Zadania z termodynamiki (I i II zasada).
Odcinek 3.
3. Dany jest odwracalny cykl termodynamiczny przedstawiony na rysunku, który wykonują
2/R mole He (traktować jako gaz doskonały). Znane parametry stanu zamieszczone są
w tabeli 1. Obliczyć pozostałe parametry stanu (uzupełnić tabelę 1) oraz obliczyć wartości
w, q, "u, "h i "s dla kolejnych przemian (A, B, C, D), czyli wypełnić tabelę 2. Cykl
przedstawić (narysować) w układzie P=f(V).
Stan P [Pa] T [K] V [m3] Przemiana q w "u "h "s
1 375 0,01 A
2 0,02 B
3 250 C
4 D
Cykl
RozwiÄ…zanie:
Najlepiej rozpocząć od ustalenia, jakiego rodza-
ju przemianami sÄ… A, B, C i D, co powinno po-
móc w naszkicowaniu cyklu w układzie współ-
rzędnych P=f(V). Przemiany A (12) i C (34)
to niewątpliwie izotermy, zatem uzupełniamy
tabelÄ™ 1 o T2 i T4. Dla przemian B (23) i D
(41) widzimy, że: V2/V3 = T2/T3 i V4/V1 = T4/T1
(obie leżą na prostej T = k·V, przechodzÄ…cej
przez 0), a zatem są to izobary (przecież jeśli pamiętamy, że P2V2=nRT2 i P3V3=nRT3, to po
podzieleniu stronami i przegrupowaniu wyjdzie nam, że P2/P3 = 1, a to samo jest oczywiście
prawdziwe dla P4 i P1).
Możemy uzupełniać kolejne pozycje tabelki 1. Rozpoczniemy od obliczenia P1 = P4 =
nRT1/V1 = 2/R·R·380/0,01 = 75000 Pa oraz P2 = P3 = nRT2/V2 = 2/R·R·375/0,02 = 37500 Pa.
BrakujÄ…ce objÄ™toÅ›ci: V3 = V2·T3/T2 = 0,02·250/375 = 1,33·10 2 m3; V4 = V1·T4/T1 =
0,01·250/375) = 6,67·10 3 m3. Znamy wiÄ™c wszystkie parametry gazu we wszystkich czterech
stanach.
Możemy przystąpić do obliczania zmian funkcji termodynamicznych.
Przemiana A:
"uA = 0 i "hA = 0, ponieważ "TA = 0
Przemiana jest odwracalna, zatem: wA = nRTAln(V1/V2) = 2·375·ln0,5 =  519,86 J
Z I zasady termodynamiki wynika, że: qA =  wA = 519,86 J.
1
Pozostaje obliczenie "s.
Z definicji entropii: ds = dq/T = (du  dw)/T = (du  PdV)/T
Ponieważ dwa dowolne stany na płaszczyz
nie P-V (w poniższym wyprowadzeniu indeksy 2, A
i B mają inne znaczenia niż w całym zadaniu) zawsze można połączyć jedną izochorą i jedną
izotermÄ… (od TpVpPp do TkVpP2 drogÄ… A i od TkVpP2 do TkVkPk drogÄ… B) dla 1 mola gazu do-
skonałego:
CV R CV R CV R
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"S = S - S = dT + dV = dT + dV + dT + dV =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
k p
+" +" +"
T V T V T V
)" íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
)" )"
AB A B
Tk Vk
CV R Tk Vk
dT + dV = CV ln + R ln
+" +"
T V T V
p p
T V
p p
ëÅ‚
Tk Vk öÅ‚
÷Å‚
"s = sk - s = n"S = nìÅ‚ CV ln + R ln
ZaÅ› dla dowolnej liczby moli:
p
ìÅ‚ ÷Å‚
T V
p p
íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem, wracajÄ…c do zadania, dla przemiany A (izotermy):
"sA = nRln(V2/V1) = 2·ln2 = 2·0,69315 = 1,3863 J/K
Przemiana B:
"uB = nCv"TB = 2/R·3/2·R(T3  T2) = 3(250  375) =  375 J
"hB = nCp"TB = 2/R·5/2·R(T3  T2) = 5(250  375) =  625 J
wB =  PB(V3  V2) =  37500·(4/3·10 2  6/3·10 2) =  37500( 2/3·10 2) = 250 J
qB = "uB  wB =  375  250 =  625 J (to z I zasady) lub qB = "hB =  625 J (bo izobara)
"sB = n[CVln(T3/T2)+Rln(V3/V2)] = 2/R[3/2·Rln(250/375)+Rln(2/3)] = 2/R[5/2·Rln(2/3)] =
5·ln(2/3) = 5· 0,405465 =  2,0273 J/K
Przemiana C:
"uC = 0 i "hC = 0, ponieważ "TC = 0
wC = nRTCln(V3/V4) = 2·250·ln2 = 346,57 J
qC =  wC =  346,57 J
"sC = nRln(V4/V3) = 2·ln0,5 = 2· 0,69315 =  1,3863 J/K
Przemiana D:
"uD = nCv"TD = 2/R·3/2·R(T1  T4) = 3(375  250) = 375 J
"hD = nCp"TD = 2/R·5/2·R(T1  T4) = 5(375  250) = 625 J
wD =  PD(V1  V4) =  75000·(3/3·10 2  2/3·10 2) =  75000(1/3·10 2) =  250 J
qD = "uD  wD = 375  ( 250) = 625 J (to z I zasady) lub qD = "hD = 625 J (bo izobara)
"sD = n[CVln(T1/T4)+Rln(V1/V4)] = 2/R[3/2·Rln(375/250)+Rln(3/2)] = 2/R[5/2·Rln(3/2)] =
5·ln(3/2) = 5·0,405465 = 2,0273 J/K
Po wpisaniu wszystkich wyników w tabelę 2 i zsumowaniu dla cyklu widać, że I zasada jest
spełniona także dla całego cyklu, a funkcje stanu, zgodnie z ich definicją, dla cyklu nie zmie-
niają się (ich zmiany są równe zeru).
Stan P [Pa] T [K] V [m3] Przemiana q [J] W [J] "u [J] "h [J] "s [J/K]
1 75000 375 0,01 A 519,86  519,86 0 0 1,3863
2 37500 375 0,02 B  625 250  375  625  2,0273
3 37500 250 0,0133 C  346,57 346,57 0 0  1,3863
4 75000 250 0,00667 D 625  250 375 625 2,0273
Cykl 173,29  173,29 0 0 0
2
Ostatecznie przeniesienie wykresu cyklu do układu współrzędnych P=f(V) wygląda następu-
jÄ…co:
© W.Chrzanowski 2005
3