TEMAT:
STATYSTYCZNA KONTROLA JAKOŚCI ŻYWNOŚCI
1. ETAPY KONTROLI JAKOÅšCI
1.1. STATYSTYCZNA KONTROLA ODBIORU PRODUKTU
1.2. STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU PRODUKCJI
2. NARZ
DZIA STATYSTYCZNEJ KONTROLI JAKOÅšCI
2.1. DIAGRAM ISHIKAWY (WYKRES PRZYCZYNOWO - SKUTKOWY)
2.2. SCHEMAT PRZEPA
YWÓW
2.3. PROCEDURA POPRAWY JAKOÅšCI
2.4. ANALIZA FMEA
2.5. METODA FUNKCJONALNEGO OPISU JAKOÅšCI (QFD) DOMY JAKOÅšCI
2.6. HISTOGRAM WST
PNEJ KONTROLI JAKOÅšCI
2.7. WYKRES PARETO - LORENZA
2.8. KARTY KONTROLNE  PRZEZNACZENIE ZASTOSOWAC
- PRZYKA
AD
Rys. Proces kontroli dostawców
Informacja
zewnętrzna
Ocena dostawcy
Ocena dostawcy
Lista dostawców
Wybór Monitoring
Polecenie
Potrzeby Zamówienie
Magazynowanie
dostawców poleceń
odbioru
Testowanie i korekta
Rys. Kontrola dystrybucji
Profil konsumenta Analiza rynku Informacja rynkowa
Projektowanie
produktu
Ocena i działanie korekcyjne
Zażalenia
Zamówienia Transport Magazynowanie Konsument i użytkowanie
Ocena i działania korekcyjne
Model procesu w systemach zapewnienia jakości
Wejście: Wyjście:
Sterowanie
Materiały
Maszyny
Produkty
i narzędzia
Usługi
Metody
Transformacja
Informacja
Procedury
Dokumentacja
Informacja
(specyfikacje
pomiary,& )
Zakłócenia
Ludzie
Umiejętności
Wiedza
Planowanie
Przyczyny powstania kosztów niskiej jakości
Widoczne:
Wady nienaprawialne  wytworzone produkty lub zakończone procesy, które nie spełniają
wymagań (specyfikacji)
Poprawki  lokalizacja i usuwanie wad w celu uzyskania odpowiednich charakterystyk
Zwroty od klientów  produkty zwrócone lub usługi zakwestionowane prze klientów z
powodu niedostatecznej jakości
Ukryte:
" Reklamacje klientów
" Roszczenia klientów
" Nadgodziny
" Zaległości płatnicze
" Zmarnowany wysiłek i nakłady
" Opóz
nienia
" Zwiększone zapasy
" Nadmierny potencjał
" Utrata lojalności klientów
" Utrata potencjalnych klientów
METODY STEROWANIA JAKOÅšCI

Wykres Pareto-Lorentza wspomaga weryfikacjÄ™ hipotezy Pareto  20% przyczyn
decyduje o powstawaniu 80% błędów.
Wykres ułatwia:
" Analizę możliwości uzyskania poprawy jakości przy ograniczonych nakładach
" Wskazanie grupy najważniejszych przyczyn
Straty
%
870
100
800
75
600
50
400
200
25
E D C A B F H G pozostałe
Wykres rozproszony służy do prostej analizy korelacji pomiędzy dwoma seriami danych
{x1, x2, & , xn} i {y1, y2, & ,yn}
Może on umożliwić:
Wykrycie związku przyczynowo-skutkowego pomiędzy dwoma mierzalnymi cechami
(korelacja pozytywna, negatywna lub jej brak)
Wykrycie par danych (x1, y1), które odbiegają od korelacji wykazywanej przez większość
pozostałych par
KORELACJA POZYTYWNA KORELACJA NEGATYWNA BRAK KORELACJI
yi
yi
Xi
Xi Xi
Kaoru Ishikawa. Japończycy nazywają go ojcem kół jakości. W latach 60-tych dowodził on,
że amerykański system zarządzania, w którym kierownicy zarządzają, a ludzie pracują, nie
może zostać przeniesiony do Japonii. Wpadł na pomysł, aby za jakość były odpowiedzialne
całe grupy ludzi. Obecnie istnieje 2 miliony kół skupiających 20 milionów pracowników w
Japonii. Otrzymał wiele nagród za swoje osiągnięcia, w tym Nagrodę Deminga.
