Praca, moc, energia  praca
Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły F i
wektora przesunięcia s
r�
r�
W =� F o� s =� F �� s ��cosa�
�� W > 0 gdy ą < 90�,
�� W < 0 gdy ą > 90�,
�� W = 0 gdy ą = 90�.
W trakcie podnoszenia ciała na wysokośd h człowiek działa siłą
F równą ciężarowi ciała ale przeciwnie skierowaną, więc
wykonuje "dodatnią" pracę W = mgh
Praca wykonana przez człowieka jest równa co do wartości
"ujemnej" pracy wykonanej przez siłę ciężkości.
Praca, moc, energia  praca
Praca wykonana przez siłę zmienną.
x2
n
D�Wi =� Fi ��D�x
W =� lim
��F ��D�x =�
i
��F(x)dx
D�x��0
i=�1
x1
n
Jednostką pracy jest w układzie SI dżul (J); 1J = 1N�m.
W =�
��F ��D�x W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki elektronowolt (eV); 1eV =
i
1.6�10-19 J.
i=�1
Praca, moc, energia  moc
Moc definiujemy jako ilośd wykonanej pracy
do czasu w jakim została ona wykonana.
Jeżeli praca W została wykonana w czasie D�t to średnia moc jest
dana wzorem:
D�W
P =�
D�t
Dla stałej siły F wzór ten przyjmuje postad:
r�
r�
r�
r�
dW F ��ds
P =� =� =� F o�u�
dt dt
Dla czasu t 0 mówimy o mocy chwilowej:
D�W dW
P =� =�
lim
D�t dt
D�t��0
Praca, moc, energia  energia
�� energia kinetyczna �� określona przez masę i prędkośd,
�� energia potencjalna �� określona przez masy i ich wzajemne
położenia
Ruch prostoliniowy pod wpływem
działania stałej siły F
v -� v0 v +� v0
a ��t2
v =� v0 +� a ��t �� a =� x =� ��t
x =� v0 ��t +�
2 t 2 Praca wykonana przez
wypadkową siłę F
Wykonana przez siłę F praca jest równa
działającą na punkt
materialny jest równa
2
v -� v0 v +� v0 mv2 mv0
��ć� ��t =�
zmianie energii kinetycznej
W =� F �� x =� m��a ��x =� mć� -�
�� ���� ��
t 2 2 2
Ł� ł�Ł� ł�
tego punktu - twierdzenie o
pracy i energii
Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości
nazywamy energią kinetyczną
m�� v2
W = Ek  Ek0
Ek =�
2
Praca, moc, energia  energia
Energia potencjalna w jednorodnym polu grawitacyjnym
Pole jednorodne to pole, które w każdym punkcie jest jednakowo silne: działa ono na
ciało siłą o stałej wartości, kierunku
i zwrocie niezależnie od położenia ciała.
1
Energia potencjalna jest energią, którą dane
P
ciało, podlegające działaniu pewnej siły,
ma dzięki swemu położeniu w przestrzeni.
Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu
O
2
O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza
przy przesunięciu tego ciała od punktu P do punktu O
Grawitacyjną energię potencjalną określamy
jako pracę siły ciężkości mg na pionowym
torze o wysokości h:
Ep =� m�� g ��h +� E0
Praca, moc, energia  energia
Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym
poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej
je drogi.
Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym,
który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.
Praca siły ciężkości mg na drodze
zamkniętej jest równa zeru.
Energia potencjalna jest wielkością skalarem. Może
przybierad wartości ujemne.
Dynamika bryły sztywnej
" ruch obrotowy punktu materialnego,
" definicja bryły sztywnej,
" dynamika bryły sztywnej:
 ruch obrotowy,
 ruch obrotowo  postępowy,
 moment bezwładności,
 II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego,
Ruch obrotowy punktu materialnego
" ruch po okręgu - szczególny przypadek płaskiego ruchu krzywoliniowego
" droga kątowa  położenie punktu A określamy za
y
pomocą kąta D�j�
r�
" droga liniowa  wyraża za pomocą drogi kątowej
v
s =� D�j� �� r
D�j� w sposób następujący:
r�
A r� dj�
ds dj�
" prędkośd kątowa:
�� w� =�
=� ��r
r
dt
dt dt
r�
s
r�
w�
D�j� w�
r�
w� �
kierunek wektora
w� �
v
w� dany jest przez
x
w� �
D�j� �
regułę śruby
A
prawoskrętnej
r
r�
r� r� r�
r�
dw�
u� =� w��r
" prędkośd liniowa punktu A:
" przyspieszenie kątowe:
e� =�
dt
Dynamika bryły sztywnej
" Bryłą sztywną nazywamy ciało stałe, w którym odległośd dwu
dowolnie wybranych punktów nie ulega zmianie, mimo działających na
to ciało sił.
