Liczby zespolone.
1. Podstawowe pojęcia i własności.
Definicja 1.1. (liczby zespolonej)
LiczbÄ… zespolonÄ… z nazywamy uporzÄ…dkowanÄ… parÄ™ liczb rzeczywistych (x, y),
tj. z = (x, y), x, y " R.
Zbiór wszystkich liczb zespolonych z oznaczamy przez C, czyli
C = {z = (x, y) : x, y " R}.
Interpretacja geometryczna :
Liczbę zespoloną z = (x, y) przedstawiamy na płaszczyz
nie w postaci punktu
o współrzędnych (x, y) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0, 0) i
końcu w punkcie (x, y). W tej interpretacji zbiór liczb zespolonych nazywamy
płaszczyzną zespoloną.
(Rys.1)
1
Definicja 1.2. (działań na liczbach zespolonych i równości liczb zespolonych)
Niech z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) " C.
(1) z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2) (suma liczb zespolonych);
(2) z1 · z2 := (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1) (iloczyn liczb zespolonych);
(3) z1 = z2 Ô! (x1 = x2 '" y1 = y2) (równość liczb zespolonych).
Fakt 1.3. (własności działań w zbiorze C)
Niech z1, z2, z3 " C.
(1) z1 + z2 = z2 + z1 (przemienność dodawania);
(2) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (łączność dodawania);
(3) istnieje liczba 0 := (0, 0) (tzw. element neutralny dodawania) taka, że
"z " C z + 0 = z;
(4) dla dowolnej liczby zespolonej z = (x, y) istnieje liczba zespolona -z =
(-x, -y) (tzw. element przeciwny do z) taka, że
z + (-z) = 0;
(5) z1 · z2 = z2 · z1 (przemienność mnożenia);
(6) (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) (Å‚Ä…czność mnożenia);
(7) istnieje liczba 1 := (1, 0) (tzw. element neutralny mnożenia) taka, że
"z " C z · 1 = z;
(8) dla każdej liczby zespolonej z = (x, y) = (0, 0) istnieje liczba zespolona

y
1 x
:= (x +y2, - ) (tzw. element odwrotny do z) taka, że
2
z x2+y2
1
z · = 1;
z
(9) z1·(z2+z3) = z1·z2+z1·z3 (rozdzielność mnożenia wzglÄ™dem dodawania).
2
Definicja 1.4. (różnicy i ilorazu liczb zespolonych)
Niech z1, z2 " C.
(1) z1 - z2 := z1 + (-z2) (różnica liczb zespolonych);
z1 1
(2) := z1 · o ile z2 = 0 (iloraz liczb zespolonych).

z2 z1
Uwaga 1.5.
Zbiór {(x, 0) : x " R} ‚" C można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych
R i zamiast (x, 0) będziemy pisać x.
2. Postać algebraiczna liczby zespolonej.
Definicja 2.1. (jednostki urojonej)
LiczbÄ™ zespolonÄ… (0, 1) nazywamy jednostkÄ… urojonÄ… i oznaczamy przez i, tzn.
i := (0, 1).
Fakt 2.2.
i2 = -1
Fakt 2.3.
Każdą liczbę zespoloną z = (x, y) można zapisać w postaci
z = x + iy, gdzie x, y " R.
Uwaga 2.4.
Jeśli z = x + iy, gdzie x, y " R, to liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą
liczby zespolonej z oraz oznaczamy
Re z := x,
zaś liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z oraz oznaczamy
Im z := y.
Liczby postaci iy, gdzie y " R \ {0} nazywamy czysto urojonymi.
(Rys.2)
Fakt 2.5
3
(1) (x + iy)(x - iy) = x2 + y2;
(2) (x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi;
(3) (x - iy)2 = x2 - y2 - 2xyi.
Przykład 1.
(1) (1 - 3i) + (2 + 5i) = 3 + 2i;
(2) (2 - i)(-3 + 4i) = -6 + 8i + 3i + 4 = -2 + 11i;
1+2i 1+2i 3+i 3+i+6i-2 1+7i 1 7
(3) = · = = = + i.
3-i 3-i 3+i 9+1 10 10 10
Fakt 2.6
z1 = z2 Ô! (Re z1 = Re z2 '" Im z1 = Im z2).
Przykład 2.
Znalez
ć liczby zespolone spełniające warunek z2 + 16i = 0.
Niech z = x + iy, x, y " R.
z2 + 16i = 0 Ô! (x + iy)2 + 16i = 0 Ô! x2 - y2 + 2xyi + 16i = 0 Ô!
2
x2 - y2 + (2xy + 16)i = 0 Ô! x2 - y2 + (2xy 16)i = 0 + 0i Ô! (x2 - =
" "+ " "y
0 '" 2xy + 16 = 0) Ô! [(x = 8 '" y = - 8) (" (x = - 8 '" y = 8)].
" " " "
Zatem szukane liczby to z = 8 - 8i lub z = - 8 + 8i.
4
Definicja 2.7.
Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, x, y " R, nazywamy liczbę
z = x - iy.
Å»
(Rys.3)
Twierdzenie 2.8.
Niech z1, z2, z " C.
(1) z1 + z2 = z1 + z2;
(2) z1 - z2 = z1 - z2;
(3) z1 · z2 = z1 · z2;

