KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW. PLASTYCZNE
WYRÓWNANIE NAPR
ŻEC
I MOMENTÓW
Wykład 10
Wykład 10
PROJEKTOWANIE KONCEPCYJNE.
Koncepcja klasyczna (XIX w.)
Założenia teoretyczne  wg klasycznej mechaniki budowli:
- materiał jest liniowo sprężysty � = E �
- pręty są idealnie proste
- obciążenia przyłożone w osiach przekrojów
- konstrukcja traci nośność gdy naprężenia osiągną granicę
plastyczności choćby w jednym punkcie � d" kdop
KONCEPCJE WSPÓA
CZESNE
Budownictwo zróżnicowane
Założenia teoretyczne  wg teorii nośności granicznej:
- materiał jest nieliniowo sprężysto-plastyczny � = � (�)
- pręty są obarczone imperfekcjami geometrycznymi
- obciążenia działają na mimośrodach wstępnych
- konstrukcja traci nośność w stanie granicznym
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Nośność graniczna przekroju pręta zależy od:
1. Smukłości ścianek przekroju
wpływ stateczności miejscowej
2. Rodzaju przekroju (dwuteownik, ceownik, zetownik)
krzywe nośności granicznej w stanach złożonych
3. Schematu statycznego (belka swobodnie podparta, ciągła)
elasto- lub plastostatyka
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Smukłość ścianek przekroju �
UPN 200 262 Z 16
� = d/tw = 151/8,5 = 17,8 � = c/t = 260/1,6 = 162,5
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Wpływ smukłości ścianek na nośność przekroju
�m  średnie naprężenie ściskające ściankę,
f02  granica plastyczności (rzeczywista lub umowna)
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek przekrojów stalowych � = c/t
(kryterium klasy przekroju stalowego wg PN-EN 1993-1-1)
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek stalowych
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek stalowych
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek stalowych
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości �i ścianek ze stopów Al
Podparcie �1 �2 �3
ścianki
A B C A B C A B C
Krawędz
3� 2,5 � 2 � 4,5 � 4 � 3 � 6 � 5 � 4 �
swobodna
swobodna
Na całym 11 � 9 � 7 � 16 � 13 � 11 � 22 � 18 � 15 �
obwodzie
A  stopy ulepszone cieplnie nie spawane
B  stopy ulepszone cieplnie spawane lub nie ulepszone cieplnie nie spawane
C  stopy nie ulepszone cieplnie spawane
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek
" Parametr � dla ścianek stalowych:
235
�=
fy
fy
" Parametr � dla ścianek ze stopów Al:
250
�=
f02
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
1. Twierdzenie 1 o plastycznym wyrównaniu naprężeń w
przekroju zginanym momentem MS lub ścinanym siłą
S
poprzeczną VS:
MRd = Mpl = Wplfd
VRd = Vpl = 0,58Aplfd
gdzie
fd = fy/łMo
fd = fy/łMo
Wpl = S1 + S2 = 2S
Apl = AvH"th
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Dowód: warunki równowagi sił w przekroju:
ŁN = 0
d
+"�dA=0+"f dA=0fd+"dA=0
A A A
czyli oś obojętna dzieli przekrój na 2 równe części
ŁM = 0
d
+"�ydA = Mpl +"f ydA = Mpl fd+"ydA = Mpl fd(S1 + S2) = Mpl
A A A
ho/2
+"ydA = +"ydA = S1 + S2
A -ho/2
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Nośność sprężysta przekroju zginanego momentem MS lub
S
ścinanego siłą poprzeczną VS:
VRd = Vel = 0,58Velfd
0,58fyJt
VelS
�el= d"0,58fyVRd=Vel=
Jt S
Wskaz
nik rezerwy plastycznej przekroju ąpl :
Wskaz
nik rezerwy plastycznej przekroju ąpl :
Mpl Wplfd 2S
ąpl= = =
Mel Welfd Wel
Vpl 0,58fdAvS htS 2S
ąpl= = = =
Vel 0,58fdJt Jt Wel
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Wskaz
nik rezerwy plastycznej przekroju ąpl :
ąpl = 1,5 1- 1,5 1,5 - " 1,27-1,7
