szeregi funkcji analitycznych;
zera, bieguny i residua
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej
Z analityczności punktu w punkcie z wynika możliwość jej
reprezentacji w postaci szeregu Taylora
" "

f(n)(z0)
f(z) = an(z - z0)n = a0 + (z - z0)n; |z - z0| < r0.
n!
n=0 n=1
Jeżeli z0 jest zerem funkcji analitycznej to a0 = f(z0) = 0.
Dodatkowo, jeżeli
f(z0) = f (z0) = f (z0) = . . . f(m-1)(z0) = 0, ale f(m)(z0) = 0

to z0 nazywamy zerem rzędu m; zachodzi wówczas
"

f(z) = (z - z0)m am+n(z - z0)n |z - z0| < r0,
n=0
gdzie an = f(n)(z0)/n! są współczynnikami szeregu Taylora;
am = 0.

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej
Z analityczności punktu w punkcie z wynika możliwość jej
reprezentacji w postaci szeregu Taylora
" "

f(n)(z0)
f(z) = an(z - z0)n = a0 + (z - z0)n; |z - z0| < r0.
n!
n=0 n=1
Jeżeli z0 jest zerem funkcji analitycznej to a0 = f(z0) = 0.
Dodatkowo, jeżeli
f(z0) = f (z0) = f (z0) = . . . f(m-1)(z0) = 0, ale f(m)(z0) = 0

to z0 nazywamy zerem rzędu m; zachodzi wówczas
"

f(z) = (z - z0)m am+n(z - z0)n |z - z0| < r0,
n=0
gdzie an = f(n)(z0)/n! są współczynnikami szeregu Taylora;
am = 0.

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej
Z analityczności punktu w punkcie z wynika możliwość jej
reprezentacji w postaci szeregu Taylora
" "

f(n)(z0)
f(z) = an(z - z0)n = a0 + (z - z0)n; |z - z0| < r0.
n!
n=0 n=1
Jeżeli z0 jest zerem funkcji analitycznej to a0 = f(z0) = 0.
Dodatkowo, jeżeli
f(z0) = f (z0) = f (z0) = . . . f(m-1)(z0) = 0, ale f(m)(z0) = 0

to z0 nazywamy zerem rzędu m; zachodzi wówczas
"

f(z) = (z - z0)m am+n(z - z0)n |z - z0| < r0,
n=0
gdzie an = f(n)(z0)/n! są współczynnikami szeregu Taylora;
am = 0.

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej
Z analityczności punktu w punkcie z wynika możliwość jej
reprezentacji w postaci szeregu Taylora
" "

f(n)(z0)
f(z) = an(z - z0)n = a0 + (z - z0)n; |z - z0| < r0.
n!
n=0 n=1
Jeżeli z0 jest zerem funkcji analitycznej to a0 = f(z0) = 0.
Dodatkowo, jeżeli
f(z0) = f (z0) = f (z0) = . . . f(m-1)(z0) = 0, ale f(m)(z0) = 0

to z0 nazywamy zerem rzędu m; zachodzi wówczas
"

f(z) = (z - z0)m am+n(z - z0)n |z - z0| < r0,
n=0
gdzie an = f(n)(z0)/n! są współczynnikami szeregu Taylora;
am = 0.

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej
Z analityczności punktu w punkcie z wynika możliwość jej
reprezentacji w postaci szeregu Taylora
" "

f(n)(z0)
f(z) = an(z - z0)n = a0 + (z - z0)n; |z - z0| < r0.
n!
n=0 n=1
Jeżeli z0 jest zerem funkcji analitycznej to a0 = f(z0) = 0.
Dodatkowo, jeżeli
f(z0) = f (z0) = f (z0) = . . . f(m-1)(z0) = 0, ale f(m)(z0) = 0

to z0 nazywamy zerem rzędu m; zachodzi wówczas
"

f(z) = (z - z0)m am+n(z - z0)n |z - z0| < r0,
n=0
gdzie an = f(n)(z0)/n! są współczynnikami szeregu Taylora;
am = 0.

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej
Z analityczności punktu w punkcie z wynika możliwość jej
reprezentacji w postaci szeregu Taylora
" "

f(n)(z0)
f(z) = an(z - z0)n = a0 + (z - z0)n; |z - z0| < r0.
n!
n=0 n=1
Jeżeli z0 jest zerem funkcji analitycznej to a0 = f(z0) = 0.
Dodatkowo, jeżeli
f(z0) = f (z0) = f (z0) = . . . f(m-1)(z0) = 0, ale f(m)(z0) = 0

to z0 nazywamy zerem rzędu m; zachodzi wówczas
"

f(z) = (z - z0)m am+n(z - z0)n |z - z0| < r0,
n=0
gdzie an = f(n)(z0)/n! są współczynnikami szeregu Taylora;
am = 0.