Opracował diagram zwany diagramem ryby lub Ishikawy, który ułatwia rozwiązywanie
problemów kierowniczych. Jest on do dziś używany w działach jakości na całym świecie.
Diagram przyczynowo-skutkowy ( ang. causa-effect diagram)
Diagram rybi szkielet (ang. fishbone diagram)
Kategoria przyczyn Kategoria przyczyn
Skutek
Przyczyna Przyczyna
Kategoria przyczyn Kategoria przyczyn
" Służy do badania przyczyn wadliwego przebiegu procesu lub zjawisk towarzyszących
defektom produktów
" Pozwala zgromadzić i usystematyzować wiedzę, która umożliwia rozważenie
potencjalnych przyczyn występowa problemu
" W oparciu o wiedze ekspercka prowadzi do uporzÄ…dkowania potencjalnych przyczyn i
sformułowania roboczych hipotez na temat związków przyczynowo-skutkowych
" Przeprowadzają planowane zbieranie danych i ich analizę, która ma doprowadzić do
wykrycia rzeczywistych przyczyn
Etapy budowania diagramu Ishikawy w zespole poprawy jakości:
" Precyzyjne określenie rozważanego zagadnienia  SKUTEK
" Objaśnienie reguł prowadzenia dyskusji
" Wyznaczenie sekretarza  notuje kolejne wersje diagramu
" Swoboda wprowadzania nowych propozycji  PRZYCZYNA
" Systematyzacja propozycji na bieżąco
" Wyczerpanie wszystkich pomysłów
" Dyskusja i podsumowanie
Kategorie najczęściej pojawiające się na diagramach Ishikawy
Ludzie Materiały Otoczenie
Problem
Maszyny Metody Informacja
Przykład diagramu Ishikawy
Dostawcy Pracownicy
SÅ‚aba
Faktury
współpraca
ZÅ‚e wzory
czÄ…stkowe
formularzy
Niedostateczne
SÅ‚abe
nadzór
Zbyt wielu
wyszkolenie
dostawców
Pomyłki
Brak urządzeń Brak
wspomagajÄ…cych informacji
Nadmiar pracy
zwrotnej
Nieodpowiednie Wadliwy
Brak systemu
procedury podział pracy
kontroli
Metody Organizacja pracy
Dane wejściowe Dane wyjściowe
Ludzie Metody Materiały Produkt
Hardware
Software
Usługa
Materiały przetworzone
Organizacja Åšrodki Åšrodowisko
Kombinacja powyższych
zarzÄ…dzanie produkcji regulacyjne
Rysunek. Nr 2.4. Schemat organizacyjny procesu jako transformacji danych
wejściowych na dane wyjściowe.
y
ródło J. Bagiński, E. Kindlarski  Podstawy zarządzania przez jakość" Zakład
Zapewnienia Jakości IOSP WIP PW.
(rysunek Nr 2.9.). Każdy z tych czynników - stanowiący odgałęzienie głównej strzałki -
analizowano oddzielnie. Z praktyki wiadomo, że stała jakość wyrobów w meblarstwie
osiągana jest przez jednorodne zasilanie materiałowe. Przestrzeganie reżimów
technologicznych nie zapewni wysokiej jakości wyrobu, jeżeli materiały wejściowe nie
spełniają wymaganej jakości. Przyczyny związane z materiałami wejściowymi zestawiono w
odgałęzieniach drugiego stopnia według rodzajów materiałów wpływających na jakość wyrobu:
płyta wiórowa, sklejka, tarcica, materiały dekoracyjne i pomocnicze, Z kolei czynniki
wpływające na jakość materiałów poszczególnych rodzajów materiałów wpisano w
odgałęzieniach trzeciego stopnia. Z materiałów aglomerowanych najwięcej zużywa się płyt
wiórowych, których jakość zależy od przestrzegania procesu technologicznego, jakość
surowców wejściowych, dokładności wymiarów płyt, jakości powierzchni, właściwości fizyko-
mechanicznych. Zależności te przedstawiono na rysunku Nr:2.10.
