Spis treści
1.Przyrząd pomiarowy & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..& & & .& & .& 2
2.Najczęściej stosowane przyrządy pomiarowe w hydraulice i pneumatyce (klasy
dokładności, zakresy wskazań, zakresy pomiarowe)& & & & & & & & & & & & .& ..& 5
3.Błędy i niepewności pomiarów fizycznych& & & & & & & & & & & & & & & & ..& 9
4.Przenoszenie niepewności (błędów) pomiarów& & & & & & & & & & & & & & & ...11
5.Statystyczne ujęcie błędów i niepewności przypadkowych& & & & & & & & & & & 14
6.Definicje sprawności pompy hydraulicznej i silnika hydraulicznego& & & & & & .& .17
7.Przykład obliczenia sprawności całkowitej oraz błędu sprawności całkowitej pompy
hydraulicznej& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ...18
8.Przykład obliczenia sprawności całkowitej oraz błędu sprawności całkowitej silnika
hydraulicznego& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ....24
9.Korelacja, aproksymacja (regresja) wyników pomiarów, metoda najmniejszych
kwadratów& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..29
10.Literatura& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 47
1
1. Przyrząd pomiarowy
Przyrząd pomiarowy jest to narzędzie służące do przetwarzania wielkości mierzonej
albo jednej spośród innych wielkości związanych z wielkością mierzoną na wskazanie lub
inną równoznaczną informację (otrzymany wynik pomiaru jest najczęściej w postaci
wizualnej).
A) Podział przyrządów pomiarowych.
B) Własności metrologiczne przyrządów pomiarowych.
Własności metrologiczne przyrządów pomiarowych określają przydatność przyrządów
do przeprowadzania pomiarów, za pomocą których można określić z wymaganą dokładnością
w wymaganym zakresie wartości mierzonej wielkości.
C) Zespół najważniejszych cech charakteryzujących przyrządy pomiarowe analogowe i
cyfrowe:
a) Klasa dokładności
Klasa dokładności przyrządu pomiarowego jest to przyjęta wartość liczbowa,
odpowiadająca ilorazowi błędu granicznego "Xmax charakteryzującego dany przyrząd
2
pomiarowy do górnej granicy zakresu wskazań tego przyrządu. Klasę dokładności przyrządu
można wyznaczyć za pomocą następującego wzoru:
"Xmax
kl := �"100%
Z
gdzie:
"Xmax  dopuszczalny maksymalny bezwzględny błąd pomiaru w dowolnym
punkcie zakresu pomiarowego;
Z  górna granica zakresu wskazań przyrządu(pełne wychylenie miernika)
Najstarsza, najprostsza, ale w przypadku niezbyt skomplikowanych przyrządów
pomiarowych dość efektywna metoda. Polega ona na klasyfikacji dokładnościowej
przyrządów pomiarowych. Każdy przyrząd podlegający takiej klasyfikacji zalicza się do
określonej klasy. Dla danej klasy wprowadza się w odpowiednich normach nieodzownie
wymagania, głównie dokładnościowe. Wymaga się wówczas, aby błąd przyrządu w
warunkach znamionowych mieścił się w określonych granicach, a przy zdefiniowanej zmianie
tych warunków nie zwiększał się ponad inne, też określone granice. Przyrząd pomiarowy
spełniający wymagania uzyskuje oznaczenie odpowiedniej klasy. Niekiedy oznaczenie to
odnosi się do wartości dopuszczalnego błędu w warunkach znamionowych.
Klasy dokładności przyrządów pomiarowych analogowych i cyfrowych:
Dla elektromechanicznych przyrządów wskazówkowych (np. woltomierzy,
amperomierzy) ustalono klasy 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1,5 i 2,5, a dla przyrządów wskazówkowych
(np. ciśnieniomierzy) klasy 0,6 ; 1 ; 1,5 ; 1,6 ; 2 ; 2,5 i 4 (wg PN-84/M-42332) . Wartości te
odpowiadają kolejno 0,1% , 0,2% , & . 2,5% oraz 0,6%, 1%, & 4% górnej wartości granicy
wskazań, czyli maksymalny błąd względny w dowolnym punkcie zakresu skali, jaki mógłby
być popełniony przy pomiarze danym przyrządem. Wymienione wyżej wskaz
niki klas
oznaczają maksymalne dopuszczalne procentowe różnice pomiędzy wskazaniami przyrządu a
wartością rzeczywistą mierzonej wielkości stwierdzane w warunkach znamionowych.
b) Działka elementarna
Działka elementarna jest to najbardziej widoczna zewnętrzna cecha przyrządów
analogowych. W szczególnym rozumieniu działka elementarna jest to odległość pomiędzy
dwiema sąsiadującymi kreskami podziałki przyrządów analogowych. W przyrządach
cyfrowych działka elementarna odpowiada różnicy pomiędzy dwiema kolejnymi cyframi,
stojącymi na ostatnim polu odczytowym.
3
c) Zakres wskazań
Zakres wskazań przyrządu jest to wartość wielkości mierzonej, zawartej pomiędzy
granicznymi wartościami wskazań. Wyróżniamy górną i dolną granicę zakresu wskazań.
Górną granicę wskazań cechuje największa wartość podziałki i analogicznie dolną granicę
zakresu wskazań cechuje najmniejsza wartość podziałki.
Przyrządy cyfrowe nie mają jednoznacznie określonego zakresu wskazań, gdyż zależy
on od typu i konstrukcji przyrządu. Bywa również, że zakres wskazań jest nieograniczony. W
przypadku przyrządów analogowych na przykład liczników rolkowych zakres pomiarowy jest
ograniczony przez liczbę rolek, natomiast w przypadku przyrządów cyfrowych
elektronicznych zakres wskazań jest praktycznie nieograniczony (od góry).
d) Zakres pomiarowy
Zakres pomiarowy jest to część zakresu wskazań, w której wyniki pomiaru są
obarczone błędem nie przekraczającym dopuszczalnego błędu granicznego (wynikającego z
klasy dokładności). Zakres pomiarowy może być co najmniej równy zakresowi wskazań,
jednak w większości przypadków jest od niego mniejszy. Zakres pomiarowy jest ograniczony
górną i dolną granicą. Górną granicę zakresu pomiarowego charakteryzuje taka wartość
wielkości mierzonej, powyżej której wskazania przyrządu mogą być obarczone błędem
większym od dopuszczalnego granicznego i analogicznie dolną granicę charakteryzuje taka
wartość wielkości mierzonej, poniżej której mierzenie w warunkach normalnych użytkowania
może być dokonane z błędem większym od dopuszczalnego granicznego (wynikającego z
klasy dokładności przyrządu pomiarowego).
e) Czułość przyrządu
Czułość przyrządu pomiarowego wyraża się iloczynem przyrostu obserwowanej zmiany
wskazań przyrządu "l do odpowiadającej temu przyrostowi zmiany wielkości mierzonej "q.
k = "l/"q
W przyrządach analogowych wartość "l mierzona jest w jednostkach długości
przeważnie w milimetrach, wzdłuż linii bazowej podziałki, a "q jest wyrażone w jednostkach
wielkości mierzonej. Stąd wynika, że czułości przyrządów pomiarowych mają wymiary
niejednoznaczne. Przykładowo czułość może być podana w [mm/V] , [mm/bar] itp.
W przyrządach typu cyfrowego, jako "q określa się przyrost wielkości mierzonej,
adekwatny zmianie o jednostkę wskazań cyfrowych. Czułość przyrządu zatem jest tym
większa, im przyrost "q jest mniejszy [1, 4].
