1. Obliczyć wartość siły H naciągającej przewód trakcji dla założonej odległości l między podporami
2
q ��l
Wartość siły naciągającej przewód obliczamy ze wzoru H =�
8 f
dla założonej odległości l między wieszakami możemy obliczyć maksymalną strzałkę ugięcia f oraz sprawdzić naprężenia w
max
qmax �� l2
przewodzie na podstawie wzoru
fmax =�
8 �� H
2. Obliczyć naprężenia w przewodzie trakcji dla założonej odległości l między podporami
Gdy punkty zawieszenia leżą na różnych poziomach to po podstawieniu do wzoru
q �� l2
H =�
dla x = - a oraz x = b otrzymujemy odpowiednio
2
2(� f1 +� f2)�
2
q ��l
q �� l2
Dla y x=a = f oraz
H =�
f =�
8H 8 f
mając dane q , l i f można obliczyć siłę i naprężenia w cięgnach.
Warunek wytrzymałości cięgien o znanym przekroju porzecznym F
H q ��l2
s� =� =� Ł� kr
r
F 8 f �� F
3. Równania równowagi  dla płaskiego i przestrzennego układu sił
by dowolny płaski układ sił znajdował się w równowadze zarówno wektor główny R jak i moment główny M muszą być równe zeru.
Zatem składowe wektora R oraz suma momentów względem dowolnego punktu muszą być równe zeru. Warunki równowagi w
przypadku płaskiego układu sił sprowadzają się do spełnienia układu równań.
n n
n
��M =� 0
iA
��P =� 0 ��P =� 0
ix iy
i=�1
i=�1 i=�1
Powyższe równania nazywamy równaniami równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił.
4. Tarcie i prawa tarcia.
1. Wartość siły tarcia nie zależy od wielkości stykających się powierzchni, ale od ich rodzaju (rodzaj powierzchni, stan
chropowatości itp.)
2. Wartość siły tarcia T zależy od nacisku normalnego i zawiera się w granicach
0 Ł� T Ł� Tmax =� m� �� N
3. Zwrot siły tarcia jest przeciwny do zamierzonego kierunku ruchu
W przypadku ciała, którego wymiary są pomijalnie małe, tak że można je sprowadzić do punktu materialnego siły działające na ciało
można w przybliżeniu potraktować jako układ sił zbieżnych. Równania równowagi, na podstawie których oblicza się współczynnik
tarcia m� dla ciała umieszczonego na równi nachylonej pod kątem a� mają postać
n n
=� 0 �� T =� Q ��sina� =� 0 �� N =� Q ��cosa�
��Pix ��Piy
i=�1
i=�1
m� =� tga�
T =� m� �� N �� Q �� sina� =� m� �� Q �� cosa� skąd
Jeżeli kąt a� jest zmienny i równia jest nachylona pod takim kątem a�, przy którym ciało zaczyna się zsuwać, wówczas kąt ten
nazywamy granicznym, a tangens a� jest równy współczynnikowi tarcia m�. Schemat ten wyjaśnia sens fizyczny współczynnika tarcia.
Wówczas równania równowagi dla ciała, leżącego na równi nachylonej pod kątem a� mają postać
n n
n
h
ć� ��
=� 0 �� T =� Q ��sina� =� 0 �� N =� Q ��cosa� =� 0 �� N �� e =� Q �� sina� ��
�� ��
��M iC
��Pix ��Piy
2
Ł� ł�
i=�1
i=�1
i=�1
h
ć� ��
e =� �� tga�
�� �� ��
2
Ł� ł�
m� =� tga�
T =� m� �� N �� Q �� sina� =� m� �� Q �� cosa� oraz
5. Środek sił równoległych - środki ciężkości.