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej
Z analityczności punktu w punkcie z wynika możliwość jej
reprezentacji w postaci szeregu Taylora
" "

f(n)(z0)
f(z) = an(z - z0)n = a0 + (z - z0)n; |z - z0| < r0.
n!
n=0 n=1
Jeżeli z0 jest zerem funkcji analitycznej to a0 = f(z0) = 0.
Dodatkowo, jeżeli
f(z0) = f (z0) = f (z0) = . . . f(m-1)(z0) = 0, ale f(m)(z0) = 0

to z0 nazywamy zerem rzędu m; zachodzi wówczas
"

f(z) = (z - z0)m am+n(z - z0)n |z - z0| < r0,
n=0
gdzie an = f(n)(z0)/n! są współczynnikami szeregu Taylora;
am = 0.

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej  Twierdzenie:
Zera funkcji analitycznej są punktami izolowanymi; tzn. wokół
każdego punktu zerowego istnieje jego epsilonowe otoczenie, w którym
f(z) = 0  chyba że funkcja jest tożsamościowo równa zeru dla

wszystkich z. Rozważamy zero rzędu m i funkcję
"

g(z) = am+n(z - z0)n; am = g(z0) = 0; |z - z0| < r0.

n=0
Funkcja g jest ciągła (bo analityczna) w z0, a więc
" > 0 "´ |g(z) - am| < , " |z - z0| < ´.
Połóżmy na przykÅ‚ad = |am|/2; ´ a" ´ ; mamy
|g(z)-am| < |am|/2 dla |z-z0| < ´ g(z) = 0 dla |z-z0| < ´ .

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej  Twierdzenie:
Zera funkcji analitycznej są punktami izolowanymi; tzn. wokół
każdego punktu zerowego istnieje jego epsilonowe otoczenie, w którym
f(z) = 0  chyba że funkcja jest tożsamościowo równa zeru dla

wszystkich z. Rozważamy zero rzędu m i funkcję
"

g(z) = am+n(z - z0)n; am = g(z0) = 0; |z - z0| < r0.

n=0
Funkcja g jest ciągła (bo analityczna) w z0, a więc
" > 0 "´ |g(z) - am| < , " |z - z0| < ´.
Połóżmy na przykÅ‚ad = |am|/2; ´ a" ´ ; mamy
|g(z)-am| < |am|/2 dla |z-z0| < ´ g(z) = 0 dla |z-z0| < ´ .

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej  Twierdzenie:
Zera funkcji analitycznej są punktami izolowanymi; tzn. wokół
każdego punktu zerowego istnieje jego epsilonowe otoczenie, w którym
f(z) = 0  chyba że funkcja jest tożsamościowo równa zeru dla

wszystkich z. Rozważamy zero rzędu m i funkcję
"

g(z) = am+n(z - z0)n; am = g(z0) = 0; |z - z0| < r0.

n=0
Funkcja g jest ciągła (bo analityczna) w z0, a więc
" > 0 "´ |g(z) - am| < , " |z - z0| < ´.
Połóżmy na przykÅ‚ad = |am|/2; ´ a" ´ ; mamy
|g(z)-am| < |am|/2 dla |z-z0| < ´ g(z) = 0 dla |z-z0| < ´ .

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej  Twierdzenie:
Zera funkcji analitycznej są punktami izolowanymi; tzn. wokół
każdego punktu zerowego istnieje jego epsilonowe otoczenie, w którym
f(z) = 0  chyba że funkcja jest tożsamościowo równa zeru dla

wszystkich z. Rozważamy zero rzędu m i funkcję
"

g(z) = am+n(z - z0)n; am = g(z0) = 0; |z - z0| < r0.

n=0
Funkcja g jest ciągła (bo analityczna) w z0, a więc
" > 0 "´ |g(z) - am| < , " |z - z0| < ´.
Połóżmy na przykÅ‚ad = |am|/2; ´ a" ´ ; mamy
|g(z)-am| < |am|/2 dla |z-z0| < ´ g(z) = 0 dla |z-z0| < ´ .

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej  Twierdzenie:
Zera funkcji analitycznej są punktami izolowanymi; tzn. wokół
każdego punktu zerowego istnieje jego epsilonowe otoczenie, w którym
f(z) = 0  chyba że funkcja jest tożsamościowo równa zeru dla

wszystkich z. Rozważamy zero rzędu m i funkcję
"

g(z) = am+n(z - z0)n; am = g(z0) = 0; |z - z0| < r0.

n=0
Funkcja g jest ciągła (bo analityczna) w z0, a więc
" > 0 "´ |g(z) - am| < , " |z - z0| < ´.
Połóżmy na przykÅ‚ad = |am|/2; ´ a" ´ ; mamy
|g(z)-am| < |am|/2 dla |z-z0| < ´ g(z) = 0 dla |z-z0| < ´ .

