Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Całka krzywoliniowa niezorientowana

Zad.1 Oblicz x2 + y2 dl , gdzie krzywa L jest odcinkiem Å‚Ä…czÄ…cym punkty A(1, 1) i B(4, 4) .
L

Zad.2 Oblicz ( 2x - y ) dl , gdzie krzywa L jest odcinkiem Å‚Ä…czÄ…cym punkty A(2, 2) i B(-2, 4) .
L

Zad.3 Oblicz y dl , gdzie krzywa L jest Å‚ukiem paraboli y2 = 4x , Å‚Ä…czÄ…cym punkty O(0, 0) i P (1, 2) .
L

Zad.4 Oblicz y dl , gdzie L jest Å‚ukiem krzywej y = x3 , Å‚Ä…czÄ…cym punkty A(1, 1) i B(2, 8) .
L

xy
Zad.5 Oblicz dl , gdzie L jest odcinkiem Å‚Ä…czÄ…cym punkty A(1, 1, 1) i B(2, 3, 4) .
z
L

x 1
Zad.6 Oblicz dl , gdzie L jest Å‚ukiem krzywej y = dla 1 x 2 .
y4 x
L

Ä„
Zad.7 Oblicz 2y cos x dl , gdzie L jest Å‚ukiem krzywej y = sin x dla 0 x .
2
L


"
9
Zad.8 Oblicz 1 + x dl , gdzie L jest Å‚ukiem krzywej y = x x dla 0 x 4 .
4
L

Zad.9 Oblicz ( x + y ) dl , gdzie L jest trójkątem OAB dla O(0, 0) , A(1, 0) i B(0, 1) .
L

1 1 Ä„
Zad.10 Oblicz 6xy2 dl , gdzie L jest częścią okręgu x = cos t , y = sin t dla 0 t .
3 3 4
L

Zad.11 Oblicz ye-x dl , gdzie L jest krzywÄ… zadanÄ… parametrycznie wzorami: x = ln(1 + t2) , y = 2arctg t - t + 3
L
dla 0 t 1 .

xz 2
Zad.12 Oblicz dl , gdzie L jest krzywÄ… zadanÄ… parametrycznie wzorami: x = t , y = t2 , z = t3 dla
1+2y 3
L
0 t 1 .
"
Zad.13 Oblicz xy dl , gdzie L jest krzywÄ… zadanÄ… parametrycznie wzorami: x = et , y = e-t , z = 2t dla
L
0 t 1 .

Zad.14 Oblicz xy dl , gdzie L jest brzegiem kwadratu: |x| + |y| 1 .
L

3
Zad.15 Oblicz x ( y + z ) dl , gdzie L jest linią śrubową zadaną wzorami: x = cos t , y = sin t , z = t dla
4
L
0 t 2Ä„ .

Zad.16 Oblicz z dl , gdzie L jest krzywÄ… zadanÄ… wzorami: x = t cos t , y = t sin t , z = t dla 0 t 1 .
L
Ä„
Zad.17 Oblicz x2y dl , gdzie L jest krzywÄ… zadanÄ… wzorami: x = 2 cos t2 , y = 2 sin t2 , dla 0 t .
2
L
Zad.18 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej y = ln x , gdzie 2 x 5 .
3
Zad.19 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej x = 7 cos t , y = 7 sin t dla 0 t Ą .
4
Zad.20 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej x = t - sin t , y = 1 - cos t dla 0 t 2Ą .
Zad.21 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej zadanej we współrzędnych biegunowych wzorem
r(Õ) = 1 + cos Õ dla 0 Õ Ä„ .
Zad.22 Oblicz, korzystając z całki krzywoliniowej, długość łuku krzywej zadanej we współrzędnych biegunowych wzorem
r(Õ) = 3 sin3 1 Õ dla 0 Õ 3Ä„ .
3
1
Zad.23 Oblicz masę odcinka o końcach A(1, 2) i B(-11, 11) , którego gęstość w każdym punkcie jest równa
30
kwadratu odległości tego punktu od środka układu współrzędnych.
" "
Zad.24 Oblicz masę łuku krzywej y = x , gdzie 0 x 2 , jezeli gęstość w punkcie (x, y) wynosi x x .
Zad.25 Oblicz masę łuku krzywej y = e-2x , gdzie 0 x 1 , jezeli gęstość w każdym punkcie jest równa kwadratowi
jego odległości od osi OX.
Zad.26 Oblicz masę linii śrubowej x = 4 cos 2t , y = 4 sin 2t , z = 3t dla 0 t 2Ą , jeżeli gęstość w punkcie

t
odpowiadającym parametrowi t wynosi 1 + . Podaj długość tej linii.
2Ä„
Zad.27 Wyznaczyć moment statyczny względem osi OY łuku krzywej y = x2 , gdzie 0 x 1 .
Zad.28 Oblicz współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku krzywej x = t - sin t , y = 1 - cos t dla 0 t 2Ą .
Ä„
Zad.29 Oblicz współrzędne środka ciężkości jednorodnej linii śrubowej x = cos t , y = sin t , z = t dla 0 t .
2
Zad.30 Wyznaczyć moment bezwładności względem osi OX łuku krzywej y = ex , gdzie 0 x 1 .
Zad.31 Oblicz pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 1 ograniczonej powierzchniami z = 0 i z = 2 + x .
Zad.32 Oblicz pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 4 ograniczonej powierzchniami z = 0 i z = 1 + x2 + y2 .