4
2. Najczęściej stosowane przyrządy pomiarowe w hydraulice i
pneumatyce (klasy dokładności, zakresy wskazań, zakresy
pomiarowe):
A) CIŚNIENIOMIERZE
Przyrządy do pomiaru ciśnienia nazywamy poprawnie ciśnieniomierzami, chociaż
często stosuje się nazwę manometry. Ciśnienie definiuje p się jako stosunek siły dF, jaką płyn
wywiera na powierzchnię Da, do tej powierzchni p=dF/Da. W technicznych zastosowaniach
ciśnieniomierze i przetworniki ciśnienia uśrednia się całkowita siłę F, działającą na skończoną
powierzchnię A, wówczas p=F/A. Możemy wyróżnić następujące rodzaje przyrządów do
pomiarów ciśnienia:
a) Ciśnieniomierze hydrostatyczne:
" klasy dokładności: 1�1,6 (dla ciśnieniomierzy przemysłowych)
" niepewności pomiarów: ą0,5mm słupa cieczy manometrycznej, ą0,02
słupa cieczy dla mikromanometrów
" zakresy wskazań: w zależności od wysokości h i gęstości � oblicza się
ze wzoru P=�gh , maks. h=2,5m, �=1000kg/mł (woda), �=793,9kg/mł
(alkohol etylowy), �=2964kg/mł (czterobromek acetylenu),
�=13570kg/mł (rtęć)
b) Ciśnieniomierze obciążnikowo-tłokowe (wykorzystywane również jako
ciśnieniomierze różnicowe):
" niepewność zadawania ciśnienia: ą0,01�0,1%
" zakresy pomiarowe: 0,1�1000MPa, a w przypadku zastosowania
multiplikatora do 2500MPa
c) Ciśnieniomierze z elementem sprężystym:
" klasy dokładności: 0,05�0,1 (kontrolne ciśnieniomierze laboratoryjne),
0,4 - 0,6 - 1  1,6  2,5 (ciśnieniomierze przemysłowe)
" zakresy wskazań: 0�400Pa (puszkowe, membranowe), 0�60MPa (z
rurką Bourdona), do 1600MPa (specjalne)
d) Przetworniki z kompensacją ugięcia elementu sprężystego:
" klasy dokładności: 0,4�0,6
" niepewność całkowita na poziomie 0,5%
5
e) Tensometryczne przetworniki ciśnienia:
" niepewność pomiaru na poziomie 0,1%
" zakresy pomiarowe: do pomiaru niewielkich ciśnień różnicowych aż do
ciśnień absolutnych i nadciśnień do 25MPa
f) Pojemnościowe przetworniki ciśnienia:
" klasy dokładności: 0,2�0,5
" zakresy wskazań: 1kPa�25MPa
g) Piezoelektryczne przetworniki ciśnienia (do pomiarów dynamicznych ciśnień
szybkozmiennych, przetwarzanie ciśnienia na siłę przez membranę):
" klasy dokładności: 0,5�0,6
" zakresy wskazań: 1kPa(tytanian baru), 300MPa(kwarc),
700MPa(turmalin)
h) Przetworniki z wyjściem częstotliwościowym:
" niepewność pomiaru na poziomie 0,1%
" zakresy pomiarowe: do pomiaru niewielkich ciśnień różnicowych aż do
ciśnień absolutnych i nadciśnień do 25MPa
B) PRZEPA
YWOMIERZE
Najbardziej istotnym kryterium podziału przepływomierzy jest wielkość mierzona,
którą może być objętość lub masa płynu, strumień objętości lub masy płynu, a także prędkość
przepływu płynu. Najczęściej przyjmowany podział przepływomierzy jest według fizycznych
zasad ich działania:
a) Przepływomierze spiętrzające przepływ:
zwężkowe
" niepewność pomiaru: zwężka + przetwornik 1�2% (zakresu)
" zakres przepływów: 1�3*10^6[kg/h] - ciecz, 4�10^7[mł/h]  gaz
rurki spiętrzające, z rurkami uśredniającymi ciśnienie dynamiczne
(ANNUBAR, INTROBAR)
" niepewność pomiaru: zwężka + przetwornik 1% (zakresu)
6
" zakres przepływów: od dołu przepływ jest ograniczony zbyt małym
spiętrzeniem "p, maksymalny mierzony przepływ jest praktycznie
nieograniczony
sondy piętrzące
dyskowe
b) Przepływomierze pływakowe (ROTAMETRY):
" niepewność pomiaru: 1�2% (zakresu)
" zakres przepływów: 10^-2�2*10ł[kg/h] - ciecz, 10^-3�3*10ł[mł/h] 
gaz
c) Przepływomierze tachometryczne (TURBINOWE):
" niepewność pomiaru: 0,2�1% (wartości mierzonej)
" zakres przepływów: 0,1�5*10^5[kg/h] - ciecz, 0,1�5*10^5[mł/h]  gaz
d) Przepływomierze elektromagnetyczne:
" niepewność pomiaru: 0,5�1% (wartości mierzonej)
" zakres przepływów: 10^-2�3*10^5[kg/h]  ciecz
e) Przepływomierze ultradz
więkowe:
" niepewność pomiaru: poniżej 1% (wartości mierzonej)
" zakres przepływów: 2�10^5[kg/h]  ciecz, 3�10^6[mł/h]  gaz
f) Przepływomierze komorowe:
" niepewność pomiaru: 0,2�0,5% (wartości mierzonej)
" zakres przepływów: 0,01�3*10ł[kg/h]  ciecz, 0,01�3*10^4[mł/h] 
gaz
g) Przepływomierze siłowe (CORIOLISA):
" niepewność pomiaru: poniżej 0,2% (wartości mierzonej)
" zakres przepływów: 5�5*10^5[kg/h]  ciecz
h) Przepływomierze cieplne:
" niepewność pomiaru: poniżej 2% (wartości mierzonej)
7
" zakres przepływów: 3*10^-4�0,03[mł/h]  gaz
i) Przepływomierze wirowe (VORTEX):
" niepewność pomiaru: 0,5�1% (wartości mierzonej)
" zakres przepływów: 200�2*10^5[kg/h]  ciecz, 10�5*10^5[mł/h]  gaz
j) Przepływomierze inne (optyczne, korelacyjne)
C) PRZYRZ
DY DO POMIARU MOMENTU OBROTOWEGO:
a) Pomiar bezpośredni momentu obrotowego:
przetworniki tensometryczne momentu obrotowego (pomiar
odkształceń sprężystych wału)
przetworniki indukcyjne momentu obrotowego
przetworniki magnetosprężyste
przetworniki rezystancyjne
przetworniki piezoelektryczne
Przetworniki momentu obrotowego osiągają klasę dokładności 0,2
b) Pomiar pośredni momentu obrotowego ( na podstawie wyznaczenia reakcji
utwierdzenia)
D) PRZYRZ
DY DO POMIARU PR
DKOŚCI OBROTOWEJ:
a) Pomiary prędkości bezkontaktowe:
pomiar prędkości obrotowej z wykorzystaniem czujników
impulsowych (reluktancyjne, indukcyjne, pojemnościowe,
hallotronowe, kontaktorowe, komutatorowe, fotoelektryczne)
" niepewność pomiarów: około 0,2%
" zakres pomiarowy: do 30000 [obr/min]
pomiar prędkości obrotowej z wykorzystaniem stroboskopu
" niepewność pomiarów: do 3% ( zależna od klasy dokładności
generatora impulsów zapłonowych)
b) Pomiary prędkości kontaktowe:
pomiar prędkości obrotowej prądnicami tachometrycznymi
8
" niepewność pomiarów: około 0,1%
" zakres pomiarowy: 20 � 20000 [obr/min] [2,3]
3. Błędy i niepewności pomiarów fizycznych
Podczas dokonywania pomiarów mamy do czynienia z dwiema wartościami wielkości
mierzonej. Jedną stanowi wartość rzeczywista wielkości mierzonej, która wynosi Xrz, zaś
druga wartość wielkości mierzonej X różniąca się od Xrz powstaje, na skutek niedoskonałości
przyrządów pomiarowych, niedoskonałości zmysłów obserwatora a także wpływu czynników
zewnętrznych.