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Wskaz
nik rezerwy plastycznej dla przekroju prostokątnego bxh:
Wpl
2S 2x0,5bxhx0,25h bh2/4 6
ąpl= = = = = =1,5
J
Wel bh3/12 bh2/6 4
h/2
h/2
h/2
Wniosek z tw. 1:
Nośność plastyczna (zginanego lub ścinanego) przekroju metalowego
niepodatnego na utratę stateczności miejscowej jest nawet o 50 %
większa od nośności wynikająca ze sprężystej pracy konstrukcji (dla
dwuteowników walcowanych o 10-18 %)
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
" Twierdzenie 2 - o powierzchniach granicznych w złożonym stanie sił
wewnętrznych  są dla materiału sprężysto-plastycznego zawsze
wypukłe
Powierzchnie graniczne wg teorii a) plastyczności b) sprężystości
(interakcja My - Mz - N)
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 2 o powierzchniach granicznych - dwuteowniki
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Krzywa interakcji na płaszczyz
nie MSy  MSz wg PN-EN 1993-1-1:
ą �
�ł �ł �ł
MSy �ł
MSz �ł
�ł �ł �ł
+ = 1
�ł �ł
Mply �ł Mplz �ł
�ł łł �ł łł
dla dwuteowników bisymetrycznych ą = 2; � = 1
dla rur kołowych ą = 2; � = 2; dla rur prostokątnych ą = � =1,66
Wniosek z tw. 2:
Krzywe nośności granicznej przekroju metalowego
niepodatnego na utratę stateczności miejscowej są wypukłe i
zależą od rodzaju przekroju.
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3  o plastycznym wyrównaniu momentów zginających
(dla układów prętowych statycznie niewyznaczalnych)
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3  o plastycznym wyrównaniu momentów zginających
W stanie sprężystym moment przęsłowy Mmax = ql2/24, a momenty
podporowe Mmin = - ql2/12.
Po utworzeniu się przegubów plastycznych moment  wyrównany M* :
ql /12 - "M = ql2/24 + "M "M = ql2/48
ql2/12 - "M = ql /24 + "M "M = ql /48
M* = ql2/48 + ql2/24 = ql2/16
Rezerwa nośności wynikająca z redystrybucji momentów:
M*/ Mmin = ql2/16/ql2/12 = 16/12 = 1,33 (33 %)
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3  o plastycznym wyrównaniu momentów zginających
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3  o plastycznym wyrównaniu momentów zginających
W stanie sprężystym moment przęsłowy Mmax = ql2/8, a momenty
podporowe Mmin = - ql2/8 , czyli momenty są równe "M = 0
Po utworzeniu się przegubów plastycznych moment  wyrównany M* :
M* = ql2/8
Rezerwa nośności:
Rezerwa nośności:
M*/ Mmin = ql2/8/ql2/8 = 1,00 (0 %)
Wniosek: przyrost nośności zależy od stopnia statycznej
niewyznaczalności oraz sposobu rozłożenia obciążenia
TWIERDZENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3  o plastycznym wyrównaniu momentów zginających
Tablice Bleicha dla belek ciągłych
Schemat Sposób Obciąż. równom. Obciąż. skupione
belki wyrów. Moment g, p G, P
cg cp cg cp
cg cp cg cp
2 przęsła I Mmax 0,086 0,105 0,167 0,198
Mmin -0,086 -0,105 -0,167 -0,198
MS = cggl2 + cppl2
MS = cgGl + cpPl
HIPOTEZA HMH TEORII SPR
ŻYSTOŚCI
Nośność przekrojów w stanie sprężystym:
2 2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł�ł �ł �ł �ł
�Ed�ł
�ł�xEd�ł �ł�zEd�ł �ł�xEd�ł�ł�zEd�ł
+�ł +�ł d"1
�ł �ł �ł �ł�ł �ł+3�ł �ł
fd fd fd fd �łf
�ł łł �ł łł �ł łł�ł łł �ł d łł
Dla �xEd = �NEd + �MyEd + �MzEd interakcja Ns  MSy - MSz
NEd MyEd MzEd
+ + d"1
NRd MyRd MzRd
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Wpływ smukłości ścianek na nośność przekroju
�m  średnie naprężenie ściskające ściankę,
f02  granica plastyczności (rzeczywista lub umowna)
klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa 4
