Interpolacja i decymacja
Interpolacja  zagęszczanie ciągu próbek (sygnału dyskretnego). Krotność
Fs =1/T
interpolacji: L  liczba całkowita. Przepróbkowanie z szybkości do
LFs = L /T .
Decymacja  rozrzedzanie ciągu próbek (sygnału dyskretnego). Krotność
Fs =1/T
decymacji: D  liczba całkowita. Przepróbkowanie z szybkości
Fs / D =1/ DT
do .
Koncepcja interpolacji: kaskada ekspandera i filtru 1/L-
pasmowego.
FIR - N
w[m] y[m]
x[n]
h[m]
ę! L
Fs [Hz]
LFs [Hz]
LFs [Hz]
T =1/Fs [s]
T/L [s]
Ekspander uzupełnia ciąg wejściowy zerami. Wstawia L-1 zer pomiędzy
każdą parę próbek danych.
Koncepcja decymacji: kaskada filtru 1/D- pasmowego i
kompresora.
FIR - N
v[n] y[m]
x[n]
h[n]]
D �!
h[m
Fs/D [Hz]
Fs [Hz]
Fs [Hz]
TD [s]
T [s]
T =1/Fs [s]
Kompresor pozostawia jedynie co D-tą próbkę z ciągu na wyjściu filtru
1/D - pasmowego.
Na obu schematach filtr  zwykle FIR o długości N pracuje z większą z
dwóch szybkości próbkowania.
Filtr interpolacyjny 1/L  pasmowy idealny: filtr
j�
dolnoprzepustowy, zero-fazowy.
H (e )
c
c, � < Ą / L lub f <1/(2L)
" ńł
j�
H (e )=�ł
ół0, Ą / L < � < Ą lub 1/(2L) < f <1/ 2
gdzie
�
� "< -Ą,Ą), f = , f "< -1/ 2,1/ 2)
-Ą �
Ą
-Ą /L Ą/L
0
2Ą
n = 0,ą1,ą 2,L
Odpowiedz
impulsowa idealna, określona dla
Ą Ą / L
1 1
j� j� j�n j�n
h[n] = IDTFT{H (e )}= H (e )e d� = ce d� =
+" +"
2Ą 2Ą
-Ą -Ą / L
c �ł 1 c c sin(Ąn / L) c
jĄn / L jĄn / L
= (e - e- )łł = sin(Ąn / L) = = sinc(n / L)
�ł śł
2Ą jn Ąn L Ąn / L L
�ł �ł
Interpolacja: c=L.
sin x
Uwaga! sinc(0) = lim =1
x0
Decymacja: c=1. x
Warunek Nyquista bezbłędnego odtworzenia (przeniesienia
przez filtr) próbek wejściowych (występujących w węzłach
interpolacji) to
1, n = 0
c ńł
h[Ln] = �[n], �[n] =
�ł0, n `" 0 delta Kroneckera
L
ół
W praktyce filtr idealny 1/L  pasmowy (nierealizowalny
fizycznie) zastępuje się jego realizowalnym odpowiednikiem
FIR  N. Oprócz tego zapewnia się pracę filtru
interpolacyjnego i/lub decymacyjnego z mniejszą z dwóch
szybkości próbkowania, za pomocą dekompozycji
odpowiedzi impulsowej.
Dekompozycja wielofazowa
HN (z) �! hN[n]
W tym celu dobiera się długość N FIR-filtru 1/L- pasmowego
N=LM, gdzie L - krotność interpolacji (lub decymacji), a M- liczba też
całkowita. Wówczas
N -1
HN (z) = hN[n]z-n
"
n=0
dekomponuje się następująco
L-1
HN (z) = z-lHM ,l (zL), hM ,l[n] �! HM ,l (zL)
"
l=0
przy czym odpowiedzi impulsowe pod-filtrów wielofazowych
hM ,l[n] = hN[nL + l], n = 0,1,L,M -1, l = 0,1,L, L -1
Wynika stąd stosowany w praktyce model komutatorowy filtru
interpolacyjnego.
Model komutatorowy filtru interpolacyjnego o krotności interpolacji L
FIR - M
x[n]
o hM , 0[n] o
"
hM ,1[n]
o
"
y[m]
o
o
hM , 2[n]
o
"
M
hM , L-1[n]
o
Fs [Hz] Fs [Hz] LFs [Hz]
T =1/Fs [s] T [s] T / L [s]
Pod-filtry można zrealizować np. w strukturze transwersalnej
Przykład dekompozycji 3-fazowej odpowiedzi impulsowej h[n]
interpolatora o długości N=15, z krotnością interpolacji L=3, na 3 pod-
filtry: h5,0[n], h5,1[n] i h5,2[n], o długości M=5 każdy, do realizacji w
modelu komutatorowym. Model o 3 gałęziach.