A) Błąd bezwzględny pomiaru "Xrz
Bład bezwzględny pomiaru - jest to różnica pomiędzy niewiadomą wartością
rzeczywistą a wartością otrzymaną w wyniku pomiaru
"Xrz = X  Xrz
W przyrządach analogowych (wskazówkowych) całkowity błąd
bezwzględny zawiera dwie składowe
gdzie z  zakres pomiarowy przyrządu pomiarowego
kl  klasa dokładności przyrządu pomiarowego
do  dokładność odczytu wskazania pomiaru
9
B) Błąd względny pomiaru �
Błąd względny pomiaru - błąd bezwzględny pomiaru pewnej wielkości odniesiony do
jej wartości rzeczywistej
Ponieważ nie znamy ani wartości rzeczywistej, ani też błędu rzeczywistego, zadaniem
wykonującego pomiary i opracowującego wyniki pomiarów jest określenie przedziału X
ą"X, w którym znajdować się będzie z dużym prawdopodobieństwem wartość rzeczywista
Xrz.
Podział błędów (niepewności) pomiarów ze względu na charakter
występowania.
a) Błędy systematyczne
Błędy systematyczne są to błędy wynikające z niedokładności wykonania lub
konstrukcji przyrządów pomiarowych, rodzaju metody pomiaru. Mogą posiadać tę samą
wartość lub zmieniającą się w sposób wykazujący prawidłowość wraz ze zmianą warunków
pomiaru. Czynniki jakie wpływają na powstanie błędów systematycznych to niedokładność
wzorcowania, niedokładność wykonania skali, przesunięcie zera skali, zawodność zmysłów i
nieuwaga odczytującego, niewłaściwe warunki zewnętrzne pracy przyrządów, takie jak
temperatura, ciśnienie, wilgotność, itp. Jakość przyrządów określa podawana przez
producenta klasa przyrządu (omówiona w treści wyżej). Jeżeli przyrząd jest prawidłowo
skonstruowany, to wynikający błąd z jego klasy nie powinien przewyższać wartości jednej
działki skali przyrządu. Wartość najmniejszej działki lub błędu wynikającego z klasy
przyrządu (może stanowić część działki) nosi nazwę dokładności odczytu.
b) Błędy przypadkowe
Błędy przypadkowe są to błędy występujące wówczas, gdy przy kolejnych
powtórzeniach pomiaru tej samej wielkości w tych samych warunkach uzyskuje się różniące
się od siebie rezultaty. Tego typu błędy są przeważające, tudzież dostrzegalne dla obserwatora
tylko wtedy, gdy błędy systematyczne są wystarczająco małe. Zauważalne są wówczas, gdy
wyniki kolejnych pomiarów oscylują w sposób przypadkowy wokół prawdziwej wartości.
Powodem pojawiania się błędów przypadkowych jest nieznany i przypadkowy wpływ
warunków zewnętrznych, odstępstwo przedmiotu od założenia np. przy pomiarze średnicy
danej części stawiamy założenie stałości wymiaru w każdym przekroju, tymczasem część
walcowa nie jest idealnym walcem, niedokładna ocena kolorów, natężenia światłą bądz

dz
więku. Nie jest możliwe całkowite wyeliminowanie błędów przypadkowych, ale jest
możliwe ich ograniczenie wykonując dokładniejsze pomiary i stosując szacowanie bazując na
rachunku prawdopodobieństwa.
10
c) Błędy grube
Błędy grube są to błędy, które powstają najczęściej w skutek pomyłek lub niedbalstwa
wykonującego pomiary. Przykładowo błędami grubymi mogą być złe odczyty lub/i zapisy
pomiarów, pomylenie rzędu wielkości danej wartości mierzonej (np. w milimetrach zamiast w
mikrometrach), złe obliczenia przy zmiennych zakresach przyrządów, itd. Tego rodzaju błędy
są wyraz
nie większe od błędów systematycznych i przypadkowych. Aby pozbyć się błędów
grubych należy powtórzyć pomiary kilkakrotnie. Należy pamiętać, że pomiary obarczone
takowymi błędami odrzuca się.
W rzeczywistości metodę pomiaru i aparaturę pomiarową dobiera się tak, aby
przodowały błędy przypadkowe, co jest stosunkowo proste. Jeżeli po dokonaniu
kilkakrotnych pomiarów w jednakowych warunkach otrzymane wyniki będą identyczne, to
mamy informację, że dominuje błąd systematyczny. Natomiast jeżeli wyniki będą się od
siebie różnić, a różnice istotnie przewyższać błędy systematyczne, to dominują wówczas
błędy przypadkowe [1].
4. Przenoszenie niepewności (błędów) pomiarów
Większość interesujących nas doświadczeń składa się z dwóch etapów,
bezpośredniego pomiaru i następującego po nim pomiaru pośredniego a dosłownie mówiąc
następujących po nim obliczeń. W takim bądz
razie ocena niepewności związanych z owymi
pomiarami dzieli się również na podobne dwa etapy. Mianowicie w pierwszej kolejności
należy ocenić niepewności pomiarów bezpośrednich, następnie zaś rozważyć, jak
poszczególne niepewności przenoszą się podczas obliczeń na niepewność ostatecznego
wyniku.
Reguły przenoszenia niepewności (błędów):
A) Niepewność sumy i różnicy
Jeżeli wielkości pomiarów bezpośrednich x i y są zmierzone z niepewnościami �x i �y,
a zależy nam na wyznaczeniu niepewności dowolnej sumy Z = x + y lub różnicy Z = x - y, to
niepewność �Z tej sumy lub różnicy równa jest sumie niepewności poszczególnych wartości x
i y dla obu przypadków:
�Z = �x + �y
dla niepewności przypadkowych:
Przykład 1:
11
 Pompa hydrauliczna tłoczy olej pod ciśnieniem P� =6,5 [MPa]. Niepewność pomiaru
tego ciśnienia wynosi ą 0,1[MPa]. Obliczyć niepewność bezwzględną i względną przyrostu
ciśnienia w pompie, jeżeli na króćcu ssawnym pompy panuje mierzone nadciśnienie P� =0,5 ą
0,1[MPa]:
P� = 0,5 [MPa] , �P� = 0,1 [MPa]
P� = 6,5 [MPa] , �P� = 0,1 [MPa]
"P = P� - P� = 6,5 MPa  0,5 MPa = 6 [MPa]
Niepewność bezwzględna różnicy:
�"P = �P� + �P� = 0,1 MPa + 0,1 MPa = 0,2 [MPa]
Niepewność względna różnicy:
Poprawny zapis wyniku:
"P = 6,0 ą 0,2 [MPa]
B) Niepewność iloczynu i ilorazu
Jeżeli wielkości pomiarów bezpośrednich x, y są zmierzone z niepewnościami �x, �y, a
zależy nam na wyznaczeniu niepewności dowolnego iloczynu Z = x�y lub ilorazu Z = x/y , to
niepewność względna �Z / lZl tego iloczynu lub ilorazu równa jest sumie niepewności
względnych poszczególnych wartości x i y dla obu przypadków:
dla niepewności przypadkowych:
Przykład 2:
12
Pojazd przebywa odcinek drogi S=8,50 ą 0,01 [km] w czasie t=6,00 ą 0,05 [min].