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Klasa 1  przekroje, które osiągają nośność przegubu plastycznego
(pl-pl) i wykazują przy tym zdolność do obrotu niezbędną do
plastycznej redystrybucji momentów
- dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA, HEB, HEM
(w belkach wieloprzęsłowych i ramach)
- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem
wszystkich rezerw plastycznych wg tw. 1, tw. 2 tw. 3
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Klasa 2  przekroje, które osiągają nośność przegubu plastycznego
(pl-el) i wykazują ograniczoną zdolność do obrotu na skutek
niestateczności miejscowej (w stanie plastycznym, stąd
nie jest możliwa plastyczna redystrybucja momentów)
- dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA, HEB, HEM
- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem
rezerw plastycznych wg tw. 1 i tw. 2
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Klasa 3  przekroje, które wykazują nośność nie mniejszą niż to
(el-el) wynika z początku uplastycznienia strefy ściskanej, lecz
wskutek niestateczności miejscowej (w stanie sprężysto-
plastycznym) nie osiągają nośności przegubu plastycznego
- kształtowniki zimnogięte, blachownice
- procedury obliczeniowe wg klasycznej
wytrzymałości materiałów (stany sprężyste)
KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH
Klasa 4  przekroje, które wskutek niestateczności miejscowej (w sta-
(el-el) nie sprężystym) wykazują nośność mniejszą niż to wynika
z początku uplastycznienia strefy ściskanej
- blachownice, kształtowniki zimnogięte,
- procedury obliczeniowe dla blachownic stalowych
wg teorii nośności nadkrytycznej, patrz. rys.:
be = bw �c
be = bw �c
KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH
Klasa 4  współczynnik stateczności miejscowej wg PN-EN 1993-1-5:
- dla ścianki stalowej podpartej na czterech krawędziach:
�c = 1,0 dla p d" 0,673
�c = [ p  0,055(3+ �)]/(p)2 dla p > 0,673
- dla ścianki stalowej z krawędzią swobodną:
�c = 1,0 dla p d" 0,748
�c = 1,0 dla p d" 0,748
�c = [ p  0,188]/(p)2 dla p > 0,748
gdzie
fy
b/t
p= =
�cr
28,4� k�
KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH
Klasa 4  współczynnik �c = �
KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH
Klasa 4 - przekroje obliczeniowe ścianek ze stopów Al.:
tei = ti �c dla i = f, w
�c d" 1  współczynnik stateczności miejscowej
KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH
Klasa 4  współczynnik stateczności miejscowej wg PN-EN 1999-1-1:
a1 a2
�C= - d"1,0
2
�/�
( )
(�/�)
Podparcie
A B C
ścianki
�3/� a1 a2 �3/� a1 a2 �3/� a1 a2
Krawędz

6 10 24 5 9 20 4 8 16
swobodna
Na całym
22 32 220 18 29 198 15 25 150
obwodzie
KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH
Klasa 4  współczynnik �c = �p
�c
CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE KLASA 1-3
Dwuteowniki walcowane
PROJEKTOWANIE KONCEPCYJNE.
" Świadomy wybór projektanta typu konstrukcji dostosowanej
do funkcji i oczekiwanego okresu użytkowania obiektu.
Projektowe okresy użytkowania wg PN-EN-1990
Kategoria okresu Projektowy okres Przykłady
1 10 lat konstrukcje tymczasowe
1 10 lat konstrukcje tymczasowe
2 10-25 lat wymienialne części konstrukcji
3 15-30 lat konstrukcje rolnicze
4 50 lat konstrukcje zwykłe
5 100 lat mosty, budynki monumentalne
Literatura do wykładu 10
1.
2. Gwóz
dz
M.: Stany graniczne konstrukcji aluminiowych.
Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej. Kraków 2007.