb zespolonych:
,
4. Moduł ilorazu liczb zespolonych:
, o ile .
Z.Kasperski- wyklady, t.2
13
Def.8. Argumentem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczbę (miarę kąta) 5�� taką, że
Argumentem głównym nazywa się ten z argumentów, który spełnia warunek 0 d" 5�� < 25��.
Argument główny oznaczamy przez arg z.
(dodatkowo przyjmujemy, że dla z =0, 5��=0).
|z|
Z.Kasperski- wyklady, t.2
14
Z.Kasperski, wykłady, t2. 7
2011-10-05
PRZYKA
AD 5. Znalez
ć argument główny liczby z= 3  3i.
Tw.3. Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci
trygonometrycznej:
5�g� = 5�g� 5�P�5�\�5�`�5�� + 5�V�5�`�5�V�5�[�5�� .
D-d& & ..
PRZYKA
AD 6. Liczbę zespoloną z = 1 + i przedstawić w postaci
trygonometrycznej.
Z.Kasperski- wyklady, t.2
15
Własności postaci trygonometrycznej
�� Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich moduły są równe:
oraz argument jednej jest wielokrotnością drugiej,
postaci: .
�� Mnożenie liczb zespolonych
oraz
ma postać:
(przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a
argumenty dodajemy)
�� Dzielenie liczb zespolonych
oraz ma postać:
(przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty
odejmujemy )
Z.Kasperski- wyklady, t.2
16
Z.Kasperski, wykłady, t2. 8
2011-10-05
Tw.4. (wzór de Moivre a). Jeżeli
5�g� = 5�g� 5�P�5�\�5�`�5�� + 5�V�5�`�5�V�5�[�5�� , to
n
zn =� z (cos(nj�) +� i sin(nj�))
.
PRZYKA
AD 7. Obliczyć ( 1 + i )10.
Z.Kasperski- wyklady, t.2
17
Def.9. Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy liczbę zespoloną x
spełniającą równanie xn = z.
Tw.5. Każda liczba zespolona 5�g� = 5�g� 5�P�5�\�5�`�5�� + 5�V�5�`�5�V�5�[�5��
ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma postad
=
5�[�
5�g� = {5�e�0, 5�e�1, & , 5�e�5�[�-1}, gdzie
j� +� 2kp� j� +� 2kp�
��, k =� 0, 1,...,n -�1.
n
xk =� z ��ć�cos +� i sin
�� ��
n n
Ł� ł�
PRZYKA
AD 8. Obliczyć i narysować na płaszczyz
nie
4
1 3
5�N�) 3 85�V�, 5�O�) - + 5�V� .
2 2
Z.Kasperski- wyklady, t.2
18
Z.Kasperski, wykłady, t2. 9
2011-10-05
WNIOSEK: ZBIÓR PIERWIASTKÓW STOPNIA 5�[� e" 3 JEST ZBIOREM WIERZCHOA
KÓW n-K
TA
5�[�
FOREMNEGO WPISANEGO W OKR
G O PROMIENIU |5�g�| I ŚRODKU W PUNKCIE (0, 0). K
T MI
DZY
25��
S
SIEDNIMI RAMIONAMI WODZ
CYMI JEST RÓWNY .
5�[�
Pierwiastki szóstego stopnia z 1.
Z.Kasperski- wyklady, t.2
19
PODSUMOWANIE
Z.Kasperski- wyklady, t.2
20
Z.Kasperski, wykłady, t2. 10