MATERIAA
Y XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH  TORUC
2001  WYKA
ADY SEKCYJNE
Chaos a medycyna: fizyka w diagnostyce
zaburzeń rytmu serca
Jan J. Żebrowski
Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska
1. Wstęp w pewnym stopniu, procesy biochemiczne zachodzące
w sercu. Zmienność rytmu serca analizuje się na pod-
Niestabilność trajektorii nieliniowych układów
stawie zapisu EKG, w tym również w zapisie całodo-
dynamicznych, znana jako zjawisko chaosu determini- bowym.
stycznego [1 6], zyskuje w ostatnich latach na znacze-
niu. Z jednej strony bowiem bardzo rozwinęła się wie-
2. Chaos deterministyczny
dza dotycząca właściwości fizycznych układów, w któ-
rych chaos występuje [1,7]. Z drugiej zaś, w ostatnich
Układem dynamicznym nazywamy determini-
10 15 latach nauczono się dobrze analizować szeregi
styczną receptę na ewolucję danego układu [1]. Układy
czasowe mierzone w układach chaotycznych [7,8]. Do-
dynamiczne z czasem dyskretnym opisane są równa-
tyczy to również stanów niestacjonarnych układów dy-
niami ruchu w postaci równań różnicowych, tj. funkcji
namicznych, jak również takich, w których występuje
iterowanych o postaci
zbyt duży szum, by można go było pominąć [9,10].
Możliwość kontroli stanów chaotycznych [11], dogłębne
xn+1 = f(xn, a),
zrozumienie synchronizacji układów chaotycznych [12]
otwierają pole do zastosowań teorii chaosu w wielu
gdzie f jest nieliniowÄ… funkcjÄ…, n  indeksem ite-
dziedzinach nauki i techniki, jak również w socjologii,
racji (czas dyskretny), zaÅ› a  parametrem kontrol-
psychologii i ekonomii [13].
nym. Najbardziej znanym przykładem takiego układu
Na tym tle medycyna wydaje siÄ™ dziedzinÄ… po-
dynamicznego jest równanie logistyczne, w którym
średnią. Niewątpliwie znaczną część postępu w ostat-
f(xn, a) = axn(1 - xn). Nominalnie opisuje ono dy-
nich kilkudziesięciu latach zawdzięcza ona wprowa-
namikę populacji owadów, których pokolenia nie prze-
dzeniu wielu metod fizykalnych  a więc ilościowych.
krywają się i które żyją w ograniczonym środowisku.
Jednakże tradycyjnie fizjologia jest uważana za wie-
Ponieważ jednak każdą funkcję w pobliżu jej maksi-
dzÄ™ empirycznÄ… i modele matematyczne  obecnie bar-
mum można przybliżyć za pomocą funkcji kwadra-
dzo szybko się rozwijające  nie mają ani takiej ogól-
towej, więc funkcje iterowane posiadające pojedyn-
ności, ani siły przewidywania jak w fizyce. Wydaje
cze maksimum mają wszystkie własności odwzorowa-
się jednocześnie, że nadeszła pora zastąpienia dobrze
nia logistycznego [1,2]. W pewnym zakresie parametru
ugruntowanego i bardzo zasłużonego dla medycyny pa-
kontrolnego wystÄ…pi zatem podwajanie okresu, prowa-
radygmatu homeostazy nowym, zwanym homeodyna-
dzące do trajektorii o nieskończonym okresie (punkt
miką [14]. Ten pierwszy powstał w XX w. (pierwsze
akumulacji), a w obszarze chaotycznym za tym punk-
prace pochodzÄ… z XIX w.) na tle rozwoju fizyki staty-
tem pojawią się okna periodyczne, które są gęste na
stycznej stanów równowagi w układach zamkniętych,
osi parametru kontrolnego. Na granicy tych okien po-
zaś homeodynamika wynika właśnie z postępu w teorii
jawi się intermitencja, co oznacza, że dla danej wartości
chaosu i fizyki statystycznej stanów z dala od równo-
parametru kontrolnego ruch nieregularny (chaotyczny)
wagi w układach otwartych.
