MINISTERSTWO EDUKACJI
NARODOWEJ
Beata Organ
Jacek Krzysztoforski
Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi
311[07].Z7.02
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji  Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2006
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Recenzenci:
mgr inż. Anna Górska
mgr inż. Grzegorz Śmigielski
Opracowanie redakcyjne:
mgr inż. Danuta Pawełczyk
Konsultacja:
mgr inż. Gabriela Poloczek
Korekta:
mgr inż. Urszula Ran
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[07].Z7.02
 Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi , zawartego w modułowym programie
nauczania dla zawodu technik elektronik.
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji  Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2006
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
1
 SPIS TREŚCI
1. Wprowadzenie 3
2. Wymagania wstępne 5
3. Cele kształcenia 6
4. Materiał nauczania 7
4.1. Struktury układów regulacji 7
4.1.1. Materiał nauczania 7
4.1.2. Pytania sprawdzające 25
4.1.3. Ćwiczenia 26
4.1.4. Sprawdzian postępów 27
4.2. Modele matematyczne obiektów i układów sterowania 28
4.2.1. Materiał nauczania 28
4.2.2. Pytania sprawdzające 35
4.2.3. Ćwiczenia 35
4.2.4. Sprawdzian postępów 38
4.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne 39
4.3.1. Materiał nauczania 39
4.3.2. Pytania sprawdzające 52
4.3.3. Ćwiczenia 53
4.3.4. Sprawdzian postępów 54
4.4. Dobór optymalnych nastaw regulatorów PID 55
4.4.1. Materiał nauczania 55
4.4.2. Pytania sprawdzające 59
4.4.3. Ćwiczenia 59
4.4.4. Sprawdzian postępów 65
5. Sprawdzian osiągnięć 66
6. Literatura 71
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
2
1. WPROWADZENIE
Poradnik, będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o budowie, zasadzie działania
i przeznaczeniu regulatorów ciągłych, doborze nastaw, a także ułatwi wykonywanie ćwiczeń,
zadań i umożliwi Ci przygotowanie się do czekających egzaminów.
Poradnik zawiera:
4. Wymagania wstępne, czyli wykaz niezbędnych wiadomości i umiejętności, które
powinieneś mieć opanowane, aby przystąpić do realizacji tej jednostki modułowej.
5. Cele kształcenia, czyli wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z tym
poradnikiem.
6. Materiał nauczania (rozdział 4), czyli wiadomości dotyczące badania układów sterowania
z regulatorami ciągłymi. Rozdział ten umożliwia samodzielne przygotowanie się
do wykonania ćwiczeń i zaliczenia sprawdzianów. Obejmuje on również ćwiczenia,
dzięki którym nabędziesz umiejętności praktycznych. Zawierają one:
- pytania sprawdzające wiedzę potrzebną do wykonania ćwiczenia,
- ćwiczenia wraz z opisem czynności, które musisz wykonać w trakcie ich realizacji,
- sprawdzian postępów, który pomoże Ci samodzielnie ocenić poziom swoich
umiejętności.
7. Sprawdzian osiągnięć zawierający zestaw zadań sprawdzających opanowanie wiedzy
i umiejętności z zakresu całej jednostki. Potraktuj go jako wskazówkę przy powtarzaniu
materiału. Pomoże Ci on ocenić, czy wystarczająco dobrze przygotowałeś się do
ćwiczenia lub testu podsumowującego tą jednostkę.
8. Literaturę, którą możesz wykorzystać do poszerzenia wiedzy na interesujące Cię
zagadnienia związane z tematem jednostki.
Jeżeli masz trudności ze zrozumieniem tematu lub ćwiczenia, to poproś nauczyciela
o wyjaśnienie i ewentualne sprawdzenie, czy dobrze wykonujesz daną czynność. Po
przerobieniu materiału spróbuj zaliczyć sprawdzian z zakresu jednostki modułowej.
Jednostka modułowa:  Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi , której
treści teraz poznasz, jest jedną z koniecznych do zapoznania się z sterowaniem procesami
technologicznymi z zastosowaniem regulatorów nieciągłych, co w przyszłości pozwoli Ci na
zrozumienie działania urządzeń z jakimi spotykasz się na co dzień, a także pozwoli na
podjęcie prac projektowych, montażowych, konserwatorskich związanych ze sterowaniem.
Bezpieczeństwo i higiena pracy
W czasie pobytu w pracowni, laboratorium musisz przestrzegać regulaminów, przepisów
bhp oraz instrukcji przeciwpożarowych, wynikających z rodzaju wykonywanych prac.
Przepisy te poznasz podczas trwania nauki.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
3
Moduł 311[07].Z7
Montowanie i eksploatowanie układów
automatyki elektronicznej
311[07].Z7.01
Montowanie i testowanie połączeń
układów automatyki
311[07].Z7.03
311[07].Z7.02
Badanie układów sterowania
Badanie układów sterowania
z regulatorami nieciągłymi
z regulatorami ciągłymi
Schemat układu jednostek modułowych dla modułu
 Montowanie i eksploatowanie układów automatyki elektronicznej
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
4
2. WYMAGANIA WST
PNE
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
- charakteryzować podstawowe zjawiska zachodzące w polu elektrycznym, magnetycznym
i elektromagnetycznym,
- mierzyć podstawowe wielkości elektryczne i parametry elementów elektrycznych,
- dobierać metody i przyrządy pomiarowe,
- przedstawiać wyniki pomiarów w różnej formie,
- interpretować wyniki pomiarów,
- wyjaśniać ogólne zasady działania i bezpiecznego użytkowania podstawowych maszyn
i urządzeń elektrycznych,
- klasyfikować elementy i układy elektroniczne,
- analizować działanie podstawowych elementów i układów elektronicznych,
- klasyfikować elementy i układy automatyki,
- rozróżniać podstawowe człony dynamiczne na podstawie charakterystyk skokowych,
- określać rolę poszczególnych elementów w układach automatycznej regulacji,
- analizować działanie podstawowych układów automatyki,
- korzystać z różnych z
ródeł informacji o elementach, podzespołach i układach
elektronicznych oraz elementach i układach automatyki,
- rysować schemat blokowy układu automatycznej regulacji,
- klasyfikować układ sterowania,
- klasyfikować układy automatycznej regulacji,
- klasyfikować regulatory,
- charakteryzować parametry sterowników mikroprocesorowych,
- uruchamiać i prezentować układ sterowania,
- sporządzać charakterystyki statyczne i dynamiczne przetworników pomiarowych
i elementów wykonawczych,
- stosować przepisy bezpieczeństwa i higieny pracy podczas montowania
i uruchamiania elementów i urządzeń automatyki.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
5
3. CELE KSZTAA
CENIA
W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
- zmontować układ sterowania z regulatorem ciągłym,
- zaplanować eksperyment pomiarowy w celu przeprowadzenia identyfikacji obiektu,
- wykonać zaplanowany eksperyment i zarejestrować odpowiednie zmienne procesowe,
- wyznaczyć, na podstawie zarejestrowanych przebiegów, parametry przybliżonego
modelu obiektu,
- wyznaczyć, dla przyjętego kryterium, optymalne nastawy regulatora,
- zaprogramować regulator,
- uruchomić układ sterowania i przeprowadzić rejestrację zmiennych procesowych,
- zinterpretować wyniki otrzymane dla sterowania z optymalnymi nastawami.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
6
4. MATERIAA
NAUCZANIA
4.1. Struktury układów regulacji
4.1.1. Materiał nauczania
Własności układu automatyki zależą głównie od zastosowanej struktury połączeń jego
elementów. Poniżej przedstawione zostaną przykłady układów regulacji, które powinny
przedstawić strukturę i zasadę działania typowych układów regulacji.
Na rys. 1a przedstawiono schemat ideowy układu stabilizacji napięcia stałego generatora
napędzanego stałą prędkością obrotową � = const.
Rys. 1. Układ stabilizacji napięcia generatora prądu stałego: [3, s. 92]
a) schemat ideowy, b) schemat obwodu twornika, c) schemat blokowy układu z trzema zmianami znaku
przyrostów sygnałów, d) schemat blokowy z jedną zmianą znaku przyrostów sygnałów
Zmiana wielkości prądu (i) pobieranego przez odbiornik (odbiorców), wpływa na zmianę
wartości napięcia y, co jest spowodowane spadkiem napięcia na rezystancji twornika Rtw.
Zmiana obciążenia, czyli zmiana prądu i, stanowi zakłócenie pracy generatora prądu stałego,
a więc wpływa na stabilność pracy układu. Z tego powodu koniecznym stało się
wprowadzenie układu automatycznej stabilizacji.
W tym układzie sygnał wyjściowy (napięcie) y jest porównywany z wartością zadaną
napięcia w, a różnica między nimi stanowi uchyb regulacji e, który wzmocniony
w wzmacniaczu wz, zasila silniczek wykonawczy prądu stałego obcowzbudny s. Silniczek ten
przez przekładnię p zmienia wartość oporności R w uzwojeniu wzbudzenia. W układzie jak
na rys. 1, wzrost napięcia wyjściowego y powoduje wzrost oporności R, co z kolei jest
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
7
powodem zmniejszenia się napięcia y. Takie połączenie nazywa się ujemnym sprzężeniem
zwrotnym.
Układ regulacji posiada jeszcze jedną istotną właściwość. Węzeł sumujący realizuje
równanie
e = w - y
Element ten (węzeł sumujący) powinien zapewniać, by zmiana sygnału wyjściowego nie
wpływała na zmianę sygnału zadanego, a więc ma wywołać jedynie zmianę uchybu
e. W układzie generatora prądu stałego taka sytuacja wystąpi, gdy wzmacniacz wz będzie
posiadał parametry wzmacniacza idealnego  nieskończoną rezystancję wejściową. Jako
element układu automatyki, wzmacniacz jest elementem bezinercyjnym o wzmocnieniu kw.
Wyżej podano, że w układzie występuje ujemne sprzężenie zwrotne. Cechuje się ono tą
własnością, że w pętli utworzonej z elementów występuje nieparzysta ilość zmiany znaku
przyrostów wielkości. W układzie jak na rys. 1c, występuje zmiana znaku przyrostu "eg
w stosunku do "u, zmiana znaku przyrostu "e w stosunku do "y oraz zmiana przyrostu "u
w stosunku do "ą.
Oczywiście wielokrotna zmiana znaku przyrostów wielkości nie jest potrzebna. Na rys 1d
przedstawiono równoważny schemat blokowy, w którym występuje tylko jedno  ujemne
wzmocnienie w węz
le sumującym. Jest to wystarczające do realizacji ujemnego sprzężenia
zwrotnego.
Rys. 2. Układ stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku: [3, s.94] a) schemat ideowy układu stabilizacji
poziomu, b) schemat blokowy układu, c) przekształcenie fragmentu układu z rys. 2b objętego linią przerywaną,
d) przekształcony schemat układu
W układzie stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku (rys. 2) poziom cieczy zależy od
różnicy pomiędzy nastawionym przez hydrauliczny element wykonawczy ew dopływem
objętościowym q1 i wymuszonym przez pompę odpływem q2. Wartość zadaną poziomu
nastawia się przez wstępny naciąg sprężyny pokrętłem p. Stała fs pochodząca od wstępnie
naciągniętej sprężyny jest równoważona siłą fh oddziaływania mieszka m, w którym
proporcjonalne do poziomu ciśnienie jest zamienione na siłę. W wyniku porównaniu obu sił
ustala się położenie strumiennicy s, z której pod ciśnieniem wytryskuje strumień oleju. Jeżeli
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
8
strumiennica znajduje się w położeniu neutralnym względem obu otworów o1, o2, ciśnienia
nad i pod tłokiem t elementu ew są takie same i tłok stoi. Jeżeli nastąpi nieznacznie
wychylenie strumiennicy o kąt ą to na skutek różnicy ciśnień tłok
t zaczyna się poruszać w odpowiednim kierunku, zmieniając dopływ q1. Obieg oleju jest
zamknięty.
W module 311[07].Z3 poznałeś elementy automatyki, podstawowe określenia, wzory
opisujące elementy. Jednak jak przedstawiono na dwóch przykładach opisanych powyżej,
niezbędne jest szersze (kompleksowe) spojrzenie na sterowanie i regulację procesami
technologicznymi.
System techniczny to zbiór dowolnych elementów tworzących określoną funkcjonalną
całość. Zgodnie z tym systemem można nazwać przedsiębiorstwo, wydział produkcyjny,
obrabiarkę, itp.
Istota sterowania w dowolnym systemie, polega na tym, że system wskutek sterowania
osiąga stany korzystniejsze niż stany, jakie w nim wystąpiłyby bez sterowania.
Określenie  stany korzystniejsze w systemach technicznych oznacza, że przebieg
procesu technologicznego jest prawidłowy, zgodny z warunkami technicznymi lub optymalny
ze względu na założony cel produkcyjny.
W procesach produkcyjnych wskutek różnych nieuniknionych przyczyn zakłócających,
jak błędy obsługi, zakłócenia w dostawie energii, surowców, awarie, występują odstępstwa od
procesów prawidłowych. W trakcie przebiegu procesu należy więc podjąć pewne czynności
by osiągnąć stany korzystniejsze niż w przypadku braku tych czynności.
W takim rozumieniu, sterowanie procesami technicznymi to nie tylko czynności
wpływające na przebieg procesu, ale także związane z nadzorem, kontrolą, zabezpieczeniami,
sprawozdawczością, itp.
Systemy techniczne ze względu na stosowane metody sterowania dzieli się na układy
i systemy wielkie.
W układach występuje sterowanie pojedynczymi procesami. Na ogół są to układy stabilizacji
parametrów na zadanym poziomie np. utrzymywanie temperatury, poziomu cieczy itp.
W systemach wielkich, system sterowania obejmuje wiele układów lub podsystemów
powiązanych wspólnym celem działania.
Cechą charakterystyczną systemów wielkich jest kompleksowe ujmowanie sterowania,
a więc uwzględnienie udziału ludzi, maszyn, z
ródeł surowców i energii oraz powiązania
informacyjne pomiędzy poszczególnymi częściami systemu i powiązania z innymi
systemami.
Wspólną cechą układów sterowania jest uzyskiwanie, przetwarzanie, przesyłanie
i wyzyskiwanie informacji. W trakcie sterowania należy uzyskać informacje o aktualnym
stanie procesu, ocenić na podstawie tej informacji ewentualne odstępstwa od prawidłowego
przebiegu procesu i sformułować działania nastawcze  przetwarzanie informacji. Z kolei
działania nastawcze realizowane są w zespołach wykonawczych  wyzyskiwanie informacji.
Każdy układ regulacji składa się z obiektu i urządzenia sterującego. Urządzenie sterujące
obejmuje wszystkie zespoły i elementy zapewniające automatyczne sterowanie procesem.
Natomiast urządzenie technologiczne lub maszynę, w której przebiegają procesy sterowane
nazywa się obiektem.
Rozróżnia się dwa główne rodzaje systemów sterowania: systemy sterowania otwartego
(bez sprzężenia zwrotnego) i systemy sterowania zamkniętego (ze sprzężeniem zwrotnym).
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
9
 urządzenie sterujące
w y
1 2 3 Obiekt
Rys. 3. Schemat strukturalny systemu sterowania otwartego: 1  urządzenie wejściowe,
2  urządzenie przełączające (układ logiczny), 3  urządzenie wyjściowe,
w- wielkość sterująca (wiodąca), y  wielkość regulowana
Systemy sterowania otwartego (rys. 3) występują we wszelkich rodzajach automatach
o działaniu cyklicznym. Do tych urządzeń należą automaty handlowe (np. sprzedaż biletów,
napojów), automaty oświetleniowe, itp. W każdym z nich sygnał wejściowy inicjujący cykl
powoduje pojawienie się określonej wielkości wyjściowej z obiektu, np. po wrzuceniu
monety, żetonu (sygnał wejściowy) uzyskuje się puszkę napoju (sygnał wyjściowy).
W układzie otwartym, obieg sygnału nie tworzy obwodu zamkniętego.
Układy sterowania otwartego są nieprzydatne do stabilizacji wielkości wyjściowej.
Konieczny jest inny sposób sterowania.
z
Kz
u Ku y
obiekt urządzenie
pomiarowe
e - ym
urządzenie w
sterujące
Rys. 4. Schemat strukturalny układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym:
u  sygnał nastawczy, z  wymuszenie zakłócające, e  odchyłka (sygnał błędu, uchyb),
ym  sygnał wyjściowy z urządzenia pomiarowego, w  wielkość zadana
Istotą tej struktury (rys. 4) jest występowanie toru, po którym wielkość wyjściowa y
z obiektu jest przesyłana na wejście obiektu. W układzie tworzy się zamknięty obwód
przekazywania sygnałów. Układ o tej strukturze sterowania jest układem sterowania ze
sprzężeniem zwrotnym.