Obliczyć niepewność bezwzględną i względną prędkości V:
S = 8,50 [km], �S = 0,01 [km]
t = 6,00 [min], �t = 0,05 [min]
S
V:=
t
km
V = 1.4167
min
�S
= 0.0012
S
�t
= 0.0083
t
Względna niepewność ilorazu:
�S �t
+ = 0.0095
S t
Bezwzględna niepewność ilorazu:
�S �t
�ł �ł�"V
�V := +
�ł �ł
S t
�ł łł
km
�V = 0.0135
min
Lub
km km
V = 85 �V = 0.81
godz godz
Poprawny zapis wyniku:
V = 1,4167 ą 0,0135 [km/min]
lub
V = 85 ą 1 [km/godz]
13
C) Niepewność wyrażenia potęgowego:
Jeżeli wielkość pomiaru x, została zmierzona z niepewnością �x, a zależy nam na
wyznaczeniu niepewności dowolnego wyrażenia potęgowego Z=x , to niepewność względna
�Z / |Z| tego wyrażenia równa jest n razy większa niż niepewnoścć wartości x:
�Z �x
:= n�"
Z x
Przykład 3:
Oblicz niepewność względna i bezwzględna przyspieszenia ziemskiego g, znając czas
spadania kamienia t=1,6 ą 0,1[s] z wysokości h=13,9 ą 0,1 [m]:
t = 1,6 [s], �t = 0,1 [s]
h = 13,9 [m], �h = 0,1 [s]
2�"h m
g := g = 10.9
2 2
t s
Niepewności względne h i t:
�h �h
[%]
= 0.007 �"100 = 0.7
h h
�t �t
[%]
= 0.063 �"100 = 6.3
t t
Niepewność względna t� jest dwa razy większa niż niepewność względna t, zatem
niepewność przyspieszenia ziemskiego wyznaczamy stosując regułę dla iloczynu i ilorazu do
wzoru g=2h/t�:
oraz niepewność bezwzględna:
�h �t
�ł �ł�"g
�g := + 2�"
�ł �ł
h t
�ł łł
m
�g = 1.44
2
s
14
Poprawny zapis wyniku:
g = 10,9 ą 1,5 [m/s�] [6, oprac. K. D.]
5. Statystyczne ujęcie błędów i niepewności przypadkowych
Niepewności przypadkowe w przeciwieństwie do niepewności systematycznych mogą
podlegać obróbce statystycznej. Taki zabieg ma sens dla serii wyników x� , & , xn tej samej
wielkości mierzonej x.
Przy wykonywaniu dużej liczby pomiarów tej samej wielkości fizycznej otrzymujemy
różne wyniki. Niektóre z nich powtarzają się z różną częstością. Za częstość występowania
wyniku o wartości xi przyjmujemy stosunek ni/n, gdzie ni jest liczbą pomiarów dających
wynik xi, a n całkowitą liczbą pomiarów. Na ogół zależność ni/n od xi, przy dużej liczbie
pomiarów n (n "), jest określona rozkładem Gaussa, zwanym również rozkładem
normalnym (rys.1). Biorąc pod uwagę rozważania teoretyczne własności funkcji Gaussa oraz
fakt, że w praktyce laboratoryjnej wykonujemy zawsze skończoną liczbę pomiarów można
pokazać, że parametry rozkładu Gaussa charakteryzującego dany pomiar można jedynie
estymować. Mówiąc o statystycznym ujęciu błędów i niepewności przypadkowych należy
wprowadzić trzy ważne pojęcia, średnia x wartośi x� , & , xn , odchylenie standardowe
wartości x� , & , xn i odchylenie standardowe średniej. I tak:
A) Średnia wartość
Średnia wartość tzw. Wielkość najbardziej prawdopodobna, wartość najbardziej
zbliżona do prawdziwej, jest to najlepsze przybliżenie x oparte na zmierzonych wartościach
x� , & , xn , prościej jest to średnia arytmetyczna skończonej liczby pomiarów (estymacja
maksimum rozkładu Gaussa)
15
B) Odchylenie standardowe �x
Odchylenie standardowe wartości x� , & , xn charakteryzuje średnią niepewność
(błąd) pojedynczych zmierzonych wartości x� , & , xn . Wyrażenie to stanowi estymację
szerokości rozkładu Gaussa. Oznacza to, że wykonanie kolejnych, pojedynczych pomiarów
dostarczy nam wartości, które będą mieścić się z prawdopodobieństwem 0.683 w przedziale:
Interpretacja graficzna odchylenia standardowego w rozkładzie normalnym (Gaussa)
16
C) Odchylenie standardowe średniej (błąd pomiarowy)
Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej charakteryzuje niepewność (błąd)
wartości średniej jako najlepszego przybliżenia x. Błąd ten jest uzależniony od krotności
pomiarów n:
Tak obliczone odchylenie standardowe interpretujemy następująco: wykonując
kolejną serię n pomiarów i obliczając , możemy tę wartość znalez
ć w przedziale
z prawdopodobieństwem 0,683. Interpretacja taka jest równoznaczna ze stwierdzeniem,
że wartość rzeczywista mierzonej wielkości mieści się we wspomnianym przedziale właśnie z
prawdopodobieństwem 0,683.
Wartość i zależą od licznych pomiarów i maleją wraz z rosnącą ich liczbą.
Można jednak pokazać, że wzrost liczby pomiarów od dziesięciu do kilkudziesięciu tylko w
niewielkim stopniu wpływa na wartość niepewności. Istotną zmianę w wartościach
niepewności otrzymamy dopiero powyżej stu pomiarów. W laboratorium wykonuje się
zazwyczaj serie pomiarowe składające się z około dziesięciu pomiarów, ale w przypadku
liczby pomiarów mniejszej niż dziesięć, daje zaniżoną wartość niepewności. Chcąc
otrzymać jej poprawną wartość, należy pomnożyć prze tzw. Współczynnik rozkładu
Studenta-Fishera tną. Współczynnik tną zależy od liczby pomiarów n oraz przyjętego
poziomu ufności ą, a jego wartość można znalez
ć w odpowiednich tablicach. Poziom ufności
ą to prawdopodobieństwo, z jakim wyznaczony jest przedział
zawiera wartość rzeczywistą mierzonej wielkości. W laboratorium studenckim
przyjmuje się zazwyczaj poziom ufności 0,95 [6].
17
6. Definicje sprawności pompy hydraulicznej i silnika
hydraulicznego:
Sprawność całkowita pompy definiowana jest jako stosunek mocy oddanej przez pompę
(HYDRAULICZNEJ) do mocy doprowadzonej do pompy (MECHANICZNEJ). Sprawność
całkowitą pompy możemy wyrazić za pomocą następującego wzoru:
Qrz�""P
PH
�cp :=
�cp :=
PM Mrz�"�
Gdzie:
Qrz  rzeczywisty strumień natężenia przepływu uzyskany w wyniku pracy pompy
"P  przyrost ciśnienia w pompie
Mrz  moment rzeczywisty przyłożony do walu pompy
�  prędkość kątowa wału pompy
Sprawność całkowita silnika definiowana jest jako stosunek mocy oddanej przez silnik
(MECHANICZNEJ) do mocy doprowadzonej do silnika (HYDRAULICZNEJ). Sprawność
całkowitą silnika możemy wyrazić za pomocą następującego wzoru:
Mrz�"�
PM
�cs :=
�cs :=
PH Qrz�""P
Gdzie:
Qrz  rzeczywisty strumień natężenia przepływu dostarczony do silnika
"P  spadek ciśnienia w silniku
Mrz  moment rzeczywisty uzyskany na wale silnika
�  prędkość kątowa wału silnika [oprac. K.D.]
