1
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
Materiały dodatkowe do zajęć z metodologii
WSFIZ 2012
Wskaz
niki
Prowadzący: Andrzej Tarłowski [e-mail]
W poniższym materiale przedstawiam pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego i mocy
odrzucenia oraz zawierania wskaz
ników w trzech przykładach.
1. Ciąża
Wyobraz
my sobie cechę która ma dwie wartości występuje lub nie i wskaz
nik, który daje dwa rodzaje
odczytu  odczyt pozytywny lub negatywny. Niech naszą cechą będzie ciąża  cecha ta ma dwie
wartości  kobieta może być w ciąży lub nie być w ciąży innej opcji nie ma.
Wskaz
nikiem jest test ciążowy który ma dwa możliwe odczyty  ciąża lub brak ciąży.
Odczyt ze wskaz
nika nie jest jednoznaczny z faktyczną ciążą lub jej brakiem. Jeśli test ciążowy daje
odczyt pozytywny (ciąża) to może być tak że kobieta jest w ciąży lub nie jest w ciąży. Jeśli test ciążowy
daje odczyt negatywny (brak ciąży) to kobieta może nie być w ciąży ale może też być w ciąży. Test
może dać wynik poprawny  zasygnalizować istniejącą ciążę lub zasygnalizować brak ciąży gdy jej nie
ma. Może też dać odczyt błędny  fałszywy alarm- odczyt pozytywny gdy ciąży nie ma i brak
wskazania ciąży gdy jest ciąża.
Cały przekrój sytuacji można przedstawić w tabelce:
wskaz
nik\ Cecha Kobieta jest w ciąży C+ Kobieta nie jest w ciąży
C-
Test daje wynik
pozytywny W+
Test daje wynik
negatywny W-
Wyobraz
my sobie że mamy 100 młodych kobiet (posługuję się liczbą 100 w tym pierwszym
przykładzie bo dla takiej liczby prawdopodobieństwo wyrażone w procentach jest tożsame z liczbą
kobiet), wszystkie one wykonały test ciążowy a 30 z nich jest w ciąży. Oznacza to że przed
wykonaniem testu prawdopodobieństwo że kobieta z naszej grupy jest w ciąży P(C+) wynosi 30/100
czyli 0.3 lub 30%. Aby wyliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia dzielimy liczbę przypadków w
których to zdarzenie zachodzi (kobiet w ciąży w naszej grupie) przez liczbę wszystkich przypadków (
wszystkich kobiet w naszej grupie)
2
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
P(C+) = 0.3
Oczywiście P(C-)  prawdopodobieństwo że kobieta nie jest w ciąży  wynosi 1- P(C+)=0.7 i można
je wyliczyć dzieląc liczbę kobiet nie w ciąży przez liczbę kobiet. Prawdopodobieństwo zdarzenia
przeciwnego do naszego zdarzenia zawsze wynosi 1-P
wskaz
nik\ Cecha Kobieta jest w ciąży Kobieta nie jest w ciąży
Test daje wynik
pozytywny
Test daje wynik
negatywny
30 70 100
Wyobraz
my sobie bezbłędny test ciążowy (MATERNITY MAX)
Gdyby test ciążowy się nie mylił nigdy nasza tabelka wyglądałaby tak:
wskaz
nik\ Cecha Kobieta jest w ciąży Kobieta nie jest w ciąży
(C+) (C-)
Test daje wynik 30 0 30
pozytywny (W+)
Test daje wynik 0 70 70
negatywny (W-)
30 70 100
Prawdopodobieństwo warunkowe że kobieta jest w ciąży jeśli test dał wynik pozytywny wynosiłoby
P(C+| W+) = 30/30 = 1. (a P(C-|W+)=0/30=0)
Jak rozumieć prawdopodobieństwo warunkowe? Prawdopodobieństwo że kobieta jest w ciąży pod
warunkiem że test dał wynik pozytywny. Ograniczamy naszą uwagę tylko do sytuacji kiedy warunek
jest spełniony  czyli tylko do grupy kobiet dla których wynik testu okazał się pozytywny. Jest tych
kobiet w sumie 30. Wśród kobiet z wynikiem pozytywnym jest 30 kobiet w ciąży. Dla kobiety która
chce wiedzieć czy jest w ciąży informacja jest taka: na podstawie pozytywnego wyniku testu mam
pewność że jestem w ciąży. Inaczej, kobieta może powiedzieć  Niemożliwe żebym nie była w ciąży ,
ale to trudno zrozumieć bo za dużo w tym zdaniu NIE.
