Liczby zespolone.
1. Podstawowe pojęcia i własności.
Definicja 1.1. (liczby zespolonej)
Liczbą zespoloną z nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (x, y),
tj. z = (x, y), x, y " R.
Zbiór wszystkich liczb zespolonych z oznaczamy przez C, czyli
C = {z = (x, y) : x, y " R}.
Interpretacja geometryczna :
Liczbę zespoloną z = (x, y) przedstawiamy na płaszczyz
nie w postaci punktu
o współrzędnych (x, y) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0, 0) i
końcu w punkcie (x, y). W tej interpretacji zbiór liczb zespolonych nazywamy
płaszczyzną zespoloną.
(Rys.1)
1
Definicja 1.2. (działań na liczbach zespolonych i równości liczb zespolonych)
Niech z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) " C.
(1) z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2) (suma liczb zespolonych);
(2) z1 � z2 := (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1) (iloczyn liczb zespolonych);
(3) z1 = z2 �! (x1 = x2 '" y1 = y2) (równość liczb zespolonych).
Fakt 1.3. (własności działań w zbiorze C)
Niech z1, z2, z3 " C.
(1) z1 + z2 = z2 + z1 (przemienność dodawania);
(2) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (łączność dodawania);
(3) istnieje liczba 0 := (0, 0) (tzw. element neutralny dodawania) taka, że
"z " C z + 0 = z;
(4) dla dowolnej liczby zespolonej z = (x, y) istnieje liczba zespolona -z =
(-x, -y) (tzw. element przeciwny do z) taka, że
z + (-z) = 0;
(5) z1 � z2 = z2 � z1 (przemienność mnożenia);
(6) (z1 � z2) � z3 = z1 � (z2 � z3) (łączność mnożenia);
(7) istnieje liczba 1 := (1, 0) (tzw. element neutralny mnożenia) taka, że
"z " C z � 1 = z;
(8) dla każdej liczby zespolonej z = (x, y) = (0, 0) istnieje liczba zespolona

y
1 x
:= (x +y2, - ) (tzw. element odwrotny do z) taka, że
2
z x2+y2
1
z � = 1;
z
(9) z1�(z2+z3) = z1�z2+z1�z3 (rozdzielność mnożenia względem dodawania).
2
Definicja 1.4. (różnicy i ilorazu liczb zespolonych)
Niech z1, z2 " C.
(1) z1 - z2 := z1 + (-z2) (różnica liczb zespolonych);
z1 1
(2) := z1 � o ile z2 = 0 (iloraz liczb zespolonych).

z2 z1
Uwaga 1.5.
Zbiór {(x, 0) : x " R} �" C można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych
R i zamiast (x, 0) będziemy pisać x.
2. Postać algebraiczna liczby zespolonej.
Definicja 2.1. (jednostki urojonej)
Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy przez i, tzn.
i := (0, 1).
Fakt 2.2.
i2 = -1
Fakt 2.3.
Każdą liczbę zespoloną z = (x, y) można zapisać w postaci
z = x + iy, gdzie x, y " R.
Uwaga 2.4.
Jeśli z = x + iy, gdzie x, y " R, to liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą
liczby zespolonej z oraz oznaczamy
Re z := x,
zaś liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z oraz oznaczamy
Im z := y.
Liczby postaci iy, gdzie y " R \ {0} nazywamy czysto urojonymi.
(Rys.2)
Fakt 2.5
3
(1) (x + iy)(x - iy) = x2 + y2;
(2) (x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi;
(3) (x - iy)2 = x2 - y2 - 2xyi.
Przykład 1.
(1) (1 - 3i) + (2 + 5i) = 3 + 2i;
(2) (2 - i)(-3 + 4i) = -6 + 8i + 3i + 4 = -2 + 11i;
1+2i 1+2i 3+i 3+i+6i-2 1+7i 1 7
(3) = � = = = + i.
3-i 3-i 3+i 9+1 10 10 10
Fakt 2.6
z1 = z2 �! (Re z1 = Re z2 '" Im z1 = Im z2).
Przykład 2.
Znalez
ć liczby zespolone spełniające warunek z2 + 16i = 0.
Niech z = x + iy, x, y " R.
z2 + 16i = 0 �! (x + iy)2 + 16i = 0 �! x2 - y2 + 2xyi + 16i = 0 �!
2
x2 - y2 + (2xy + 16)i = 0 �! x2 - y2 + (2xy 16)i = 0 + 0i �! (x2 - =
" "+ " "y
0 '" 2xy + 16 = 0) �! [(x = 8 '" y = - 8) (" (x = - 8 '" y = 8)].
" " " "
Zatem szukane liczby to z = 8 - 8i lub z = - 8 + 8i.
4
Definicja 2.7.
Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, x, y " R, nazywamy liczbę
z = x - iy.
Ż
(Rys.3)
Twierdzenie 2.8.
Niech z1, z2, z " C.
(1) z1 + z2 = z1 + z2;
(2) z1 - z2 = z1 - z2;
(3) z1 � z2 = z1 � z2;