7. Przykład obliczenia sprawności całkowitej oraz błędu
sprawności całkowitej pompy hydraulicznej:
Przykład 4:
18
Rysunek 1 Pompa hydrauliczna
Dane:
[m^3/min]
Qp := 0.0798
6
[Pa]
p2 := 6.5�"10
[Pa]
p0 := 0
P := p2 - p0 6
[Pa]
P = 6.5 � 10
[Nm]
Mp := 81.1
[obr/min]
np := 2533
3
[1/s]
�p := Ą�"np �p = 7.958� 10
Obliczenie sprawności całkowitej pompy:
Qp�"P
�cp :=
Mp�"�p
Qp�"P
[-]
�cp := �cp = 0.804
Mp�"Ą�"np
[%]
�cp100 := �cp�"100 �cp100 = 80.373
�cp =80,4[%]
Przykład obliczenia błędu wynikającego z klasy dokładności i dokładności odczytu
ciśnieniomierza (manometru) w laboratorium hydrauliki i pneumatyki:
19
[MPa]
zman := 24
[-]
klman := 0.2
[MPa]
doman := 0.1
klman
[MPa]
"Pod.i.kl := zman�" + doman "Pod.i.kl = 0.148
100
[Pa]
"Podcz.i.kl:= 150000
oraz pozostałe błędy wynikające z klasy dokładności i dokładności odczytu obliczone
w analogiczny sposób:
[m^3/min]
"Qp := 0.0001
[Nm]
"Mp := 0.5
[obr/min]
"np := 10
Obliczenie maksymalnego błędu sprawności pompy wynikającego z niepewności
systematycznych pomiaru pośredniego:
W pierwszej kolejności obliczamy pochodne cząstkowe:
20
P
d
�cp := �prim1
�prim1:=
dQp
Mp�"Ą�"np
Qp
d �prim2:=
�cp := �prim2
Mp�"Ą�"np
dP
Qp�"P
d �prim3:= -
�cp := �prim3
2
dMp Mp �"Ą�"np
Qp�"P
d �prim4:= -
�cp := �prim4
2
dnp Mp�"Ą�"np
�prim1:= 10.072
- 7
�prim2:= 1.237� 10
- 3
�prim3:= -9.91� 10
- 4
�prim4:= -3.173� 10
Podstawiając do wzoru otrzymamy błąd sprawności pompy wynikający z niepewności
systematycznych:
"�cp.sys := �prim1�""Qp + �prim2�""Podcz.i.kl + �prim3�""Mp + �prim4�""np
"�cp.sys = 0.028
[%]
"�cp.sys100 := "�cp.sys �"100 "�cp.sys100 = 2.768
"�cp.sys H" 2,8%
Obliczenie maksymalnego błędu sprawności pompy wynikającego z niepewności
przypadkowych pomiaru pośredniego:
n := 3
i := 1.. n
gdzie: n  liczba pomiarów
Wyniki pomiarów:
21
Qp := Mp := np :=
Pi :=
i i i
0.0798 6 81.5 2560
6.5�"10
0.0800 81.4 2550
6
6.5�"10
0.0797 80.5 2490
6
6.5�"10
Wartości średnie pomiarów �i :
n
n
Qp
"
Pi
i
"
i = 1
i = 1
�1 :=
�2 :=
n
n
6
�1 = 0.0798 �2 = 6.5 � 10
Qp.sr := �1 Psr := �2
6
[m^3/min] [Pa]
Qp.sr = 0.0798 Psr = 6.5 � 10
n n
Mp np
" "
i i
i = 1 i = 1
�3 := �4 :=
n n
3
�3 = 81.133 �4 = 2.533� 10
Mp.sr := �3 np.sr := �4
3
[Nm] [obr/min]
Mp.sr = 81.133 np.sr = 2.533� 10
gdzie: �1, �2, �3, �4 - wartości średnie pomiarów odpowiednio Qp, P, Mp, np
Obliczenie odchylenia standardowego �i (niepewności przypadkowe pomiarów
bezpośrednich):
22
n
2
�łQpi - Qp.sr�ł
"
�ł łł
[m^3/min]
i = 1
- 4
�1 := �1 = 1.53� 10
n - 1
- 4
[m^3/min]
"Qp.przyp := �1 "Qp.przyp = 1.53� 10
"Qp.przyp
- 5
"Qp.przyp.SR := "Qp.przyp.SR = 8.82� 10
[m^3/min]
n
n
2
(P - Psr)
"
i
i = 1
[Pa]
�2 := �2 = 0
n - 1
"Pprzyp := �2 "Pprzyp = 0
[Pa]
"Pprzyp
"Pprzyp.SR := "Pprzyp.SR = 0
[Pa]
n
n
2
�łMpi - Mp.sr�ł
"
�ł łł
i = 1
[Nm]
�3 := �3 = 0.55
n - 1
[Nm]
"Mp.przyp := �3 "Mp.przyp = 0.55
"Mp.przyp
[Nm]
"Mp.przyp.SR := "Mp.przyp.SR = 0.32
n
n
2
�łnpi - np.sr�ł
"
�ł łł
i = 1
[obr/min]
�4 := �4 = 37.86
n - 1
[obr/min]
"np.przyp := �4 "np.przyp = 37.86
"np.przyp
[obr/min]
"np.przyp.SR := "np.przyp.SR = 21.86
n
- 5
[m^3/min]
"Qp.przyp.SR = 8.82� 10
[Pa]
"Pprzyp.SR = 0
[Nm]
"Mp.przyp.SR = 0.32
[obr/min]
"np.przyp.SR = 21.86
23
Podstawiając do wzoru otrzymamy maksymalny błąd sprawności pompy wynikający z
niepewności przypadkowych pomiarów pośrednich:
2 2 2
"Qp.przyp.SR "Pprzyp.SR "Mp.przyp.SR "np.przyp.SR
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"�cp.przyp := + + +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Qp.sr Psr Mp.sr np.sr
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
- 3
"�cp.przyp = 9.5 � 10
[%]
"�cp.przyp100 := "�cp.przyp�"100 "�cp.przyp100 = 0.954
"�cp.przyp H" 1%
Obliczenie maksymalnego błędu sprawności pompy:
"�Cp := "�Cp = 0.029
("� )2 + ("� )2
cp.sys cp.przyp
[%]
"�Cp100:= "�Cp�"100 "�Cp100 = 2.9
"�cp H" 2,9%
Poprawny zapis sprawności pompy z uwzględnieniem niepewności jej obliczenia:
�cp =80,4% ą 3% [1,6, oprac. K.D.]
