Błędy pomiarowe
Każdy wynik pomiaru obarczony jest błędem pomiaru, który stanowi niezgodność wyniku pomiaru
z rzeczywistą wartością wielkości mierzonej. Głównymi z
ródłami błędów są m.in.:
- postępowanie pomiarowe, czyli metoda i sposób pomiaru, wpływy temperatury itp.,
- mierzony przedmiot i sposób odebrania o nim danych,
- przyrząd pomiarowy, który sam w sobie jest z
ródłem mniejszych lub większych błędów,
- nastawienie przyrządu pomiarowego i odczyt wartości wielkości mierzonej, czyli błędy spowodowane
w głównej mierze przez prowadzącego pomiar.
W zależności od z
ródła występowania błędów rozróżniamy:
- błędy systematyczne, pochodzące w głównej mierze od przyrządu pomiarowego i postępowania
pomiarowego, których występowanie można przewidzieć,
- błędy przypadkowe, których występowanie jest nieprzewidywalne i zupełnie przypadkowe,
- błędy nadmierne, powstające w wyniku nieprawidłowego wykonania pomiaru, których wartość znacznie
przekracza wartość błędów przypadkowych,
- błędy obserwacji, pochodzące w głównej mierze od prowadzącego pomiar, związane z błędem nastawienia
przyrządu pomiarowego oraz z błędem odczytania wskazania.
1
Pierwszym rezultatem przeprowadzenia pomiaru danej wielkości jest surowy wynik pomiaru xs, tzn. wynik
przed wyeliminowaniem błędów systematycznych.
Surowy wynik pomiaru jest wynikiem niepełnowartościowym, ponieważ konieczne jest przeprowadzenie
pewnej analizy, w wyniku której otrzyma się poprawiony wynik pomiaru xp z wyeliminowanymi błędami
systematycznymi.
Całkowicie określony wynik pomiaru obejmuje ponadto informację o niepewności wyniku pomiaru oraz
o wartościach wielkości wpływających, czyli o wielkościach wywierających wpływ na wartość wielkości mierzonej
lub na wskazanie przyrządu pomiarowego (np. temperatura).
W przypadku pojedynczego wskazania wynik pomiaru (surowy lub poprawiony) jest identyczny ze
wskazaniem, natomiast w przypadku serii pomiarów tej samej wielkości, tym samym przyrządem pomiarowym
i tą samą metodą pomiarową, wynik pomiaru stanowi średnią arytmetyczną wyników poszczególnych pomiarów:
n
1
x = xi
"
n
i =1
gdzie:
n  liczba pomiarów,
xi  kolejne wyniki pomiarów.
2
Wynik pomiaru można zapisać w następującej postaci:
xp - ep d" xrz d" xp + ep
gdzie:
ep  niepewność pomiaru, czyli przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem zawarta jest
rzeczywista wartość wielkości mierzonej,
xp  poprawiony wynik pomiaru z wyeliminowanymi błędami systematycznymi,
xrz  rzeczywista wartość mierzonej wielkości.
Błąd bezwzględny pomiaru to różnica pomiędzy wynikiem pomiaru x a wartością wielkości mierzonej xw
� = x - xw
gdzie za wartość wielkości mierzonej xw przyjmuje się najczęściej wartość poprawionego wyniku pomiaru xp lub
średnią arytmetyczną wyników serii pomiarów x .
p
Błąd względny pomiaru to iloraz błędu bezwzględnego i wartości wielkości mierzonej:
�
� = .
xw
3
Przykład
Pomiaru średnicy wałka dokonano przy pomocy mikrometru zewnętrznego otrzymując surowy wynik pomiaru
d1 = 18,564 mm. Następnie dokonano pomiaru średnicy wałka w tym samym miejscu przy pomocy optimetru
i płytek wzorcowych klasy 0, otrzymując wynik d2 = 18,5603 mm. W związku z tym, że błędy pomiaru optimetrem
i płytkami wzorcowymi są na tyle małe, że w tym określonym przypadku można je pominąć, wynik
d2 przyjmuje się jako poprawiony wynik pomiaru średnicy wałka.
Błąd bezwzględny pomiaru mikrometrem wynosi zatem:
� = x - xp = d1 - d2 = 18,564 -18,5603 = +0,0037 mm
� 0,0037
Błąd względny � = = = +0,0002
xp 18,5603
4
Błędy systematyczne
Błędy systematyczne są stałe lub zmieniają się wg określonego prawa podczas wielokrotnego powtarzania
pomiarów tej samej wielkości w warunkach praktycznie niezmiennych, czyli:
- pomiary wykonuje się tą samą metodą pomiarową,
- pomiary wykonuje się tym samym przyrządem pomiarowym,
- pomiary wykonuje ta sama osoba,
- pomiary wykonuje się w tym samym miejscu,
- podczas pomiarów panują niezmienne warunki (np. temperatura),
- pomiary są powtarzane w krótkim przedziale czasu.