W systemach sterowania ze sprzężeniem zwrotnym do elementarnych zadań sterowania
należy realizacja warunku
w - ym = e 0,
gdzie: oznacza  dąży do 0 , tzn. utrzymanie uchybu e na poziomie bliskim zeru, co jest
równoznaczne ze stabilizacją sygnału ym na poziomie w.
Układy sterowania, których celem jest spełnienie tego elementarnego warunku, należą do
układów regulacji.
Układy regulacji zależnie od wartości zadanej dzieli się na układy regulacji
stałowartościowej (stabilizacji), programowej, nadążnej i ekstremalnej. W regulacji
stałowartościowej wartość zadana ma w określonym czasie wartość stałą. Zadaniem układu
regulacji stałowartościowej jest utrzymywanie stałej wartości regulowanej niezależnie od
działających zakłóceń. Regulacja stałowartościowa jest najczęściej stosowana w praktyce
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
10
przemysłowej. W regulacji nadążnej wartość zadana podlega zmianom nieprzewidywalnym.
Układ regulacji nadążnej powinien zapewnić zmianę wielkości regulowanej w zależności od
zmian innej wielkości fizycznej, zwanej wielkością wiodącą. W tym przypadku wartość
zadana jest funkcją innej wielkości, do której wielkość regulowana powinna się
dostosowywać. Regulacja nadążna nazywa się też często regulacją śledzącą. Przykładem są
radarowe układy nadążne artylerii przeciwlotniczej. Układy nadążne, w których wielkością
regulowaną jest wielkość mechaniczna, taka jak przesunięcie, prędkość kątowa, itd., są
nazywane serwomechanizmami. W regulacji programowej wartość zadana zmienia się
zgodnie z ustalonym uprzednio programem czasowym. Układ regulacji programowej jest
szczególnym przypadkiem układu śledzącego. Zadaniem układu regulacji ekstremalnej jest
utrzymanie maksymalnej lub minimalnej wartości wielkości regulowanej, jaką tylko można
osiągnąć, przy aktualnie występujących zakłóceniach.
Innym kryterium klasyfikacji układów regulacji automatycznej mogą być np. liczba
wielkości regulowanych w obiekcie oraz sposób pomiaru wielkości regulowanej.
Ze względu na liczbę wielkości regulowanych wyróżniamy jedno- i wielowymiarowe
układy regulacji.
Ze względu na sposób pomiaru wielkości regulowanej, można dokonać podziału układów
regulacji automatycznej na układy analogowe i cyfrowe. W układach tych bardzo istotną rolę
pełnią odpowiednio przetworniki A/C i C/A.
Projektując układ regulacji należy uwzględnić wiele czynników, dokonać jego analizy
tak, by uzyskać informacje o:
- nastawach regulatora,
- strukturze układu,
- zależności jaka powinien spełniać regulator,
- jakości regulacji,
- niezawodności układu w warunkach pracy normalnej i awaryjnej,
- kosztach,
- dostępności na rynku i inne.
Korzystanie z metod analizy wymaga znajomości zasad pracy układu automatycznej
regulacji i funkcji poszczególnych elementów w układzie.
Matematyczny opis układu regulacji
Właściwości ciągłego elementu lub układu liniowego o parametrach stałych można
opisać za pomocą równania różniczkowego, liniowego, o stałych współczynnikach i postaci
ogólnej:
dn y dn-1y dmx dm-1x
an + a + K +a0y = bm + bm-1 +K +b0 x,
dtn n-1 dtn-1 dtm dtm-1
przy czym dla fizycznie realizowanych przypadków obowiązuje warunek m d" n. Jest to
równanie rzędu n względem wielkości wyjściowej  y, zaś x oznacza wymuszenie (wielkość
wejściową), t  czas, ak i bl  współczynniki stałe (k = 0, 1, 2, ..., n; l = 0, 1, 2, ..., m).
Opis typu wejście  wyjście w przedstawionej powyższej postaci nie jest najczęściej zbyt
wygodny. Bardzo duże uproszczenie tego opisu uzyskuje się wprowadzając pojęcie
transmitancji operatorowej.
Metoda operatorowa polega na zastosowaniu przekształcenia, zwanego przekształceniem
Laplace`a, które pozwala zastąpić równanie różniczkowo-całkowe zwykłym równaniem
algebraicznym. Przekształcenie Laplace`a przyporządkowuje danej funkcji transformatę
(obraz przekształcenia) i odwrotnie
f(t) "! F(s).
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Załóżmy, że X(s) jest transformatą Laplace`a wymuszenia x(t) pojawiającego się dla
t > 0, a Y(s)  transformatą szukanego sygnału wyjściowego y(t). Wówczas powyższe
równanie wejście  wyjście, w dziedzinie transformat, przy zerowych warunkach
początkowych, można zapisać jako
(ansn + an-1 sn-1 + an-2 sn-2 + ... + a1s + a0) Y(s) = (bmsm + bm-1 sm-1 + bm-2 sm-2 + ... + b1s +
+ b0) X(s).
Transmitancją operatorową nazywa się iloraz transformat wyjścia i wejścia, przy
zerowych warunkach początkowych
Y(s) bm sm +bm-1sm-1 +bm-2sm-2 + K +b1s +b0
G(s) = = ,
X(s) a sn +a sn-1 +a sn-2 + K +a1s +a0
n n-1 n-2
przy czym m d" n.
Transmitancja G(s) jest funkcją zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w wyniku
pomnożenia transformaty wejścia X(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje się transformatę
wyjścia Y(s):
X(s) G(s) = Y(s).
Ponieważ transmitancja operatorowa opisuje w sposób kompletny właściwości elementu
lub układu liniowego, wpisujemy ją wewnątrz prostokąta symbolizującego dany element
na schematach blokowych układów automatyki.
Wyznaczanie transmitancji podstawowych połączeń elementów
Połączenie szeregowe (rys. 5).
x a b y x y
K1(s) K2(s) K3(s) a" G(s)
Rys. 5. Połączenie szeregowe elementów
Transmitancja główna elementów połączonych szeregowo (rys.5), wynosi:
Y(s) Y(s)B(s)A(s)
G(s) = = ,
X(s) B(s)A(s)X(s)
czyli
Y(s)
G(s) = = K1(s)�" K2(s)�" K3(s)
X(s)
a więc jest iloczynem transmitancji elementów tworzących układ.
Połączenie równoległe (rys. 6).
K1(s) +a
+b
x K2(s) y a" x G(s) y
+c
K3(s)
Rys. 6. Połączenie równoległe elementów
Transmitancja główna elementów połączonych równolegle (rys. 6), wynosi:
Y(s) A(s) + B(s) +C(s) A(s) B(s) C(s)
G(s) = = = + + ,
X(s) X(s) X(s) X(s) X(s)
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
12
czyli
Y(s)
G(s) = = K1(s) + K2(s) + K3(s)
X(s)
a więc jest sumą algebraiczną transmitancji elementów tworzących układ.
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym (rys. 7).
Ko(s) y
e ą +
Kr(s) w
Rys. 7. Układ ze sprzężeniem zwrotnym
W przypadku ujemnego sprzężenia zwrotnego równanie węzła sumacyjnego jest
następujące:
E(s) = W(s)  Y(s),
a równanie opisujące sygnał wyjściowy ma postać:
Y(s) = Ko(s) Kr(s)E(s).
Po przekształceniach otrzymujemy:
Y(s)
Y(s) Y(s) E(s)
G(s) = = = .
Y(s)
W(s) E(s) + Y(s)
1+
E(s)
W przypadku dodatniego sprzężenia zwrotnego równanie węzła sumacyjnego jest
następujące:
E(s) = W(s) +Y(s),
zatem zmieni się tylko znak sumy w mianowniku transmitancji.
Transmitancja układu ze sprzężeniem zwrotnym (rys. 7) określana jest zależnością
Ko(s)�" Kr(s)
G(s) =
1 m Ko(s)�" Kr(s).
Gdy w mianowniku występuje znak  + , mamy do czynienia z układem z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym, natomiast gdy występuje znak  - , - to układ z dodatnim sprzężeniem
zwrotnym.
Transmitancja układu zamkniętego
Rys. 8. Schemat blokowy układu z wyróżnionymi wymuszeniami:
wartością zadaną w i zakłóceniem z [3, s. 97]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Na rys. 8, elementy występujące pomiędzy miejscami wejścia zakłócenia z a głównym
węzłem sumującym przedstawiono w postaci jednego bloku o transmitancji Kz(s). Pozostałe
elementy pętli skupiono w drugim bloku transmitancji Kz*(s). Analizując schemat blokowy
układu, jak na rys. 8 uzyskujemy równania:
Y(s) = [K*(s) E(s) - Z(s)] Kz(s)
z
E(s) = W(s) - Y(s)
Wprowadzając oznaczenie
K(s) = K*(s) Kz(s)
z
jako transmitancję otwartego układu, otrzymujemy:
K(s) Kz(s)
Y(s) =
1 + K(s)W(s) - 1 + K(s)Z(s)
We wzorze powyższym, przedstawiającym zależność pomiędzy wymuszeniami
w i z, a wielkością regulowaną y w układzie zamkniętym występują dwie transmitancje.
Pierwsza z nich
K(s) Y(s)
G(s) = =
1 + K(s) W(s), przy Z(s) = 0
nazywa się transmitancją główną zamkniętego układu, natomiast druga
Kz (s) Y(s), przy W(s) = 0
Gz (s) = = -
1 + K(s) Z(s)
nazywa się transmitancją zakłóceniową zamkniętego układu.
Po przekształceniach, otrzymujemy zależność pomiędzy uchybem E(s) a wymuszeniami
W(s) i Z(s):
1 Kz(s)
E(s) =
1 + K(s)W(s) + 1 + K(s)Z(s)
We wzorze tym, także występują dwie transmitancje. Transmitancja
1 E(s)
Ge(s) = =
1 + K(s) W(s), przy Z(s) = 0
zwana jest transmitancją uchybową zamkniętego układu.
Transmitancja
Kz (s) E(s)
Gz(s) = = , przy W(s) = 0
1 + K(s) Z(s)
tak jak poprzednio, jest transmitancją zakłóceniową zamkniętego układu.
W przypadku, gdy w układzie działa kilka zakłóceń (Zi(s), i = 1, 2, ... , n) otrzymuje się
dla uchybu w zamkniętym układzie następującą zależność:
n
Kzi
1
E(s) = W(s) + Zi (s)
"
1 + K(s) 1 + K(s)
i = 1
gdzie: Kzi (s) - transmitancja zastępcza elementów znajdujących się pomiędzy wejściem
i-tego zakłócenia a głównym węzłem sumującym.
Kształtowanie własności dynamicznych
Na rys. 9, przedstawiono układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym, składający się
z bezinercyjnego wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu kw >> 1 oraz elementu
dynamicznego o transmitancji �(s).
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
14
w + e y
kw
-
�(s)
Rys. 9. Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym przez blok
kw  wzmocnienie wzmacniacza, �(s)  transmitancja elementu sprzężenia zwrotnego
Transmitancja układu z rys. 9, wynosi:
kw
G(s) =
1 + kw �(s)
Przy wzmocnieniu kw >> 1 transmitancja spełnia zależność:
1 1
G(s) = H"
1
�(s)
+ �(s)
kw
Transmitancja G(s) zależy tylko od parametrów transmitancji sprzężenia zwrotnego �(s),
a nie zależy od parametrów wzmacniacza. Zatem wzmocnienie kw może się zmieniać, byle
tylko było duże. Tę własność wykorzystuje się do konstrukcji regulatorów analogowych jako
elementów o pożądanych własnościach dynamicznych.
Ujemne sprzężenie zwrotne jest podstawową cechą układu regulacji automatycznej.
Zasadniczą własnością układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym jest to, że przy
dostatecznie dużym wzmocnieniu, przy którym układ jest stabilny, uchyb jest zbliżony
do zera.
Własności statyczne i dynamiczne podstawowych elementów automatyki
Jeżeli istnieje proporcjonalność między zmianami sygnału wyjściowego y i zmianami
sygnału wejściowego x elementu, to charakterystyka statyczna elementu y = f(x) jest linią
prostą (rys.10), a element taki nazywamy liniowym. W charakterystyce liniowej nachylenie
wykresu K, nazywane współczynnikiem wzmocnienia, ma wartość stałą, niezależną od
wartości sygnału wejściowego, która jest równa tangensowi kąta nachylenia charakterystyki
statycznej.
"y
K = = tg ą = const
"x
W układach regulacji automatycznej rzeczywiste elementy mają często charakterystyki
statyczne nieliniowe, w których współczynnik wzmocnienia zależy od wartości sygnału
wejściowego (rys.11). Człony takie nazywamy nieliniowymi. Przybliżoną wartość
współczynnika wzmocnienia elementu nieliniowego, dla określonej wartości sygnału
wejściowego, otrzymamy zastępując jego charakterystykę statyczną odcinkiem stycznej
w danym punkcie i przyjmując tanges kąta nachylenia stycznej jako wzmocnienie.
Dla wybranych na wykresie punktów nachylenie wykresu wynosi:
"y1
- dla punktu P1 K1 = = tg ą1,
"x1
"y2
- dla punktu P2 K2 = = tg ą2.
"x2
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Rys. 10. Charakterystyka statyczna elementu liniowego Rys. 11. Charakterystyka statyczna elementu
[8, s.14] nieliniowego [8, s. 14]
Zastępowanie charakterystyki nieliniowej odcinkiem linii prostej nazywamy linearyzacją.
Linearyzacja pozwala określić wartość współczynnika wzmocnienia jedynie
w niewielkim otoczeniu punktu pracy. Im większe jest otoczenie punku pracy, tym większy
jest błąd spowodowany linearyzacją.
Charakterystyki dynamiczne określają zachowanie się bloków w stanach nieustalonych,
po zadaniu określonego przebiegu sygnału wejściowego. Do określania charakterystyk
dynamicznych układu sterowania lub jego części stosuje się, wytworzone specjalnie w tym
celu, standardowe sygnały wejściowe (tab. 1), których przebieg czasowy odwzorowuje z góry
określoną funkcję.
Tabela 1. Standardowe sygnały wejściowe (wymuszenia) stosowane do badania elementów automatyki
[8, s. 15]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Najczęściej do określania właściwości dynamicznych członów stosuje się standardowe
wymuszenie skokowe jednostkowe przybierające w dowolnej chwili czasu wartość skoku
równą jeden a odpowiedz
elementu lub układu na to wymuszenie nazywamy odpowiedzią
skokową jednostkową. Odpowiedz
skokowa członu to odpowiedz
na standardowe
wymuszenie skokowe przybierające w dowolnej chwili czasu stałą wartość xst.
Rodzaje podstawowych członów dynamicznych automatyki. Człon proporcjonalny
Człon proporcjonalny (bezinercyjny) jest to najprostszy element automatyki, którego
właściwości dynamiczne mogą być pominięte i który w związku z tym jest wystarczająco
dokładnie opisywany charakterystyką statyczną
y = k�x,
gdzie:
- y  wielkość wyjściowa,
- x  wielkość wejściowa,
- k  współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności).
Charakterystykę statyczną elementu proporcjonalnego przedstawia rys. 12, natomiast
charakterystykę odpowiedzi skokowej przedstawia rys.13.
Rys. 12. Charakterystyka statyczna elementu Rys. 13. Odpowiedz
skokowa elementu
proporcjonalnego [8, s. 17] proporcjonalnego [8, s. 17]
Współczynnik wzmocnienia elementu obliczamy z charakterystyki skokowej:
y(t) k �"xst
= = k.
x(t) xst
W zapisie rachunku operatorowego człon proporcjonalny (bezinercyjny) opisany jest
transmitancją, która jest równa współczynnikowi proporcjonalności:
Y(s)
G(s) = = k.