8. Przykład obliczenia sprawności całkowitej oraz błędu
sprawności całkowitej silnika hydraulicznego:
Przykład 5:
24
Rysunek 2 Silnik hydrauliczny
Dane:
[m^3/min]
Qs := 0.0798
6
[Pa]
p2 := 6.5�"10
[Pa]
p0 := 0
P := p2 - p0 6
[Pa]
P = 6.5 � 10
[Nm]
Ms := 75.1
[obr/min]
ns := 1540
3
[1/s]
�s := Ą�"ns �s = 4.838� 10
Ms�"�s
�cs :=
Qs�"P
Ms�"Ą�"ns
[-]
�cs := �cs = 0.7
Qs�"P
[%]
�cs100 := �cs�"100 �cs100 = 70.048
cs =70[%]
�
25
Obliczenie maksymalnego błędu sprawności silnika wynikającego z niepewności
systematycznych pomiaru pośredniego:
W pierwszej kolejności obliczamy pochodne cząstkowe:
d
Ms�"Ą�"ns
�cs := �prim1
�prim1:= -
dQs
2
Qs �"P
Ms�"Ą�"ns
d
�cs := �prim2
�prim2:= -
dP 2
Qs�"P
Ą�"ns
d
�cs := �prim3
�prim3:=
dMs Qs�"P
Ms�"Ą
d
�cs := �prim4
�prim4:=
dns Qs�"P
�prim1 = -8.778
- 7
�prim2 = -1.078� 10
- 3
�prim3 = 9.327� 10
- 4
�prim4 = 4.549� 10
Podstawiając do wzoru otrzymamy błąd sprawności silnika wynikający z niepewności
systematycznych:
"�cs.sys := �prim1�""Qs + �prim2�""Podcz.i.kl + �prim3�""Ms + �prim4�""ns
"�cs.sys = 0.026
[%]
"�cs.sys100 := "�cs.sys �"100 "�cs.sys100 = 2.625
"�cs.sys H" 2,7%
Obliczenie maksymalnego błędu sprawności silnika wynikającego z niepewności
przypadkowych pomiaru pośredniego:
26
n := 3
i := 1.. n
gdzie: n  liczba pomiarów
Qs := Ms := ns :=
Pi :=
i i i
0.0795 6 79.0 1570
6.5�"10
0.0790 75.4 1550
6
6.5�"10
0.0795 75.5 1495
6
6.5�"10
Wartości średnie pomiarów �i :
n
n
Qs
"
Pi
i
"
i = 1
i = 1
�1 :=
�2 :=
n
n
6
�1 = 0.0793 �2 = 6.5 � 10
Qs.sr := �1 Psr := �2
6
[m^3/min] [Pa]
Qs.sr = 0.0793 Psr = 6.5 � 10
n n
Ms ns
" "
i i
i = 1 i = 1
�3 := �4 :=
n n
3
�3 = 76.633 �4 = 1.538� 10
Ms.sr := �3 ns.sr := �4
3
[Nm] [obr/min]
Ms.sr = 76.633 ns.sr = 1.538� 10
gdzie: �1, �2, �3, �4 - wartości średnie pomiarów odpowiednio Qs, P, Ms, ns.
Obliczenie odchylenia standardowego �i (błędy przypadkowe pomiarów
bezpośrednich):
27
n
2
�łQsi - Qs.sr �ł
"
�ł łł
[m^3/min]
i = 1
- 4
�1 := �1 = 2.89� 10
n - 1
- 4
[m^3/min]
"Qs.przyp := �1 "Qs.przyp = 2.89� 10
"Qp.przyp
- 5
"Qs.przyp.SR := "Qs.przyp.SR = 8.82� 10
[m^3/min]
n
n
2
(P - Psr)
"
i
i = 1
[Pa]
�2 := �2 = 0
n - 1
"Pprzyp := �2 "Pprzyp = 0
[Pa]
"Pprzyp
"Pprzyp.SR := "Pprzyp.SR = 0
[Pa]
n
n
2
�łMsi - Ms.sr �ł
"
�ł łł
i = 1
[Nm]
�3 := �3 = 2.05
n - 1
[Nm]
"Ms.przyp := �3 "Ms.przyp = 2.05
"Ms.przyp
[Nm]
"Ms.przyp.SR := "Ms.przyp.SR = 1.18
n
n
2
�łnsi - ns.sr �ł
"
�ł łł
i = 1
[obr/min]
�4 := �4 = 38.84
n - 1
[obr/min]
"ns.przyp := �4 "ns.przyp = 38.84
"ns.przyp
[obr/min]
"ns.przyp.SR := "ns.przyp.SR = 22.42
n
28
- 5
[m^3/min]
"Qs.przyp.SR = 8.82� 10
[Pa]
"Pprzyp.SR = 0
[Nm]
"Ms.przyp.SR = 1.18
[obr/min]
"ns.przyp.SR = 22.42
Podstawiając do wzoru otrzymamy maksymalny błąd sprawności silnika wynikający z
niepewności przypadkowych pomiaru pośredniego:
2 2 2
"Qs.przyp.SR "Pprzyp.SR "Ms.przyp.SR "ns.przyp.SR
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"�cs.przyp := + + +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Qs.sr Psr Ms.sr ns.sr
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
"�cs.przyp = 0.021
[%]
"�cs.przyp100 := "�cs.przyp �"100 "�cs.przyp100 = 2.127
"�cs.przyp H" 2,2%
Obliczenie maksymalnego błędu sprawności silnika:
"�Cs := "�Cs = 0.034
("� )2 + ("� )2
cs.sys cs.przyp
[%]
"�Cs100 := "�Cs�"100 "�Cs100 = 3.4
"�cs H" 3,4%
Poprawny zapis sprawności silnika z uwzględnieniem niepewności jej obliczenia:
�cs =70% ą 4% [1, 6, oprac. K.D.]
29
9. Korelacja, aproksymacja (regresja) wyników pomiarów, metoda
najmniejszych kwadratów
A) Korelacja
Korelacja mówi nam o stopniu powiązania jednej zmiennej z drugą lub jednej zmiennej
z kilkoma innymi. Wskaz
nikiem ilościowym związku pomiędzy zmiennymi jest
współczynnik korelacji.
Współczynnik korelacji dla dwóch zmiennych:
- w odniesieniu do całej populacji definiujemy jako wyrażenie
-w odniesieniu do próby statystycznej definiujemy jako wyrażenie
Kowariancja z populacji:
Kowariancja z próby n-elementowej:
Po wstawieniu i prostym przekształceniu odpowiednich wyrażeń do wzoru
definicyjnego na współczynnik korelacji otrzymujemy następującą zależność:
30
Współczynnik korelacji może przyjmować wartości od -1 do 1. Gdy istnieje korelacja
idealna, wówczas współczynnik wynosi ą1. Brak zupełny korelacji jest dla wartości
współczynnika 0. Możemy spotkać taki przypadek, że przy założonym poziomie istotności
korelacja nie wystąpi pomimo otrzymania wartości współczynnika korelacji większej od zera.
W celu określenia istnienia korelacji, można wówczas wykorzystać znaną już zmienną t
Studenta, którą oblicza się według wzoru
gdzie n jest liczebnością próby, a k liczbą stopni swobody. Jeżeli po obliczeniu
zmiennej t oraz odczytaniu wartości krytycznej funkcji tn,ą z tablic Studenta zachodzi
nierówność t > tn,ą , to możemy stwierdzić istnienie korelacji pomiędzy zmiennymi z
prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącym ą. Analogicznie możemy postąpić
przy obliczaniu współczynnika korelacji �k,ą. Należy założyć konieczny poziom istotności i
odczytać relację pomiędzy współczynnikiem z tablicy i obliczonym. Jeżeli wartość odczytana
jest większa od wartości tablicowej przy danym ą, to z prawdopodobieństwem popełnienia
błędu nie większą niż ą można stwierdzić, że korelacji nie ma.
Przykład 6:
Wykonano pomiary prędkości obrotowej i obliczono odpowiadające poszczególnym
prędkościom sprawności całkowite silnika hydraulicznego (H50A, q=49,71 cm3 , Olej Total
Azolla 46, n=40cSt) dla spadku ciśnienia w silniku "P=16MPa. Otrzymano wyniki xi
(prędkość obrotowa silnika w obr/min), yi (sprawność silnika w %) zamieszczone w
kolumnach poniżej. Na poziomie istotności ą=0.01 sprawdzić, czy pomiędzy tymi
wielkościami istnieje korelacja liniowa.