z1 z1
(4) = , o ile z2 = 0;

z2 z2
(5) z + z = 2Re z;
(6) z - z = 2iIm z;
(7) (z) = z;
(8) Im z = -Im z.
Przykład 3.
Rozwiązać równanie z + i = z + i
Niech z = x + iy, x, y " R.
z + i = z + i Ô! x + iy + i = x + iy + i Ô! x + (y + 1)i = x + (y + 1)i Ô!
x+(y+1)i = x-(y+1)i Ô! (x " R '" y+1 = -y-1) Ô! (x " R '" y = -1).
Zatem szukane liczby mają postać z = x - i, gdzie x " R.
5
3. Moduł i argument liczby zespolonej.
Definicja 3.1.
Modułem liczby zespolonej z = x+iy, x, y " R, nazywamy liczbę rzeczywistą

|z| := x2 + y2.
Rys.4
Przykład 4.

" "
1 3 3
Dla z = - i mamy |z| = (1)2 + (- )2 = 1.
2 2 2 2
"
Dla z = i mamy |z| = 1 = 1.
"
"
Dla z = -1 + 3i mamy |z| = 1 + 9 = 10.
Twierdzenie 3.2.
Niech z, z1, z2 " C.
(1) |z| = |z| = | - z|; (2) z · z = |z|2;
(3) |z1 · z2| = |z1| · |z2|;
|z1|
1
(4) |z | = , o ile z2 = 0;

z2 |z2|
(5) |z1 + z2| d" |z1| + |z2|;
(6) ||z1| - |z2|| d" |z1 - z2|;
(7) |Re z| d" |z|, |Im z| d" |z|;
(8) |Re(z1 · z2)| = |z1| · |z2|;
(9) |zn| = |z|n, n " N;
z1 z1·z2
(10) = , o ile z2 = 0.

z2 |z2|2
6
Przykład 5.
" " " " "
|(1 + 2i)(3 - 4i)| = |1 + 2i||3 - 4i| = 1 + 4 9 + 16 = 5 25 = 5 5.
7
Geometryczne interpretacje równań i nierówności z modułami.
Rysunki (5-12)
8
Przykład 6.
Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunki :
(a) |z + 2i| d" 1; (b) |z + 5| d" |3i - z|.
Rys. 13
9
Definicja 3.3.
Argumentem liczby zespolonej z = x + iy = 0, x, y " R, nazywamy każdą

liczbÄ™ rzeczywistÄ… Õ speÅ‚niajÄ…cÄ… ukÅ‚ad równaÅ„:
x y
cos Õ = '" sin Õ = .
|z| |z|
Przyjmujemy, że argumentem liczby z = 0 jest każda liczba Õ " R.
Argumentem głównym liczby zespolonej z = 0 nazywamy argument tej liczby

Õ speÅ‚niajÄ…cy nierówność 0 d" Õ < 2Ä„ i oznaczamy przez arg z. Przyjmujemy,
że arg 0 = 0.
Każdy argument Õ liczby z = 0 ma postać

Õ = arg z + 2kÄ„, k " Z.
Rys.14
Geometrycznie: Argumenty liczby zespolonej to miary kÄ…ta zorientowanego
jaki z dodatnią częścią osi rzeczywistej tworzy wektor wodzący tej liczby.
Argument główny jest najmniejszą nieujemną miarą takiego kąta.
Przykład 7.
"
3
Wyznaczyć argument główny dla liczby z = -1 - i.
2 2

"
3 Re z Im z
Obliczamy |z| = (-1)2 + (- )2 = 1, cos Õ = = -1, sin Õ = =
2 2 |z| 2 |z|
"
3
- .
2
Ä„ 4 4
StÄ…d Õ = Ä„ + = Ä„, czyli arg z = Ä„.
3 3 3
Fakt 3.4.
Niech z " C i z = 0.