Środek sił równoległych w odniesieniu do sił masowych nazywamy środkiem ciężkości. Dzieląc ciało na małe elementy o ciężarze
D�G oraz wykorzystując równania sum momentów względem osi x, y i z otrzymujemy odpowiednio.
i
n
n
�� xi =� G �� xc
��M =� 0 �� D�G1 �� x1 +� D�G2 �� x2 +� .... +� D�Gn �� xn =�
ix
��D�Gi
i=�1
i=�1
n
n
�� yi =� G �� yc
��M =� 0 �� D�G1 �� y1 +� D�G2 �� y2 +� .... +� D�Gn �� yn =�
iy ��D�Gi
i=�1
i=�1
6. Tw. Guldina  Pappusa
1. Powierzchnia boczna bryły obrotowej utworzonej przez obrót płaskiej linii wokół osi leżącej w płaszczyz
nie tej linii jest
F =� 2p� �� xc ��l
iloczynem drogi środka ciężkości tej linii (2p�x ) pomnożonej przez jej długość.
c
2. Objętość bryły obrotowej powstałej wskutek obrotu figury płaskiej dookoła osi leżącej w płaszczyz
nie tej figury jest równa
V =� 2p� �� xc �� F
iloczynowi drogi środka ciężkości (2p�x ), powierzchni figury(F), przez jej powierzchnię.
c
7. Naprężenia dopuszczalne
Naprężenia dopuszczalne, tzn. takie, które zapewniają bezpieczną pracę konstrukcji oblicza się na podstawie prób rozciągania lub
ściskania.
Re
Rm
kr =� [MPa]
(14.1)
kr =� [MPa]
n1
n
Natomiast naprężenia dopuszczalne na ściskanie materiałów plastycznych otrzymujemy po podzieleniu granicy plastyczności R
e
przez współczynnik bezpieczeństwa n
1
Re
kc =� [MPa]
(14.2)
n1
Podobnie naprężenia dopuszczalne na ściskanie dla materiałów kruchych (żeliwa, betonu) otrzymujemy po podzieleniu
wytrzymałości na ściskanie R przez odpowiedni współczynnik bezpieczeństwa n .
c c
RC
kc =� [MPa]
(14.3)
nc
Umowna granica plastyczności  R  jest to naprężenie po osiągnięciu, którego powstaje odkształcenie trwałe równe 0.2 %
0.2
długości początkowej.
Umowną granicę plastyczności obliczamy na podstawie badań wg wzoru
P0.2
R0.2 =� [MPa]
(14.4)
F0
Gdzie: P  jest siłą odpowiadającą odkształceniu trwałemu e� = 0.2 %
0.2 tr
F  jest pierwotnym przekrojem poprzecznym próbki
0
8. Prawo Hooke a.
Podstawowym równaniem określającym zależność między naprężeniami s� i odkształceniami e� jest prawo Hooke a. Prawo to znane
z fizyki zapisujemy w postaci prostych wzorów.
Pl s� ��l
albo (15. 2)
D�l =� D�l =�
EF E
D�l s�
ponieważ to lub (15. 3)
e� =� e� =� s� =� e� �� E
l E
gdzie: P  jest siłą rozciągającą
l  długością początkową, D�l  wydłużeniem pręta
F  pierwotnym przekrojem poprzecznym próbki
 E  jest stałą charakteryzującą sprężystość materiału, nazywaną modułem sprężystości lub modułem Younga.
Moduł Younga E określany jako współczynnik charakteryzujący sprężystość materiału może kojarzyć się z liczbą
bezwymiarową, tymczasem stała ta ma wymiar naprężenia. Jeżeli pręt o długości l będzie rozciągany naprężeniami s� = E,
s� ��l
ć� ��
D�l =� =� l
wówczas jego wydłużenie obliczone na postawie prawa Hooke a wynosi �� ��
E
Ł� ł�s� =�E
9. Zastosowanie podstawowych zasad mechaniki do obliczeń trakcji elektrycznych
Zasady obliczania sił w cięgnach (np. przewodach napowietrznych) opierają się na przyjęciu pewnych założeń upraszczających:
1. Dla cięgien silnie napiętych przyjmujemy, że kształt linii zwisu nie jest linią łańcuchową lecz parabolą.
2. Ponieważ cięgno ma być silnie napięte zatem jego długość mierzona po łuku niewiele będzie się różniła od cięciwy.
3. Ciężar cięgna przypadający na jednostkę długości q [N/m] traktujemy jako ciężar rzutu linii łańcuchowej na poziom i
obliczamy wg wzoru
G
q =�
l
gdzie G  jest ciężarem cięgna, l  rozpiętością między podporamiw dowolnym punkcie cięgna siła
naciągu będzie skierowana wzdłuż stycznej do linii łańcuchowej .