31
n := 13
i := 1.. n
xi := yi :=
10 5.7
20 10.8
40 19.3
60 25.6
80 31.2
100 34.8
120 38.7
160 45.1
200 49.2
240 51.3
n n
280 51.4
3
xi = 1.99� 10 yi = 463.8
320 50.4
" "
360 50.3
i = 1 i = 1
gdzie
60
51.4
50
]
%
[
a
k
i 40
n
l
i
s
a
t
i
w
o
yi
30
k
l
a
c
c
s
o
n
20
w
a
r
p
S
10
5.7
0 50 100 150 200 250 300 350 400
10 xi 360
Predkosc obrotowa silnika n [obr/min]
Rysunek 3 �c= f(n) Sprawność całkowita silnika w funkcji prędkości obrotowej dla
spadku ciśnienia na silniku "P=16MPa
32
Poziom istotności: ą=0.01
Podstawiając odpowiednie dane z eksperymentu obliczamy współczynnik korelacji
n n n
n�" xi�"yi - xi�" yi
" " "
i = 1 i = 1 i = 1
r := r = 0.122
2 2
�ł łł �ł łł
n n n n
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
2 2
�ł �ł �ł �ł
�łn�" - xi śł�"�łn�" - xi śł
(x) (x)
" " " "
i i
�ł �ł �ł �ł
�ł śł �ł śł
i = 1 i = 1
�ł �łi = 1 łł �ł �ł �łi = 1 łł �ł
Następnie obliczamy wartość zmiennej t Studenta dla tego przykładu
r
t := �" n - 2 t = 0.408
2
1 - r
Wartość krytyczna zmiennej t Studenta odczytana z tablicy 1 dla ą=0,01 i k=n-2=11
stopni swobody wynosi . Nie zachodzi więc relacja t > , zatem
możemy stwierdzić, że nie zachodzi korelacja pomiędzy rozpatrywanymi zmiennymi.
Stosując drugi sposób przy założonym poziomie istotności ą=0,01 z tablicy 2
odczytujemy wartość krytyczną współczynnika korelacji , czyli nie
zachodzi nierówność .
33
Z porównania wynika, że wartość krytyczna jest większa od wartości obliczeniowej,
więc nie można stwierdzić istnienia korelacji liniowej pomiędzy wartościami prędkości
obrotowej silnika i jego sprawności całkowitej. W takim przypadku, jeżeli zastosujemy
regresję liniową, musimy liczyć się z faktem popełnienia bardzo dużego błędu.
Tabela 1. Wartości krytyczne testu t (Studenta) dla poziomu istotności ą = 0,05 oraz ą
= 0,01
Tabela 2. Dwustronne wartości krytyczne r(ą;n) współczynnika korelacji
34
B) Aproksymacja (regresja)
Aproksymacja (regresja) wyników pomiarów dotyczy związku pomiędzy zmiennymi.
Równanie wiążące obydwie zmienne nosi nazwę równania (funkcji) aproksymacji.
Jeżeli równanie opisuje linię prostą, to mówimy o aproksymacji (regresji) liniowej.
Dla par wyników równanie regresji liniowej przyjmuje postać
gdzie a i b są nazywane współczynnikami regresji liniowej. Geometrycznie reprezentują
one odpowiednio punkt przecięcia się prostej regresji z osią rzędnych dla wartości x=0, oraz
współczynnik nachylenia prostej do osi odciętych. Należy jednak obliczyć wartości
współczynników regresji w ten sposób, aby jak najlepiej dopasować prostą do punktów
pomiarowych. Temu celowi służy metoda najmniejszych kwadratów.
35
C) Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu minimum dla sumy kwadratów
odchyleń wartości pomiarowych (eksperymentalnych) od nieznanych (obliczanych) wartości
prawdziwych danych mierzonych wielkości.
W rezultacie pomiarów otrzymaliśmy pary wyników , i=1,& ,n. Przyjmujemy, że
równanie, za pomocą którego chcemy opisać związek pomiędzy x i y będzie wielomianem m-
tego rzędu.
Odległość "i pomiędzy wynikiem pomiaru yi, a wartością wynikającą z oszacowania
powyższym równaniem wynosi
W myśl zasady najmniejszych kwadratów należy tak dobrać współczynniki Ai, aby
funkcja E dążyła do minimum
Stanie się to wtedy, gdy pierwsze pochodne liczone względem nieznanych
współczynników będą się zerowały. Zatem otrzymamy układ m+1 równań liniowych z m+1
niewiadomymi:
& ..
36
Rozwiązanie powyższego układu równań ze względu na współczynniki Ai daje szukane
wartości z równania
Dla liniowej zależności pomiędzy zmiennymi x i y równanie to przyjmuje formę
Wówczas układ równań jest uproszczony do dwóch z niewiadomymi Ao i A1:
Po prostych przekształceniach wyznacza się wyrażenia na współczynniki Ao i A1:
n n n
n�" xi�"yi - xi�" yi
" " "
i = 1 i = 1 i = 1
A :=
1
2
n n
�ł �ł
2
�ł �ł
n�" - xi
(x)
" "
i
�ł �ł
i = 1
�łi = 1 łł
Zależność spełniają wszystkie pary wyników , wówczas również
spełniają ją wartości średnie . Wyraz wolny można zatem także wyliczyć ze związku
zaś odchylenia standardowe współczynników Ao i A� wyznacza się z równań:
37
Przykład 7 :  REGRESJA LINIOWA, REGRESJA KRZYWOLINIOWA
A) Przykład obrazujący regresję liniową
Dla danych z przykładu 6 obliczyć współczynniki regresji liniowej. Wykonać wykres
nanosząc punkty pomiarowe oraz prostą regresji liniowej.
B) Przykład obrazujący regresję krzywoliniową
Dla danych z przykładu 6 obliczyć współczynniki regresji krzywoliniowej. Wykonać
wykres nanosząc punkty pomiarowe oraz krzywą regresji krzywoliniowej.
Ad. A)
Podstawiając odpowiednie dane obliczamy współczynnik A� oraz wyraz wolny A� :
n n n
n�" xi�"yi - xi�" yi
" " "
i = 1 i = 1 i = 1
A1 := A1 = 0.12
2
n n
�ł �ł
2
�ł �ł
n�" - xi
(x)
" "
i
�ł �ł
i = 1
�łi = 1 łł
n n n n
2
�" yi - xi�" xi�"yi
(x)
" " " "
i
i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
A0 := A0 = 17
2
n n
�ł �ł
2
�ł �ł
n�" - xi
(x)
" "
i
�ł �ł
i = 1
�łi = 1 łł
Lub z równania
38
1 1
A0 := �"463.8- 0.12�" �"1990 A0 = 17
13 13
Odchylenia standardowe współczynników A� i A� :
n n n
2
- A1�" xi�"yi - A0�" yi
(y )
" " "
i
n i = 1 i = 1 i = 1
SA1 := �" SA1 = 0.02
n - 2 2
n n
�ł �ł
2
�ł �ł
n�" - xi
(x)
" "
i
�ł �ł
i = 1
�łi = 1 łł
n
1
2
SA0 := SA1�" �" SA0 = 3
(x)
"
i
n
i = 1
Wyniki końcowe można przedstawić w postaci:
A poszukiwane równanie ma postać:
gdzie � - sprawność silnika hydraulicznego, n  prędkość obrotowa silnika hydraulicznego
W celu wykonania i naniesienia wykresu regresji liniowej z wykorzystaniem
programu  MATHCAD równanie zapiszemy w następującej postaci:
Y1j := 0.12�" X1j + 17
39
**********************************************************************************************************
ORIGINa" 1
j := 1.. 13
1
X1j :=
1 18.2
Y1j := 0.12�" X1j + 17
10
2 19.4
20
3 21.8
40
4 24.2
60
5 26.6
80
6 29
100
Y1 =
7 31.4
120
8 36.2
160
9 41
200
240
10 45.8
280
11 50.6
320
12 55.4
360
13 60.2
70
60.2
60
]
%
[
50
a
k
i
n
l
i
s
a
yi 40
t
i
w
o
k
l Y1j
a
c
30
c
s
o
n
w
a
r
20
p
S
10
5.7
0 50 100 150 200 250 300 350 400
10 xi, X1j 360
Predkosc obrotowa silnika n [obr/min]
Wykres utworzony na podstawie punktów pomiarow ych
Wykres regresji liniowej (funkcja aproksymujaca)
Rysunek 4 Regresja liniowa sprawności całkowitej silnika w funkcji prędkości obrotowej dla
spadku ciśnienia na silniku P=16MPa
40
Ad. B)
W dotychczasowych rozważaniach ograniczono się do regresji liniowej. Jako że nie
można stwierdzić wymaganego związku funkcji aproksymującej (linowej) z otrzymaną
funkcją (krzywoliniową) wyznaczoną na podstawie punktów pomiarowych, należy
kontynuować poszukiwania funkcji aproksymującej takiej postaci, która najlepiej przybliży
kształt funkcji eksperymentalnej a tym samym będzie miała z nią związek fizyczny. W tym
celu jako funkcję aproksymującą należy przyjąć równanie kwadratowe w postaci wielomianu:
Równanie to w oparciu o metodę najmniejszych kwadratów pozwala na zapisanie układu
równań następującej postaci:
Przekształcając nieco powyższy układ otrzymujemy:
Rozwiązanie tego układu równań pozwala wyznaczyć poszukiwane współczynniki
A� ,A� ,A2 wielomianu:
za pomocą wzorów Cramera.