Operacje rozwoju Operacje
materiałów lakierowania
Operacje okleinowania
i oklejania wÄ…skich
Pakowanie
płaszczyzn
Operacje obróbki Kompletacja i
zasadniczej montaż
Materiały
wejściowe
Operacje szlifowania
elementów
Rysunek Nr 2.9. Diagram Ishikawy: główne czynniki wpływające na jakość wyrobu (stół
kuchenny).
y
ródło John Bank  Zarządzanie przez jakość Warszawa 1996 rok.
Diagram Ishikawy: odgałęzienie wpływu materiałów wejściowych na jakość wyrobu (stół
kuchenny)
y
ródło John Bank  Zarządzanie przez jakość Warszawa 1996 rok.
Schemat przepływów w procesie (ang. flowchart) - graficzne przedstawienie sekwencji operacji
składających się aa proces
stosowane symbole
Przykład schematu
Główne typy przepływów wprowadzane na schematach
" materiały - zapis czynności przetwarzania, kontrolowania, transportu i magazynowania
(także w pracach biurowych);
np. rysunki montażowe, schematy montażowe, karty operacji, karty przepływów
" zasoby ludzkie - zapis czynności pracowników lub klientów
" wyposażenie - zapis wykorzystania maszyn i narzędzi
" informacja - zapis zbierania, przetwarzania i przekazywania informacji (obieg
dokumentów), a także opis procesu podejmowania decyzji
Główne korzyści ze stosowania Metody QFD
" pobudzenie pracy zespołowej
" wymuszenie wymiany informacji pomiędzy działami firmy
" skoordynowanie działań podejmowanych na kolejnych etapach opracowywania produktu
lub usługi
" większa świadomość zamierzeń projektowych na etapie produkcji
" zrozumienie zadań stawianych poszczególnym procesom
" w rezultacie znaczne skrócenie czasu projektowania i wdrażania nowych wyrobów do
produkcji
"Dom" jakości - macierz pokazująca współzależności zachodzące pomiędzy potrzebami
klienta (wiersze macierzy) i cechami planowanego produktu lub procesu (kolumny
macierzy), uzupełniona dodatkowymi tablicami i diagramami
Wzajemna zależność
(korelacja) pomiędzy
cechami
Porównanie z
konkurencjÄ… stopnia
spełnienia
oczekiwań
cechy produktu lub procesu
1.
3.
preferencje
1.
2.
oczekiwania
wśród
klienta
oczekiwań
3.
4.
4.
2.