X(s)
Przykładem elementu proporcjonalnego jest dz
wignia dwustronna (rys. 14). Siła Fx
przyłożona do jednego końca dz
wigni powoduje, że natychmiast pojawia się na drugim końcu
siła Fy, której wartość zależy od stosunku odległości punktów przyłożenia sił od punktu
podparcia dz
wigni:
Fx�a = Fy�b,
a
Fy = �"Fx .
b
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Rys. 14. Dz
wignia dwustronna [16, s. 34] Rys. 15. Rezystancyjny dzielnik napięcia [8, s. 18]
Przykładem elektrycznego elementu proporcjonalnego jest rezystancyjny dzielnik
napięcia (rys. 15). Sygnałem wejściowym x jest napięcie U1 , przyłożone w chwili t0, które
powoduje, że na zaciskach wyjściowych w tej samej chwili pojawi się napięcie U2 jako
sygnał wyjściowy y, którego wartość wynosi:
R
2
U2 = U1 ,
R1+R
2
R
2
gdzie: k = - jest wzmocnieniem elementu proporcjonalnego.
R1+R
2
Do elementów proporcjonalnych (bezinercyjnych) zaliczamy również wszystkie
połączenia sztywne, zawory, przekładnie.
Człon inercyjny I rzędu
Właściwości dynamiczne członu inercyjnego I rzędu dobrze oddaje jego odpowiedz

skokowa (rys. 16). Wielkość wyjściowa tego członu wykazuje, w stosunku do wymuszenia
przyłożonego na wejściu, pewną  bezwładność (inercję). Stąd nazwa tego członu. Człon
inercyjny ma także charakterystykę statyczną, która określa zależność między stałą w czasie
wartością wielkości wejściowej a wartością ustaloną wielkości wyjściowej.
Rys. 16. Odpowiedz
skokowa elementu inercyjnego I rzędu: x(t)  sygnał wejściowy, y(t)  sygnał
wyjściowy, k, T  parametry członu [8, s. 19]
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe ma postać:
t
-
T
y(t) = K(1  e ),
gdzie:
- K - wzmocnienie członu,
- e  stała (podstawa logarytmów naturalnych),
- T  stała czasowa.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Szybkość zmian wielkości wyjściowej jest charakteryzowana za pomocą parametru T,
zwanego stałą czasową i mającego wymiar czasu. Im większa jest wartość tego parametru,
tym wolniej nadąża wielkość wyjściowa za wejściową.
Stałą czasową T członu inercyjnego otrzymujemy jako czas określony rzutem odcinka
stycznej 0A na asymptotę wyznaczająca wartość ustaloną wielkości wejściowej. Możemy
wyznaczyć ją również podstawiając do wyżej podanego równania opisującego odpowiedz
na
wymuszenie skokowe t = T:
y(T) H" 0,632�K.
W przypadku skokowej zmiany wielkości wejściowej, wielkość wyjściowa człony
inercyjnego I rzędu zmienia się w ciągu każdego przedziału czasu o długości T o ok. 63%
różnicy między jej wartością początkową a wartością ustaloną, do której dąży.
Człon inercyjny I rzędu opisany jest równaniem różniczkowym
dy(t)
T + y(t) = K x(t)
dt
lub transmitancją w zapisie rachunku operatorowego
K
G(s) = .
1+ sT
Charakterystykę członu inercyjnego ma wiele urządzeń (samą lub w połączeniu z innymi
członami). Inercję spotykamy przede wszystkim tam, gdzie występuje pokonywanie
bezwładności i oporów ruchu. Przykładowo charakterystykę inercyjną będzie miał wykres
prędkości wirowania silnika elektrycznego po włączeniu go do sieci, wykres prędkości
liniowej samochodu po zmianie położenia dz
wigni gazu. Za pomocą inercji możemy
przedstawić właściwości dynamiczne np.: żelazka, garnka, w którym podgrzewana jest woda,
zbiornika ze swobodnym odpływem
Przykładem w elektronice członu inercyjnego I rzędu jest czwórnik typu RC lub LR
(rys.17). W przypadku czwórnika RC odpowiedzią na wymuszenie skokowe napięcia U1, jest
napięcie na ładującym się kondensatorze, a w przypadku czwórnika LR  napięcie na
odbiorniku, wprost proporcjonalne do narastającego prądu w obwodzie. Stałe czasowe
L
podanych elementów inercyjnych są odpowiednio równe: RC i .
R
Rys. 17. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego I rzędu za pomocą: a) czwórnika RC,
b) czwórnika LR [8, s. 21]
Człon inercyjny II rzędu
A
ańcuchowe połączenie dwóch elementów inercyjnych I rzędu prowadzi do układu
zwanego elementem inercyjnym II rzędu. Przykładem w dziedzinie elektroniki takiego
elementu może być połączenie dwóch członów inercyjnych typu RC (rys. 18) lub LR.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
19
Rys. 18. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego II rzędu [8, s. 20]
Człon R1C1 wprowadza opóz
nienie początkowe, ponieważ napięcie na kondensatorze jest
traktowane jako sygnał wejściowy dla członu R2 C2.
Równanie różniczkowe elementu inercyjnego II rzędu ma postać:
d2y dy
T1 T2 + (T1 + T2) + y = Kx,
dt2 dt
gdzie: T1, T2  stałe czasowe,
K  współczynnik proporcjonalności.
Transmitancja operatorowa ma postać:
K
G(s) = .
(T1s +1)(T2 s +1)
Rys. 19. Odpowiedz
skokowa elementu inercyjnego II rzędu: x(t)  sygnał wejściowy,
y(t)  sygnał wyjściowy [8, s. 19]
Na rys. 19 przedstawiona jest odpowiedz
skokowa członu inercyjnego II rzędu oraz
sposób wyznaczania stałych czasowych T1, T2. Element inercyjny II rzędu często po
uproszczeniu traktowany jest jako element inercyjny I rzędu o stałej czasowej T2
z początkowym opóz
nieniem T1. Jest to typowy model dynamiczny wielu procesów
przemysłowych.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
20
Człon całkujący
Charakterystyka odpowiedzi skokowej członu całkującego przedstawiona jest na rys. 20.
Rys. 20. Odpowiedz
skokowa członu całkującego: x(t)  sygnał wejściowy,
y(t)  sygnał wyjściowy [8, s. 21]
Odpowiedz
skokowa y(t) jest określona zależnością:
1
y(t) = xst�t,
T
gdzie:
- T  stała czasowa całkowania ( czas po, którym odpowiedz
skokowa osiągnie wartość
wymuszenia).
Element całkujący opisany jest równaniem różniczkowym:
dy
T = k�x
dt
lub transmitancją operatorową
k
G(s) =
sT
Jak widać z przebiegu odpowiedzi skokowej, która narasta liniowo do nieskończoności,
człon całkujący nie osiąga stanu ustalonego. Człon całkujący nazywany jest członem
astatycznym, bo nie ma on charakterystyki statycznej. Ponieważ osiąga on stan ustalony tylko
przy zerowej wartości sygnału wejściowego (rys. 21).
Rys. 21. Zmiana sygnału wyjściowego członu całkującego przy skokowych zmianach sygnału
wejściowego [9, s. 22]
Przykładem fizycznym elementu całkującego jest zbiornik, w którym zarówno dopływ,
jak i odpływ są wymuszane i niezależne od poziomu cieczy. Również silnik elektryczny,
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
21
idealizując sposób jego rozruchu ( silnik rusza z prędkością znamionową, nie wykazując
inercji), jest przykładem modelu członu całkującego. W chwili załączenia napięcia, które dla
małych silników ma charakter skokowy, obserwujemy liniowo narastającą liczbę obrotów
wału silnika.
Człon inercyjny I rzędu można, przez pewien czas stanowić dobre przybliżenie członu
całkującego. Im większa jest stała czasowa członu inercyjnego, tym dłuższy jest ten czas.
W związku z tym, przy bardzo dużych wartościach stałych czasowych członu inercyjnego
można go traktować jak człon całkujący.
Człon różniczkujący
Idealny element różniczkujący opisany jest równaniem różniczkowym:
dx
y(t) = k
dt
lub transmitancją operatorową
G(s) = k s.
Odpowiedzią skokową idealnego członu różniczkującego (rys. 22) jest funkcja Diraca
pomnożona przez współczynnik proporcjonalności oraz amplitudę wymuszenia wejściowego.
Możemy powiedzieć, że odpowiedzią członu różniczkującego idealnego jest sygnał
o znikomo krótkim czasie trwania (o zerowym czasie trwania) i nieskończenie wielkiej
amplitudzie.
Rys. 22. Odpowiedz
skokowa idealnego członu różniczkującego: x(t)  sygnał wejściowy, y(t)  sygnał
wyjściowy [8, s. 21]
W rzeczywistych układach fizycznych nie możliwe jest uzyskanie impulsu
o nieograniczonej amplitudzie, w związku z tym właściwości członu różniczkującego
idealnego bada się wymuszeniem liniowo narastającym (rys. 23).
Rys. 23. Odpowiedz
idealnego członu różniczkującego przy liniowo narastającym sygnale wejściowym
[9, s. 23]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Jak widać na rys. 23, przy liniowo narastającym wymuszeniu na wyjściu idealnego
członu różniczkującego otrzymujemy funkcję skokową. Przykładem takiego członu może być
prądnica prądu stałego, której sygnałem wejściowym jest kąt obrotu wału, a sygnałem
wyjściowym napięcie o stałej wartości, proporcjonalnej do prędkości wirowania wału.
Człon różniczkujący rzeczywisty jest opisany równaniem różniczkowym:
dy dx
T + y = k ,
dt dt
dla którego transmitancja operatorowa wynosi
s
G(s) = k ,
1+ sT
gdzie:
- T  stała czasowa członu różniczkującego,
- k  współczynnik wzmocnienia.
Na rys. 24 przedstawiona jest odpowiedz
skokowa tego członu.
Rys. 24. Odpowiedz
skokowa rzeczywistego członu różniczkującego: x(t)  sygnał wejściowy, y(t) 
sygnał wyjściowy, T  stała różniczkowania [8, s. 23]
Przebieg zmian sygnału wyjściowego y(t) rzeczywistego członu różniczkującego
przedstawia zależność:
t
T
k
y(t) = xst�e- ,
T
gdzie: xst  wartość skoku wymuszenia.
Taka samą odpowiedz
skokową jak na rys. 24 otrzymalibyśmy przy szeregowym
połączeniu członów: inercyjnego ze stałą czasową T i różniczkującego idealnego.
Przykładem w elektronice elementu różniczkującego jest dzielnik napięcia RL i czwórnik
CR (rys. 25).
a) b)
Rys. 25. Przykład rzeczywistego członu różniczkującego: a) dzielnik napięcia RL, b) czwórnik CR [8, s. 25]
Człon oscylacyjny
Człon oscylacyjny jest opisany równaniem różniczkowym:
d2y dy
T12 + T2 + y = kx(t)
dt2 dt
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
23
lub transmitancją operatorową
k
G(s) = ,
T12s2+T2 s +1
gdzie:
2
T1, T2  stałe czasowe, T2 < T12 ,
-
k  współczynnik proporcjonalności.
-
Rys. 26. Odpowiedz
skokowa członu oscylacyjnego dla różnych współczynników tłumienia: x(t)  sygnał
wejściowy, y(t)  sygnał wyjściowy [8, s. 25]
Przebiegi odpowiedzi na wymuszenie skokowe członu oscylacyjnego przedstawia
T2
rys. 26. Zależą one od wartości współczynnika tłumienia ś = . Dla współczynnika ś e" 1
T1
charakterystyka przypomina odpowiedz
członu inercyjnego, dla ś < 1 występują oscylacje.
Przykładem realizacji elektrycznej elementu oscylacyjnego jest szeregowy obwód
rezonansowy złożony z elementów RLC jak na rys. 27. Sygnałem wejściowym układu jest
napięcie U1, sygnałem wyjściowym  napięcie U2. Parametry elementu oscylacyjnego
określają następujące zależności:
R C
T1 = L �" C , T2 = R�C, ś = .
2 L
Rys. 27. Realizacja elektryczna elementu oscylacyjnego [8, s. 26]
Człon opóz
niający (continuum RL)
Sygnał wyjściowy elementu opóz
niającego ma taki sam kształt jak sygnał wejściowy,
lecz przesunięty w czasie. Równanie człon opóz
niającego ma postać:
y(t) = x(t  T0),
gdzie: T0  opóz
nienie.
Jego transmitancja operatorowa wynosi:
0
G(s) = k� e-sT ,
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
24
a odpowiedz
skokową przedstawia rys. 28.
Rys. 28. Odpowiedz
skokowa członu opóz
niającego: x(t)  sygnał wejściowy, y(t)  sygnał wyjściowy
[8, s. 27]
Człon opóz
niający nie wprowadza zniekształceń sygnału wejściowego, lecz przesuwa
go w czasie o pewną stałą wartość T0. Człon ten opisuje czas transportu materiału, czas
potrzebny do przesłania sygnału. W związku z tym, człon ten często nazywany jest
opóz
nieniem transportowym. Przykładami członu opóz
niającego są: np. odcinek rurociągu
wprowadzający opóz
nienie w przesyle jakiegoś medium, taśmociąg. W dziedzinie elektroniki
przykładem takiego członu jest linia opóz
niająca 64�s (sygnały podawane są w odstępie
czasu trwania linii, czyli przez 64�s na matrycę dekodera) stosowana w kolorowych
odbiornikach telewizyjnych.
Innym modelem członu opóz
niającego jest linia elektryczna, w której uwzględniono
tylko indukcyjność L i pojemność C na jednostkę długości (rys. 29). Stąd inna nazwa członu
opóz
niającego  continuum LC.
Rys. 29. Continuum LC [15, s. 60]
4.1.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie są podstawowe układy łączenia elementów?
2. Jaki jest wzór na transmitancję zastępczą szeregowego i równoległego połączenia
elementów?
3. Jakie zależności opisują układy ze sprzężeniem zwrotnym?
4. Jaki wpływ na działanie układu ma sprzężenie zwrotne, gdy wzmocnienie wzmacniacza
jest bardzo duże?
5. Jaki zachowa się układ ze sprzężeniem zwrotnym, gdy pojawi się zakłócenie
w dowolnej części układu?
6. Jak charakteryzuje się elementy liniowe?
7. Jakie poznałeś elektryczne modele podstawowych członów automatyki?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
25
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Wyznacz transmitancję układu jak na rys. Uwzględnij wartości elementów.
Rys. do ćwiczenia 1. Schemat ideowy układu
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) wykonać obliczenia,
4) zaprezentować wykonane ćwiczenie,
5) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
6) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schematy układu, otrzymane
wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- zeszyt,
- instrukcja ćwiczenia,
- literatura z rozdziału 6.
Ćwiczenie 2
Wyznacz transmitancję układu jak na rys. Uwzględnij wartości elementów.
Rys. do ćwiczenia 2. Schemat ideowy układu
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
26
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) wykonać obliczenia,
4) zaprezentować wykonane ćwiczenie,
5) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
6) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schematy układu, otrzymane
wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- zeszyt,
- instrukcja ćwiczenia,
- literatura z rozdziału 6.
4.1.4. Sprawdzian postępów
Tak Nie
Czy potrafisz:
1) obliczyć transmitancję zastępczą połączonych szeregowo elementów?
2) obliczyć transmitancję wzmacniacza objętego sprzężeniem zwrotnym?
3) przekształcić układ automatyki?
4) obliczyć odpowiedz
układu na wymuszenie skokiem jednostkowym?
5) przewidzieć wpływ zakłócenia na wielkość regulowaną?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
27
4.2. Modele matematyczne obiektów i układów sterowania
4.2.1. Materiał nauczania
Sterowanie polega na oddziaływaniu na określony proces fizyczny w celu uzyskania
pożądanego przebiegu tego procesu. Wśród wielu odmian wyróżnić można sterowanie:
- sekwencyjne,
- czasowe,
- sekwencyjno-czasowe,
- nadążne,
- programowe.
Cechą charakterystyczną sterowania sekwencyjnego jest zapewnienie właściwej
kolejności wykonywania operacji technologicznych.
Sterowanie czasowe, polega na tym, że odpowiednie oddziaływanie urządzenia
sterującego odbywa się według z góry ustalonego programu czasowego. Najczęściej chodzi
o utrzymanie odpowiedniego odstępu czasowego między dwoma zdarzeniami.
Sterowanie sekwencyjno-czasowe stanowi połączenie dwóch wyżej przedstawionych
odmian sterowania. W układach sterowania nadążnego wartość wielkości wiodącej (zadanej)
nie jest z góry znana, lecz zmienia się dość przypadkowo. W układach sterowania
programowego wielkość wiodąca zmienia się w sposób z góry znany, zgodnie z określonym
programem. Program ten może być zmieniany przez obsługę.
Jako regulatory wykorzystuje się układy przekaz
nikowe, logiczne, sterowniki,
komputery.
