Sprawdzian z funkcji kwadratowej Grupa 1

1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej: y = 6 2

x + 7 x + 2 . (3 pkt.)

2. Funkcje y = 4 2

x + 4 x âˆÅ‚ 2 przedstaw w postaci kanonicznej oraz sporzÄ…dź jej wykres.

Podaj przedziały monotoniczności funkcji. (4 pkt.) 3. Wyznacz

największą i najmniejsza wartość funkcji f(x) = x2 + 5x –36 w przedziale

[-3,5] (4 pkt.)

4. Rozwiąż nierówność: ( x âˆÅ‚ 2)( x + ) 1 â‰Ä„ 7 âˆÅ‚ x . (3 pkt.)

5. Który z prostokątów o obwodzie 20m ma największe pole. (4 pkt.) 6. Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa 145. Znajdź te liczby.

(4 pkt.)



Propozycja punktacji

Nr

Etapy rozwi Ä…zania zadania Liczba

zad.

punktów

1. Wyznaczenie âˆÄ… = 1

1pkt.

2

1

2pkt.

Obliczenie miejsc zerowych: x

âˆÅ‚

âˆÅ‚

1 =

, x2 =

.

3

2

2.

1

1pkt.

Wyznaczenie âˆÄ… = 48, p = âˆÅ‚ , q = -3.

2

1

1pkt.

Zapisanie funkcji w postaci kanonicznej: y = 4( x + )2 âˆÅ‚ 3 .

2

Naszkicowanie wykresu funkcji.

1pkt.

Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji: 1pkt.

1

x ∈ (âˆÅ‚âˆÅ›,âˆÅ‚ ) funkcja maleje

2

1

x ∈ (âˆÅ‚ , âˆÅ›) funkcja roÅ›nie.

2

3. Wyznaczenie wartości f(- 3) = - 42

1pkt.

Wyznaczenie wartości f(5) = 14

1pkt.

âˆÅ‚ 5

1

1pkt.

Wyznaczenie wierzchołka paraboli: W = (

,42 )

2

4

âˆÅ‚ 5

1

1pkt.

Podanie poprawnej odpowiedzi: f

=

min (

)

42

, fmax(5) = 14.

2

4

4. Przekształcenie nierówności do postaci: 2

x âˆÅ‚ 9 â‰Ä„ 0

1pkt.

Zapisanie nierównoÅ›ci w postaci iloczynowej: ( x âˆÅ‚ )(

3 x + )

3 â‰Ä„ 0

1pkt.

RozwiÄ…zanie nierównoÅ›ci: x ∈ (âˆÅ‚âˆÅ›,âˆÅ‚ ]

3 ∪ ,

3

[ âˆÅ›)

1pkt.

5. Wyznaczenie z podanego obwodu np. a = 10 – b.

1pkt.

Wyznaczenie funkcji P = 10b – b2. 1pkt.

Wyznaczenie bmax = 5 wraz z uzasadnieniem 1pkt.

Wyznaczenie amax = 5. Podanie odpowiedzi 1pkt.

6. Zapisanie równania: 2

n + ( n + )

1 2 = 145

1pkt.

Przekształcenie równania do postaci: 2

n + n âˆÅ‚ 72 = 0

1pkt.

Wyznaczenie n1 = -9, n2 = 8

1pkt.

Podanie poprawnej odpowiedzi: 8 i 9

1pkt.



1



Grupa2

1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej: y = 2

x âˆÅ‚ 4 x + 3 . (3 pkt.)

2. Funkcje y = 5 2

x âˆÅ‚ 20 x + 7 przedstaw w postaci kanonicznej oraz sporzÄ…dź jej wykres.

Podaj przedziały monotoniczności funkcji. (4 pkt.) 3. Wyznacz

największą i najmniejsza wartość funkcji y = -x2-2x +3 w przedziale [-2,3]

(4 pkt.)

4. Rozwiąż nierówność:

2

x( x + )

4 â‰Å„ 12 âˆÅ‚ ( x âˆÅ‚ )

2 (3 pkt.)

5. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest o 4 cm dłuższa niż druga.

Znajdź przyprostokątne, gdy długość przeciwprostokątnej jest równa 20 cm. (4 pkt.) 6. Liczbę 100 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, by suma ich kwadratów była najmniejsza. (4 pkt.)



Propozycja punktacji

Nr

Etapy rozwi Ä…zania zadania Liczba

zad.

punktów

1. Wyznaczenie âˆÄ… = 4

1pkt.

Obliczenie miejsc zerowych: x1 =1, x2 =3.

2pkt.

2. Wyznaczenie âˆÄ… = 260, p =2, q = -13.

1pkt.

Zapisanie funkcji w postaci kanoniczne. y = (

5 x âˆÅ‚ )

2 2 âˆÅ‚ 13

1pkt.

Naszkicowanie wykresu funkcji.

1pkt.

Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji: 1pkt.

x ∈ (âˆÅ‚âˆÅ›,2) funkcja maleje

x ∈ ( ,

2 âˆÅ›) funkcja roÅ›nie.

3. Wyznaczenie wartości f(- 2) = 3

1pkt.

Wyznaczenie wartości f(3) = -12

1pkt.

Wyznaczenie wierzchoÅ‚ka paraboli: W = (âˆÅ‚ , 1 4)

1pkt.

Podanie poprawnej odpowiedzi: f

= âˆÅ‚

min

)

3

(

12 , fmax(-1) = 4

1pkt.

4. Przekształcenie nierówności do postaci: (

2

2

x âˆÅ‚ )

4 â‰Å„ 0

1pkt.

Zapisanie nierównoÅ›ci w postaci iloczynowej: 2( x âˆÅ‚ 2)( x + 2) â‰Å„ 0

1pkt.

RozwiÄ…zanie nierównoÅ›ci: x ∈[âˆÅ‚ , 2 2]

1pkt.

5. Zapisanie równania: 2

a + ( a + )

4 2 = 400

1pkt.

Przekształcenie równania do postaci: 2

a + 4 a âˆÅ‚ 192 = 0

1pkt.

Wyznaczenie a1 = -16, a2 = 12

1pkt.

Podanie poprawnej odpowiedzi: 12 i 16

1pkt.

6. Wyznaczenie z danych np. b = 100 – a.

1pkt.

Wyznaczenie funkcji f(a) = 2a2-200a+10000 1pkt.

Wyznaczenie amin = 50 wraz z uzasadnieniem 1pkt.

Wyznaczenie bmin = 50. Podanie odpowiedzi 1pkt.





2