z1 z1
(4) = , o ile z2 = 0;

z2 z2
(5) z + z = 2Re z;
(6) z - z = 2iIm z;
(7) (z) = z;
(8) Im z = -Im z.
Przykład 3.
Rozwiązać równanie z + i = z + i
Niech z = x + iy, x, y " R.
z + i = z + i �! x + iy + i = x + iy + i �! x + (y + 1)i = x + (y + 1)i �!
x+(y+1)i = x-(y+1)i �! (x " R '" y+1 = -y-1) �! (x " R '" y = -1).
Zatem szukane liczby mają postać z = x - i, gdzie x " R.
5
3. Moduł i argument liczby zespolonej.
Definicja 3.1.
Modułem liczby zespolonej z = x+iy, x, y " R, nazywamy liczbę rzeczywistą

|z| := x2 + y2.
Rys.4
Przykład 4.

" "
1 3 3
Dla z = - i mamy |z| = (1)2 + (- )2 = 1.
2 2 2 2
"
Dla z = i mamy |z| = 1 = 1.
"
"
Dla z = -1 + 3i mamy |z| = 1 + 9 = 10.
Twierdzenie 3.2.
Niech z, z1, z2 " C.
(1) |z| = |z| = | - z|; (2) z � z = |z|2;
(3) |z1 � z2| = |z1| � |z2|;
|z1|
1
(4) |z | = , o ile z2 = 0;

z2 |z2|
(5) |z1 + z2| d" |z1| + |z2|;
(6) ||z1| - |z2|| d" |z1 - z2|;
(7) |Re z| d" |z|, |Im z| d" |z|;
(8) |Re(z1 � z2)| = |z1| � |z2|;
(9) |zn| = |z|n, n " N;
z1 z1�z2
(10) = , o ile z2 = 0.

z2 |z2|2
6
Przykład 5.
" " " " "
|(1 + 2i)(3 - 4i)| = |1 + 2i||3 - 4i| = 1 + 4 9 + 16 = 5 25 = 5 5.
7
Geometryczne interpretacje równań i nierówności z modułami.
Rysunki (5-12)
8
Przykład 6.
Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunki :
(a) |z + 2i| d" 1; (b) |z + 5| d" |3i - z|.
Rys. 13
9
Definicja 3.3.
Argumentem liczby zespolonej z = x + iy = 0, x, y " R, nazywamy każdą

liczbę rzeczywistą � spełniającą układ równań:
x y
cos � = '" sin � = .
|z| |z|
Przyjmujemy, że argumentem liczby z = 0 jest każda liczba � " R.
Argumentem głównym liczby zespolonej z = 0 nazywamy argument tej liczby

� spełniający nierówność 0 d" � < 2Ą i oznaczamy przez arg z. Przyjmujemy,
że arg 0 = 0.
Każdy argument � liczby z = 0 ma postać

� = arg z + 2kĄ, k " Z.
Rys.14
Geometrycznie: Argumenty liczby zespolonej to miary kąta zorientowanego
jaki z dodatnią częścią osi rzeczywistej tworzy wektor wodzący tej liczby.
Argument główny jest najmniejszą nieujemną miarą takiego kąta.
Przykład 7.
"
3
Wyznaczyć argument główny dla liczby z = -1 - i.
2 2

"
3 Re z Im z
Obliczamy |z| = (-1)2 + (- )2 = 1, cos � = = -1, sin � = =
2 2 |z| 2 |z|
"
3
- .
2
Ą 4 4
Stąd � = Ą + = Ą, czyli arg z = Ą.
3 3 3
Fakt 3.4.
Niech z " C i z = 0.