(1) arg(z) = 2Ä„ - arg z;
10
(2) arg(-z) = arg z + Ą, jeśli 0 d" arg z < Ą oraz arg(-z) = arg z - Ą, jeśli
Ä„ d" arg z < 2Ä„;
1
(3) arg(z) = 2Ä„ - arg z.
11
Geometryczne interpretacje równań i nierówności z argumentami.
Rysunki (15-18)
12
Przykład 8.
Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek
Ä„
d" arg(2 + i + z) d" Ä„.
6
Ä„
Mamy d" arg(z - (-2 - i)) d" Ä„.
6
(Rys.19)
Przykład 9.
Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek
Ä„ 3
< arg(z - i) d" Ä„.
4 2
(Rys.20)
13
4. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Fakt 4.1.
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w tzw. postaci trygonometrycznej
z = r(cos Õ + i sin Õ),
gdzie r e" 0 oraz Õ " R. Wtedy r = |z|, zaÅ› Õ jest jednym z argumentów
liczby z.
Rys.21
Przykład 10.
"
Zapisać liczby z = 1 + i oraz w = 3 - i w postaci trygonometrycznej.
"
"
Re z 1 2 Im z
"
Dla z = 1 + i mamy |z| = 2, cos Õ = = = , sin Õ = =
|z| 2 |z|
2
"
1 2
"
= .
2
2
"
Ä„ Ä„ Ä„
StÄ…d Õ = . Zatem z = 2(cos + i sin ).
4 4 4
"
" "
Re w 3 Im w
Dla w = 3-i mamy |w| = 4 = 2, cos Õ = = , sin Õ = = -1.
|w| 2 |w| 2
Ä„ 11 11Ä„ 11Ä„
StÄ…d Õ = 2Ä„ - = Ä„. Zatem w = 2(cos + i sin ).
6 6 6 6
14
Fakt 4.2.
Niech z1 = r1(cos Õ1 + i sin Õ1), z2 = r2(cos Õ2 + i sin Õ2), gdzie r1, r2 e" 0 oraz
Õ1, Õ2 " R. Wtedy
z1 = z2 Ô! [r1 = r2 = 0 albo (r1 = r2 > 0 '" Õ1 = Õ2+2kÄ„ dla pewnego k " Z)].
Fakt 4.3.
Niech z1 = r1(cos Õ1 + i sin Õ1), z2 = r2(cos Õ2 + i sin Õ2), gdzie r1, r2 e" 0 oraz
Õ1, Õ2 " R. Wtedy
(1) z1 · z2 = r1 · r2[cos(Õ1 + Õ2) + i sin(Õ1 + Õ2)];
z1 r1
(2) = [cos(Õ1 - Õ2) + i sin(Õ1 - Õ2)], o ile z2 = 0.

z2 r2
Przykład 11.
Korzystając z faktu 4.3 obliczyć:
"
1+i
"
(a) (1 + i)( 3 - i), (b) .
3-i
" " "
Ä„ Ä„ 11Ä„ 11Ä„
(a) (1 + i)( 3 - i) = 2(cos + i sin ) · 2(cos i sin ) = 2 2[cos(Ä„ +
4 4 6 4
" "+ 6
11Ä„ 11Ä„ 25Ä„ 25Ä„ Ä„
) + i sin(Ä„ + )] = 2 2(cos + i sin ) = 2 2[cos(2Ä„ + ) + i sin(2Ä„ +
6 4 6 12 12 12
"
Ä„ Ä„ Ä„
)] = 2 2(cos + i sin ).
12 12 12
" "
1+i 2 11Ä„ 11Ä„ 2
"
(b) = (cos(Ä„ - ) + i sin(Ä„ - )) = (cos(-19Ä„) + i sin(-19Ä„)) =
2 4 4 6 2 12 12
3-i
" "6 "
2 19Ä„ 19Ä„ 2 7Ä„ 7Ä„ 2 7Ä„ 7Ä„
(cos -i sin ) = (cos(Ä„+ )-i sin(Ä„+ )) = (- cos +i sin ).
2 12 12 2 12 12 2 12 12
Fakt 4.4.
Niech z = r(cos Õ + i sin Õ), gdzie r e" 0 oraz Õ " R. Wtedy
(1) z = r[cos(-Õ) + i sin(-Õ)];
1 1
(2) = [cos(-Õ) + i sin(-Õ)], o ile z = 0;