poprzedzielany będzie krótkimi fazami ruchu (prawie)
Referat poświęcony jest zastosowaniom teorii cha- regularnego. Właśnie uniwersalność zjawisk dynamicz-
osu do diagnozowania ryzyka wystąpienia tzw. nagłego nych obserwowanych w ewolucji funkcji iterowanych
zatrzymania krążenia u człowieka. Jest to stan, w któ- z pojedynczym maksimum stanowi o przydatności teo-
rym  również bez mechanicznych uszkodzeń serca, rii chaosu do opisu tak wielu zjawisk.
jakie mogą pojawić się w trakcie zawału  traci ono Ewolucję układów dynamicznych z czasem cią-
zdolność pompowania krwi. W medycynie analizuje głym (zwanych przepływami) opisują autonomiczne
się w tym celu zmienność rytmu serca, tzn. fluktuacje równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzę-
częstości pracy serca. Odzwierciedlają one aktywność du [1,2]. Trajektoria fazowa układu z czasem ciągłym
obydwu części obwodowego układu nerwowego oraz, staje się otwarta wtedy, gdy wszystkie stany perio-
POST
PY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002 169
MATERIAA
Y XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH  TORUC
2001  WYKA
ADY SEKCYJNE
dyczne (trajektorie zamknięte) dla danej wartości pa- cie) zapisu EKG. W uproszczeniu, arytmia pojawia
rametru kontrolnego są niestabilne, ale rozwiązania się wtedy, gdy takich ektopicznych skurczów serca jest
wciąż istnieją. W stanie chaotycznym układ wykazuje wiele, tak że wpływają one na skuteczność pompowa-
czułość na warunki początkowe: bardzo mała zmiana nia serca.
warunku początkowego narasta wykładniczo z biegiem
Rytm serca analizuje się jako szereg interwałów
czasu. Trajektoria chaotyczna jest więc nieprzewidy-
czasu pomiędzy skurczami komór (załamki R  wyso-
walna, co rodzi różnorodne problemy w wielu dzie-
kie, wąskie szpilki w zapisie EKG). Nie jest on stały
dzinach, np. w tworzeniu prognoz meteorologicznych.
i fluktuuje z dotychczas nie w pełni poznanych przy-
Jednakże z punktu widzenia układów żywych stan cha-
czyn. W kardiologii stosuje siÄ™ obecnie szereg linio-
otyczny ma wiele zalet. Widmo mocy w takim sta-
wych metod analizy, jak analiza widmowa i analiza sta-
nie jest białe i tylko w pewnych przypadkach wystę-
tystyczna rozkładu interwałów (głównie poprzez od-
pują częstości dominujące. Oznacza to, że układ może
chylenie średnie standardowe oraz odchylenie średnie
poruszać się z bardzo wieloma (może nawet nieskoń-
wartości średniej). Metody te wniosły bardzo wiele.
czenie wieloma) częstościami. Chociaż pod wpływem
Na przykład, w latach osiemdziesiątych XX w. udało
zaburzenia zewnętrznego trajektoria układu się zmie-
się określić pasma częstotliwości właściwe zarówno dla
nia w szczegółach, to układ pozostaje w tym samym
przywspółczulnego, jak i współczulnego autonomicz-
stanie. Posiada więc stabilność dynamiczną, a jedno-
nego układu nerwowego oraz dla reakcji baro- i chemo-
cześnie może zmieniać swoje zachowanie w szerokim
receptorów w układzie krążenia. Analiza widma mocy
zakresie. Na ogół trajektorie fazowe układu w stanie
pozwala kardiologom ocenić stan pobudzenia autono-
chaotycznym sÄ… fraktalami.
micznego układu nerwowego i jego współdziałanie z in-
nymi układami regulacji w organizmie.
Każdy układ dynamiczny w trakcie ewolucji
w czasie wykonuje odwzorowanie dyskretne. Można się
Już jednak pobieżna analiza 24-godzinnego sze-
o tym przekonać, wykonujÄ…c przekrój Poincarégo tra- regu czasowego interwałów RR wskazuje na niestacjo-
jektorii fazowej i obserwując odwzorowanie punktów
narność badanych zjawisk. Ponadto, wtrącenia w po-
na tym przekroju przy kolejnych obiegach przestrzeni
staci skurczy ektopicznych powodują zakłócenia ( ar-
fazowej przez trajektoriÄ™ [1,2]. W wielu przypadkach
tefakty ) w widmie mocy, co całkowicie uniemożliwia
otrzymane tÄ… drogÄ… odwzorowanie ma charakter krzy-
ocenę stanu układu autonomicznego u ludzi z aryt-
wej drugiego stopnia z pojedynczym maksimum.
mią (dopiero w ostatnich latach usiłuje się stosować
analizÄ™ falkowÄ… [17], co przynosi bardzo interesujÄ…ce
rezultaty).