Niejednokrotnie wskutek występowania wielu zakłóceń, zmieniających się w szerokim
zakresie, zastosowanie prostych układów regulacji automatycznej nie pozwala uzyskać
zadawalającego przebiegu procesu technologicznego. Konieczne jest zastosowaniem bardziej
złożonych układów regulacji. Wśród złożonych struktur układów regulacji automatycznej
można wyróżnić układy regulacji:
- z pomocniczą wielkością nastawczą,
- kaskadowej,
- z pomiarem wielkości zakłócającej.
Dobór najwłaściwszej struktury układu regulacji jest zadaniem trudnym i wymaga bardzo
dobrej znajomości właściwości statycznych i dynamicznych obiektu regulacji.
Układy regulacji z pomocniczą wielkością nastawczą (rys. 30) stosuje się w celu
poprawienia przebiegu wielkości regulowanej w stanach nieustalonych. W układzie wyróżnia
się dwie wielkości nastawiające: główną y i pomocniczą yp, a tym samym dwa elementy
wykonawcze. Aby pomocniczy element wykonawczy mógł ingerować również w stanach
nieustalonych, jest on sterowany przez element dynamiczny typu D lub PD.
z
y x
xo e
R Obiekt
CD
- yp
Rys. 30. Schemat blokowy układu regulacji z pomocniczą wielkością nastawiającą:
y  główna wielkość nastawiająca, yp  pomocnicza wielkość nastawiająca, xo - wielkość zadana,
e  uchyb, z  zakłócenie, x  wielkość regulowana, R  regulator, CD  człon dynamiczny
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
28
Rys. 31. Układ regulacji temperatury komory nagrzewanej pyłem węglowym
z pomocniczą wielkością nastawiającą [14, s. 104]
MK  młyn kulowy, C  cyklon, R  regulator, PD  regulator pomocniczy typu PD, K  komora spalania
Przykładem układu regulacji z pomocniczą wielkością nastawiającą jest układ regulacji
temperatury w komorze K nagrzewanej pyłem węglowym (rys. 31). Po zmieleniu węgla
w młynie kulowym MK pył zostaje przetransportowany wraz ze strumieniem powietrza do
cyklonu C, gdzie osiada na jego dnie. Prosty sposób regulacji może polegać na pomiarze
temperatury i oddziaływaniu na prędkość kątową młyna. Cecha charakterystyczną takiego
obiektu jest duża wartość czasu opóz
nienia oraz stałej czasowej. Dla polepszenia regulacji
wykorzystano jako pomocniczą wielkość nastawiającą strumień powietrza dostarczający pył
węglowy bezpośrednio do komory spalania. Zmniejszenie się wartości temperatury
Ń w stosunku do zadanej Ńo powoduje:
- zwiększenie stopnia otwarcia zaworu, wskutek czego nastąpi chwilowe zwiększenie
przepływu powietrza porywającego za sobą cząstki pyłu,
- zwiększenie prędkości kątowej młyna, co z kolei spowoduje zwiększenie ilości
wytwarzanego paliwa.
Powietrze dodatkowe doprowadzone bezpośrednio do komory spalania uzupełnia ilość
powietrza do całkowitego spalania.
Rys. 32. Układ regulacji ciśnienia w zbiorniku, z wykorzystaniem [14, s. 105]
pomocniczej wielkości nastawiającej
P  pompa, Z  zbiornik, R  regulator, D  regulator typu D, M  silnik
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
29
Rys. 32 przedstawia zbiornik zasilany przez pompę P. Wielkością regulowaną jest
ciśnienie w zbiorniku. Nastawianie ciśnienia przez zmianę prędkości kątowej � pompy P jest
sposobem bardzo ekonomicznym (małe zużycie energii), ale równocześnie bardzo powolnym.
Zmniejszenie odpływu Q ze zbiornika powoduje w nim nadmierny wzrost ciśnienia, co jest
bardzo niebezpieczne. Zastosowanie zaworu pomocniczego powoduje, w przypadku wzrostu
ciśnienia, szybkie przymknięcie zaworu. Spowoduje to zwiększenie spadku ciśnienia na
zaworze nie dopuszczając do wystąpienia nadmiernego ciśnienia w zbiorniku. W normalnym
stanie pracy zawór jest całkowicie otwarty.
W niektórych przypadkach można dla określonego obiektu wybrać pewną wyjściową
wielkość pomocniczą, na którą wszelkie zakłócenia wpływają znacznie wcześniej niż na
wielkość regulowaną. Często wielkością pomocniczą może być wielkość regulowana, ale
zmierzona w jakimś miejscu pośrednim.
Wykorzystanie wielkości pomocniczej w układzie regulacji umożliwia regulatorowi
odpowiednio wcześniej wpłynąć na wielkość nastawianą, niżby to było możliwe w przypadku
odczekania aż do chwili uwidocznienia wpływu tego zakłócenia na wielkość regulowaną.
Układ umożliwiający realizowanie takiego oddziaływania nosi nazwę układu regulacji
kaskadowej.
obiekt
e x
xo Rg Rp O1 O2
xp
Rys. 33. Schemat blokowy układu regulacji kaskadowej: Rg  regulator główny,
Rp  regulator pomocniczy, x0 - wielkość zadana, e - uchyb xp  pomocnicza wielkość regulowana,
x  wielkość regulowana, O1, O2  części obiektu
Schemat blokowy układu regulacji kaskadowej przedstawiono na rys. 33. W obiekcie
regulacji wyodrębniono dwie części:
- blok O1 symbolizuje wpływ wielkości nastawianej na pomocniczą wielkość regulowaną
xp,
- blok O2 symbolizuje wpływ wielkości xp na wielkość regulowaną x.
W strukturze można także wyodrębnić dwa obwody regulacyjne:
- pomocniczy z regulatorem Rp,
- główny z regulatorem Rg.
Obwód z regulatorem głównym Rg, jest obwodem wolno działającym, wspomagającym
pracę obwodu pomocniczego. Przeciwdziała on głównie tym zakłóceniom, które wpływają
bezpośrednio na główną wielkość regulowaną.
W porównaniu z prostymi układami regulacji, układy regulacji kaskadowej posiadają
następujące zalety:
- większą dokładność regulacji,
- mniejsze wahania wartości wielkości wyjściowej w wyniku ograniczenia zakresu
zmienności pomocniczej wielkości regulowanej,
- znaczny stopień i prędkość tłumienia zakłóceń przez obwód pomocniczy.
Układy regulacji kaskadowej są powszechnie stosowane, gdyż umożliwiają uzyskanie
regulacji na odpowiednim, zadawalającym poziomie.
Modele statyczne i dynamiczne w automatyce
Skuteczność sterowania dowolnego układu wymaga poznania jego zachowania się
w czasie, czyli znajomości odpowiedzi na pytanie, jakie są skutki działania w układzie
określonej przyczyny. Każdy układ fizyczny, którego zachowanie zmienia się w czasie
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
30
nazywamy układem dynamicznym. Układy automatyki są w większości układami
dynamicznymi. Rozpatruje się ich właściwości, podobnie jak elementów automatyki, podając
na ich wejście standardowe sygnały wejściowe i obserwuje ich odpowiedzi na określone
wymuszenie. Wyniki badań zależą od liniowości układu lub odstępstw od liniowości. Układ
dynamiczny jest liniowy gdy spełnia on zasadę superpozycji, a równanie różniczkowe
opisujące układ jest liniowe. Właściwie układy liniowe nie istnieją, np. prawo Ohma dla
rezystora jest prawdziwe tylko dla pewnych wartości prądów i napięć, a po przekroczeniu
wartości odpowiadającej mocy znamionowej rezystor ulega zniszczeniu.
Dla pełnej oceny właściwości obiektu dynamicznego przeprowadza się badania
w stanach ustalonych i przejściowych (nieustalonych). Właściwość układu dynamicznego
określona w stanie ustalonym nazywa się charakterystyką statyczną. Ze względu na kształt
charakterystyki statycznej, obiekty regulacji (sterowania) dzielimy na:
- obiekty liniowe,
- obiekty nieliniowe.
Większość obiektów sterowania ma charakterystykę statyczną nieliniową. Analizując
nieliniową charakterystykę statyczną (rys.34) możemy jednak określić zakres zmian
sygnałów, w którym poszczególne obiekty traktuje się jako liniowe. Dzięki temu, badając
obiekty w otoczeniu punktu pracy, zastępujemy charakterystykę krzywoliniową 
charakterystyką liniową. Również analiza układów liniowych jest prostsza niż nieliniowych.
Rys. 34. Ilustracja zakresu liniowości nieliniowej charakterystyki statycznej [13, s. 67]
Charakterystyki statyczne obiektów regulacji
Model statyczny obiektu możemy przedstawić jako szeregowe lub równoległe
połączenie podstawowych elementów automatyki. Również elementy składowe mogą być
połączone w układ sprzężenia zwrotnego. Analizę takiego modelu statycznego obiektu
przeprowadzić możemy posługując modelami przedstawionymi graficznie.
Konstruowanie charakterystyki obiektu, którego dwa elementy są połączone równolegle
(rys. 35), sprowadza się do narysowania charakterystyk tych elementów na jednym wykresie
oraz ich dodaniu graficznym.
Rys. 35. Równoległe łączenie elementów: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna
[13, s. 58]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
31
W celu otrzymania charakterystyki wynikowej obiektu, którego dwa elementy są
połączone szeregowo (rys. 36), wykonuje się złożenie (superpozycję) charakterystyk tych
elementów.
Rys. 36. Szeregowe łączenie elementów: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna
[13, s. 58]
Jeżeli elementy są połączone przez sprzężenie zwrotne, to charakterystykę wypadkową
wyznacza się w zależności od znaku sprzężenia według schematu z rys. 37:
- dla ujemnego sprzężenia zwrotnego krzywa y = f1(x),
- dla dodatniego sprzężenia zwrotnego krzywa y = f2(x).
W zależności od znaku sprzężenia, sygnał x opisany jest zależnościami:
- dla sprzężenia ujemnego
x = k + l,
- dla sprzężenia dodatniego
x = k  l.
Rys. 37. Układ sprzężenia zwrotnego: a) schemat, b) wypadkowe charakterystyki statyczne przy sprzężeniu
dodatnim y = f2(x) i ujemnym y = f1(x) [8, s. 33]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
32
Charakterystyki dynamiczne obiektów regulacji
Ze względu na przebieg odpowiedzi skokowej obiekty regulacji możemy podzielić na:
- statyczne (z samowyrównaniem), w których wielkość sterowana (regulowana) y osiąga
stan ustalony w otwartym układzie sterowania (bez pomocy regulatora),
- astatyczne (bez samowyrównania), w których wielkość sterowana y nie może osiągnąć
stanu ustalonego bez regulatora.
Zapewnienie dobrych parametrów układom regulacji stosowanym w przemyśle jest
często trudne, gdy w obiekcie występuje opóz
nienie, np. związane z transportem składników
reakcji procesu chemicznego. Opóz
nienie jest tak ważnym składnikiem dynamiki obiektu, że
często możemy zaniedbać wpływ innych składników i dlatego typowym modelem
dynamicznym obiektu (procesu) przemysłowego jest:
- opóz
nienie z inercją opisane równaniem różniczkowym (obiekt statyczny
z samowyrównaniem - rys. 38 a):
dy(t)
y(t) + Tz = Kx(t  T0),
dt
gdzie:
- współczynnik wzmocnienia K = y0/xst,
- zastępczy czas opóz
nienia T0,
- zastępcza stała czasowa Tz;
- lub opóz
nienie z całkowaniem opisane równaniem różniczkowym (obiekt astatyczny bez
samowyrównania  rys. 38 b):
dy(t)
= Kx(t - T0),
dt
gdzie:
- zastępczy czas opóz
nienia T0,
- stała całkowania Tc = xst/ tg ą (lub k = 1/ tg ą gdy y jest inną wielkością fizyczną niż x).
Rys. 38. Przebieg odpowiedzi na wymuszenie skokowe: a) obiektu statycznego, b), c) obiektu astatycznego
[16, s. 40]
Na rys. 38 c przedstawiono odpowiedz
obiektu astatycznego  opóz
nienie z inercją
i całkowaniem, którą charakteryzują następujące parametry:
- zastępczy czas opóz
nienia T0,
- zastępcza stała czasowa części inercyjnej odpowiedz
i obiektu Tz,
- stała całkowania Tc = xst/ tg ą (lub k = 1/ tg ą gdy y jest inną wielkością fizyczną niż x).
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
33
Wyznaczanie charakterystyk obiektów dynamicznych
Charakterystyki statyczną i dynamiczną obiektu można wyznaczyć zarówno analitycznie
jak i doświadczalnie.
Właściwości ciągłego elementu, obiektu lub układu liniowego o parametrach stałych
można opisać za pomocą równania różniczkowego, liniowego, o stałych współczynnikach.
Teoretyczne wyznaczenie właściwości dynamicznych na podstawie odpowiedzi na
typowe wymuszenie wymaga rozwiązania równania różniczkowego. Można to zrobić
dwiema metodami:
- metodą klasyczną polegającą na rozwiązaniu równania (obliczeniu pierwiastków
równania i wyznaczeniu stałych na podstawie warunków początkowych, wymagana jest
znajomość wyższej matematyki),
- metodą operatorową polegającą na zastosowaniu przekształcenia, zwanego
przekształceniem Laplace`a, które pozwala zastąpić równanie różniczkowo-całkowe
zwykłym równaniem algebraicznym.
Przekształcenie Laplace`a, powszechnie stosowane w automatyce, przyporządkowuje
danej funkcji transformatę (obraz przekształcenia) i odwrotnie
f(t) "! F(s).
Załóżmy, że X(s) jest transformatą Laplace`a wymuszenia x(t) pojawiającego się dla t > 0,
a Y(s)  transformatą szukanego sygnału wyjściowego y(t).
Transmitancją operatorową nazywa się iloraz transformat wyjścia i wejścia, przy
zerowych warunkach początkowych
Y(s)
G(s) = .
X(s)
Transmitancja G(s) jest funkcją zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w wyniku
pomnożenia transformaty wejścia X(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje się transformatę
wyjścia Y(s):
X(s) G(s) = Y(s).
Ponieważ transmitancja operatorowa opisuje w sposób kompletny właściwości elementu
lub układu liniowego, wpisujemy ją wewnątrz prostokąta (bloku) symbolizującego dany
element na schematach blokowych układów automatyki.
Na podstawie charakterystyki operatorowej można wyznaczyć charakterystyki statyczne
elementów, obiektów i układów regulacji, a także charakterystyki dynamiczne  odpowiedzi
na typowe wymuszenia, np. skok jednostkowy. Jest to znacznie prostsze niż rozwiązywanie
metodą klasyczną równania różniczkowego, ale wymaga znajomości rachunku
operatorowego.
Praktyczne wyznaczenie charakterystyk obiektu wymaga:
- przygotowanie obiektu do badań ( ustalenie wielkości wejściowych i wyjściowych oraz
zakresów ich zmian),
- doboru aparatury pomiarowej ( odpowiedni zakres pomiarowy, inercyjność wskazań
przyrządów znacznie mniejsza od inercyjności obiektu),
- montażu aparatury pomiarowej na obiekcie ( montaż przyrządów zgodnie z ich
dokumentacją techniczno-ruchową),
- przygotowania tabel pomiarowych.
W celu wyznaczenia charakterystyki statycznej (rys. 39 a) dokonuje się, w stanach
ustalonych, odczytów wartości sygnału wyjściowego y dla kolejnych wartości sygnału
wejściowego x. Pomiary należy przeprowadzić w całym zakresie zmian pracy obiektu. Jeżeli
zmiany sygnału wejściowego nie następują w sposób ciągły, to należy przyjąć kwant
(przyrost w kolejnych odczytach) sygnału. Wartość kwantu może być zmieniana w trakcie
pomiaru, np. w obszarach dużych nachyleń charakterystyk kwant powinien być mniejszy.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
34
Charakterystykę odpowiedzi skokowej obiektu wyznacza się w otoczeniu wybranego
punktu pracy. Wartość wymuszenia skokowego powinna wynosić 5�15 % maksymalnej
swojej wartości oraz znajdować się na takim poziomie, aby odpowiedz
skokowa mieściła się
w obszarze punku pracy. Wartość skoku na wejściu zależy od stopnia nieliniowości
charakterystyki statycznej (im bardziej nieliniowa tym wartość skoku mniejsza  rys. 39 a, b).