Prawdopodobieństwo, że kobieta nie jest w ciąży jeśli test dał wynik negatywny wyniosłoby
P(C-|W-)=70/70=1 (albo P(C+|W-)=0/70=0)
Mamy 70 kobiet dla których warunek (test dał wynik negatywny) jest spełniony. Wśród nich
wszystkie nie są w ciąży. Dlatego 70 dzielimy przez 70 i uzyskujemy 1. Dla kobiety która chce wiedzieć
czy jest w ciąży informacja jest taka:  na podstawie negatywnego wyniku testu uzyskałam pewność
że nie jestem w ciąży . Inaczej kobieta może powiedzieć  Niemożliwe że jestem w ciąży
3
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
Niestety wszystkie lub niemal wszystkie pomiary cechy wskaz
nikami obarczone są błędem. Oznacza
to, że w kratkach C-W+ i C+W- pojawią się jakieś osoby.
Wyobraz
my sobie test PRE TEST który dla naszych 100 kobiet daje takie odczyty:
wskaz
nik\ Cecha Kobieta jest w ciąży Kobieta nie jest w ciąży Suma osób
(C+) (C-)
Test daje wynik 20 1 21
pozytywny (W+)
Test daje wynik 10 69 79
negatywny (W-)
Suma osób 30 70 100
Rzeczywistość się nie zmienia  nadal 30 ze 100 kobiet jest w ciąży. Zmienia się diagnoza
rzeczywistości  odczyt wskaz
nika.
Czego dowiadujemy siÄ™ na podstawie odczytu ze wskaz
nika PRE TEST? Inaczej, jak zmienia siÄ™
prawdopodobieństwo że kobieta jest w ciąży gdy mamy dane ze wskaz
nika?
Prawdopodobieństwo warunkowe, że kobieta jest w ciąży jeśli wskaz
nik dał odczyt pozytywny:
Ile mamy teraz kobiet z odczytem pozytywnym? 21
Ile wśród tych kobiet jest w ciąży? 20
A zatem
P(C+|W+)=20/21= 0.95 (lub 95%).
Porównajmy to z prawdopodobieństwem że kobieta jest w ciąży przed testem P(C+) =0.3
Widać wyraz
nie że nasza pewność na temat występowania cechy w przypadku odczytu pozytywnego
wyraz
nie wzrasta. 0.95 to dużo więcej niż 0.3. Dla kobiety wykonującej test wynik pozytywny wiele
zmienia, ma ona teraz NIEMAL pewność, że jest w ciąży. (Jedna na około 20 kobiet będzie w błędzie)
Ale czego dowiadujemy siÄ™ gdy wskaz
nik da odczyt negatywny?
Jakie jest prawdopodobieństwo warunkowe, że kobieta nie jest w ciąży jeśli wynik testu jest
negatywny? Mamy 79 kobiet z wynikiem negatywnym. Wśród nich 69 nie jest w ciąży
P(C-|W-) = 69/79=0.87 (lub 87%).
Co wynik negatywny mówi kobiecie: przed wykonaniem testu wiedziała na 70% że nie jest w ciąży,
teraz wie na 87% że nie jest w ciąży. Widać, że jej wiedza nie zmieniła się radykalnie. (jedna na około
8 kobiet będzie w błędzie)
PRE TEST ma DUÅ»
MOC ODRZUCENIA: ogranicza prawdopodobieństwo, że wśród osób z
pozytywnym odczytem pojawią się osoby nie posiadające cechy  jest dobry w ODRZUCANIU osób,
4
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
które nie mają cechy (w naszym przypadku kobiet które nie są w ciąży)  tylko jedna z 70 kobiet nie w
ciąży nie została odrzucona.
Teraz przyjrzyjmy siÄ™ innemu testowi BABY BOOM
wskaz
nik\ Cecha Kobieta jest w ciąży Kobieta nie jest w ciąży Suma osób
(C+) (C-)
Test daje wynik 29 20 49
pozytywny (W+)
Test daje wynik 1 50 51
negatywny (W-)
Suma osób 30 70 100
Ten test zachowuje siÄ™ wyraz
nie inaczej.