W celu wyznaczenia błędu systematycznego należy przeprowadzić szczegółową analizę oddziaływania
wielkości wpływających na wynik pomiaru. Efektem takiej analizy jest określenie poprawki p, którą należy dodać
do surowego wyniku pomiaru xs w celu usunięcia błędu systematycznego czyli otrzymania wyniku poprawionego:
xp = xs + p
czyli poprawka p = xp  xs = -�.
Zatem poprawka to błąd bezwzględny ze znakiem  - .
5
Wartość błędu systematycznego można:
- obliczyć (np. obliczanie poprawki temperaturowej w stosunku do temperatury odniesienia to = 20�C),
- wyznaczyć doświadczalnie (np. poprzez wzorcowanie przyrządu pomiarowego i wyznaczenie odpowiedniej
poprawki),
- oszacować (np. producent szacuje błąd systematyczny przyrządu pomiarowego określając granice,
w których zawarty jest rzeczywisty błąd systematyczny zachodzący podczas pomiaru); oszacowane błędy
systematyczne traktowane są jako błędy przypadkowe, ponieważ zawierają pewien przedział niepewności
pomiaru.
6
Przykład  obliczanie błędu systematycznego
Obliczyć błąd systematyczny temperaturowy i poprawkę temperaturową podczas pomiaru stalowego pręta
o długości nominalnej L = 100 mm przy pomocy szklanego wzorca kreskowego. Temperatury mierzonego
przedmiotu i przyrządu pomiarowego są sobie równe i wynoszą 16�C.
Błąd systematyczny temperaturowy:
�t = L[ąp �"(tp - 20oC)- ąn �"(tn - 20oC)] mm
gdzie:
mierzona długość L = 100 mm,
temperatura przedmiotu i przyrządu tp = tn = 16�C,
współczynniki rozszerzalności cieplnej:
przedmiotu ąp= 11,5�10-6 [1/�C],
przyrządu ąn= 10,2�10-6 [1/�C].
Po podstawieniu błąd systematyczny temperaturowy wynosi:
�t = 100 �"10-6 �"[11,5 �"(16 - 20)-10,2 �"(16 - 20)]= -0,00052 mm
a poprawka temperaturowa:
pt = - �t = 0,00052 mm.
Podczas pomiaru odczytano wynik x = 100,0036 mm.
Wynik pomiaru z wyeliminowanym błędem temperaturowym wynosi:
xp = x + pt = 100,0036 + 0,00052 = 100,00412 mm.
7
Przykład  wyznaczanie doświadczalne błędu systematycznego
Wyznaczyć doświadczalnie błąd systematyczny podczas pomiaru wałka o średnicy nominalnej d = 20 mm przy
pomocy mikrometru zewnętrznego.
Podczas wzorcowania mikrometru przy pomocy płytek wzorcowych o długości nominalnej L = 20 mm mikrometr
wskazał wymiar xl = 20,025 mm. W związku z tym, że błąd płytki wzorcowej jest na tyle mały, że w tym
określonym przypadku można go pominąć, jako wartość wzorcowego wyniku pomiaru przyjmuje się długość
nominalną płytki wzorcowej, czyli xw = L = 20 mm.
Błąd bezwzględny pomiaru mikrometrem wynosi:
� = xl - xw = 20,025 - 20 = +0,025 mm
Poprawka p = -� = -0,025 mm.
Podczas pomiaru średnicy wałka mikrometrem uzyskano surowy wynik pomiaru xs = 20,03 mm.
Wynik pomiaru z wyeliminowanym błędem systematycznym (poprawiony wynik pomiaru):
xp = xs + p = 20,03 + (-0,025) = 20,005 mm.
8
W bardzo dokładnych pomiarach, kiedy należy uwzględnić wpływ wszystkich możliwych błędów
pomiarowych, należy dodatkowo m.in.:
- wyznaczyć niepewność wyznaczenia poprawki temperaturowej, związanej z niepewnościami pomiaru
temperatur przedmiotu i przyrządu pomiarowego oraz posługiwaniem się średnimi wartościami ich
współczynników liniowej rozszerzalności cieplnej,
- przyjąć oszacowany przez producenta błąd systematyczny przyrządu pomiarowego (np. płytki wzorcowej),
który wyrażony jest niepewnością pomiaru; dlatego oszacowane błędy systematyczne traktujemy jako błędy
przypadkowe.
Z powyższego wynika, że wprowadzenie poprawek do surowych wyników pomiarów nie likwiduje jednak
całkowicie błędów systematycznych, ponieważ poprawki te zostały również wyznaczone z pewnymi błędami.