W przypadku badań obiektów podczas ich eksploatacji, do wyznaczenia odpowiedzi
skokowej często stosuje się wymuszenie impulsem prostokątnym (rys. 39 c). Wartość
impulsu wynosi 15�25% zakresu zmian wymuszenia. Impuls prostokątny traktowany jest jak
dwa sygnały skokowe o takiej samej wartości ale o przeciwnych znakach i opóz
nione
względem siebie o czas �.
Rys. 39. Charakterystyka obiektów: a) przebieg charakterystyki statycznej, b) odpowiedz
obiektu y(t) na
wymuszenie skokowe "x = x1  x2, c) odpowiedz
obiektu h(t) na wymuszenie impulsowe "x = x1  x2 [16, s. 40]
4.2.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie są podstawowe struktury układów regulacji?
2. Jakie właściwości posiada układ regulacji kaskadowej?
3. Jakie czynniki decydują o wyborze struktury układu sterowania?
4. Jaki jest cel stosowania układu sterowania z pomocnicza wielkością nastawczą?
5. Kiedy układ dynamiczny jest liniowy?
6. Jak wyznacza się charakterystykę statyczną układu dynamicznego?
7. Kiedy możemy traktować obiekty o nieliniowej charakterystyce statycznej jako liniowe?
8. W jaki sposób wyznacza się graficznie model obiektu złożonego z dwóch elementów
połączonych równolegle?
9. W jaki sposób wyznacza się charakterystykę graficzną wypadkową dwóch elementów
połączonych szeregowo?
10. Jak dzieli się obiekty regulacji ze względu na przebieg odpowiedzi skokowej?
11. W jaki sposób możemy wyznaczyć teoretycznie własności dynamiczne obiektu regulacji?
12. Jakie wymagania należy spełnić aby wyznaczyć doświadczalnie charakterystyki obiektu?
13. W jaki sposób wyznacza się charakterystykę odpowiedzi skokowej obiektu regulacji?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Badanie układu dynamicznego, który jest przedstawiony na rysunku poniżej. Jest to
naczynie z wodą o objętości ok. 1l z wymuszonym strumieniem wody 5� 10-6 m3s-1,
ogrzewane grzałką zasilaną z sieci przez autotransformator. Sygnałem wyjściowym układu
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
35
jest temperatura wody (�1 lub �2), a sygnałem wejściowym moc grzałki P. Pomiaru
temperatury dokonaj termometrem cieczowo-szklanym. Pomiar mocy P= UI wykonaj metodą
pośrednią, przy pomocy woltomierza i amperomierza. Wyznacz charakterystyki statyczne
�1,2 = f(P) i charakterystyki dynamiczne. Określ użyteczny zakresu liniowości podanego
układu oraz podaj właściwości dynamiczne na podstawie charakterystyki skokowej.
Uwaga: Grzałkę przyłącz do sieci dopiero po zanurzeniu jej w wodzie.
Rysunek do ćwiczenia 1. [6, s. 35]
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z wiadomościami dotyczącymi wyznaczania charakterystyk statycznych
i dynamicznych obiektów regulacji,
2) zapoznać się z instrukcją do ćwiczenia,
3) zapoznać się z aparaturą pomiarową oraz badanym obiektem,
4) zmontować badany układ na podstawie schematu,
5) określić jakie współrzędne charakteryzują stan badanego układu dynamicznego,
6) wyznaczyć charakterystykę statyczną układu dynamicznego jako zależność �2 = f(P),
7) wyjaśnić czy na podstawie otrzymanej charakterystyki można stwierdzić liniowość
badanego układu,
8) wybrać liniowy zakres charakterystyki,
9) określić wartość skoku sygnału wejściowego odpowiadającego połowie zakresu liniowego
charakterystyki statycznej,
10) wyznaczyć charakterystykę skokową,
11) wyznaczyć z wykresu stałą czasową T i wzmocnienie układu k,
12) opracować i zinterpretować otrzymane wyniki,
13) zaprezentować efekty swojej pracy,
14) dokonać oceny wykonania ćwiczenia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
 naczynia z wodą z wymuszonym przepływem,
 wąż gumowy (klucz szklany),
 grzałka o mocy PN = 500 W,
 autotransformator,
 termometr szklany o zakresie 0 � 100�C,
 mierniki (woltomierz, amperomierz),
 instrukcja ćwiczenia,
 zeszyt,
 przybory do pisania i rysowania,
 literatura z rozdziału 6 poradnika.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
36
Ćwiczenie 2
W układzie podanym na rysunku poniżej wyznacz charakterystyki: statyczną
i dynamiczną czwórnika RC.
Rysunek do ćwiczenia 2. [6, s. 36]
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z wiadomościami dotyczącymi wyznaczania charakterystyk statycznych
i dynamicznych obiektów regulacji,
2) zapoznać się z instrukcją do ćwiczenia,
3) zapoznać się z aparaturą pomiarową,
4) zmontować układ według rysunku,
5) określić, jakie współrzędne charakteryzują stan badanego układu dynamicznego,
6) wyznaczyć charakterystykę statyczną układu dynamicznego,
7) wyjaśnić, czy na podstawie otrzymanej charakterystyki można stwierdzić liniowość
badanego układu,
8) wybrać liniowy zakres charakterystyki,
9) określić wartość skoku sygnału wejściowego odpowiadającego połowie zakresu
liniowego charakterystyki statycznej,
10) wyznaczyć charakterystykę skokową,
11) wyznaczyć z wykresu stałą czasową T i wzmocnienie układu k,
12) opracować i zinterpretować otrzymane wyniki,
13) zaprezentować efekty swojej pracy,
14) dokonać oceny wykonania ćwiczenia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
 generator,
 oscyloskop,
 wyłącznik,
 czwórnik RC,
 bateria 9V,
 instrukcja do ćwiczenia,
 przybory do pisania i rysowania,
 literatura z rozdziału 6.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
37
4.2.4. Sprawdzian postępów
Tak Nie
Czy potrafisz:
1) wyznaczyć charakterystyki statyczne i dynamiczne obiektu regulacji?
2) wyznaczyć liniowy zakres charakterystyki statycznej obiektu?
3) rozróżnić układy sterowania?
4) opisać zasadę działania układów z pomiarem wielkości zakłócającej?
5) wymienić zalety układów regulacji kaskadowej?
6) odczytać z przebiegu odpowiedzi skokowej stałą czasową
T i wzmocnienie k?
7) podać, w jaki sposób wyznacza się wartość wymuszenia skokowego
w celu wyznaczenia charakterystyki dynamicznej układu?
8) podać, w jaki sposób uzyskuje się charakterystykę skokową w trakcie
eksploatacji obiektu?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
38
4.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne
4.3.1. Materiał nauczania
Stabilność jest określana jako zdolność zachowania pewnego stanu równowagi (rys. 40).
Stabilność charakteryzuje właściwości dynamiczne układu, które są warunkiem jego
prawidłowej pracy.
Układ zamknięty liniowy jest stabilny, jeżeli dla wymuszeń równych zeru i dowolnych
warunków początkowych uchyb w układzie dąży do zera w stanie ustalonym (rys. 41).
Rozróżnia się dwa rodzaje stabilności:
1. stabilność układu w stanie swobodnym  gdy na układ nie działają sygnały zewnętrzne
(zarówno sterujące jak i zakłócające),
2. stabilność układu poddanego działaniom zakłócającym.
Rys. 40. Rodzaje równowagi [wykład prof. dr hab. inż. J. Kowala  AGH]
Podstawowym warunkiem prawidłowej pracy liniowych układów sterowania jest ich
stabilność w stanie swobodnym. Dlatego duże znaczenie mają metody jej sprawdzania.
a) b)
Rys. 41. Przykładowe charakterystyki czasowe:
a) układów stabilnych, b) układów niestabilnych
Obecnie zastosowanie techniki komputerowej znacznie ułatwia określenie stabilności
układów. Jednak często chcemy zbadać wpływ zmian poszczególnych parametrów na
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
39
stabilność oraz jej zapas, tzn. ustalić jak warunki pracy układu różnią się od krytycznych, po
których przekroczeniu układ liniowy traci stabilność. W takich przypadkach stosuje się tzw.
kryteria stabilności lub metodę linii pierwiastkowych i bada się stabilność bez rozwiązywania
równania charakterystycznego. Można skorzystać z kryteriów algebraicznych Routha
i Hurwitza oraz częstotliwościowych Michajłowa i Nyquista oraz kryterium logarytmicznego.
Kryteria algebraiczne Routha i Hurwitza umożliwiają sprawdzenie, czy układ liniowy jest
stabilny na podstawie wartości współczynników tzw. równania charakterystycznego  bez
jego rozwiązywania [3]. Korzystając z częstotliwościowego kryterium stabilności można
wnioskować o stabilności układu na podstawie przebiegu odpowiednich charakterystyk
częstotliwościowych.
Kryterium Michajłowa umożliwia badanie stabilności układu liniowego na podstawie
przebiegu na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej wykresu funkcji K(j�), otrzymanej
z wielomianu charakterystycznego K(s) po podstawieniu s = j�.
Zgodnie z tym kryterium przebiegi y0(t) zanikają w funkcji czasu, jeżeli pierwiastki równania
charakterystycznego są rzeczywiste ujemne lub zespolone o częściach rzeczywistych
ujemnych, a jeżeli chociażby jedna z części rzeczywistych si jest dodatnia to y0(t) zmierza do
nieskończoności czyli układ jest niestabilny.
Kryterium Nyquista
Niech będzie dany układ otwarty o transmitancji G0(s) (rys. 42). Po wprowadzeniu
ujemnego, sztywnego sprzężenia zwrotnego otrzymujemy układ zamknięty (rys. 43).
x y
G0(s)
Rys. 42. Schemat układu otwartego
W + y y
G0(s)
-
Rys. 43. Schemat układu zamkniętego
Dla przypadku gdy układ otwarty jest stabilny, układ zamknięty też jest stabilny, jeżeli
" arg [1 + G0 (j�)] = 0 .
0 < �< + "
Można wnioskować więc o stabilności układu zamkniętego na podstawie przebiegu
charakterystyki [1 + G0(j�)] na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej. Tę charakterystykę
otrzymuje się po przesunięciu charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(j�) układu otwartego
w prawo o odcinek o długości równej jednostce skali osi odciętych. W związku z tym zamiast
rozważać przyrost argumentu charakterystyki [1 + G0(j�)] przy zmianach pulsacji � od 0 do
+ " można badać, czy i w jaki sposób charakterystyka G0(j�) obejmuje wtedy punkt (-1, j0)
znajdujący się na osi rzeczywistej. Wynikające z tych rozważań kryterium stabilności podane
przez Nyquista formułuje się następująco:
1. Jeżeli układ otwarty jest stabilny asymptotycznie, to układ zamknięty jest stabilny
asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
G0(j�) układu otwartego przy zmianie pulsacji � od 0 do + " nie obejmuje punktu
(- 1, j0).
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
40
2. Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i jego transmitancja ma m biegunów w prawej
półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej, to układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko
wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(j�) układu otwartego przy
m
zmianie pulsacji � od 0 do + " obejmuje punkt (- 1, j0) razy.
2
Rys. 44. Charakterystyki amplitudowo-fazowe stabilnego układu otwartego [12, s. 255]
1  krzywa dla wzmocnienia, przy którym układ zamknięty jest stabilny, 2  krzywa dla wzmocnienia,
przy którym układ zamknięty jest niestabilny
Na rys. 44 pokazano wykresy G0(j�) dla układu otwartego stabilnego asymptotycznie.
W przypadku, gdy wypadkowe wzmocnienie tego układu jest takie, że wykres G0(j�)
przebiega jak krzywa 1, układ zamknięty jest stabilny. Wtedy bowiem charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (- 1, j0) przy zmianie � od 0 do
+ " . Natomiast przy odpowiednio większym wzmocnieniu wykres G0(j�) przebiegając
zgodnie z krzywą 2, obejmuje punkt (- 1, j0), a zatem układ zamknięty jest niestabilny.
Rys. 45. Charakterystyka amplitudowo-fazowa niestabilnego układu otwartego [12, s. 256]
Rys. 45 przedstawia charakterystykę amplitudowo-fazową niestabilnego układu
otwartego. W celu sprawdzenia ile razy wykres G0(j�) obejmuje punkt (- 1, j0) przy zmianach
� od 0 do + " , wyznaczamy dla tego zakresu pulsacji wypadkową zmianę argumentu
Ć wektora poprowadzonego z punktu (- 1, j0) do bieżącego punktu krzywej G0(j�). Dla
poszczególnych części tej krzywej (rys. 45) odpowiednie zmiany "i� kąta Ć wynoszą:
od A do B "1� = + Ą
od B do C "2� = + Ą
od C do D "3� = + Ą
od D do E "4� = + Ą
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
41
od E do F "5� = + Ą
od F do G "6� = 0
od G do 0 "7� = - Ą .
Rys. 46. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego [12, s. 257]
Wypadkowa zmiana argumentu
"� = "i� = 4Ą
"
a więc krzywa G0(j�) z rys. 46 objęła punkt (- 1, j0) dwa razy.
Zgodnie z kryterium Nyquista układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy
liczba biegunów transmitancji G0(s) w prawej półpłaszczyz
nie jest równa m = 4. Natomiast
przy innej liczbie tych biegunów układ zamknięty jest niestabilny.
Stabilność układu zamkniętego dogodnie jest sprawdzić na podstawie liczby przecięć
charakterystyki G0(j�) z osią rzeczywistą z lewej strony punktu (- 1, j0), tzn. na jej części od
 1 do - " . Jeżeli ustali się, że dodatnimi nazywa się przecięcia odpowiadające przejściu
charakterystyki G0(j�) przez tę część osi rzeczywistej z kierunku z góry w dół, a ujemnymi 
przecięcia odpowiadające przejściu charakterystyki G0(j�) przez tę część osi rzeczywistej
w kierunku z dołu do góry (oznaczenia na rys. 45 i 46), obserwując zmianę argumentu
wnioskujemy o stabilności lub niestabilności układu zamkniętego.
Zatem gdy układ otwarty jest asymptotycznie stabilny, wtedy układ zamknięty jest
stabilny, jeżeli wykres G0(j�) przebiega albo zgodnie z krzywą 1 albo z krzywą 2 na rys. 46.
Stosowanie kryterium Nyquista do analizy i syntezy układów liniowych
jednowymiarowych jest szczególnie przydatne w przypadku gdy układ otwarty jest stabilny.
Wtedy można korzystać także z charakterystyki amplitudowo-fazowej G0(j�) zdjętej
doświadczalnie, co jest nieraz dogodne przy badaniu realnych układów.
Gdy układ otwarty jest niestabilny, wtedy w celu stosowania kryterium Nyquista należy
znać liczbę biegunów transmitancji G0(s) położonych w prawej płaszczyz
nie. Wyznacza się je
na podstawie znanej struktury układu i znanych transmitancji elementów składowych. Gdy
układ otwarty ma lokalne sprzężenie zwrotne, należy je odpowiednio uwzględnić.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
42
Rys. 47. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego [12, s. 264]
Gdy zmieniamy pulsację � od 0 do + " (rys. 47), stosując kryterium Nyquista stwierdza
się, że układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, jeżeli krzywa G0(j�) układu otwartego
nie obejmuje punktu (- 1, j0).
Jedną z zalet kryterium Nyquista jest to, iż można je stosować dla układów zamkniętych
zawierających elementy opóz
niające.
Ważną zaletą kryterium Nyquista jest łatwość określenia zapasu stabilności układu
badanego.
W pobliżu granicy stabilności stany nieustalone są oscylacyjne o tym mniejszym
tłumieniu, im bliżej granicy niestabilności znajduje się układ. Dlatego projektując układ
dążymy by układ regulacji miał żądany zapas stabilności, tzn. aby był dostatecznie odległy od
granicy niestabilności.
Korzystając z charakterystyk częstotliwościowych układów stabilnych zapas stabilności
(rys. 48) określa się za pomocą:
- zapasu modułu (wzmocnienia)  [dB], lub "K,
- zapasu fazy "� [0].
Zapas modułu określa krotność o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie przy
niezmiennym argumencie układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na granicy
niestabilności.
Zapas fazy określa wartość zmiany argumentu transmitancji widmowej układu otwartego
przy niezmiennym wzmocnieniu, która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy
niestabilności.
Zapas fazy "� podaje się zawsze w stopniach, natomiast zapas modułu , w przypadku
operowania charakterystykami logarytmicznymi, podaje się w decybelach [dB],
a w przypadku operowania liniową charakterystyką amplitudowo-fazową (rys. 49) zapas
wzmocnienia "K podaje się w jednostkach bezwymiarowych.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
43
Rys. 48. Zapas fazy "Ć [0] i zapas modułu : [dB] [1, s. 300] a) na charakterystyce logarytmicznej
amplitudowo-fazowej, b) na logarytmicznych charakterystykach modułu M(�) i fazy Ć(�) układu otwartego.