3. Zmienność rytmu serca
W wielu stanach patologicznych, jak również
Pompowanie krwi w sercu rozpoczyna się od skur- w trakcie wysiłku, rytm serca zmniejsza swoją zmien-
czu przedsionków. Skurcz ten inicjowany jest w wyspe- ność. Stwiedzono przy tym w wielokrotnie, że średnie
cjalizowanej tkance (naturalny rozrusznik), tzw. węz
le odchylenie standardowe interwałów RR u ludzi zagro-
zatokowym. Chociaż węzeł ten jest oscylatorem o wła- żonych nagłym zatrzymaniem krążenia i u tych, u któ-
snej częstości charakterystycznej [15,16], to jego dzia- rych ryzyko to jest niskie, przyjmuje bardzo podobne
łanie modyfikowane jest przez wiele czynników, z któ- wartości. Na przełomie lat osiemdziesiątych i dzie-
rych najważniejsze jest pobudzenie ze strony autono- więćdziesiątych XX w. rozpoczęto poszukiwania no-
micznego układu nerwowego. Potencjał czynnościowy wych metod analizy szeregów czasowych, które z jednej
węzła zatokowego, niezależnie od swego wpływu na strony byłyby odporne na niestacjonarność badanych
przedsionki serca, przenoszony jest specjalną drogą zjawisk, a z drugiej uwzględniłyby niewątpliwą nieli-
przewodzenia do następnego naturalnego rozrusznika, niowość układu regulacji rytmu serca [18].
jakim jest węzeł przedsionkowo-komorowy. Po odpo-
wiednim opóz
nieniu potrzebnym dla właściwego zsyn-
4. Dynamika nieliniowa rytmu serca
chronizowania pracy przedsionków i komór, pobudze-
nie przekazywane jest za pomocą układu His-Purkinje
Chociaż od wielu lat tworzy się matematyczne
do dolnego krańca komór. Rozpoczyna się wtedy
modele zjawisk fizjologicznych [15,16,4], to główny
skurcz komór. Wszystkie fazy depolaryzacji tkanek
nacisk badań nad zastosowaniami metod dynamiki
serca (związanej z ich skurczem) oraz następującej po
nieliniowej do diagnostyki medycznej położony jest
nich fazy repolaryzacji (zwiÄ…zanej z rozkurczem) reje-
na analizę szeregów czasowych. Ważną metodą po-
struje się na powierzchni ciała w trakcie badania EKG.
zwalającą praktycznie stosować teorię chaosu do da-
Opisany rytm serca nazywany jest zatokowym ze nych doświadczalnych jest odtwarzanie trajektorii fa-
względu na ośrodek, który go inicjuje. Tkanka serca zowej układu z szeregu czasowego jednej zmiennej x(t)
jest jednak ośrodkiem aktywnym. Z tego względu może za pomocą twierdzenia Takensa o współrzędnych
dojść  z różnych przyczyn, w tym również na skutek opóz
nionych [7,1,2]. Twierdzenie to wykazuje istnie-
zmian chorobowych  do uaktywnienia się patologicz- nie dyfeomorfizmu między rzeczywistą trajektorią fa-
nego, dodatkowego (ektopicznego) rozrusznika serca. zową a trajektorią opisaną we współrzędnych {x(t),
Skurcz taki rozpoznaje siÄ™ po morfologii (tj. ksztaÅ‚- x(t + Ä), . . . , x(t + (m - 1)Ä)}, gdzie m 2D jest wy-
170 POST
PY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002
MATERIAA
Y XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH  TORUC
2001  WYKA
ADY SEKCYJNE
miarem zanurzenia, gdy D jest liczbą stopni swobody hormonów we krwi (noradrenaliny oraz dopaminy 
ukÅ‚adu, zaÅ› Ä jest staÅ‚Ä…. W badaniach nad zmiennoÅ›ciÄ… zwiÄ…zek tej ostatniej ze zmiennoÅ›ciÄ… rytmu serca wy-
rytmu serca bardzo istotne znaczenie mają prace nad kazaliśmy jako pierwsi) [9,25,28].
