IMiC Imię i Nazwisko: ROK I GRUPA 4 ZESPÓA
6
1.Marcin Smaruń
2. Marcin Wolski
PRACOWNIA TEMAT: Nr ćwiczenia
FIZYCZNA Wahadło fizyczne 1
WFiIS AGH
Data Data oddania: Zwrot do Data oddania: Data zaliczenia: OCENA
wykonania: poprawy:
05.03.2013
I. Wstęp
Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało sztywne zawieszone w taki sposób, że może się ono
wahać dookoła pewnej osi przechodzącej przez to ciało.
Przykład takiego ciała jest przedstawiony poniżej:
Jest to bryła sztywna o masie m, środku ciężkości w
O
punkcie S, zawieszona w punkcie O, wychylona o
kąt Ś Puszczona swobodnie, wykonuje drgania
a
zwane ruchem wahadłowym. Jest to obrót bryły
S
sztywnej wokół osi O pod wpływem momentu siły
ciężkości. Dla wychylenia Ś moment tej siły jest
mgsina�
równy - mgasinŚ ( skierowany jest przeciwnie do
kierunku wychylenia). Według II zasady dynamiki
q� mg
dla ruchu obrotowego iloczyn momentu
d2q�
bezwładności I i przyspieszenia kątowego e� =�
dt2
d2q�
jest równy działającemu momentowi siły, czyli Io =� -�mga sinq� . Jeżeli wychylenie jest małe
dt2
d2q� mga
(kilka stopni) to sinŚ �Ś. Przy tym założeniu: +� w�0q� =� 0,gdzie w�0 =� . Rozwiązaniem tego
dt2 I0
równania jest ruch harmoniczny prosty: q� =� q�m cos(v�0t +� j�) . Amplituda Śm i Ś zależy od
I0
warunków początkowych. Okres drgań T związany z częstością w0 wynosi T =� 2P� . Io-
mga
moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Is - moment
bezwładności względem środka ciężkości S. Twierdzenie Steinera wyznacza zależność między Io i Is :
Io= Is +ma2.
Celem naszego ćwiczenia było wyznaczenie momentu bezwładności pręta i pierścienia względem osi
obrotu O i środka ciężkości S. Zrobiliśmy to poprzez pomiar okresu drgań tych brył sztywnych.
Otrzymując konkretną wartość T obliczyliśmy moment bezwładności Io. Wykorzystując twierdzenie
Steinera policzyliśmy Is.
II. Opracowanie wyników
Pręt:
W celu wyznaczenia wymiarów pręta użyty został przymiar milimetrowy za pomocą którego
zmierzona została długość pręta l, a kolejno odległość od punktu jego zawieszenia do końca pręta b.
Odległość między punktem zawieszenia a środkiem pręta a równy jest a = 0,5l  b
Pierścień:
Do pomiaru średnicy pierścienia (Dz), głębokości wcięcia (e) oraz pomiaru grubości (c) użyta została
suwmiarka.
Zewnętrzny promień pierścienia równy jest: Rz = Dz:2
Wewnętrzny promień pierścienia wynosi: Rw = (Dz-2c):2
Odległość od punktu zawieszenia do środka pierścienia wynosi: a = Rw + e
Tabela 1. Pomiar długości i masy dla pręta
Pręt
wartość niepewność
m [g] 668 1
l [mm] 258 1
b [mm] 97 0,1
a[mm] 326 0,5
Tabela 2. Pomiar długości i masy dla pierścienia
Pierścień
wartość niepewność
m [g] 1344 1
Dw[mm] 258 1
Dz [mm] 281 1
Rw [mm] 129 0,5
Rz [mm] 140,5 0,5
e [mm] 9 0,1
a [mm] 131,5 0,5
c [mm] 11,5 0,1
Tabela 3. Pomiar okresu drgań dla pręta
Pręt
Lp. Liczba okresów k Czas t[s] dla k okresów Okres Ti [s]
1 20 26,25 1,31
2 20 26,50 1,32
3 20 26,50 1,32
4 20 26,22 1,31