Rys. 49. Określenie zapasów modułu i fazy [1, s. 31]
Pomiędzy zapasem modułu  i zapasem wzmocnienia k istnieje zależność
= 20 lg "K .

[dB]
W praktyce układy automatycznej regulacji projektuje się zwykle tak, aby zapas modułu
 e" 6 dB i zapas fazy "� e" 300.
Logarytmiczne kryterium stabilności
Jeżeli dana jest funkcja przejścia otwartego układu regulacji w postaci charakterystyk
logarytmicznych (amplitudy i fazy), to dogodnie jest skorzystać z kryterium stabilności dla
charakterystyk logarytmicznych. Są to warunki wynikające bezpośrednio z kryterium
Nyquista, przetransponowane na charakterystyki logarytmiczne.
Rys. 50. Charakterystyki częstotliwościowe: [18, s. 92] a) układu stabilnego, b) układu niestabilnego.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
44
Analizując charakterystyki z rys. 50 z uwzględnieniem kryterium Nyquista można
sformułować następujący warunek stabilności:
Re[K( j�x )] < 1,
przy czym: �x  pulsacja, dla której
arg K(j�x ) = - Ą
Aby więc sprawdzić czy spełniony jest warunek wyżej podany, mając do dyspozycji
charakterystyki logarytmiczne, należy sprawdzić czy dla tej częstotliwości, dla której
charakterystyka fazy osiąga - Ą , charakterystyka amplitudy ma wartość ujemną, czy
dodatnią. Jeżeli bowiem
log K( j�x ) < 0
to stąd wynika, że
K( j�x ) < 1.
Rys. 51. Charakterystyki logarytmiczne: [18, s. 93] a) układu stabilnego, b) układu niestabilnego
Dla prostych układów automatyki logarytmiczne kryterium stabilności można
sformułować tak:
Układ automatyki będzie po zamknięciu układu stabilnym, jeżeli dla częstotliwości �x,
dla której charakterystyka fazy ma wartość - Ą , logarytmiczna charakterystyka amplitudy jest
ujemna (rys. 51).
Zasady syntezy układów sterowania
W praktyce spotykamy się z następująco sformułowanym zadaniem:
Znany jest model matematyczny danego obiektu oraz ograniczenia narzucone na
poszczególne sygnały, a także określony zasób informacji o jego warunkach pracy
i występujących zakłóceniach. Należy do tego obiektu dobrać układ sterowania, który
zapewni wykonanie postawionych zadań  przy spełnieniu warunków dotyczących
stabilności, dokładności (w stanach ustalonych i przejściowych) oraz charakter przebiegów
dynamicznych.
Konieczne jest przeprowadzenie syntezy układu sterowania. Istnieje kilka metod syntezy
układów, m.in.:
- tzw. metoda klasyczna  stosowana przy syntezie układów prostych, którym nie stawia
się dużych wymagań,
- synteza związana z określeniem wrażliwości  stosowana przy syntezie układów bardziej
skomplikowanych, gdy w czasie eksploatacji zmieniają się zarówno parametry, jak
i działające na te układy zakłócenia zewnętrzne,
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
45
- synteza z uwzględnieniem wskaz
ników jakości  związana z tworzeniem układów, które
powinny pracować w sposób gwarantujący uzyskanie najlepszych możliwych przy
istniejących ograniczeniach  właściwości.
Korzystając z elementów matematyki wyższej oraz stosując m.in. specjalistyczne
programy komputerowe, w nowoczesnej teorii sterownia wykorzystuje się tzw. metodę
zmiennych stanu. Jest to metoda, która znajduje coraz więcej zwolenników.
Zastosowanie opisu układów sterowania przy użyciu zmiennych stanu umożliwiło
stworzenie ogólnych skutecznych metod syntezy układów sterowania, mających zadane
z góry właściwości dynamiczne. Dotyczy to zarówno układów jednowymiarowych jak
i wielowymiarowych. Niewątpliwą zaletą metody zmiennych stanu jest to, że umożliwia ona
sprawdzenie, czy można skutecznie sterować obiektem i to co obserwujemy na jego
wyjściach wystarcza do pełnego scharakteryzowania jego stanu ( czy pozwala stwierdzić czy
układ jest sterowalny i obserwowalny).
Przy klasycznej metodzie syntezy układów sterowania (rys. 52) najpierw zestawia się
dane wyjściowe obejmujące zadanie stawiane układowi, model matematyczny obiektu,
ograniczenia i warunki pracy. Na tej podstawie określa się wymagania i ustala założenia. Do
podstawowych wymagań należą:
- dokładność w stanach ustalonych,
- zakres, w jakim wielkość wyjściowa ma być regulowana,
- stabilność i odpowiedni zapas,
- charakter przebiegu procesów przejściowych.
Poza tym, różnym układom, zależnie od ich przeznaczenia i właściwości obiektu
sterowanego, stawia się wymagania dodatkowe (jak. np. dokładność w stanach
dynamicznych, zmniejszenie wrażliwości na zmiany niektórych parametrów i na określone
zakłócenia, rodzaje elementów, które należy zastosować ze względu bezpieczeństwa czy
niezawodności itp.).
Po przyjęciu założeń dokonuje się wyboru struktury układu, dobiera wstępnie elementy
i podzespoły, sprawdza dokładność w stanie ustalonym oraz zakres regulacji. Jeżeli nie
odpowiadają one założeniom, wprowadza się odpowiednią korekcję właściwości statycznych
przez zmiany parametrów lub nastaw niektórych elementów lub przez wymianę tych
elementów na inne. Gdy  w wyniku odpowiednich modyfikacji  udało się uzyskać
wymaganą dokładność w stanie ustalonym i zakres regulacji, należy z kolei zbadać stabilność
tego układu.
Wymaganie dotyczące stabilności powinno być zawsze spełnione przy wszelkich
przewidywalnych dla rozważanego układu warunkach.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
46
Rys. 52. Schemat postępowania przy syntezie układu sterowania metodami klasycznymi [12, s. 391]
Poza stabilnością należy sprawdzić właściwości dynamiczne, które zależą od rodzaju
obiektu i sposobu jego pracy, od charakteru procesu technologicznego, wpływu stanów
przejściowych, itp. Często formułuje się warunki, jakie powinien spełnić przebieg odpowiedzi
jednostkowej (rys. 53). Przy tym wymagania obejmują:
- dopuszczalny czas praktycznego ustalania się przebiegów t , po którym
ust
h - "dop d" h(t) d" h + "dop , t e" t
ust ust ust
(przez h oznaczono wartość ustaloną, odpowiedzi jednostkowej po zakończonym
ust
przebiegu, a przez "dop zadane z góry, dopuszczalne odchylenie od niej),
- wymagany czas t - po którym h(t) osiągnie po raz pierwszy wartość równą h ,
nr ust
- maksymalne przeregulowanie "maxh - wyrażane zwykle w procentach h ,
ust
- dopuszczalną liczbę przeregulowań w przedziale czasowym od t = 0 do t = t .
ust
Często przy ustalaniu wymagań określa się też warunki dla następujących czasów:
- t0,5 - po którym h(t) osiągnie wartość równą 0,5 h ,
ust
- t - po którym odpowiedz
jednostkowa wzrasta od wartości 0,1h (przy t = t0,1) do
pr ust
wartości 0,9 h (przy t = t0,9 ).
ust
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
47
Rys. 53. Przykładowy przebieg odpowiedzi jednostkowej i charakteryzujące ją wielkości [12, s. 391]
Wskaz
niki jakości
Celem układu regulacji automatycznej (układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym  rys.
54) jest minimalizacja uchybu regulacji powstającego na skutek działania zakłóceń na obiekt
regulacji i w wyniku zmian sygnału zadanego. Chodzi tutaj o minimalizację uchybu regulacji
zarówno w stanach ustalonych, jak i przejściowych.
Z
x + e y y
R O
-
Rys. 54. Jednoobwodowy układ regulacji automatycznej:
O  obiekt regulacji, R  regulator, Z  zakłócenie, x  wielkość zadana,
y  wielkość regulowana, e  uchyb regulacji
O ile ocena uchybów ustalonych jest stosunkowo prosta, to ocena stanów przejściowych
sprawia trudności. Trudności te rosną w miarę wzrostu rzędu układu regulacji (stopnia
charakterystycznego).
Uchyb e(t) (rys. 55), zależy od sygnału zadanego x(t), od sygnału zakłóceń z(t), od
struktury i parametrów regulatora R oraz od struktury i parametrów obiektu regulacji O.
Zależność tę można zapisać w postaci
e(t) = f [x(t), z(t), R, O].
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
48
Rys. 55. Przebiegi przejściowe uchybu regulacji w układzie automatycznej regulacji: [1, s. 193]
a) i b) wywołane skokiem wartości zadanej, c) i d)  wywołane skokiem zakłócenia;
a) i c)  aperiodyczne, b) i d)  oscylacyjne.
Badanie jakości regulacji w stanach przejściowych sprowadza się do badania kształtu
uchybu regulacji e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem, np. wymuszeniem w postaci
skoku jednostkowego.
Miarą jakości regulacji jest tzw. wskaz
nik jakości, który powinien być tak zdefiniowany,
aby mierzył żądane cechy przebiegu przejściowego e(t) z dostateczną dokładnością.
Wskaz
nikiem jakości może być w najprostszym przypadku sam uchyb e(t), lecz taki
wskaz
nik jest nieprecyzyjny, ponieważ zmienia się w czasie. Dlatego raczej używamy innych
miar jakości, które określają cechy przebiegu e(t) przy określonych wymuszeniach (np.
skokowych).
Wskaz
niki jakości można podzielić na dwie zasadnicze grupy:
- wskaz
niki bezpośrednie,
- wskaz
niki pośrednie.
Do wskaz
ników bezpośrednich zaliczamy te wskaz
niki, które są bezpośrednią miarą
określonej cechy przebiegu przejściowego e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem.
Natomiast do wskaz
ników pośrednich zaliczamy te wskaz
niki jakości, które na podstawie
przebiegu charakterystyk częstotliwościowych pozwalają w przybliżeniu ocenić kształt e(t)
przy określonym wymuszeniu (np. zapas stabilności jest wskaz
nikiem).
Do wskaz
ników bezpośrednich zalicza się parametry charakterystyki skokowej e(t), takie
jak:
- maksymalny uchyb dynamiczny em = max e(t) ;
- uchyb ustalony (końcowy) - ek, zwany też uchybem statycznym - es:
- ek = es = e (") = lim e (t) = lim Ge (s) ;
t " s 0
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
49
- oscylacyjność � (zwana także przeregulowaniem) - stosunek maksymalnego uchybu
przejściowego (chwilowego) e2, o kierunku przeciwnym niż maksymalny uchyb
początkowy, do maksymalnego uchybu początkowego e1 wyrażony w procentach:
e2
- � = 100 , gdzie e1 i e2 są określone na rys. 44b;
e1
- czas regulacji tr (zwany też czasem ustalania Tu) definiowany jako czas od chwili podania
wymuszenia skokowego na wejście układu aż do chwili, od której począwszy różnica
między wartością odpowiedzi skokowej a jej wartością końcową nie przekracza (zwykle)
5% wartości końcowej.
Inną klasę wskaz
ników bezpośrednich tworzą wskaz
niki całkowe, gdzie konieczne jest
posługiwanie się wzorami i obliczeniami wykorzystującymi elementy matematyki wyższej.
Optymalizacja układów regulacji automatycznej
Optymalizacja układu regulacji automatycznej polega na takim doborze parametrów
i struktury regulatora, który zminimalizuje wybrany wskaz
nik jakości regulacji.
Wszystkie wskaz
niki regulacji są tak sformułowane, że optymalizacja układu z rys. 54,
przy dowolnie wybranym wskaz
niku jakości, sprowadza się do takiego doboru struktury
regulatora i jego nastaw, aby zminimalizować przyjęty wskaz
nik regulacji.
Wybrany wskaz
nik jakości regulacji Q jest funkcjonałem parametrów układu regulacji
(rys. 56)
Q = Q[x(t), z(t), R, O] .
Optymalizacja układu regulacji polega na minimalizacji tego funkcjonału przy założeniu,
że x(t) oraz z(t) są dane. Jest dany również obiekt regulacji O. Natomiast należy znalez
ć
regulator R minimalizujący funkcjonał Q
Q0[R ] = min Q[ x(t), z(t), O, R] .
0
R R0
Poszukiwanie regulatora optymalnego R0 jest przedmiotem projektowania układów
regulacji automatycznej.
Poszukiwanie minimum funkcjonału Q jest najłatwiejsze w przypadku znajomości
zależności analitycznej lub graficznej wskaz
nika jakości od parametrów regulatora Q(PR).
Jeżeli taka zależność nie jest znana, ani nie możne być obliczona analitycznie na podstawie
transmitancji układu regulacji automatycznej, to minimalizację Q(PR) prowadzimy metodą
modelowania analogowego lub cyfrowego. Tok postępowania jest przedstawiony na rys. 58,
w formie schematu działań.
Spośród przedstawionych wyżej wskaz
ników jakości regulacji jedynie uchyb końcowy ek
i wskaz
nik całkowy można wyznaczyć na podstawie danej transformaty uchybu E(s), bez
obliczania oryginału e(t).
Pozostałe wskaz
niki jakości wymagają obliczenia przebiegu e(t). Niektóre z tych
wskaz
ników, znalezione metodą modelowania dla konkretnych układów regulacji
automatycznej są opublikowane w postaci wykresów danego wskaz
nika Q w funkcji
parametrów układu regulacji.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
50
Rys. 56. Schemat działań przy optymalizacji metodą modelowania: [1, s. 196]
Q0, PR0  optymalne wskaz
niki jakości i parametrów regulatora, i  numer iteracji,
Qi  wartość wskaz
nika jakości obliczona w i-tej iteracji
Przykład. W układzie przedstawionym na rys. 57, należy wyznaczyć taką stałą
całkowania Ti regulatora, przy której czas regulacji tr będzie minimalny. Parametry obiektu
regulacji są następujące: T0 = 1 min, k0 = 0,7.
x e
x
u
1 1
y
e
s Ti s T0
k
0
Rys. 57. Układ regulacji automatycznej
Rozwiązanie
Tok postępowania jest następujący:
1. Wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego.
Transmitancja układu zamkniętego wynosi:
Y(s) 1
G(s) = = .
X(s)
s2 T0 Ti + s Ti k + 1
0
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
51
Na podstawie równania widzimy, że układ regulacji automatycznej jest układem drugiego
rzędu, a zatem przy dostatecznie małym k0Ti może być układem oscylacyjnym. Okres drgań
tego układu T i współczynnik tłumienia � wynoszą
Ti
T = Ti T0 , ś = 0,5 k .
0
T0
2. Z wykresów odczytujemy optymalne nastawy (współczynnik tłumienia ś ).
Rys. 58. Wykresy wskaz
ników jakości obliczonych dla obiektu oscylacyjnego o transmitancji
układu drugiego rzędu: [1, s. 198]
I  wartość wskaz
ników całkowych przy założeniu, że T = 1; tr  czas regulacji, przy " = 5% skoku
wymuszenia
Czas regulacji jest najmniejszy przy ś0 = 0,7 (rys. 58), zatem optymalna wartość stałej
czasowej całkowania
2
�# ś#
ś0
2
ś# ź#
Ti0 = T0 H" T0 .
ś# ź#
0,5 k0
k0 2
�# #
3. Wyznaczamy szukany parametr regulatora  w tym wypadku Ti.
Dla podanego obiektu
2
Ti0 = 1 = 4 min = 240s .
0,72
Czas regulacji w tak nastawionym układzie regulacji (rys. 66)
t E" 3T = 360s .
r0
4.3.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie można wyróżnić kryteria stabilności układów automatyki?
2. W jaki sposób postępujemy badając stabilność układu za pomocą częstotliwościowego
kryterium stabilności?
3. Jakie warunki muszą być spełnione by układ był stabilny, gdy korzystamy
z logarytmicznego kryterium stabilności?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
52
4. Jakich informacji dostarczają nam wskaz
niki jakości?