uogólnieniem twierdzenia o zanurzaniu Takensa na sze- Dyskusja nad stochastycznymi bądz
determini-
regi interwałów czasu pomiędzy charakterystycznymi stycznymi przyczynami zmienności rytmu serca jest
wydarzeniami w trakcie ewolucji układu [19,20]. nadzwyczaj aktualna. W tym kontekście wykazanie
przez nasz zespół intermitencji typu I według klasyfika-
Zastosowanie współrzędnych opóz
nionych zamie-
cji Pomeau Manneville a w rytmie serca ludzi, u któ-
nia szereg czasowy w obiekt geometryczny, któremu
rych wystepuje arytmia oraz u chorych na kardiomio-
można przypisać różne miary złożoności. W literatu-
patię, u których rytm jest zatokowy bez arytmii, wy-
rze przedmiotu znajduje się wiele przykładów zasto-
daje siÄ™ istotnym argumentem za tym drugim typem
sowania analizy fraktalnej trajektorii fazowej rytmu
procesu dynamicznego [29]. Udało się również zmierzyć
serca [17,21 23]. Krytycy użycia do oceny zmienności
bezpośrednio fragment odwzorowania iterowanego od-
rytmu serca bardzo rozpowszechnionej w teorii chaosu
powiedzialnego za intermitencjÄ™ rytmu serca.
analizy fraktalnej zwracajÄ… uwagÄ™ na istotne meryto-
Mamy nadzieję, że zmierzone przez nas odwzoro-
ryczne trudności, jakie się z tym wiążą [9,10]. Przede
wanie, jak również wyniki naszych niezależnych badań
wszystkim, matematycznie fraktal jest obiektem zdefi-
nad wpływem opóz
nienia na odwzorowania iterowane
niowanym z nieskończoną dokładnością i w granicy nie-
pozwolą na sformułowanie fizycznego modelu obserwo-
skończenie wielu elementów zbioru. Wyznaczenie ska-
wanych przez nas zjawisk fizjopatologicznych w rytmie
lowania z odpowiednią dokładnością nie jest możliwe
serca człowieka.
w przypadku istotnego poziomu szumu, jaki występuje
w zapisie EKG  szczególnie w tej jego odmianie, która
obejmuje całą dobę (częstość próbkowania 128 Hz lub Literatura
256 Hz). Z tych samych przyczyn rzetelne wyznacze-
[1] E. Ott, Chaos w układach dynamicznych (WNT,
nie wymiaru fraktalnego wymaga dostatecznie wielu
Warszawa 1997).
danych. Tymczasem w przypadku oceny zmienności
[2] H.G. Schuster, Chaos deterministyczny  wprowadze-
rytmu serca albo wektor danych jest krótki (1000 2000
nie (PWN, Warszawa 1993).
interwałów RR w tzw. krótkich rejestracjach EKG),
[3] G.L. Baker, J.P. Gollub, Wstęp do dynamiki układów
albo też danych jest dostatecznie wiele (rzędu 105 in-
chaotycznych (PWN, Warszawa 1998).
terwałów  zapis całodobowy), ale wtedy, z założenia,
[4] J. Gleick, Chaos  tworzenie nowej nauki (Zysk i S-ka,
badany układ jest niestacjonarny i użycie analizy frak-
Poznań 1996).
talnej budzi daleko idące wątpliwości.
[5] I. Stewart, Czy Bóg gra w kości  nowa matematyka
chaosu (PWN, Warszawa 1994).
We współpracy z dr n. med. Wandą Popław-
[6] G.M. Zaslavsky, Postępy Fizyki 52, 113 (2001).
ską i doc. dr hab. n. med. Rafałem Baranowskim
[7] H.D. Abarbanel, Analysis of observed chaotic data
z Instytutu Kardiologii w Aninie prowadzimy ba-
(Springer, N.Y. 1996).
dania nad zastosowaniem metod teorii chaosu do
[8] H. Kantz, T. Schreiber, Nonlinear time series analysis
oceny ryzyka wystąpienia nagłego zatrzymania krą-
(Cambridge University Press, Cambridge 1997).