wartości nominalne
Stopień zależności
pomiędzy cechą
produktu a
oczekiwaniem klienta
porównanie z konkurencja wartości technicznej
Przykład zastosowania  domu jakości do opisu relacji pomiędzy wymaganiami klienta
(drukarni) a cechami papieru dla potrzeb jego producenta
Korelacja:
-silnie pozytywna
-pozytywna
-negatywna
-silnie negatywna
Porównanie
z konkurencja
-my
-firma A
-firma B
(najwyzsza ocena 5)
Wymagania
1 2 3 4 5
klienta
Papier odporny na rozdarcie
3
1
Gladkie wykończenie
2
Farba nie przesiaka
3
Czysty druk
Wagi cech
3
27 36
36 27 9
Zaleznosc:
przyjęte
-silna
wartosci
nominalne
-srednia
5
-slaba
4
porównanie z
3
konkurencja
2
1
(najwyzsza ocena 5)
Cechy produktu
Szerokosc papieru
Grubosc papieru
Dokladnosc zwiniecia rolki
Grubosc powloki wykończeniowej
Preferencje klienta
Wybarwienie papieru
Wytrzymałosc na naprezenia
mm
mm
x jednostek
mm (odchylenie)
x mikronów
uzgodniony wzorzec
Podstawowe znaczenie dla metody QFD ma sekwencja "domów" jakości
schemat 1. (planowanie produktu) przekłada zidentyfikowane oczekiwania klienta na założenia
projektowe
schemat 2. (rozwiniecie projektu) przekłada założenia projektowe na charakterystyki części
składowych produktu
schemat 3. (planowanie procesu) przekłada charakterystyki podzespołów na podstawowe cechy
operacji technologicznych
schemat 4. (planowanie produkcji) przekłada cechy operacji na specyfikacje produkcyjne
schemat 5. i dalsze mogą być wprowadzane w razie potrzeby np. dla opisania wymagań
instalacyjnych
1
Wymagania
projektowe
2
Charakterystyki
części
3
Operacje
Planowanie produktu
produkcyjne
4
Wymagania
produkcyjne
Rozwinięcie projektu
Planowanie procesu
Planowanie produkcji
Korzyści z zarządzania projektami według metody QFD
" stworzenie jednolitej struktury organizacyjnej
" ułatwienie kontroli zgodności z harmonogramem prac
" inicjowanie zespołowych form pracy
" przełamywanie barier pomiędzy działami
" przepływ informacji o oczekiwaniach klienta przez całą strukturę firmy
" trafne rozpoznanie hierarchii oczekiwań klienta
" możliwość przewidywania poziomu ich spełnienia
" zwiększenie potencjału firmy w zakresie pełnej realizacji wymagań
" podejmowanie trafnych decyzji na podstawie zgromadzonej wiedzy
" uniknięcie wielu kosztów i straty czasu
klienta
Wymagania
projektowe
Wymagania
cz
ęś
ci
Charakterystyki
Operacje
produkcyjne
Karta kontrolna  graficzne narzędzie wykonywania w sposób ciągły testu istotności różnicy
pomiędzy wartością wybranej charakterystyki dla pojedynczej próbki a wartością wynikającą
z wielu poprzednio zebranych próbek ( przynajmniej 20 ).
Główne elementy karty:
Linia centralna  LC
Dolna granica kontrolna  DGK
Górna granica kontrolna  GGK
Dolna granica ostrzegawcza  DGO
Górna granica ostrzegawcza  GGO
Strefy kontrolne  A,B i C
Ogólny schemat karty kontrolnej
A
B
C
C
B
A
Karta kontrolna służy do:
- rozróżniania kiedy mamy do czynienie z naturalnym, a kiedy z nadzwyczajnym
rozkładem wyników w próbie
- wykrywanie kiedy na kontrolowany proces miały wpływ normalne, a kiedy
szczególne przyczyny zmienności
- oceny czy proces jest wyregulowany ( pod kontrolÄ… statystycznÄ… ).
Przykłady testów wykrywających działanie szczególnych przyczyn zmienności
Pojedynczy punkt pod sferÄ… A
GGK
A
B
LC
B
DGK A
9 punktów z rzędu w strefie C lub poza nią po tej samej stronie linii centralnej
GGK A
C
LC
C
B
DGK A
Podstawowe karty kontrolne Shewharta dobierane są w zależności od rodzaju
gromadzonych danych
Jakiego typu dane sÄ… zbierane ?