5. Na czym polega optymalizacja układów regulacji automatycznej?
6. Jaki obowiązuje schemat przy syntezie i optymalizacji układów regulacji?
4.3.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Dla układu wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu, połączonego szeregowo
z elementem inercyjnym III rzędu, sprawdz
stabilność układu. Podaj warunki stabilności.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4) wykonać obliczenia,
5) zaprezentować otrzymane wyniki,
6) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
7) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, otrzymane
wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- zeszyt,
- literatura z rozdziału 6,
- instrukcja ćwiczenia.
Ćwiczenie 2
Dla układu wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu, połączonego szeregowo
z elementem inercyjnym III rzędu, sprawdz
stabilność układu. Podaj warunki stabilności.
Przedstaw charakterystyki układu, otrzymane w wyniku symulacji komputerowej,
z wykorzystaniem programu MATLAB i MATLAB-SIMULINK.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4) zgłosić gotowość wykonania ćwiczenia,
5) uruchomić program komputerowy,
6) napisać program w MATLAB-ie dla danego układu,
7) uruchomić program,
8) zaprezentować otrzymane charakterystyki,
9) zmienić nastawy: wzmocnienia i stałych czasowych i obserwować na wykresach zmiany,
10) powtórzyć ćwiczenie w programie MATLAB-SIMULINK,
11) zaprezentować otrzymane wyniki,
12) porównać obie symulacje,
13) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
53
14) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, napisany
program, otrzymane wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem narzędziowym,
- drukarka,
- literatura z rozdziału 6,
- instrukcja ćwiczenia.
4.3.4. Sprawdzian postępów
Tak Nie
Czy potrafisz:
1) sprawdzić stabilność układu automatyki?
2) odczytać z wykresu wartości nastaw układu?
3) określić zapas stabilności układu?
4) zmodyfikować układ tak by był układem stabilnym?
5) dobrać tak wzmocnienie układu, by przeregulowanie nie przekraczało
określonych wymagań?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
54
4.4. Dobór optymalnych nastaw regulatorów PID
4.4.1. Materiał nauczania
Celem kształtowania właściwości dynamicznych układów jest:
- osiągnięcie określonego tłumienia zakłóceń lub uzyskanie pożądanego przebiegu
wartości regulowanej dla układu regulacji nadążnej,
- uzyskanie określonego stopnia nieczułości wielkości regulowanej na zmiany parametrów
obiektu.
Właściwości dynamiczne układów regulacji automatycznej mogą być kształtowane
przez:
- dobór typu regulatora i jego nastaw,
- modyfikację zakłóceń i obiektu na drodze systemowej  sposób ten polega na
wprowadzeniu dodatkowych elementów pomiarowych i wykorzystaniu ich sygnałów
w dodatkowo utworzonych sprzężeniach (nie wymaga się przeprowadzania zmian
konstrukcyjnych obiektu).
- modyfikację technologii (sposób bardzo trudny do realizacji).
Wśród stosowanych struktur układów regulacji, których właściwości kształtowane są
przez modyfikację zakłóceń i obiektu na drodze systemowej można wymienić układy
regulacji:
- z pomocniczą wielkością nastawiającą,
- kaskadowej,
- z pomiarem wielkości zakłócającej.
Zadaniem układu regulacji automatycznej jest utrzymanie stałej wartości wielkości
regulowanej lub zmienianie jej w ten sposób, aby jej przebieg jak najmniej różnił się od
wartości wielkości zadanej. W zależności od charakteru przychodzących zakłóceń między
wartościami tych dwóch wielkości będzie istniała pewna różnica. Może ona być różna
w przypadku dwóch regulatorów zastosowanych do automatyzacji tego samego obiektu.
Odpowiedz
na pytanie, który z nich zapewnia lepszy przebieg regulacji, sprowadza się do
problemu wyboru jakiegoś kryterium oceny tych przebiegów. Stosunkowo szerokie
zastosowanie znalazły tzw. kryteria całkowe, które wymagają znajomości elementów
matematyki wyższej. Noszą one nazwę wskaz
ników jakości regulacji.
Wybór rodzaju regulatora, czyli wybór jego technicznego rozwiązania, można oprzeć
między innymi na rozpatrzeniu następujących cech: możliwości dynamicznych i zakresu
nastaw, złożoności budowy, niezawodności, prędkości działania, względów eksploatacyjnych,
stałości charakterystyk, instalacji zasilającej, bezpieczeństwa, kosztów, możliwości,
tworzenia złożonych układów regulacji, możliwości współpracy z komputerami, itp.
Decydując o rodzaju regulatora rozważyć należy wybór między regulatorami:
- o działaniu bezpośrednim - pobiera energię wprost z czujnika pomiarowego,
- o działaniu pośrednim  korzysta ze z
ródła energii pomocniczej i w zależności od
charakteru tego z
ródła mogą być hydrauliczne, pneumatyczne, elektryczne, w tym
nowoczesne regulatory elektroniczne, lub mieszane np. elektropneumatyczne.
W zależności od postaci sygnałów występujących w regulatorze można wybrać regulatory:
- analogowe,
- cyfrowe,
- analogowo-cyfrowe.
Regulatory o działaniu bezpośrednim cechują się dużą prostotą budowy, dużą prędkością
działania, dużą stałością charakterystyk, dużym stopniem bezpieczeństwa i bardzo dużą
pewnością w eksploatacji. Stosowane są w mało dokładnych układach regulacji
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
55
stałowartościowej temperatury, strumienia, ciśnienia, poziomu cieczy, prędkości kątowej,
napięcia elektrycznego.
Regulatory elektryczne o działaniu ciągłym, w tym również nowoczesne regulatory
elektroniczne, cechują się zwykle dość dużą złożonością, dowolnie dużą prędkością działania,
dużą stałością charakterystyk. Umożliwiają one budowanie złożonych układów regulacji,
przesyłanie sygnałów na duże odległości, zapewniają stosunkowo łatwą współpracę
z komputerami. Regulatory te jednak wymagają wysoko wykwalifikowanej obsługi.
Wybór regulatora jest jednym ze sposobów kształtowania właściwości dynamicznych
układów regulacji. Zagadnienie to w wielu wypadkach jest znacznie ważniejsze niż obliczanie
optymalnych nastaw regulatorów, z tego powodu, że stałe czasowe i współczynniki
wzmocnienia zależne są od wielu parametrów, a ponadto zmieniają się w czasie.
Ze względu na właściwości dynamiczne wyróżnia się regulatory typu:
P  proporcjonalne,
I  całkujące,
PI  proporcjonalno-całkujące,
PD  proporcjonalno-różniczkujące,
PID  proporcjonalno-całkująco-różniczkujące.
Tabela2. Podstawowe typy regulatorów przemysłowych [13, s. 79]
Wybór określonego typu regulatora jest uwarunkowany przede wszystkim:
- statycznymi i dynamicznymi właściwościami obiektu,
- wymaganiami dotyczącymi dobroci regulacji (przeregulowanie, czas regulacji, itp.).
Właściwości dynamiczne można przykładowo określić granicznym współczynnikiem
wzmocnienia i częstotliwością drgań rezonansowych układu przy regulacji obiektu
z zastosowaniem regulatora typu P.
Im graniczny współczynnik wzmocnienia jest mniejszy, tym obiekt jest trudniejszy do
regulacji, tzn.:
- tym mniejszy jest współczynnik wzmocnienia regulatora typu P, przy którym uzyskuje
się pożądane tłumienie procesu przejściowego, a tym samym większy jest ustalony uchyb
regulacji,
- uzyskanie mniejszego uchybu ustalonego wymagania zastosowania regulatora
o bardziej złożonej strukturze, np. typu PI, PID.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
56
Im częstotliwość drgań rezonansowych jest mniejsza, tym obiekt jest trudniejszy do
realizacji, tzn.:
- tym dłuższy jest czas trwania stanu nieustalonego w układzie z regulatorem typu P,
- uzyskanie krótszego czasu trwania stanu nieustalonego wymaga zastosowania regulatora
o bardziej złożonym prawie regulacji.
Zwiększenie amplitudy i częstotliwości zakłóceń periodycznych lub amplitudy
i prędkości narastania zakłóceń aperiodycznych utrudnia proces regulacji.
Regulator typu P nadaje się do stosowania przede wszystkim tam, gdzie oscylacje
wielkości nastawianych i regulowanych są niepożądane ze względów technologicznych, np.
przy regulacji poziomu i ciśnienia w zbiornikach buforowych.
Regulator typu PI stosuje się wtedy, gdy wzmocnienie w układzie z regulatorem typu P
jest niewystarczające do uzyskania żądanej dobroci regulacji w zakresie mniejszych
częstotliwości, a szczególnie w stanie nieustalonym.
Regulator typu PD stosuje się wtedy, gdy wzmocnienie w układzie z regulatorem typu P
jest wystarczające do uzyskania żądanej dobroci regulacji w zakresie małych częstotliwości
i w stanie ustalonym, lecz czas trwania procesu regulacji przy zakłóceniach aperiodycznych
jest zbyt długi lub pasmo regulacji jest zbyt małe.
Regulator typu PID stosuje się wtedy, gdy wzmocnienie w układzie z regulatorem
proporcjonalnym jest niewystarczające do uzyskania żądanego tłumienia zakłóceń w zakresie
małych częstotliwości a częstotliwość rezonansowa jest za mała, aby uzyskać żądaną
prędkość regulacji.
Obiekty technologiczne mogą reagować szybko lub powoli. Najczęściej stosowane są
regulatory PID. Od regulatora wymaga się by nastawy Kp, Ti, Td mogły być ustawiane
w szerokich granicach. Przemysłowe regulatory PID są najczęściej budowane tak, aby
0,3d" Kp d"50, 3s d" Ti d" 30min. 0 d" Td d" 10min.
Projektanci układu regulacji z regulatorami PID powinni umieć wybrać nie tylko
regulator ale także odpowiednie nastawy Kp, Ti, Td. jeżeli uchyb ma być mały, to trzeba
wybrać regulator z dominującym członem całkującym, a więc PI lub PID. Jeżeli uchyb może
być stosunkowo duży można zastosować regulator P.
Wartość nastaw regulatora zależy od przeregulowania i czasu regulacji występujących
w stanie nieustalonym spowodowanym zakłóceniem skokowym oraz właściwości
dynamicznych obiektu regulacji.
Tabela. 3. Zależność nastaw regulatora P, PI, PID od wskaz
ników jakości i właściwości obiektów regulowanych
Dokładność dynamiczna
Typ
� = 2...5% minimum � = 20% minimum tr � = 50% minimum tr
regulatora
tr
To To To
P Kp Kob = 0,4 Kp Kob = 0,7 Kp Kob = 1,0
T T T
To To To
Kp Kob = 0,6 Kp Kob = 0,7 Kp Kob = 1,0
PI T T T
Ti = 0,8To � 0,5T Ti = To � 0,3T Ti = To � 0,3T
To To To
Kp Kob = 1,0 Kp Kob = 1,2 Kp Kob = 1,4
T T T
PID
Ti = 2,4 To Ti = 2,0 To Ti = 1,3 To
Td = 0,4 To Td = 0,4 To Td = 0,5 To
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
57
Tabela. 4. Czas regulacji (tR) w przypadku układów regulacji z regulatorami P, PI, PID
Dokładność dynamiczna
Typ
Wartość tr/To
regulatora
� = 2...5% minimum tr � = 20% minimum tr � = 50% minimum tr
P 4,5 6,5 9
PI 8 12 16
PID 5,5 7 10
gdzie: � - przeregulowanie,
tr - czas regulacji,
To - czas opóz
nienia obiektu,
T - stała czasowa obiektu,
Kob - wzmocnienie obiektu.
To
Dane w tabeli 3 obowiązują przy stosunku d" 0,6 .
T
Rys. 59. Kryteria optymalnych nastaw regulatorów:[14, s. 83] a) przebieg aperiodyczny z czasem
minimalnym regulacji tR; b) przebieg oscylacyjny z przeregulowaniem 20 % i czasem
minimalnym tr; c) przebieg oscylacyjny z wartością minimalną całki kwadratu uchybu
Nastawy regulatorów typu P, PI, PID określa się na podstawie specjalnych
normogramów. Normogramy takie są opracowywane dla dwóch typów obiektów
regulowanych:
- statycznego,
- astatycznego.
W praktyce normogramy pozwalają na przybliżone określenie wartości nastaw.[12]
W 1942 r. Ziegler i Nichols podali po raz pierwszy pewne zasady umożliwiające
określenie wartości nastaw regulatorów bez potrzeby dokonywania pomiaru właściwości
dynamicznych obiektu.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
58
Ustalenie pewnych właściwości obiektu polega na określeniu wartości współczynnika
krytycznego Kkr oraz okresu oscylacji. W celu wyznaczenia tych wartości należy
przeprowadzić następujący eksperyment:
- w zainstalowanym przy obiekcie regulatorze typu PID wyłączyć działanie części
całkującej (nastawić Ti = " ) oraz części różniczkującej (nastawić Td = 0);
- zwiększając stopniowo wzmocnienie regulatora Ko doprowadzić układ do granicy
stabilności (pojawienie się drgań nietłumionych);
- zanotować wartość krytyczną współczynnika wzmocnienia regulatora Kkr oraz okres
oscylacji Tkr.
W zależności od typu stosowanego regulatora należy przyjąć następujące nastawy dla
regulatorów:
- typu P
Kr = 0,5 Kkr;
- typu PI
Kr = 0,45 Kkr;
Ti = 0,85 Tkr;
- typu PID
Kr = 0,6 Kkr;
Ti = 0,5 Tkr;
Td = 0,12 Tkr.
Znając właściwości dynamiczne obiektu można korzystać z reguł Zieglera-Nicholsa
posługując się dodatkowymi zależnościami. Wg Kupfmq
llera wzmocnienie krytyczne
regulatora typu P
To + T 1
Kkr H"
To Ko
natomiast okres oscylacji
Tkr H" 2To + T .
W praktyce często dobiera się nastawy regulatorów metodą eksperymentalną (metodą
kolejnych przybliżeń). Czynności nastawiania wartości parametrów regulatorów nazywa się
strojeniem. Dla każdego regulatora obowiązuje kolejność wykonywania czynności.
4.4.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie znasz typy regulatorów?
2. Jakimi kryteriami posługujemy się wybierając regulator?
3. Jakie parametry charakteryzują regulator?
4. Jaka jest różnica między regulatorami o działaniu bezpośrednim i pośrednim?
5. Jakie parametry utrudniają regulacje obiektów?
6. Jakie zalety wynikają z zastosowania nastaw Zieglera i Nicholsa?
4.4.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz wartości optymalnych nastaw regulatora PI dla układu regulacji poziomu cieczy.
Charakterystyki dynamiczne obiektu regulacji zostały przedstawione na rysunku. Należy
przyjąć przeregulowanie � H" 20% oraz minimalny czas regulacji Tu. Zakłócenie skokowe
oddziałuje na wejście obiektu, którego współczynnik wzmocnienia KOB = 1.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
59
Rysunek do ćwiczenia 1. Kocioł walczakowy jako obiekt regulacji poziomu
cieczy: a) schemat kotła, b)przyrost dopływu wody, c) przyrost poziomu
wody w kotle, d) przebieg uproszczony (po aproksymacji) [15, 321]
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym doboru nastaw regulatorów,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) określić wszystkie dane zadania,
4) rozpoznać model obiektu regulacji,
5) dokonać wyboru odpowiedniej tablicy z wzorami do obliczeń optymalnych nastaw
regulatora PI,
6) odczytać z wykresu wartość T0,
7) wyznaczyć wartość stałej całkowania Tc obiektu,
8) wyznaczyć optymalne nastawy regulatora PI  Kp i Ti,
9) sporządzić wnioski z przeprowadzonych obliczeń,
10) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- zeszyt,
- kalkulator,
- przybory do pisania,
- literatura z rozdziału 6.
Ćwiczenie 2
Odczytaj z rysunku, przedstawiającego wyniki symulacji komputerowej stanu
nieustalonego układu regulacji ciśnienia spowodowanego sygnałem zakłócającym,
maksymalny uchyb początkowy ep0, przeregulowanie � wielkości regulowanej oraz czas
regulacji Tu. Przedział tolerancji jest równy ą 0,1 wartości zadanej.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
60
Rysunek do ćwiczenia 2. [4, s. 256]
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym wskaz
nikom jakości dynamicznej
doboru regulatorów do układu regulacji,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) określić wszystkie dane zadania,
4) narysować na rysunku przedział tolerancji,
5) odczytać z wykresu wartość Tu,
6) odczytać z wykresu maksymalny uchyb początkowy ep0 i maksymalny uchyb
przejściowy e1,
7) wyznaczyć wartość przeregulowania �,
8) sporządzić wnioski z przeprowadzonych obliczeń,
9) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- zeszyt,
- kalkulator,
- przybory do pisania i rysowania,
- literatura z rozdziału 6.