41
Kwadrat współczynnika korelacji krzywoliniowej jest postaci:
różnica ( ) oznacza odchylenie punktu pomiarowego od wartości średniej, zaś
odległość i-tego punktu pomiarowego od prostej
W przypadku regresji parabolicznej zachodzi związek
Uwzględniając powyższy związek wyrażenie na kwadrat współczynnika korelacji
krzywoliniowej można przekształcić do następującej postaci:
Zestawienie potrzebnych danych do obliczeń:
2 3
xi = yi = = =
(x) (x)
i i
3
10 5.7 100 1�10
3
20 10.8 400 8�10
40 19.3 1.6�10 3 6.4�10 4
5
60 25.6 3.6�10 3 2.16�10
5
80 31.2 6.4�10 3 5.12�10
4 6
100 34.8 1�10 1�10
4
120 38.7 1.44�10 1.728�10 6
4
160 45.1 2.56�10 4.096�10 6
4 6
200 49.2 4�10 8�10
4
240 51.3 5.76�10 1.382�10 7
4
280 51.4 7.84�10 2.195�10 7
320 50.4 1.024�10 5 3.277�10 7
360 50.3 1.296�10 5 4.666�10 7
n n n n
3 2 5 3 8
xi = 1.99� 10 yi = 463.8 = 4.701� 10 = 1.308� 10
(x) (x)
" " " "
i i
i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
42
4 2
= xi�"yi = �"yi =
(x) (x)
i i
4
1�10 57 570
3
1.6�10 5 216 4.32�10
6
2.56�10 772 3.088�10 4
1.296�10 7 1.536�10 3 9.216�10 4
4.096�10 7 2.496�10 3 1.997�10 5
8 3 5
1�10 3.48�10 3.48�10
2.074�10 8 4.644�10 3 5.573�10 5
6.554�10 8 7.216�10 3 1.155�10 6
3
1.6�10 9 9.84�10 1.968�10 6
3.318�10 9 1.231�10 4 2.955�10 6
6
6.147�10 9 1.439�10 4 4.03�10
1.049�10 10 1.613�10 4 5.161�10 6
1.68�10 10 1.811�10 4 6.519�10 6
n n n
4 10 4 2 7
= 3.937� 10 xi�"yi = 9.1197� 10 �"yi = 2.301993� 10
(x) (x)
" " "
i i
i = 1 i = 1 i = 1
gdzie
Podstawiając odpowiednie sumy otrzymujemy następujący układ równań:
a macierz współczynników ma postać:
13 1990 470100
�ł �ł
�ł �ł
A := 1990 470100 130825000
�ł �ł
470100 130825000 39365610000
�ł łł
oraz jej wyznacznik:
15
detA := A detA = 3.06998136 10
�
43
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, które dane jest wzorem:
Gdzie
463.8 1990 470100
�ł �ł
�ł �ł
A1 := 91197 470100 130825000
�ł �ł
23019930 130825000 39365610000
�ł łł
13 463.8 470100
�ł �ł
�ł �ł
A2 := 1990 91197 130825000
�ł �ł
470100 23019930 39365610000
�ł łł
13 1990 463.8
�ł �ł
�ł �ł
A3 := 1990 470100 91197
�ł �ł
470100 130825000 23019930
�ł łł
a ich wyznaczniki odpowiednio:
16
detA := A1 detA1 = 1.52796915 10
�
1
15
detA := A2 detA2 = 1.09201625 10
�
2
12
detA := A3 detA = -2.01636029 10
�
3 3
Z równania oblicza się poszukiwane wartości :
detA
1
z1 := z1 = 4.97712845
detA
detA
2
z2 := z2 = 0.35570778
detA
detA
3
z3 := z3 = -0.0006568
detA
44
które odpowiadają odpowiednio:
Paraboliczne równanie zależności �c= f(n) jest zatem następujące:
W celu wykonania i naniesienia wykresu regresji krzywoliniowej z wykorzystaniem
programu  MATHCAD równanie zapiszemy w następującej postaci:
2
Y2j := 4.977+ 0.356X2j - 0.0006568
�" �"
(X2 )
j
60
53.16388
ORIGINa" 1
j := 1.. 13
50
]
X2j :=
%
[
a
k
i 40
10 n
l
i
s
20
a
yi
t
i
w
40
o
30
k
l
Y2j
60 a
c
c
s
80
o
n
20
100 w
a
r
p
120
S
160
10
200
240
5.7
280
0 50 100 150 200 250 300 350 400
320
10 xi, X2j 360
360
Predkosc obrotowa silnika n [obr/min]
Wykres utworzony na podstawie punktów pomiarowych
Wykres regresji krzyw oliniow ej (funkcja aproksymujaca)
Rysunek 5 Regresja krzywoliniowa sprawności całkowitej silnika w funkcji prędkości obrotowej
dla spadku ciśnienia na silniku P=16MPa
45
Wstawiając wyliczone wartości do wzoru poniżej wyznaczymy współczynnik korelacji:
gdzie
n n
xi yi
" "
i = 1 i = 1
xsr := ysr :=
13 13
xsr = 153.077 ysr = 35.677
0.35520199.9+ (-0.0006568�"6248208.46
�" )
R := R = 0.993
3110.743
Wartość współczynnika korelacji parabolicznej R jest znacznie wyższa od
wartości współczynnika korelacji liniowej r, co przemawia na korzyść opisania funkcji
parabolą. [1, oprac. K.D.]
46
70
60.2
60
]
%
[
50
a
k
i
n
l
i
yi
s
a
40
t
i
w
Y2j
o
k
l
a
c
Y1j 30
c
s
o
n
w
a
r
p
20
S
10
5.7
0 50 100 150 200 250 300 350 400
10 xi, X2j, X1j 360
Predkosc obrotowa silnika n [obr/min]
Wykres utworzony na podstawie punktów pomiarowych
Wykres regresji krzyw oliniowej (funkcja aproksymujaca)
Wykres regresji liniowej (funkcja aproksymujaca)
Rysunek 6 Porównanie regresji liniowej i regresji krzywoliniowej z wykresem eksperymentalnym
sprawności całkowitej silnika w funkcji prędkości obrotowej dla spadku ciśnienia na silniku P=16MPa
47
10. Literatura:
1. Tadeusz Tolejko  Wstęp do opracowywania wyników pomiarów z przykładami
2. Janusz pospolita  Pomiary strumieni płynów
3. Mateusz Turkowski  Przemysłowe sensory i przetworniki pomiarowe
4. Jan Zakrzewski  Podstawy miernictwa dla kierunku mechanicznego
5. Jerzy Arendarski  Niepewność pomiarów
6. John R.Taylor (z ang. tłumaczyli Adam Babiński, Rafał Bożek)  Wstęp do analizy
błędu pomiarowego
48