z
r� r� r�
| rij |=�| ri -� rj |=� const
m1
r�
rij
m2
r�
ri
" Ciałem sztywnym nazywamy
takie ciało, w którym wszystkie
r�
rj
punkty mają zawsze względem
siebie stałe odległości.
y
x
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
stopnie swobody:
jeden punkt unieruchomiony
z
z
m2
r�
f = 3 f = 2
r
m1
m1
y
y
x
x
dwa punkty unieruchomione
z
Ciało sztywne swobodne ma
m2
sześd stopni swobody!
m3 f = 1
m1
y
x
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
ruch postępowy:
z
y
wektory prędkości i przyspieszenia są takie same dla
wszystkich punktów,
x
dowolny odcinek łączący dwa punkty zachowuje stałe
położenie do siebie równoległe
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
ruch obrotowy:
z
oś
y
wszystkie punkty poruszają się po okręgach, których
środki leżą na jednej prostej zwaną osią obrotu,
x
poszczególne punkty bryły mają tę samą prędkośd kątową,
poszczególne punkty bryły mają różne prędkości liniowe,
zależne od odległości od osi obrotu.
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
ruch postępowo  obrotowy:
z
oś
y
ogólny ruch ciała sztywnego można złożyd z ruchu
x
postępowego i obrotowego
Moment siły
Aby spowodowad ruch obrotowy bryły sztywnej niezbędna jest siła.
Wielkością fizyczną wywołującą obrót bryły sztywnej jest moment siły (tzw.
moment obrotowy):
r� r�
r�
M =� r �� F
kierunek momentu sił wyznaczamy z reguły śruby
prawoskrętnej,
r�
r nazywamy ramieniem siły,
M
r� r�
r�
r || F �� M =� 0
gdy:
Moment bezwładności
Przeanalizujmy ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi ze stałą prędkością
kątową
r�
podzielmy bryłę sztywną na zbiór n punktów materialnych
w�
o masach D�m1, D�m2,& ., D�mn
odległości poszczególnych mas od osi obrotu wynoszą
r1, r2,& ., rn
momentem bezwładności I bryły sztywnej względem danej osi
nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły
r�
D�mi
ri
sztywnej i kwadratów odległości od danej osi:
n
r�
vi
I =�
��D�m ��ri2
i
i=�1
w przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy:
n
2
I =�
lim
��D�m ��ri2 =�
i
��r ��dm
n��Ą�
i=�1
Moment bezwładności - przykłady
moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu
postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment
bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało:
cienki pierścieo o masie m i promieniu r
I =� m��r2
obracający się wokół własnej osi:
1
cienki pierścieo o masie m i promieniu r
I =� m��r2
obracający się wokół osi prostopadłej:
2
1
pierścieo o masie m i promieniach r1 i r2
I =� ��m��(�r12 +� r22)�
obracający się wokół własnej osi:
2
walec o masie m, długości L i promieniu r 1
I =� m��r2
obracający się wokół własnej osi:
2
1 1
walec o masie m, długości L i promieniu r
I =� m��r2 +� m�� L2
obracający się wokół osi prostopadłej do
4 12
niego i przechodzącej przez środek:
Moment bezwładności - przykłady
2
kula o masie m i promieniu r
I =� m��r2
obracająca się wokół własnej osi:
5
2
sfera o masie m i promieniu r
I =� m�� r2
obracająca się wokół własnej osi:
3
pręt o masie m i długości L 1
I =� m�� L2
obracający się wokół osi prostopadłej
3
do niego i przechodzącej przez jego koniec:
pręt o masie m i długości L
1
I =� m�� L2
obracający się wokół osi prostopadłej
12
do niego i przechodzącej przez jego środek:
jednostką momentu bezwładności
1 kg��m2
jest
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności I bryły sztywnej względem danej osi jest równy sumie
momentu bezwładności Io względem osi do niej równoległej, przechodzącej przez
środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły
i kwadratu odległości a obu osi:
r�
w�
I0
I =� Io +� m��a2
m
a
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Przeanalizujmy ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi
podzielmy bryłę sztywną na zbiór n punktów materialnych
o masach D�m1, D�m2,& ., D�mn,
r�
w�
odległości poszczególnych mas od osi obrotu wynoszą
r1, r2,& ., rn,
na poszczególne masy D�mi działają siły Fi stycznie do okręgów,
po których poruszają się punkty,
wypadkowy moment sił działający na bryłę sztywną jest równy:
r�
D�mi
ri
n
r�
Fi M =�
��r �� Fi
i
i=�1
podstawiając:
Fi =� D�mi ��ai
=� D�mi ��e� ��ri
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
otrzymamy:
n n
2
M =�
r�
��e� ��ri ��D�mi ��ri =� e� ����D�m ��ri
i
w�
i=�1 i=�1
i ostatecznie:
M =� I ��e�
r�
D�mi
ri
r�
r�
r�
Fi M =� I ��e�
Moment sił działających na bryłę sztywną jest
równy iloczynowi momentu bezwładności tej bryły
i jej przyspieszenia kątowego
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego 
moment pędu (kręt)
Moment pędu L (kręt)  punktu materialnego o masie D�mi
i wektorze wodzącym ri , poruszającego się z prędkością vi
względem osi obrotu definiujemy wzorem:
r�
r�
r� r� r� r�
w�
Li =� ri �� pi =� ri ��(D�mi ��vi)
dla całej bryły możemy zapisad:
n
L =�
��r ��D�mi ��vi
i
D�mi
r�
ri
i=�1
r�
podstawiając: v =�w� ��r
vi
n n
2
=�
��r ��D�mi
��r ��D�mi ��w� ��ri =� w� �� i
i
i=�1
i=�1
r�
r�
=� I ��w�
�� L =� I ��w�
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego 
moment pędu (kręt)
II zasadę dynamiki możemy zapisad:
r�
r�
r�
r�
dw� d(I ��w�)
M =� I ��e� =�
=� I ��
dt
dt
r�
r�
dL
M =�
dt
Pochodna momentu pędu bryły względem czasu jest
równa momentowi siły działającej na bryłę sztywną
10:36
Zasada zachowania momentu pędu
(krętu)
r�
r�
dL
M =�
dt
r�
r�
M =� 0
�� L =� const
Jeżeli moment wypadkowy sił
moment sił zewnętrznych wynosi zero,
zewnętrznych działających
moment pędu jest zachowany,
na bryłę równa się zeru,
to całkowity moment pędu
I1 ��w�1 =� I2 ��w�2
(kręt) pozostaje stały.
ponieważ:
I1 >� I2
zmniejszenie momentu bezwładności
zatem:
przyspiesza obrót:
w�2 >� w�1
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Energię kinetyczną  obliczamy sumując energie kinetyczne
poszczególnych punktów bryły:
1 1
2
Eki =� mi ��vi2 =� mi �� ri2 ��w�
2 2
dla całej bryły mamy zatem:
n n
1 1
2 2
=� ��w� ��
Ek =� mi �� ri2 ��w�
��m �� ri2
�� i
2
2
i=�1
i=�1
1
2
Ek =� I ��w�
2
Energia kinetyczna ruchu postępowo 
obrotowego
Energia kinetyczna obracającej się bryły jest sumą energii kinetycznej
ruchu obrotowego i energii kinetycznej środka masy:
r�
w�
m
1 1
r�
Ek =� m��v2 +� I ��w�2
v
2 2
jeżeli wysokośd równi wynosi h, a promieo ciała r, to obliczmy prędkośd ciała
u podstawy równi:
1-� rura o cienkiej ściance
��
v =� w� ��r
1 1
��1
2 2
mgh =� m��vk +� I ��w�k c =� 2 -� walec,
��
��
��
2 2
I =� c ��m��r2
��2 5 -� kula
��
1
vk =� 2gh ��
c +�1
Przykłady  maszyna Atwooda
obliczmy przyspieszenie, z jakim poruszają się masy oraz naciąg nici:
bloczek nieruchomy:
m1 ��a =� N -� m1 �� g
m2 ��a =� m2 �� g -� N
r
r�
a
(m1 +� m2)��a =� (m2 -� m1)�� g
r�
m
N
m2 -� m1
m1
r�
a =� �� g
N
m1 +� m2
r�
m2
m1g
2m1 ��m2
N =� �� g
r�
m2g
m1 +� m2
10:36
Przykłady  maszyna Atwooda
obliczmy przyspieszenie, z jakim poruszają się masy oraz naciąg nici:
m1 ��a =� N1 -� m1 �� g
bloczek ruchomy:
m2 ��a =� mr� �� g -�
2
r�
r� r�N2
r�
r�
N1
r
M =� r ��(N2 +� N1) =� I ��e�
r�
r�
a
N2
r�
a
m
N1
r ��(N2 -� N1) =� I ��e� =� I
r
m1
r�
N2 m2 -� m1
a =� �� g
r�
m2
m
m1g
m1 +� m2 +�
r�
2
m2g
N1 =� ...... N2 =� ......
