Przykład 4.3. Stopa fundamentowa
Dana jest prostopadłościenna stopa fundamentowa. Obciążenia występujące w przekroju pod-
stawy o wymiarach b x h pokazane są na rysunku poniżej. Uwzględniając warunek niewys-
tępowania w przekroju podstawy stopy naprężeń rozciągających, określić minimalne pole po-
wierzchni podstawy stopy i odpowiadające temu polu długości boków podstawy.
Z
14 kNm
P = 100 kN
My = -6 kNm
20 kN
Y
Mz = 14 kNm
6 kNm
b
RozwiÄ…zanie
Rozwiązanie zadania polega na określeniu warunków, których spełnienie jest konieczne, aby
w przekroju podstawy stopy nie wystąpiły naprężenia różnych znaków (czyli aby jedna część
podstawy nie była rozciągana, gdy druga jest ściskana).
W przypadku przyjętego układu osi YZ wzór na naprężenia normalne w przekroju ma postać:
N Mz My
à = - y + z
A Iz Iy
Przekrój jest ściskany siłą P , więc
N = -P
Uwzględniając powyższy fakt oraz charakterystyki geometryczne przekroju
A = bh
bh3
Iy =
12
b3h
Iz =
12
można zapisać:
N Mz My -P Mz My 100 14 -6
à = - y + z = - y + z = - - y + z =
A Iz Iy A Iz Iy bh b3h bh3
12 12
100 168 72 4 4 18
= - - y - z = - 25 + y + z
bh b3h bh3 bh b2 h2
1
h
Ekstremalne wartości naprężeń występują w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi
obojętnej, której równanie znajdujemy przyrównując naprężenie normalne do zera.
4 4 18 4 18
Ãx = 0 =Ò! - 25 + y + z = 0 =Ò! 25 + y + z = 0 =Ò!
bh b2 h2 b2 h2
y z y z
=Ò! + = 1 =Ò! + = 1
b2 h2
-10-2b2 -2,222 · 10-2h2
-4·25 -18·25
Z
2[bD 2;hD 2]
Y
1[-bD 2;-hD 2]
b
Niezależnie od wartości b i h oś obojętna przecina osie układu współrzędnych dla ujemnych
wartości y i z. Oznacza to, że ekstremalne wartości naprężeń występują w punktach 1 i 2. Tak
więc rozwiązanie postawionego problemu polega na takim dobraniu wymiarów b i h, by w obu
tych punktach naprężenie normalne à miaÅ‚o ten sam znak. Z uwagi na znak siÅ‚y normalnej
i zwrot wypadkowego momentu uwzględnienie tego warunku sprowadza się w praktyce do
spełnienia warunku niedodatności naprężenia maksymalnego, a więc naprężenia w punkcie 1.
b h 4 42 b 18 h
Ã1 = Ã - ; - = - 25 + - + - =
2 2 bh b2 2 h2 2
4 21 9
= - 25 - -
bh b h
4 21 9 21 m 9
Ã1 0 =Ò! - 25 - - 0 =Ò! 25 - - 0 =Ò!
bh b h b h
9 21 9 9b
=Ò! 25 - =Ò! h =Ò! h
21
h b 25b - 21
25 -
b
Wynika z tego, że pole podstawy stopy P ma wartość:
9b 9b2
P = bh b · =
25b - 21 25b - 21
Z uwagi na fakt, że poszukujemy minimalnej wartości pola, do dalszych obliczeń przyjmijmy
9
P = P (b) = b2
25b - 21
2
h
Pole przyjmuje wartość ekstremalną (w tym przypadku minimum) dla takiej wartości wymiaru
b, dla którego pochodna funkcji P (b) jest równa zero.
9
P (b) = 0 =Ò! b2 = 0 =Ò!
25b - 21
9 · 2b · (25b - 21) - 9 · b2 · 25
=Ò! = 0 =Ò!
(25b - 21)2
9b · [2 (25b - 21) - 25b]
=Ò! = 0 =Ò!
(25b - 21)2
9b · (25b - 42) 42
=Ò! = 0 =Ò! b = m = 1, 68 m
25
(25b - 21)2
Długość drugiego boku podstawy h odpowiadająca najmniejszemu polu jest zaś równa
42
9 ·
9b 9 · 42 18
25
h = = = = m = 0, 72 m
42
25b - 21 21 · 25 25
25 · - 21
25
1,68m
Tak więc ostatecznie minimalna wielkość pola powierzchni stopy fundamentowej poddanej
danemu obciążeniu, spełniająca warunek niewystępowania w przekroju podstawy stopy naprę-
żeń rozciągających, jest następująca:
42 18 756
P = bh = m · m = m2 = 1, 2096 m2
25 25 625
3
0,72m