Te błędy należy ostatecznie uwzględnić przy określaniu niepewności pomiaru, traktując je jako błędy
przypadkowe.
9
Błędy przypadkowe
Błędy przypadkowe powstają w wyniku sumowania się wielu bardzo drobnych błędów o wartościach
i znakach zmieniających się w poszczególnych pomiarach. Dlatego podczas wielokrotnych pomiarów tej samej
wielkości w warunkach praktycznie niezmiennych, błędy przypadkowe zmieniają się w sposób nieprzewidywalny.
Ogólnie przyjęto, że błędy przypadkowe rozkładają się z pewnym prawdopodobieństwem wg rozkładu
normalnego (rozkładu Gaussa) przy założeniu, że:
- błędy dodatnie i ujemne są równie prawdopodobne,
- prawdopodobieństwo popełnienia błędu małego jest większe od prawdopodobieństwa popełnienia błędu
dużego.
Krzywa rozkładu normalnego błędów przypadkowych:
y
-� �
0 x
�  odchylenie średnie jako miara rozrzutu błędów przypadkowych.
10
Przedział wartości, w którym z określonym prawdopodobieństwem zawarty jest błąd pomiaru, nazywany jest
niepewnością pomiaru ep. Wartość niepewności pomiaru umożliwia wyznaczenie dwóch wartości, pomiędzy
którymi zawarta jest rzeczywista wartość wielkości mierzonej. Na niepewność pomiaru składają się:
- błąd graniczny przypadkowy e,
- niepewność wyznaczenia poprawek epi, np. poprawki temperaturowej,
- oszacowane błędy systematyczne fj.
Niepewność pomiaru oblicza się więc z następującego wzoru:
m k
�# ś#
ep = ąś# e2 +
"e2 + "f 2 ź# .
pi j
ś# ź#
i =1 j =1
�# #
11
Doświadczalne wyznaczanie błędów przypadkowych (błąd graniczny przypadkowy)
W celu wyznaczenia błędów przypadkowych e należy dokonać serii pomiarów tej samej wielkości w warunkach
praktycznie niezmiennych i przyjąć za wynik pomiaru średnią arytmetyczną poszczególnych wyników.
Rzeczywista wartość wielkości mierzonej xrz zawarta jest wtedy z pewnym prawdopodobieństwem P
w przedziale:
t t
x - s d" xrz d" x + s .
n n
W pomiarach przemysłowych przyjmuje się P = 0,95.
Odchylenie średnie kwadratowe jednego pomiaru w danej serii pomiarów:
n
2
(xi - x)
"
i =1
s =
n - 1
Wynik kolejnego pomiaru xi (i = 1, 2, ... n).
12
Średnia arytmetyczna wyników serii pomiarów
n
1
x = xi
"
n
i =1
Liczba pomiarów w serii n (w warunkach przemysłowych n = 3).
Ostatecznie otrzymuje się, że niepewność średniej arytmetycznej wyników pomiarów (dla danego n i przy
t
założonym P) nie przekroczy granic ą s , gdzie dla n = 3 i P = 0,95 z tablic otrzymuje się wartości
n
t
współczynników t = 4,3 oraz = 2,5.
n
13
Obliczanie niepewności wyznaczania poprawek
Niepewność wyznaczenia poprawek oblicza się na podstawie odpowiednich wzorów. W przypadku poprawki
temperaturowej jej niepewność obliczyć można z następującego wzoru:
2 2 2 2
2 2
et = ąL (ąp �" �tp) + (ąn �" �tn ) + (tp - 20) �" �ąp + (tn - 20) �" �ąn ,
gdzie:
L  nominalna wartość mierzonej długości,
tp, tn  temperatura przedmiotu i przyrządu pomiarowego,
ąp, ąn  współczynniki rozszerzalności cieplnej przedmiotu i przyrządu pomiarowego,
�tp, �tn  niepewności pomiaru temperatury przedmiotu i przyrządu pomiarowego, oszacowana przez
producenta termometru,
�ąp, �ąn  niepewności pomiaru liniowych współczynników rozszerzalności cieplnej przedmiotu
i przyrządu pomiarowego, podane w odpowiednich tablicach.
14
Szacowanie błędów systematycznych
W przypadku przyrządów pomiarowych najczęściej ich producenci podają oszacowane graniczne błędy
systematyczne lub podają wzory stosowane do ich obliczenia. Tak oszacowane błędy przyrządu pomiarowego
stanowią część niepewności pomiaru.
Ponadto w odpowiednich tablicach zestawione są granice niepewności pomiaru przyrządu pomiarowego
w zależności od rodzaju przyrządu pomiarowego, od warunków temperaturowych oraz wielkości mierzonego
wymiaru.