Jakie jest prawdopodobieństwo że kobieta jest w ciąży jeśli nasz nowy test dał wynik pozytywny?
Ile mamy kobiet z wynikiem pozytywnym testu? 49
Ile wśród nich jest kobiet w ciąży? 29
A zatem
P(C+|W+)=29/49=0.59 (59%)
Kobieta przed testem wiedziała, że na 30% jest w ciąży, teraz wie, że na 59% jest w ciąży. Trochę to
zmienia, ale niewiele.
A teraz co z kobietami którym test dał wynik negatywny?
Jakie jest prawdopodobieństwo że kobieta nie jest w ciąży jeśli test dał wynik negatywny? Kobiet z
wynikiem negatywnym mamy 51 a w śród nich 50 nie jest w ciąży
P(C-|W-)=50/51=0.98 (98%)
Na podstawie negatywnego wyniku testu kobieta uzyskuje niemal pewność że nie jest w ciąży.
Inaczej, negatywny wynik testu redukuje prawdopodobieństwo że kobieta nie jest w ciąży niemal do
0.
Mówimy, że BABY BOOM ma DUŻ
MOC ZAWIERANIA: ogranicza prawdopodobieństwo że wśród
osób z negatywnym odczytem znajdą się osoby posiadające cechę  jest dobry w ZAWIERANIU osób
posiadających cechę. Tylko jedna osoba z 30 kobiet w ciąży nie została zawarta.
5
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
Warto się pomyśleć który z testów BABY BOOM czy PRE TEST jest bardziej wartościowy z punktu
widzenia kobiety, która zastanawia się czy jest w ciąży. Jeśli kobieta prowadzi niezdrowy tryb życia
(np. pije alkohol i pali papierosy) i na podstawie wyniku testu podejmie decyzję o tym czy przestać
palić i pić, a także czy udać się na badania prenatalne.
W przypadku testu PRE TEST mamy taką sytuację: tylko jedna kobieta niepotrzebnie zawiesiła picie i
palenie i niepotrzebnie udała się na badania. Zmarnowała czas i pozbawiła się pozytywnych doznań
związanych z zażywaniem substancji psychoaktywnych. Tymczasem aż 10 kobiet które były w ciąży
nie przestały pić i palić, nie poszły na badania prenatalne i naraziły swoje dziecko na pojawienie się
poważnych wad rozwojowych.
W przypadku testu BABY BOOM sytuacja wygląda w sposób następujący: aż 20 kobiet bez potrzeby
zawiesiło picie i palenie i zmarnowało czas na badania. Za to tylko jedna kobieta w ciąży nie przestała
palić i pić, nie poszła na badania i naraziła swoje dziecko na pojawienie się wad rozwojowych.
Który test należałoby zatem polecać?
Teraz dwa inne przykłady z życia wzięte
2. Pijani kierowcy
Pierwszy odwołujący się bardziej do doświadczeń mężczyzn żeby nie czuli się poszkodowani:
Wyobraz
my sobie dwa alkomaty chińskiej produkcji, każdy w cenie 5.99 zł (Hang Dong i Lau Siau) Są
takie tanie bo zamiast dokonać ilościowego pomiaru stężenia alkoholu w wydychanym powietrzu
dają tylko dwa rodzaje informacji: dozwolone stężenie przekroczone (C+), dozwolone stężenie nie
przekroczone (C-).