Zliczenie wystąpień zjawiska
Pomiar wielkości fizycznych
na danym obszarze
( zmienne losowe ciągłe )
( zmienne losowe skokowe )
Liczebność próbki Liczebność próbki
Rozmiar obszaru Uwzględniamy
N d" 9 N e" 10
stały lub nie zmienny rozmiar
uwzględniony obszaru
zakresy średnie Odchylenie
Standardowe
Karta Karta
Karta
Karta
Karta
typu R typu x
typu s
typu u
typu c
razem razem
Wyznaczanie liczby egzemplarzy wadliwych ( zmienne losowe skokowe )
Liczba egzemplarzy wadliwych
Udział egzemplarzy wadliwych w
w próbkach równolicznych
próbkach różnolicznych
Karta typu p
Karta typu np
Przykłady kart kontrolnych Shewharta
Karta dla wartości średniej w próbie  karta typu
2,2
2,15
2,1
2,05
2
1,95
1,9
1,85
1,8
1,75
1,7
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Kolejne próbki
Karta dla rozstępu w próbie  karta typu R
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Kolejne próbki
Åš
rednia w próbce
Rozst
Ä™
p w próbce
Karta dla udziału wadliwych egzemplarzy w próbie  karta typu p
0,180
0,160
0,140
0,120
0,100
0,080
0,060
0,040
0,020
0,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Kolejne próbki
Karta dla liczby wad na wybranym obszarze  karta typu c
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Kolejne próbki
Udział wadliwych w próbce
Liczba wyst
Ä…
pie
Å„
Karta kontrolna np
Karta liczby usterek lub defektów w próbce o stałej wielkości N ( np. 100 jednostkowych
opakowań jogurtu ) jest wykresem stwierdzonej liczby usterek w próbce od numeru próbki.
Na wykresie zaznaczone są górne linie ostrzegania i działania oraz średnia liczba usterek dla
badanego procesu. Liczby usterek są zawsze całkowite, zaś pozostałe wielkości są obliczone i
mogą być liczbami niecałkowitymi. Nie oblicza się dolnych poziomów.
Poziomy są obliczane ze wzorów:
GLD = np + 3Ã,
GLD = np + 2Ã
W którym do średniej liczby defektów dśr ( suma wszystkich defektów we wszystkich próbach
podzielona przez liczbÄ™ próbek ) dodaje siÄ™ wielokrotność odchylenia standardowego à = [ dÅ›r
( 1  dÅ›r / N ) ]½.
karta kontrolna procesu napełniania opakowań jogurtem monitorowania poprzez liczbę
zdeformowanych pojemników w 100 opakowaniach jednostkowych jest pokazana na rysunku
9.3.
Rys. 9.3
6,32
6
4,90
4
2
2,06
0,00
1 10 20 30 40 50
50 50
Objętość i masa bochenków chleba
Najmniejsza dopuszczalna objÄ™tość bochenków chleba razowego na miodzie wynosi 140°.
Åšrednia objÄ™tość obliczona dla 42 próbek jest 222° przy najniższej objÄ™toÅ›ci równej 198 i
najwyższej wynoszÄ…cej 252°. Å»adna z badanych próbek nie ma objÄ™toÅ›ci mniejszej od
tolerancji dolnej ( rysunek 8.14). Jednak duży rozrzut punktów świadczy o tym, że zmienność
procesu jest zbyt duża, a produkcja mało jednorodna i stabilna co do objętości bochenków.
Proces jest dość dobrze wyceniony, ale cechuje się niską precyzją ( odchylenie standardowe
wynosi 17,99° ), którÄ… należy w przyszÅ‚oÅ›ci poprawić. Zbyt duży rozrzut objÄ™toÅ›ci może
powodować obniżenie jakości pieczywa poprzez jego zgniatanie w pojemnikach
transportowych.
Rys. 8.14
Deklarowana masa chleba razowego wynosi 700g Ä… 21g, ale tylko jeden bochenek w 42
badanych miał masę mniejszą od 679g przy średniej wynoszącej 717g. Proces przedstawiono
na rysunku 8.15. Tylko dzięki wysokiej średniej liczba niedoważanych bochenków jest do
zaakceptowania przy odchyleniu standardowym wynoszÄ…cym 18,90g.