(1) arg(z) = 2Ą - arg z;
10
(2) arg(-z) = arg z + Ą, jeśli 0 d" arg z < Ą oraz arg(-z) = arg z - Ą, jeśli
Ą d" arg z < 2Ą;
1
(3) arg(z) = 2Ą - arg z.
11
Geometryczne interpretacje równań i nierówności z argumentami.
Rysunki (15-18)
12
Przykład 8.
Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek
Ą
d" arg(2 + i + z) d" Ą.
6
Ą
Mamy d" arg(z - (-2 - i)) d" Ą.
6
(Rys.19)
Przykład 9.
Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek
Ą 3
< arg(z - i) d" Ą.
4 2
(Rys.20)
13
4. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Fakt 4.1.
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w tzw. postaci trygonometrycznej
z = r(cos � + i sin �),
gdzie r e" 0 oraz � " R. Wtedy r = |z|, zaś � jest jednym z argumentów
liczby z.
Rys.21
Przykład 10.
"
Zapisać liczby z = 1 + i oraz w = 3 - i w postaci trygonometrycznej.
"
"
Re z 1 2 Im z
"
Dla z = 1 + i mamy |z| = 2, cos � = = = , sin � = =
|z| 2 |z|
2
"
1 2
"
= .
2
2
"
Ą Ą Ą
Stąd � = . Zatem z = 2(cos + i sin ).
4 4 4
"
" "
Re w 3 Im w
Dla w = 3-i mamy |w| = 4 = 2, cos � = = , sin � = = -1.
|w| 2 |w| 2
Ą 11 11Ą 11Ą
Stąd � = 2Ą - = Ą. Zatem w = 2(cos + i sin ).
6 6 6 6
14
Fakt 4.2.
Niech z1 = r1(cos �1 + i sin �1), z2 = r2(cos �2 + i sin �2), gdzie r1, r2 e" 0 oraz
�1, �2 " R. Wtedy
z1 = z2 �! [r1 = r2 = 0 albo (r1 = r2 > 0 '" �1 = �2+2kĄ dla pewnego k " Z)].
Fakt 4.3.
Niech z1 = r1(cos �1 + i sin �1), z2 = r2(cos �2 + i sin �2), gdzie r1, r2 e" 0 oraz
�1, �2 " R. Wtedy
(1) z1 � z2 = r1 � r2[cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2)];
z1 r1
(2) = [cos(�1 - �2) + i sin(�1 - �2)], o ile z2 = 0.

z2 r2
Przykład 11.
Korzystając z faktu 4.3 obliczyć:
"
1+i
"
(a) (1 + i)( 3 - i), (b) .
3-i
" " "
Ą Ą 11Ą 11Ą
(a) (1 + i)( 3 - i) = 2(cos + i sin ) � 2(cos i sin ) = 2 2[cos(Ą +
4 4 6 4
" "+ 6
11Ą 11Ą 25Ą 25Ą Ą
) + i sin(Ą + )] = 2 2(cos + i sin ) = 2 2[cos(2Ą + ) + i sin(2Ą +
6 4 6 12 12 12
"
Ą Ą Ą
)] = 2 2(cos + i sin ).
12 12 12
" "
1+i 2 11Ą 11Ą 2
"
(b) = (cos(Ą - ) + i sin(Ą - )) = (cos(-19Ą) + i sin(-19Ą)) =
2 4 4 6 2 12 12
3-i
" "6 "
2 19Ą 19Ą 2 7Ą 7Ą 2 7Ą 7Ą
(cos -i sin ) = (cos(Ą+ )-i sin(Ą+ )) = (- cos +i sin ).
2 12 12 2 12 12 2 12 12
Fakt 4.4.
Niech z = r(cos � + i sin �), gdzie r e" 0 oraz � " R. Wtedy
(1) z = r[cos(-�) + i sin(-�)];
1 1
(2) = [cos(-�) + i sin(-�)], o ile z = 0;