z r
(3) -z = r[cos(Õ + Ä„) + i sin(Õ + Ä„)];
(4) zk = rk[cos(k · Õ) + i sin(k · Õ)], gdzie k " N (wzór Moivre a).
Przykład 12.
Korzystając ze wzoru Moivre a obliczyć (1 + i)10.
15
"
Ä„
Zapisujemy z = 1 + i w postaci trygonometrycznej, tj. 1 + i = 2(cos +
4
Ä„
i sin ).
4
Ze wzoru Moivre a otrzymujemy
"
Ä„ Ä„ 5Ä„ 5Ä„
(1+i)10 = ( 2)10[cos(10· )+i sin(10· )] = 32(cos +i sin ) = 32(0+i) =
4 4 2 2
32i.
16
5. Postać wykładnicza liczby zespolonej.
Definicja 5.1.
eiÕ := cos Õ + i sin Õ, Õ " R.
Fakt 5.2.
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w tzw. postaci wykładniczej
z = reiÕ,
gdzie r e" 0 oraz Õ " R. Wtedy r = |z|, zaÅ› Õ jest jednym z argumentów
liczby z.
Przykład 13.
Zapisać liczby z = -1 oraz w = -i w postaci wykładniczej.
Dla z = -1 mamy r = |z| = 1, cos Õ = -1, sin Õ = 0. StÄ…d Õ = Ä„. Zatem
z = eiĄ.
3
Dla w = -i mamy r = |w| = 1, cos Õ = 0, sin Õ = -1. StÄ…d Õ = Ä„.
2
3
2
Zatem z = ei Ä„.
Fakt 5.3.
1 2
Niech z1 = r1eiÕ , z2 = r2eiÕ , z = reiÕ, gdzie r1, r2, r e" 0 oraz Õ1, Õ2, Õ " R.
Wtedy
(1) z1 = z2 Ô! [r1 = r2 = 0 albo (r1 = r2 > 0 '" Õ1 = Õ2+2kÄ„ dla pewnego k "
Z)];
(2) z = re-iÕ;
(3) -z = rei(Õ+Ä„);
1 1
(4) = e-iÕ, o ile z = 0;

z r
(5) zk = rkeikÕ, gdzie k " Z;
1
(6) z1 · z2 = r1 · r2ei(Õ +Õ2);
z1 r1 1
(2) = ei(Õ -Õ2), o ile z2 = 0.

z2 r2
17
Fakt 5.4. (wzory Eulera)
Niech Õ " R. Wtedy
eiÕ + e-iÕ eiÕ - e-iÕ
cos Õ = , sin Õ = .
2 2i
18
6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Definicja 6.1. Pierwiastkiem stopnia n " N z liczby zespolonej z nazywamy
każdą liczbę zespoloną w spełniającą równość
wn = z.
"
n
Zbiór pierwiastków stopnia n " N z liczby zespolonej z oznaczamy przez z.
Fakt 6.2.
Każda licza zespoloa z = r(cos Õ + i sin Õ), gdzie r > 0 oraz Õ " R, ma
dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma postać
"
n
z = {z0, z1, ..., zn-1},
gdzie

"
Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
zk = r cos + i sin dla k = 0, 1, 2, ..., n - 1.
n n
Uwaga 6.3.
Zbiór pierwiastków nie zależy od wyboru argumentu liczby zespolonej. Jeśli
Õ jest argumentem głównym, to

"
Õ Õ
n
z0 = r cos + i sin ,
n n
k+1
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
zk+1 = zk cos + i sin = z0 cos + i sin dla k = 0, 1, 2, ..., n-2.
n n n n
Interpretacja geometryczna pierwiastków z liczby zespolonej.
Zbiór pierwiastków stopnia n " N z liczby zespolonej z = r(cos Õ + i sin Õ),
gdzie r = |z| oraz Õ = arg z, pokrywa siÄ™ ze zbiorem wierzchoÅ‚ków n-kÄ…ta
"
n
foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r i środku w poczatku układu
współrzędnych. Jeden z wierzchołków tego wielokąta jest w punkcie z0, a kąty
2Ä„
między promieniami wodzącymi kolejnych wierzchołków są równe .
n
Rys. 22
19
Przykład 14.
"
3
Obliczyć 8i.
Ä„ Ä„ Ä„
Zapisujemy 8i = 8(cos + i sin ), czyli r = 8, Õ = . Obliczamy
2 2 2
"
" "
3
Ä„ Ä„ 3 1
z0 = 8(cos + i sin ) = 2( + i) = 3 + i,
6 6 2 2
"
" Ä„ Ä„ " "
+2Ä„ +2Ä„
3 3
5Ä„ 5Ä„ 3
2 2
z1 = 8(cos +i sin ) = 8(cos +i sin ) = 2(- +1i) = - 3+i,
3 3 6 6 2 2
" Ä„ Ä„ "
+4Ä„ +4Ä„
3 3
3Ä„ 3Ä„
2 2
z2 = 8(cos + i sin ) = 8(cos + i sin ) = -2i.
3 2 2
" " "3
3
Zatem 8i = { 3 + i, - 3 + i, -2i}.
Rys. 23
20