Rys. 8.15
Napełnianie puszek napojem
Kolejny przykład wykorzystania kart kontrolnych dotyczy napełniania puszek o pojemności
500 ml napojami orzez
wiajÄ…cymi z limitem tolerancji Ä… 10 ml. Na rysunku 8.16
przedstawiono kartÄ™ kontrolnÄ… X  à dla 25 prób. Każda z nich powstaÅ‚a z 10 puszek
pobieranych z linii rozlewającej. Dla każdej puszki oznaczono objętość napełnienia, a wynik
uśredniono oraz obliczono odchylenie standardowe dla próbki. Średnia objętość napoju w
procesie wynosi 498,74 ml, a odchylenie standardowe 4,18 ml. Proces mieści się co prawda w
wyznaczonych granicach tolerancji, wymaga jednak lepszego wycentrowania, aby uniknąć
puszek, które zawierają napoju 490 ml lub nieco powyżej, a więc są niemal na granicy
tolerancji. Najwyższe odchylenie standardowe w próbce nr 10 ( Ã = 6,69 ) i wysokie (
à = 6,38 ml ) w próbkach 15 i 16 Å›wiadczÄ… o tym, że precyzja rozlewu musi być poprawiona.
Tolerowanie 3 próbek na 25 w obszarze powyżej limitu ostrzegania ( w tym dwóch kolejnych
) jest nie do przyjęcia na dłuższą metę.
Histogram- wykres słupkowy przedstawiający rozkład częstości
Górna granica tolerancji
Dolna granica tolerancji
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9,1 9,3 9,5 9,7 9,9 10,2 10,3 10,5 10,7 10,9
Granice
przedziałów
Wartość normatywna
Charakterystyczne histogramy z zakresu wstępnej kontroli jakości materiałów
zaopatrzeniowych
- DGT oznacza dolnÄ… granicÄ™ tolerancji
- GGT oznacza górną granicę tolerancji
- przyjęto, że wartość normatywna położona jest pośrodku przedziału tolerancji
DGT GGT
nałożone dwa histogramy
 normalne
DGT GGT
nałożone i obcięte dwa
histogramy  normalne
DGT GGT
przesunięty histogram
 normalne
DGT GGT
mało skupiony i obcięty
histogram  normalny
DGT GGT
histogram  normalny
DGT GGT
wycięty histogram
 normalny
Wzory dla wyznaczania głównych elementów składowych kart kontrolnych
Typ LC DGK GGK
karty
np
n Å" p
max(0, n Å" p - 3 n Å" p Å"(1- p)) n Å" p + 3 n Å" p Å"(1- p)
p
p
ëÅ‚ öÅ‚
p Å"(1- p)
p Å"(1- p)
÷Å‚ p + 3
maxìÅ‚0, p - 3
ìÅ‚ ÷Å‚
n
n
íÅ‚ Å‚Å‚
(liczność próbek n jest zmienna)
(liczność próbek n jest zmienna)
c c
max(0,c - 3 c) c + 3 c
u
U
ëÅ‚ öÅ‚
u
u
÷Å‚ u + 3
maxìÅ‚0,u - 3
ìÅ‚ ÷Å‚
a
a
íÅ‚ Å‚Å‚
(badany obszar a jest zmienny)
(badany obszar a jest zmienny)
X
X X - A2 Å" Rlub X - A3 Å" s X + A2 Å" Rlub X + A3 Å" s
R
R D3 Å" R D4 Å" R
s
B3 Å" s B4 Å" s
S
ogólna liczba egzemplarzy wadliwych we wszystkich próbkach
p =
ogólna liczba zbadanych egzemplarzy
ogólna liczba wystąpień na wszystkich badanych obszarach
c =
liczba zbadanych obszarów kontrolnych
ogólna liczba wystąpień na wszystkich badanych obszarach
u =
suma zbadanych obszarów kontrolnych
suma średnich arytmetycznych ze wszystkich próbek
X =
liczba zbadanych próbek
suma rozstępów ze wszystkich próbek
R =
liczba zbadanych próbek
Empiryczne charakterystyki rozkładu wyników w próbce są najczęściej stosowane do