5 20 26,47 1,32
6 20 26,57 1,33
7 20 26,56 1,32
8 20 26,66 1,33
9 20 26,62 1,33
10 20 26,40 1,32
Wartość średnia okresu T: 1,321
Niepewność u(T): 0,0023
Tabela 4. Pomiar okresu drgań dla pierścienia
Pierścień
Lp. Liczba okresów k Czas t[s] dla k okresów Okres Ti [s]
1 20 20,60 1,03
2 20 20,53 1,02
3 20 20,63 1,03
4 20 20,75 1,03
5 20 20,72 1,03
6 20 20,66 1,03
7 20 20,59 1,03
8 20 20,69 1,03
9 20 20,66 1,03
10 20 20,65 1,03
Wartość średnia okresu T: 1,029
Niepewność u(T): 0,001
Niepewność T:
Okres drgań wyznaczamy ze wzoru:
I0
T =� 2p�
mga
Po przekształceniu otrzymujemy wzór na moment bezwładności:
2
mgaT
I0 =�
2
4p�
2 2
2
2
ć� �� ć� ��
mgaT gaT mgT2
ć� ��
2 2 2
�� �� �� ��
Niepewność: u(Io) =� ��(�u(T))� +� ��(�u(m))� +� ��(�u(a))�
�� ��
2 2 2
�� �� �� ��
2p� 4p� 4p�
Ł� ł�
Ł� ł� Ł� ł�
Gdzie:
m  masa
g  przyspieszenie grawitacyjne
a  odległość punktu od zawieszenia do środka pręta (pierścienia)
T  okres
Przy obliczaniu momentu względem osi głównej wykorzystujemy twierdzenie Steinera:
I0 =� Is +� ma2
2
mgaT
Is =� -� ma2
2
4p�
Wartości momentów bezwładności obliczone zostały również za pomocą odpowiednich wzorów:
1
- dla pręta Ipr =� ml2
12
gdzie:
m - masa pręta,
l - długość pręta
Niepewność Is dla pręta:
2 2
1 1
ć� 2 2
u(Is) =� l2 �� ��[�u(m)]� +�ć� ml�� ��[�u(l)]�
�� �� �� ��
6
Ł�12 ł� Ł� ł�
1
2 2
- dla pierścienia I =� m(Rz +� Rw)
pi
2
gdzie:
m - masa obręczy
Rz - promień zewnętrzny
Rw- promień wewnętrzny
Niepewność Is dla pierścienia:
2
2
ć� ��
Rz2 +� Rw ��
2 2 2
2
��
u(Is ) =� ��[�u(m)]� +� m2Rz2 ��[�u(�Rz )�]� +� m2Rw ��[�u(�Rw)�]�
�� ��
2
Ł� ł�
Tabela 5. Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pręta
Io wyznaczone z okresu drgań Is wyznaczone z Is wyznaczone z
[kgm2] twierdzenia Steinera pomiarów
[kgm2] geometrycznych
[kgm2]
Wartość 0,09492 0,023927 0,031229
Niepewność 0,00038 0,00059 0,000095
standardowa
Tabela 6. Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pierścienia
Io wyznaczone z okresu drgań Is wyznaczone z Is wyznaczone z
[kgm2] twierdzenia Steinera pomiarów
[kgm2] geometrycznych
[kgm2]
Wartość 0,046857 0,023616 0,02448
Niepewność 0,0002 0,0004 0,00017
standardowa
Tabela 7. Wyniki obliczeń niepewności rozszerzonej
Wartości niepewności rozszerzonych obliczone zostały za pomocą wzoru:
Dla pręta Dla pierścienia
Niepewność rozszerzona 1,22 1,87
Wartości uważane są za zgodne, ponieważ wynoszą mniej niż 2.
III. Wnioski
Wyznaczone momenty bezwładności zostały uzyskane za pomocą dwóch różnych metod:
Pomiaru okresu drgań wahadła fizycznego, a kolejno obliczenia momentu bezwładności z
konkretnego wzoru oraz wyznaczenie masy i wymiarów, a następnie obliczenia momentu
bezwładności z innego wzoru.
Otrzymane wyniki są porównywalne dla pomiarów otrzymanych na oba przedstawione sposoby,
jednak pomiary które zostały wykonane pierwszą metodą posiadają dodatkowo błąd systematyczny
wynikający z tłumienia drgań. Tym samym sposób drugi jest dokładniejszy.