Przykładowo:
Niepewność pomiaru ą ep wymiarów wewnętrznych suwmiarkami
w warunkach temperaturowych T28
Wymiar mierzony
ep [źm]
[mm]
wartość działki elementarnej
ponad do 0,1 mm 0,05 mm
1 160 100 100
160 200 130 100
200 315 140 120
315 400 160 130
400 500 180 140
T28
2  różnica temperatur przedmiotu i przyrządu pomiarowego,
8  odstępstwo temperatury przedmiotu od to = 20�C.
15
Do oszacowania błędów systematycznych przyrządu pomiarowego można zastosować również szereg wzorów
empirycznych.
Szacowanie błędu stosu płytek wzorcowych
fw = ą(0,1+ 0,075 �" n + 0,0015 �" Ls )�" 2k [źm],
gdzie:
n  liczba płytek wzorcowych w stosie,
Ls  długość stosu płytek wzorcowych,
k  klasa dokładności kompletu płytek wzorcowych.
Szacowanie dopuszczalnych błędów przyrządów mikrometrycznych
fw = ą (4 + A/50) [źm]
A  dolna granica zakresu pomiarowego.
Szacowanie dopuszczalnych błędów przyrządów suwmiarkowych
fs = ą (50 + L/10) [źm]
L  mierzony wymiar.
W pomiarach przemysłowych często za niepewność pomiaru ep przyjmuje się podane przez producenta
dopuszczalne błędy graniczne przyrządów pomiarowego. W tym przypadku nie trzeba wyznaczać błędów
przypadkowych, obliczać niepewności wyznaczania poprawek oraz szacować błędów systematycznych.
16
Błędy nadmierne
Przyczyną błędów nadmiernych może być niewłaściwe zastosowanie przyrządu pomiarowego,
nieprawidłowe odczytanie wskazania, błąd obliczeniowy czy zastosowanie uszkodzonego przyrządu
pomiarowego. Wartość tych błędów znacznie przekracza wartości popełnianych błędów przypadkowych, a jako
kryterium rozstrzygające o uznaniu błędu za nadmierny jest przekroczenie przez błąd pomiaru wartości ą 4s.
Sprawdzenia czy dany błąd jest błędem nadmiernym dokonuje się podczas doświadczalnego wyznaczania
błędów przypadkowych. Po obliczeniu odchylenia średniego kwadratowego jednego pomiaru w danej serii
pomiarów s należy sprawdzić, czy błędy pomiaru � = xi - x nie przekraczają wartości ą 4s; jeżeli tak to
i
odrzucamy ten wynik pomiaru ze względu na popełniony błąd nadmierny podczas jego wykonywania. Wtedy dla
zredukowanej liczby pomiarów obliczamy od nowa średnią arytmetyczną oraz odchylenie średnie kwadratowe.
17
Błędy obserwacji
Błędy obserwacji popełnia osoba dokonująca pomiaru. Błędy te dzielimy na:
- błędy nastawienia,
- błędy odczytania.
Błędy nastawienia powstają podczas pomiarów przyrządami optycznymi lub gdy istotnym czynnikiem
wpływającym na poprawność nastawienia przyrządu pomiarowego na mierzony wymiar jest obserwacja
optyczna. Do tych błędów można zaliczyć m.in. błąd pokrywania się kresek krzyża głowicy goniometrycznej
(kątowej) z krawędzią mierzonego przedmiotu lub błąd oceny braku prześwitu pomiędzy mierzonym
przedmiotem, stosem płytek wzorcowych a krawędzią liniału.
Okular mikroskopu warsztatowego oraz pomiar Pomiar wymiaru zewnętrznego z zastosowaniem
wymiaru zewnętrznego za pomocą mikroskopu płytek wzorcowych oraz liniału krawędziowego
18
Błędy odczytania powstają wskutek nieprawidłowego odczytania wskazania przyrządu pomiarowego przez
osobę dokonującą pomiaru. Do tych błędów należą:
- błędy interpolacji  błędy spowodowane niedokładną oceną wzrokową położenia wskazówki względem
dwóch sąsiednich wskazów, pomiędzy którymi znajduje się wskazówka; błąd interpolacji przyjmuje się
eint = ą 0,1 We,
Błąd interpolacji [1]
19
- błędy koincydencji  błędy spowodowane oceną koincydencji dwóch kresek; przyjmuje się ek = ą 0,02 mm,
Błąd koincydencji [1]
20
- błędy paralaktyczne  powstają wskutek istnienia odstępu pomiędzy wskazówką (noniuszem) a podziałką
i występują podczas odczytu wskazania z niewłaściwego kierunku; błąd ten oblicza się następująco:
0,2 �" d �"We
epar = ą
Le
gdzie:
d - wielkość odstępu,
We - wartość działki elementarnej,
Le - długosć działki elementarnej.
Literatura:
1. Jakubiec W., Malinowski J.: Metrologia wielkości geometrycznych. WNT, Warszawa 2004.
21