Analogia między ruchem postępowym i
obrotowym
Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy
r�
r�
j�
Droga liniowa s r� Droga kątowa
r�
r� ds r� dj�
v =� w� =�
Prędkość liniowa Prędkość kątowa
dt dt
r� r�
r�
r� dv dw�
Przyspieszenie Przyspieszenie
a =� e� =�
dt dt
liniowe kątowe
Moment
Masa m
I
bezwładności
r� r� r�
r�
p =� m �� v
Pęd Moment pędu
L =� I ��w�
r� r�
Siła Moment siły
F M
r�
r�
v�
r�
r� dp
r� dL
F =� m �� a =�
II zasada dynamiki II zasada dynamiki M =� I ��e� =�
dt
dt
r�
r�
r�
dp r�
dL
=� 0 �� p =� const
=� 0 �� L =� const
Zasada Zasada zachowania
dt
dt
zachowania pędu momentu pędu
1 1
Ek =� m �� v2 Ek =� I ��w�2
Energia kinetyczna Energia kinetyczna
2 2
Precesja
Precesja lub ruch precesyjny 
zjawisko zmiany kierunku osi
obrotu obracającego się ciała. Oś
obrotu sama obraca się wówczas
wokół pewnego kierunku w
przestrzeni zakreślając
powierzchnię boczną stożka.
11:19
Precesja
Precesja przy nieobecności sił zewnętrznych
Precesja występuje w przypadku swobodnie obracającej się bryły, gdy na ciało nie
działają żadne siły zewnętrzne. Dzieje się tak wówczas, gdy oś, wokół której obraca
się bryła nie jest jej osią główną.
11:19
Precesja
Precesja wymuszona
Precesja wymuszona występuje wówczas, gdy ciało obracające
się dookoła osi zostanie poddane momentowi siły ze składową
prostopadłą do momentu pędu ciała. Wtedy oś obrotu ciała
wykonuje ruch kreśląc sobą powierzchnię w kształcie bocznej
powierzchni stożka.
Zjawisko to może byd zaobserwowane na przykładzie
wirującego bąka, gdy oś bąka nie jest pionowa przyciąganie
ziemskie stara się przewrócid bąka, ale bąk nie przewraca się,
a charakterystycznie zatacza się, co jest właśnie precesją. W
ten sposób precesja powoduje stabilnośd wirujących ciał.
Dzięki precesji działają również żyrokompasy.
11:19
Precesja
11:19
Precesja
11:19
Precesja
Prędkośd precesji można zmniejszyd zmniejszając
wartośd momentu siły i zwiększając
moment pędu przez rozpędzenie ciała do większej
prędkości kątowej.
Stosując zawieszenie Cardana i dobre łożyska
można praktycznie wyeliminowad moment siły
działający na wirujący bąk i straty energii
wywołane tarciem.
Moment pędu tak zawieszonego bąka nie
Animacja działania żyroskopu
powinien się zmieniad, czyli zachowywad stały
kierunek w przestrzeni, niezależnie od położenia
obudowy.
Taka konstrukcja nazywa się żyroskopem.
11:19
Żyroskop
Skutecznośd żyroskopu spada wraz z
zmniejszeniem się prędkości obrotowej
11:19
Żyroskop
Precesja osi Ziemi
Precesja osi Ziemi została odkryta przez Hipparcha w 130 roku p.n.e. Jest to data
akceptowana przez tradycyjną, akademicką interpretację historii. Zjawisko precesji było
znane i obserwowane już w starożytnym Sumerze, a potem Egipcie.
Jest to zjawisko przejawiające się wykonywaniem przez oś Ziemi ruchu po powierzchni
bocznej stożka. Innymi słowy, oś ziemska kreśli na tle nieba okrąg. Zakreślenie pełnego
okręgu trwa 25 920 lat.
Zjawisko to jest wywołane przez oddziaływanie grawitacyjne ze strony Księżyca i Słooca. Oś
obrotu Ziemi nie jest prostopadła do jej płaszczyzny obiegu wokół Słooca (ekliptyki), ale
pochylona pod kątem ok. 23,5�. Jednocześnie Ziemia nie jest kulą. Jest spłaszczona na
biegunach, stąd jej moment bezwładności względem osi obrotu jest większy niż dla kuli. W
rezultacie jej oś obrotu porusza się po powierzchni bocznej stożka, nie zachowując stałego
położenia w przestrzeni.
11:19
Precesja osi Ziemi
Skutkiem precesji Ziemi jest to, że równik
niebieski wędruje po ekliptyce z prędkością 1�
na 72 lata, a biegun niebieski zakreśla wokół
bieguna ekliptyki okrąg o promieniu 23,5�.
Dlatego też Gwiazda Polarna nie zawsze była na
biegunie nieba. Za 11 tysięcy lat będzie tam się
znajdowad Wega. Podobnie przesuwa się po
ekliptyce punkt Barana, inaczej zwany punktem
równonocy wiosennej. Precesja powoduje
również różnicę między rokiem gwiazdowym a
rokiem zwrotnikowym.
11:19
Precesja osi Ziemi
11:19