Mamy grupę 500 mężczyzn którzy coś wypili i z skorzystali z obu alkomatów. Dodam jeszcze, że 100 z
nich ma przekroczone dozwolone stężenie alkoholu
Tak wygląda rozkład naszych mężczyzn dla alkomatu Hang Dong
wskaz
nik\ Cecha (C+) (C-) Suma osób
(W+) 95 80 175
(W-) 5 320 325
Suma osób 100 400 500
Tak wygląda rozkład naszych mężczyzn dla alkomatu Lau Siau
wskaz
nik\ Cecha (C+) (C-) Suma osób
(W+) 60 7 67
(W-) 40 393 433
Suma osób 100 400 500
6
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
Proszę policzyć prawdopodobieństwo że mężczyzna ma przekroczone dozwolone stężenie alkoholu w
wydychanym powietrzu jeśli Lau Siau dał wynik pozytywny i jeśli Hang Dong dał wynik pozytywny i
prawdopodobieństwo że mężczyzna nie ma przekroczonego dozwolonego stężenia alkoholu jeśli Lau
Siau dał wynik negatywny oraz jeśli Hang Dong dał wynik negatywny. Proszę określić który z testów
ma dużą moc zawierania a który ma dużą moc odrzucenia
HANG DONG
P(C+|W+)=
P(C-|W-)=
Hang Dong ma & . & & . moc & & ..
Lau Siau
P(C+|W+)=
P(C-|W-)=
Lau Siau ma & . & & . moc & & ..
Z którego testu należałoby korzystać żeby uniknąć problemów na drodze?
CO wiemy o stanie mężczyzny dla którego oba testy dały wynik pozytywny (Hang Dong+ i Lau Siau+)?
CO wiemy o stanie mężczyzny z odczytem Hang Dong- i Lau Siau-?
CO wiemy o stanie mężczyzny z odczytem Hang Dong+ i Lau Siau-?
CO wiemy o stanie mężczyzny z odczytem Hang Dong- i Lau Siau+?
3. Analiza pirotechniczna
Kolejny przykład dotyczy śledztwa w sprawie katastrofy smoleńskiej. Mam nadzieję, że nikogo tutaj
nie obrażę, ale przykład jest idealny. Pokazuje jak rozumienie własności wskaz
ników przydaje się w
rozumieniu zdarzeń politycznych!
Biegli pirotechnicy używają do analizy próbek zebranych z różnych miejsc katastrof pod kątem
wystąpienia materiałów wybuchowych dwóch rodzajów narzędzi: Detektora XYZ15 i testu
laboratoryjnego PQR33. (tak jak dotychczas wszystkie dane i urządzenia są zmyślone)
Przeanalizowali obiema metodami 1456 próbek z różnych miejsc katastrof (nie tylko smoleńskiej). W
329 próbkach znajdują się materiały wybuchowe a tak wygląda rozkład przypadków dla obu testów
(C+ oznacza wystąpienie w próbce materiałów wybuchowych, C- brak tych materiałów, W+, W-
wskazania detektora i testu)
7
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
XYZ15
wskaz
nik\ Cecha (C+) (C-) Suma przypadków
(W+) 127 345 472
(W-) 2 982 984
Suma przypadków 129 1327 1456
PQR33
wskaz
nik\ Cecha (C+) (C-) Suma przypadków
(W+) 64 4 68
(W-) 65 1323 1388
Suma przypadków 129 1327 1456
Proszę dokonać odpowiednich obliczeń i oszacowania mocy testów
XYZ15
P(C+|W+)=
P(C-|W-)=
XYZ 15 ma & . & & . moc & & ..
PQR33
P(C+|W+)=
P(C-|W-)=
PQR33 ma & . & & . moc & & ..
Którego testu należałoby użyć we wstępnej fazie śledztwa?
Którego testu należałoby użyć w końcowej fazie śledztwa?
Czy na podstawie pozytywnego wyniku testu XYZ15 można twierdzić, że w próbkach znajdują się
materiały wybuchowe?
Czy na podstawie negatywnego wyniku testu XYZ15 można twierdzić, że w próbkach nie znajdują się
materiały wybuchowe?
Czy na podstawie pozytywnego wyniku testu PQR33 można twierdzić, że w próbkach znajdują się
materiały wybuchowe?
Czy na podstawie negatywnego wyniku testu PQR33 można twierdzić, że w próbkach nie znajdują się
materiały wybuchowe?
8
WSFiZ Materiały dydaktyczne Metodologia
Co wiemy na temat próbki dla której XYZ15 dał wynik pozytywny (XYZ15+) a PQR33 także dał odczyt
pozytywny (PQR33+)?
CO wiemy na temat próbki z odczytem XYZ15-, PQR33-?
CO wiemy na temat próbki z odczytem XYZ15+, PQR33-?
CO wiemy na temat próbki z odczytem XYZ15-, PQR33+?