10. Momenty bezwładności figur płaskich
Momentem bezwładności figury o polu F względem osi z nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól dF przez kwadraty
JZ =� y2dF
��
F
odległości od danej osi i zapisujemy całką
1. prostokąt o wymiarach b i h
a) Układ współrzędnych poprowadzono przez boki prostokąta.
h
b �� h3
J =� y2dF =� y2 ��bdy =�
Z
�� ��
3
F 0
b) a) Układ współrzędnych poprowadzono przez środek ciężkości prostokąta
h
h
2
b �� yc 3 2 bh3
J =� yc 2dF =� yc 2 �� bdy =� =�
ZC
�� ��
3 12
h
h
F
-�
-�
2
2
2. trójkąt o wymiarach b i h
h
b(y) b b b �� h3
b
=�
�� dF =� b( y)dy =� (h -� y)dy J =� y2dF =� y2 �� (h -� y)bdy =�
Z
�� ��
h -� y h
h
h 12
F 0
3. koło o promieniu r
p�
2 4 4
p� �� r p� �� d
2
J =� y2dF =� 2 ��sinj�)2 �� r cos2 j� �� dj� =� =�
ZC
�� ��(r
4 64
p�
F
-�
2
4. półkole o promieniu r
p�
2 4
p� �� r
2
J =� y2dF =� 2 ��sinj�)2 �� r cos2 j� �� dj� =�
Z
�� ��(r
8
F 0
11. Obliczanie belek na zginanie
Siłą normalną N w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy wypadkową rzutów na kierunek normalnej do płaszczyzny
przekroju (zwykle osi belki) wszystkich sił zewnętrznych i reakcji więzów działających na część belki odciętą tym przekrojem.
Siłą tnącą T w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy wypadkową rzutów na kierunek prostopadły do normalnej do
płaszczyzny przekroju (zwykle prostopadły do osi belki) wszystkich sił zewnętrznych i reakcji więzów działających na część belki
odciętą tym przekrojem.
Momentem gnącym M w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości
g
przekroju) wszystkich sił zewnętrznych i reakcji więzów działających na część belki odciętą tym przekrojem
równanie różniczkowe linii ugięcia belki
2
M
d y
g
=� -�
dx2 EJz
Maksymalne naprężenia przy zginaniu występują we włóknach skrajnych i wynoszą
M
g
s� =� �� ymax
max
J
z
Naprężenia te muszą być mniejsze od dopuszczalnych, zatem muszą spełniać warunek
s� Ł� k
max g
Naprężeniami dopuszczalnymi na zginanie (lub na rozciąganie) nazywamy naprężenia, zapewniające bezpieczną pracę konstrukcji,
oblicza się je ze wzoru
Rm
kg =�
n
W praktycznych obliczeniach wprowadzono pojęcie wskaz
nika przekroju. Wskaz
nikiem przekroju nazywamy iloraz momentu
bezwładności względem osi centralnej przez maksymalną odległość od osi przechodzącej przez środek ciężkości (z ) do włókien
c
skrajnych.
J
zc
Wz =�
ymax
Wówczas maksymalne naprężenia przy zginaniu obliczamy wg wzoru
M M
g g
s� =� �� ymax =� Ł� kr
max
J Wz
z
12. Skręcanie wałów o przekroju kołowym
Całkowity moment skręcający jest sumą momentów elementarnych i można go obliczyć na podstawie całki
dj� dj�
2 2
M =� G �� r� �� dF =� G ��
s
�� ��r� dF
dx dx
F F
dj� M
dj�
s
=�
albo
M =� G �� �� Jo
s
dx G �� Jo
dx
M
s
t� =� �� r�
wzór na naprężenia przy skręcaniu
r�
Jo
Maksymalne naprężenia przy skręcaniu występują we włóknach skrajnych dla r� = r
max
i wynoszą
M M Jo
s s
t� =� �� r�max =� Wo =�
gdzie
max
Jo Wo r�max
M ��l
s
j� =�
G �� Jo
gdzie J  jest biegunowym momentem bezwładności
o
l - jest długością pręta