z r
(3) -z = r[cos(� + Ą) + i sin(� + Ą)];
(4) zk = rk[cos(k � �) + i sin(k � �)], gdzie k " N (wzór Moivre a).
Przykład 12.
Korzystając ze wzoru Moivre a obliczyć (1 + i)10.
15
"
Ą
Zapisujemy z = 1 + i w postaci trygonometrycznej, tj. 1 + i = 2(cos +
4
Ą
i sin ).
4
Ze wzoru Moivre a otrzymujemy
"
Ą Ą 5Ą 5Ą
(1+i)10 = ( 2)10[cos(10� )+i sin(10� )] = 32(cos +i sin ) = 32(0+i) =
4 4 2 2
32i.
16
5. Postać wykładnicza liczby zespolonej.
Definicja 5.1.
ei� := cos � + i sin �, � " R.
Fakt 5.2.
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w tzw. postaci wykładniczej
z = rei�,
gdzie r e" 0 oraz � " R. Wtedy r = |z|, zaś � jest jednym z argumentów
liczby z.
Przykład 13.
Zapisać liczby z = -1 oraz w = -i w postaci wykładniczej.
Dla z = -1 mamy r = |z| = 1, cos � = -1, sin � = 0. Stąd � = Ą. Zatem
z = eiĄ.
3
Dla w = -i mamy r = |w| = 1, cos � = 0, sin � = -1. Stąd � = Ą.
2
3
2
Zatem z = ei Ą.
Fakt 5.3.
1 2
Niech z1 = r1ei� , z2 = r2ei� , z = rei�, gdzie r1, r2, r e" 0 oraz �1, �2, � " R.
Wtedy
(1) z1 = z2 �! [r1 = r2 = 0 albo (r1 = r2 > 0 '" �1 = �2+2kĄ dla pewnego k "
Z)];
(2) z = re-i�;
(3) -z = rei(�+Ą);
1 1
(4) = e-i�, o ile z = 0;

z r
(5) zk = rkeik�, gdzie k " Z;
1
(6) z1 � z2 = r1 � r2ei(� +�2);
z1 r1 1
(2) = ei(� -�2), o ile z2 = 0.

z2 r2
17
Fakt 5.4. (wzory Eulera)
Niech � " R. Wtedy
ei� + e-i� ei� - e-i�
cos � = , sin � = .
2 2i
18
6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Definicja 6.1. Pierwiastkiem stopnia n " N z liczby zespolonej z nazywamy
każdą liczbę zespoloną w spełniającą równość
wn = z.
"
n
Zbiór pierwiastków stopnia n " N z liczby zespolonej z oznaczamy przez z.
Fakt 6.2.
Każda licza zespoloa z = r(cos � + i sin �), gdzie r > 0 oraz � " R, ma
dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma postać
"
n
z = {z0, z1, ..., zn-1},
gdzie

"
� + 2kĄ � + 2kĄ
n
zk = r cos + i sin dla k = 0, 1, 2, ..., n - 1.
n n
Uwaga 6.3.
Zbiór pierwiastków nie zależy od wyboru argumentu liczby zespolonej. Jeśli
� jest argumentem głównym, to

"
� �
n
z0 = r cos + i sin ,
n n
k+1
2Ą 2Ą 2Ą 2Ą
zk+1 = zk cos + i sin = z0 cos + i sin dla k = 0, 1, 2, ..., n-2.
n n n n
Interpretacja geometryczna pierwiastków z liczby zespolonej.
Zbiór pierwiastków stopnia n " N z liczby zespolonej z = r(cos � + i sin �),
gdzie r = |z| oraz � = arg z, pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kąta
"
n
foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r i środku w poczatku układu
współrzędnych. Jeden z wierzchołków tego wielokąta jest w punkcie z0, a kąty
2Ą
między promieniami wodzącymi kolejnych wierzchołków są równe .
n
Rys. 22
19
Przykład 14.
"
3
Obliczyć 8i.
Ą Ą Ą
Zapisujemy 8i = 8(cos + i sin ), czyli r = 8, � = . Obliczamy
2 2 2
"
" "
3
Ą Ą 3 1
z0 = 8(cos + i sin ) = 2( + i) = 3 + i,
6 6 2 2
"
" Ą Ą " "
+2Ą +2Ą
3 3
5Ą 5Ą 3
2 2
z1 = 8(cos +i sin ) = 8(cos +i sin ) = 2(- +1i) = - 3+i,
3 3 6 6 2 2
" Ą Ą "
+4Ą +4Ą
3 3
3Ą 3Ą
2 2
z2 = 8(cos + i sin ) = 8(cos + i sin ) = -2i.
3 2 2
" " "3
3
Zatem 8i = { 3 + i, - 3 + i, -2i}.
Rys. 23
20