opisu zmian zachodzÄ…cych w procesie w pewnym okresie czasu
Dla próbki zawierającej n wyników: x1,x2,...,xn
n
"si
i=1
średnia arytmetyczna x = - miara wartości przeciętnej
n
rozstęp (zakres) R = max x1 - min xi - miara bezwzględnego rozrzutu
n
2
- x)
"(xi
i=1
odchylenie standardowe s = - miara względnego rozrzutu
n -1
s
współczynnik zmiennoÅ›ci CV = Å"100% - wzglÄ™dna miara rozrzutu
x
współczynnik skośności- miara symetrii rozkładu
dla uporządkowanych n wyników w próbce x1 d" x2 d" ... d" xn
x[(n+1)/ 2] + x[(n+1)/ 2]+1
- mediana q2=x(n+1)/2 dla n nieparzystego i q2 = dla n parzystego 
2
miara wartości przeciętnej
- symbol [a] oznacza największą z liczb całkowitych mniejszych lub równych a
- zakres międzykwartylowy QR=q3-q1  miara rozrzutu
x[(n+1)/ 4] + x[(n+1)/ 4]+1
- dolny kwartyl q1=x(n+1)/4 dla n+1 podzielonego przez 4 i q2 = w
2
pozostałych przypadkach
x[3(n+1)/ 4] + x[3(n+1)/ 4]+1
- górny kwartyl q3=x(n+1)/4 dla n+1 podzielonego przez 4 i q2 = w
2
pozostałych przypadkach
- współczynnik Pearsona
miara symetrii rozkładu
3Å"(x - q2 )
Ps =
s
dla skokowych zmiennych losowych
moda (dominanta) d = wartość najczęściej występująca w próbce- miara wartości przeciętnej
Charakterystyki empiryczne można również także stosować, gdy nie są dostępne pierwotne
wartości z próbki, ale jest opracowana na ich podstawie tablica rozkładu częstości- wyznacza
siÄ™ wtedy oszacowania charakterystyk na podstawie tej tablicy.
Dla tablicy rozkładu częstości w próbce o schemacie
Numer Granice Wartość centralna Częstość Częstość
przedziału przedziału skumulowana
1 Å‚
1 k1 = Å‚
1
l d" x d" u1 c1 = (l + u1)/ 2
... ... ... ... ...
i
i Å‚
i ki = ki-1 + Å‚
i
ui-1 d" x d" ui ci = (ui-1 + ui )/ 2
... ... ... ... ...
m Å‚
m km = km-1 + Å‚
m
um-1 d" x d" u
cm = (um-1 + um )/ 2
wzory dla oszacowań są następujące:
oszacowanie średniej
m
c Å" Å‚

" i i
~ i = 1
x =
m
Å‚

"
i
i = 1
oszacowanie odchylenia standardowego
2
m
m
ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚ ci Å" Å‚
÷Å‚
Å" Å‚

" i
" i
c
i
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
~ i=1
s = -
km - 1 k (km - 1)
m
oszacowanie mediany
u1 - ui-1
~
q = ui-1 +{[(km +1)/ 2]- ki-1}Å"
Å‚
i
gdzie dla przedziału iq zachodzi
ki-1 < [(km +1)/ 2]d" ki
Parametry
Proces
indywidualne próbki
Produkcja i pakowanie % tłuszczu w partii masła waga kostki masła
masła
Guma do żucia - zawartość substancji
nierozpuszczalnych, grubość
listków
Margaryny zawartość tłuszczu masa opakowania
Różne wyroby - napełnianie puszek lub
kartoników
Cukier zawartość sacharozy zawartość wody, zawartość
zanieczyszczeń, barwa
Proszek kakaowy wilgotność, zawartość rozdrobnienie
tłuszczu, kwasowość, barwa
Jogurt 2% zawartość tłuszczu, napełnienie
(wg PN-83/A-86061) kwasowość
Tabela 8.2. Karty pomiarów indywidualnych i próbek (przykłady)