Ćwiczenie 3
Dla układu o transmitancji
�# ś#
1
ś# ź#
G(s) = k + + s Td ź#
ś#1 s Ti
�# #
sprawdz
: odpowiedz
układu na wymuszenie jednostkowe, kształt charakterystyki
amplitudowo-fazowej, przebieg charakterystyk logarytmicznych, zmieniając stałe czasowe
układu i wzmocnienie.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
61
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4) napisać program w MATLAB-ie dla danego układu,
5) uruchomić program,
6) zaprezentować otrzymane charakterystyki,
7) zmienić nastawy: wzmocnienia i stałych czasowych i obserwować na wykresach zmiany,
8) powtórzyć ćwiczenie w programie MATLAB-SIMULINK,
9) skorzystać z reguł Zieglera-Nicholsa do określenia nastaw i ponownie uruchomić
symulację układu, sprawdzając otrzymane wyniki i wykresy,
10) zaprezentować otrzymane wyniki,
11) porównać obie symulacje,
12) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
13) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, napisany
program, otrzymane wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem narzędziowym,
- drukarka,
- literatura z rozdziału 6,
- instrukcja ćwiczenia.
Ćwiczenie 4
Dla układu o transmitancji
k1
G(s) =
�# ś#
1
ś# ź#
1 + k1 ś#1 + + s Td ź#
s Ti
�# #
sprawdz
: odpowiedz
układu na wymuszenie jednostkowe, kształt charakterystyki
amplitudowo-fazowej, przebieg charakterystyk logarytmicznych, zmieniając stałe czasowe
układu i wzmocnienie.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4) napisać program w MATLAB-ie dla danego układu,
5) uruchomić program,
6) zaprezentować otrzymane charakterystyki,
7) zmienić nastawy: wzmocnienia i stałych czasowych i obserwować na wykresach zmiany,
8) powtórzyć ćwiczenie w programie MATLAB-SIMULINK,
9) skorzystać z reguł Zieglera-Nicholsa do określenia nastaw i ponownie uruchomić
symulację układu, sprawdzając otrzymane wyniki i wykresy,
10) zaprezentować otrzymane wyniki,
11) porównać obie symulacje,
12) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
13) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, napisany
program, otrzymane wyniki, obliczenia i wnioski z badań.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
62
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem narzędziowym,
- drukarka,
- literatura z rozdziału 6,
- instrukcja ćwiczenia.
Ćwiczenie 5
Działanie układu regulacji zawierającego regulator typu P lub PI lub PID. Należy
zidentyfikować rodzaj obiektu i dobrać do niego wartości nastaw regulatorów, korzystając
z odpowiednich tabel oraz dokonać doboru nastaw metodą Zieglera-Nicholsa [6, s.230].
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
2) zapoznać się z danymi technicznymi, schematami i instrukcją obsługi regulatora PID,
3) zapoznać się z aparaturą stosowaną w ćwiczeniu oraz badanym obiektem regulacji,
4) zapoznać się z procedurą zmian trybu pracy regulatora,
5) zapoznać się ze sposobem zmian wartości nastaw regulatora,
6) zmontować układ, sprawdzić poprawność połączeń,
7) zidentyfikować obiekt regulacji przez wyznaczenie odpowiedzi skokowej (przełączyć
układ na sterowanie ręczne),
8) wyznaczyć parametry obiektu (dla statycznego: Ko , T0 , T; dla astatycznego: T0 , T),
9) obliczyć wartości nastaw regulatora dla zakłócenia występującego na wejściu obiektu
regulacji dla określonej wartości przeregulowania i czasu regulacji,
10) sprawdzić doświadczalnie poprawność doboru nastaw,
11) przeprowadzić dobór nastaw regulatora metodą Zieglera - Nicholsa,
12) sprawdzić działanie regulatora z tak dobranymi nastawami,
13) porównać wyniki otrzymane gdy nastawy regulatora dobrano do znanego obiektu,
z dobranymi metodą Zieglera  Nicholsa,
14) wyznaczyć rachunkowo-częstotliwościowy wskaz
nik regulacji dla jednego z badanych
regulatorów,
15) zarejestrować wpływ zakłócenia okresowego o znanej częstotliwości na sam obiekt
i obiekt w układzie regulacji,
16) porównać wyniki doświadczalne z uzyskanymi na charakterystyce q(j�),
17) opracować wnioski z ćwiczenia,
18) dokonać oceny ćwiczenia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- regulator uniwersalny PID,
- obiekt regulacji o niewielkich stałych czasowych z możliwością wprowadzenia zakłóceń,
- przyrządy pomiarowe (miernik uniwersalny),
- rejestrator z bocznikiem,
- generator bardzo wolnych przebiegów,
- karta katalogowa, instrukcja obsługi regulatora,
- papier, przybory do pisania i rysowania,
- literatura z rozdziału 6.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
63
Ćwiczenie 6
Obiekt regulacji (komora grzewcza) o parametrach: Kob = 2,0 �C/A, To = 6 s, Tz = 100 s,
poddano regulacji za pomocą regulatora PID. Wyznacz nastawy regulatora, tak aby przy 20%
przeregulowaniu przebiegu przejściowego czas regulacji tr był minimalny. Wymuszenie
stanowi skokowa zmiana wartości prądu zasilającego grzejnik.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym doboru nastaw regulatorów,
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) określić wszystkie dane zadania,
4) dokonać wyboru odpowiedniej tablicy z wzorami do obliczeń optymalnych nastaw
regulatora PID,
5) wyznaczyć optymalne nastawy regulatora PID  Kp, Ti i Td,
6) sporządzić dokumentację techniczną z przeprowadzonych badań,
7) sformułować wnioski z wykonanego ćwiczenia,
8) dokonać oceny poprawności przeprowadzonego ćwiczenia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- zeszyt,
- kalkulator,
- przybory do pisania,
- literatura z rozdziału 6.
Ćwiczenie 7
Montaż i badanie układu regulacji temperatury kaskadowej. Na rys. przedstawiony jest
schemat mieszalnika dwóch cieczy  gorącej o natężeniu dopływu Qg i zimnej o natężeniu
dopływu Qz . Regulowana jest temperatura Q mieszaniny. Ponieważ proces charakteryzuje się
silnymi wahaniami ciśnienia w obu rurociągach, należy więc stabilizować przepływ
w przewodzie wody gorącej i mierzyć zakłócające zmiany przepływu w przewodzie wody
zimnej. Regulator R1 spełnia rolę regulatora nadrzędnego w stosunku do regulatora R2.
Rysunek do ćwiczenia 7. Układ regulacji temperatury przez mieszanie dwóch strumieni
z dopływem cieczy
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:
1) zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym regulacji kaskadowej,
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
64
2) zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3) zapoznać się z wszystkimi urządzeniami i ich kartami katalogowymi, instrukcjami, itp.,
4) zbadać poprawność działania wszystkich urządzeń,
5) dokonać wyboru poprawnie działających przyrządów,
6) dokonać pomiaru charakterystyki przejścia obiektu,
7) zidentyfikować obiekt,
8) wyznaczyć optymalne nastawy regulatorów,
9) dokonać strojenia regulatorów,
10) wykonać połączenia układu zgodnie ze schematem,
11) wyznaczyć wpływ zakłócających zmian przepływu w przewodzie wody zimnej,
12) porównać pracę obu regulatorów,
13) sporządzić dokumentację techniczną z przeprowadzonych badań,
14) sformułować wnioski z wykonanego ćwiczenia,
15) dokonać oceny poprawności przeprowadzonego ćwiczenia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- instalacja (rurociągi z dopływem gorącej i zimnej wody, elektrozaworem, zwężkami
pomiarowymi),
- mieszalnik,
- regulatory (dobre i uszkodzone),
- nastawnik,
- czujnik temperatury,
- katalogi regulatorów, przyrządów, czujników pomiarowych,
- instrukcja ćwiczenia,
- literatura z rozdziału 6.
4.4.4. Sprawdzian postępów
Tak Nie
Czy potrafisz:
1) narysować odpowiedzi regulatorów na wymuszenie jednostkowe?
2) narysować schematy ideowe regulatorów z zastosowaniem wzmacniaczy
operacyjnych?
3) zastosować odpowiedni regulator do mierzonej wielkości fizycznej?
4) odczytać z charakterystyki parametry regulatora?
5) posługiwać się normogramami?
6) określić nastawy regulatorów wg metody Zieglera i Nicholsa?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
65
5. SPRAWDZIAN OSI
GNI
Ć
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
1. Przeczytaj uważnie instrukcję zanim zaczniesz rozwiązywać zadania.
2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.
3. Test składa się z 21 zadań dotyczących łączenia elementów, regulatorów, analizy
układów, a także tworzenia schematów układów.
4. Odpowiedzi udzielaj tylko na załączonym arkuszu.
5. W zadaniach: 1, 2, 16 uzupełnij zdanie. W zadaniach 5, 19, 21 należy narysować
schemat układu lub wykres czasowy. Pozostałe zadania zawierają cztery odpowiedzi,
z których tylko jedna jest poprawna.
6. Zadania punktowane są 0 lub 1.
7. Wybraną odpowiedz
zakreśl znakiem X. Jeśli uznasz, że pomyliłeś się i wybrałeś
nieprawidłową odpowiedz
, to zakreśl ją kółeczkiem i znakiem X zaznacz prawidłową
odpowiedz
.
8. Niektóre zadania mogą sprawiać Ci trudność, dlatego jeśli początkowo wydają Ci się
trudne, rozwiąż pozostałe i ponownie spróbuj rozwiązać trudniejsze.
9. Przed wykonaniem każdego zadania przeczytaj bardzo uważnie polecenie.
10. Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 40 minut.
Powodzenia!
ZESTAW ZADAC
TESTOWYCH
1. Istota sterowania w dowolnym systemie, polega na tym, że: ..............................................
2. Zadaniem układu regulacji stałowartościowej jest ..............................................................
Kz (s) Y(s), przy W(s) = 0 ,
3. W układzie jak na rysunku transmitancja: Gz (s) = = -
1 + K(s) Z(s)
określa:
a) funkcję przejścia układu,
b) transmitancję uchybową,
c) transmitancję zakłóceniową,
d) transmitancję regulatora.
4. Na rysunku przedstawiono schemat blokowy regulatora:
.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
66
a) PID,
b) PD,
c) PI,
d) D.
5. W wyniku przekształceń otrzymano układ w postaci:
Narysuj odpowiedz
układu na wymuszenie jednostkowe.
6. Na wyjściową wielkość pomocniczą w układzie regulacji kaskadowej:
a) wszelkie zakłócenia wpływają znacznie wcześniej niż na wielkość regulowaną,
b) zakłócenia nie działają,
c) ma wpływ wielkość regulowana,
d) ma wpływ wielkość zadana.
7. Do zalet układów regulacji kaskadowej, w porównaniu z prostymi układami regulacji, nie
należy:
a) większa dokładność regulacji,
b) mniejsze wahania wartości wielkości wyjściowej w wyniku ograniczenia zakresu
zmienności pomocniczej wielkości regulowanej,
c) znaczny stopień i prędkość tłumienia zakłóceń przez obwód pomocniczy,
d) mniejszy pobór mocy.
8. Regulator PI, szczególnie nadaje się do zastosowania w układach:
a) szybkozmiennych,
b) impulsowych,
c) ekstremalnych,
d) wolnozmiennych.
9. Kryterium stabilności Routha-Hurwitza umożliwia:
a) obliczenie częstotliwości granicznej układu,
b) określenie wielkości zmian wzmocnienia wraz ze zmianą częstotliwości,
c) określenie przebiegu charakterystyki logarytmicznej fazy i amplitudy,
d) sprawdzenie czy układ jest stabilny.
10. Konieczność zapewnienia zapasu stabilności wynika z:
a) zmian parametrów obiektu,
b) zmian parametrów regulatora,
c) zmian parametrów regulatora i obiektu w wyniku starzenia,
d) zmian parametrów regulatora i obiektu.
11. Układ o parametrach bliskich krytycznym ma przebiegi procesów przejściowych:
a) oscylacyjne o stałej amplitudzie drgań,
b) oscylacyjne tłumione,
c) liniowo narastające,
d) oscylacyjne o nieograniczonej amplitudzie drgań.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
67
12. Punkt krytyczny to punkt:
a) 1, j0,
b) 0, -j,
c) -1, -1,
d) -1, j0.
13. Kryterium Michajłowa umożliwia określenie:
a) dokładności w stanach ustalonych,
b) zakresu, w jakim wielkość wyjściowa ma być regulowana,
c) stabilności i odpowiedniego zapasu,
d) charakteru przebiegu procesów przejściowych.
14. Rysunek przedstawia:
a) odpowiedz
układu na impuls Diraca,
b) odpowiedz
układu na wymuszenie jednostkowe,
c) kształt sygnału wielkości zadanej,
d) kształt sygnału sterującego obiektem.
15. Na rys. przedstawiono przebieg odpowiedzi skokowej i charakterystykę logarytmiczną
amplitudowo-fazową:
a) sygnału uchybu,
b) sygnału wejściowego zadanego,
c) sygnału wyjściowego z regulatora PD,
d) sygnału wyjściowego z regulatora PI.
16. Badanie jakości regulacji w stanach przejściowych sprowadza się do badania .......
.......................................
17. Regulator typu PD stosuje się gdy:
a) wzmocnienie z regulatorem P jest za duże,
b) wzmocnienie z regulatorem typu P jest wystarczające,
c) dobroć regulacji jest za mała,
d) uchyb jest ustalony.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
68
18. Strojenie to:
a) odczyt wartości parametrów regulatora,
b) odczyt stałej czasowej układu,
c) czynności nastawiania parametrów regulatora,
d) czynności pomiarowe służące do wyznaczania modelu matematycznego obiektu.
19. Narysuj schemat układu na którego wyjściu, wskutek zadziałania wymuszenia
jednostkowego, otrzymuje się przebieg jak na rysunku.
20. Czas zdwojenia, to:
a) stała czasowa regulatora PI,
b) stała czasowa regulatora I,
c) stała czasowa regulatora PD,
d) stała czasowa regulatora P.
21. Narysuj odpowiedz
układu na wymuszenie jednostkowe.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
69
KARTA ODPOWIEDZI
Imię i nazwisko & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi
Zakreśl poprawną odpowiedz
, wpisz brakujące części zdania lub wykonaj rysunek.
Nr Odpowiedz

Punkty
zadania a b c d
1
2
3 a b c d
4 a b c d
5
6 a b c d
7 a b c d
8 a b c d
9 a b c d
10 a b c d
11 a b c d
12 a b c d
13 a b c d
14 a b c d
15 a b c d
16
17 a b c d
18 a b c d
19
20 a b c d
21
RAZEM
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
70
6. LITERATURA
1. Amborski K., Marusak A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach. PWN, Warszawa 1973
2. Gerlach M., Janas R.: Automatyka dla liceum technicznego. WSiP, Warszawa 1999
3. Gessing R.: Podstawy automatyki. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2001
4. H�rnemann E., H�bscher H., Klaue J., Schierack K., Stolzenburg R.: Elektrotechnika.
Instalacje elektryczne i elektronika przemysłowa. WSiP, Warszawa 1998
5. Jabłoński W., Płoszajski G.: Elektrotechnika z automatyką. WSiP, Warszawa 2002
6. Komor Z.: Pracownia automatyki. WSiP, Warszawa 1996
7. Kordowicz-Sot A.: Automatyka i robotyka. Robotyka. WSiP, Warszawa 1999
8. Kordowicz-Sot A.: Automatyka i robotyka. Układy regulacji automatycznej. WSiP,
Warszawa 1999
9. Kostro J.: Elementy, urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 1998
10. Kostro J.: Pracownia automatyki. WSiP, Warszawa 1996
11. Kuz
nik J.: Regulatory i układy regulacji. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice
2006
12. Pełczewski W.: Teoria sterowania. WNT Warszawa 1980
13. Płoszajski G.: Automatyka. WSiP, Warszawa 1995
14. Pochopień B.: Automatyzacja procesów przemysłowych. WSiP, Warszawa 1993
15. Pułaczewski J.: Podstawy regulacji automatycznej. WSiP, Warszawa 1988
16. Siemieniako F., Gawrysiak M.: Automatyka i robotyka. WSiP, Warszawa 1993
17. Technika sterowników z programowalna pamięcią. Praca zbiorowa. WSiP, Warszawa
1998
18. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1978
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
71