żenia. Dotychczas zbadaliśmy ponad 400 dwudziesto-
[9] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski, Phys.
czterogodzinnych zapisów EKG rytmu serca. Wycho-
Rev. E 50, 4187 (1994); W. Popławska, J.J. Żebrow-
dząc z trójwymiarowego przedstawienia trajektorii in-
ski, R. Baranowski,  Nieliniowa analiza rytmu za-
terwałów RR we współrzędnych opóz
nionych, stworzy-
tokowego , w: Zmienność rytmu serca (Via Medica,
liśmy miary złożoności [9,24,25] wywodzące się bądz

Gdańsk 1995).
z entropii Shannona [1,9], bÄ…dz
z dynamiki symbo- [10] Nonlinear Analysis of Physiological Data, red.
licznej [1,2,24]. Pierwsza grupa ma charakter miar H. Kantz, J. Kurths, G. Mayer-Kress (Springer, Ber-
lin 1998).
statystycznych i jest niewrażliwa na kolejność wy-
[11] Handbook of Chaos Control, red. H.G. Schuster (Wi-
korzystania dostępnych dla układu interwałów RR.
ley-VCH, Weinheim 1999).
Druga grupa miar  wywodzÄ…ca siÄ™ z dynamiki sym-
[12] L.M. Pecora, T.L. Carroll, G.A. Johnson, D.J. Mar,
bolicznej  jest czuła na złożoność sekwencji interwa-
J.F. Heagy, Chaos 7, 520 (1997).
łów RR. Jak się wydaje [24], miary te nie odzwiercie-
[13] J. Hołyst,  Metody fizyki w ekonomii i socjologii ,
dlają tych samych procesów dynamicznych zachodzą-
Postępy Fizyki 50 (1999), zeszyt dodatkowy, s. 56.
cych w układzie regulacji zmienności rytmu serca. Jako
[14] F.E. Yates, Math. and Comp. Mod. 19, 49 (1994).
pierwsi zastosowaliśmy też dynamikę nieliniową do
[15] B.J. West, Fractal physiology and chaos in medicine
analizy procesów repolaryzacji zachodzących w tkance
(World Scientific, Singapore 1990).
serca (analiza szeregów czasowych odcinków QT zapisu
[16] L. Glass, M.C. Mackey, From clocks to chaos  the
EKG) [24 27]. Głównymi naszymi wynikami są: poka-
rhythms of life (Princeton U. Press, Princeton 1988).
zanie wysokiej czułości statystycznej oraz specyficzno-
[17] Z. Struzik, Fractals 9, 77 (2001).
ści proponowanych przez nas metod oceny ryzyka na- [18] C.S. Poon, C.K. Merrill, Nature 389, 492 (1997).
głego zatrzymania krążenia i wykazanie silnej korelacji
[19] R. Hegger, H. Kantz, Europhys. Lett. 38, 267 (1997).
wprowadzonych przez nas miar złożoności z poziomem [20] R. Castro, T. Sauer, Phys. Rev. E 55, 287 (1997).
POST
PY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002 171
MATERIAA
Y XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH  TORUC
2001  WYKA
ADY SEKCYJNE
[21] J.E. Skinner, M. Molnar, C. Tomberg, Integr. Physiol. [26] R. Baranowski, J.J. Żebrowski, W. Popławska,
Behav. Sci. 29, 217 (1994). M.A. Mananas, R. Jane, P. Caminal, L. Chojnow-
[22] G. Schmidt i in., PACE 19, 976 (1996). ska, W. Rydlewska-Sadowska, X. Vinolas, J. Guindo,
[23] S. Garde, M.G. Regalado, V.L. Schechtman, A. Bayes de Luna, Computers in Cardiology (1995),
M.C. Khoo, Am. J. of Phys.  Heart & Circ. Phy- s. 789.
siol. 280, H2920 (2001). [27] R. Baranowski,  Analiza odstępu QT w rejestracji
[24] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski, EKG metodą Holtera , rozprawa habilitacyjna (Bibl.
T. Buchner, Chaos, Solitons & Fractals 11, 1061 Kardiologiczna Inst. Kard. w Warszawie, 2000).
(2000). [28] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski,
[25] J.J. Żebrowski, W. Popławska, R. Baranowski, T. Buchner, Nonlinear Analysis 30, 1007 (1997).
T. Buchner, Acta Phys. Pol. B 30, 2547 (1999). [29] J. Żebrowski, Acta Phys. Pol. B 32, 1531 (2001).
172 POST
PY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002