Model komutatorowy filtru decymacyjnego o krotności decymacji D=L
FIR - M
y[m]
hM , 0[n] o
"
hM ,1[n]
o
"
x[n]
sumator
o
o
"
hM , 2[n]
o
"
M
hM , L-1[n]
o
"
Fs [Hz] Fs/L [Hz] Fs/L [Hz]
T =1/Fs [s] TL [s] TL [s]
Zmiana szybkości próbkowania w stosunku
wymiernym L/D
Kaskada ekspandera, filtru i kompresora.
Filtr idealny
Ą Ą
ńł
�ł
L, � < min�ł ,
�ł �ł
�ł
"
L D
j�
�ł łł
H (e )=�ł
�ł
�ł0, min�łĄ , Ą �ł < � < Ą
�ł �ł
�ł
L D
�ł łł
ół
spełniać ma ostrzejsze z wymagań.
FIR - N
y[l]
w[m] v[m]
x[n]
h[m]
ę! L D�!
L
Fs [Hz]
LFs [Hz] LFs [Hz]
Fs [Hz]
D
1 1
1
D
T [s] T [s]
T = [s]
T [s]
L L
Fs
L
Przykład projektowania filtru interpolacyjnego lub
decymacyjnego (dla D=L to taki sam filtr)
1.Zapisz charakterystykę częstotliwościową filtru idealnego.
2.Oblicz odpowiedz
impulsową h[n] tego filtru za pomocą IDTFT.
3.Przyjmij N nieparzyste podzielne przez L.
4.Przesuń h[n] w prawo o (N-1)/2 odstępów próbkowania:
h[n]:=h[n-(N-1)/2].
5.Pomnóż h[n] przez okno w[n] o długości N, próbka po próbce.
Przykładowe okno: von Hanna
2Ą N -1
łł
�łn - �ł
w[n] = 0.5 - 0.5cos�ł
�ł �łśł, n = 0,1, L, N -1
�ł
N -1 2
�ł łł
�ł �ł
A więc docelowy filtr, do dekompozycji wielofazowej, ma
odpowiedz
impulsową
ńł1 1 2Ą N -1 �ł
łł
�łn - �ł
hN[n] = h[n]w[n] = h[n]�ł - cos�ł
�ł �łśł n = 0,1, L, N -1
żł,
2
�ł łł
�ł �ł
ół2 2 �ł N -1 �ł
Ad.4 Przesuń h[n] w prawo o (N-1)/2 odstępów
próbkowania: h[n]:=h[n-(N-1)/2].
Przykładowo operacja przesunięcia dla N=15 
tu filtr pół-pasmowy
h[n]:= h[n - (N -1) / 2]; N =15
h[n]
1/ 2 1/ 2
1/Ą
1/Ą 1/Ą
1/Ą

1/(5Ą )
1/(5Ą ) 1/(5Ą )
1/(5Ą )
L
L
L
- 7 L
- 3 3 7
4 10 14
0 8 9 11 12 13
2
1 3 5 6 7
2
- 6 - 5- 4 - 2 -1 1 4 5 6 n
0 n
-1/(7Ą ) -1/(7Ą )
-1/(7Ą ) -1/(7Ą )
-1/(3Ą ) -1/(3Ą )
-1/(3Ą ) -1/(3Ą )
Zastosowania interpolacji i decymacji
1. Synchronizacja modemów odbiorników cyfrowych.
2. Estymacja kierunku, z którego przyszedł sygnał, w szykach antenowych,
celem uzyskania synfazowości sygnałów z poszczególnych elementów
(anten) odbiorczych.
3. Konwersja szybkości próbkowania do realizacji współpracy systemów
cyfrowych o różnych szybkościach próbkowania, np. pomiędzy
standardami: telekomunikacyjnym i multimedialnym.
4. Fenomenologiczne modelowanie cyfrowe instrumentów muzycznych.
5. Estymacja opóz
nienia np. w GPS. Pomiar czasu propagacji sygnału
do/od satelitów metodą kompensacji opóz
nienia ułamkowego.
6. Projektowanie karoserii samochodowych.
7. Usuwanie ech.
8. Przestrajanie generatorów sterowanych numerycznie  DDS.
9. Dopasowanie obrazu do wielkości ekranu  przepróbkowanie sygnałów
wizyjnych.
10. Lokalizacja obiektów, np. hełm wirtualnej rzeczywistości. I wiele innych.