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szeregi Taylora i Laurenta  Zera i bieguny
Zera funkcji analitycznej  Twierdzenie:
Zera funkcji analitycznej są punktami izolowanymi; tzn. wokół
każdego punktu zerowego istnieje jego epsilonowe otoczenie, w którym
f(z) = 0  chyba że funkcja jest tożsamościowo równa zeru dla

wszystkich z. Rozważamy zero rzędu m i funkcję
"

g(z) = am+n(z - z0)n; am = g(z0) = 0; |z - z0| < r0.

n=0
Funkcja g jest ciągła (bo analityczna) w z0, a więc
" > 0 "´ |g(z) - am| < , " |z - z0| < ´.
Połóżmy na przykÅ‚ad = |am|/2; ´ a" ´ ; mamy
|g(z)-am| < |am|/2 dla |z-z0| < ´ g(z) = 0 dla |z-z0| < ´ .

szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Przypomnijmy
Definicje Przykłady
Punktem izolowanym osobliwym Na przykład punkt z = 1 dla funkcji
obszaru E nazywamy punkt, dla
1
którego istnieje -owe sąsiedztwo, f(z) = .
1 - z
niezawierające żadnego innego
punktu osobliwego. Np. funkcja
Z kolei punkt z = 0 nie będzie izo-
lowanym punktem osobliwym funkcji
z + 1
f(z) = sin(Ä„/z), podobnie jak z = 0
z3(z2 + 1)
nie będzie izolowanym punktem osobli-
wym funkcji f(z) = Ln z.
ma 3 punkty osobliwe: z = 0 i z = Ä…i.
Jeżeli tak, to . . .
W okolicy izolowanego punktu osobliwego nasza funkcja ma
rozwinięcie w szereg Laurenta
"

b1 b2
f(z) = an(z-z0)n+ + +. . .+. . . ; 0 < |z-z0| < r1.
z - z0 (z - z0)2
n=0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Przypomnijmy
Definicje Przykłady
Punktem izolowanym osobliwym Na przykład punkt z = 1 dla funkcji
obszaru E nazywamy punkt, dla
1
którego istnieje -owe sąsiedztwo, f(z) = .
1 - z
niezawierające żadnego innego
punktu osobliwego. Np. funkcja
Z kolei punkt z = 0 nie będzie izo-
lowanym punktem osobliwym funkcji
z + 1
f(z) = sin(Ä„/z), podobnie jak z = 0
z3(z2 + 1)
nie będzie izolowanym punktem osobli-
wym funkcji f(z) = Ln z.
ma 3 punkty osobliwe: z = 0 i z = Ä…i.
Jeżeli tak, to . . .
W okolicy izolowanego punktu osobliwego nasza funkcja ma
rozwinięcie w szereg Laurenta
"

b1 b2
f(z) = an(z-z0)n+ + +. . .+. . . ; 0 < |z-z0| < r1.
z - z0 (z - z0)2
n=0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Przypomnijmy
Definicje Przykłady
Punktem izolowanym osobliwym Na przykład punkt z = 1 dla funkcji
obszaru E nazywamy punkt, dla
1
którego istnieje -owe sąsiedztwo, f(z) = .
1 - z
niezawierające żadnego innego
punktu osobliwego. Np. funkcja
Z kolei punkt z = 0 nie będzie izo-
lowanym punktem osobliwym funkcji
z + 1
f(z) = sin(Ä„/z), podobnie jak z = 0
z3(z2 + 1)
nie będzie izolowanym punktem osobli-
wym funkcji f(z) = Ln z.
ma 3 punkty osobliwe: z = 0 i z = Ä…i.
Jeżeli tak, to . . .
W okolicy izolowanego punktu osobliwego nasza funkcja ma
rozwinięcie w szereg Laurenta
"

b1 b2
f(z) = an(z-z0)n+ + +. . .+. . . ; 0 < |z-z0| < r1.
z - z0 (z - z0)2
n=0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Przypomnijmy
Definicje Przykłady
Punktem izolowanym osobliwym Na przykład punkt z = 1 dla funkcji
obszaru E nazywamy punkt, dla
1
którego istnieje -owe sąsiedztwo, f(z) = .
1 - z
niezawierające żadnego innego
punktu osobliwego. Np. funkcja
Z kolei punkt z = 0 nie będzie izo-
lowanym punktem osobliwym funkcji
z + 1
f(z) = sin(Ä„/z), podobnie jak z = 0
z3(z2 + 1)
nie będzie izolowanym punktem osobli-
wym funkcji f(z) = Ln z.
ma 3 punkty osobliwe: z = 0 i z = Ä…i.
Jeżeli tak, to . . .
W okolicy izolowanego punktu osobliwego nasza funkcja ma
rozwinięcie w szereg Laurenta
"

b1 b2
f(z) = an(z-z0)n+ + +. . .+. . . ; 0 < |z-z0| < r1.
z - z0 (z - z0)2
n=0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Residuum
Współczynniki bn określone sa jako

1 f(Å›) dÅ› 1
bn = W szczególności b1 = f(ś) dś.
2Ä„i (z - Å›)-n+1 2Ä„i
C C
Współczynnik b1 a" c-1 nazywamy residuum funkcji f
w izolowanym punkcie osobliwym z0.
Rachunek residuów to bardzo skuteczna metoda liczenia całek po
konturach zamkniętych . Jeżeli potrafimy znalez
ć residuum funkcji, to
caÅ‚ka równa jest temu residuum ×2Ä„ i!

f(Å›) dÅ› = 2Ä„ib1.
C
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Residuum
Współczynniki bn określone sa jako

1 f(Å›) dÅ› 1
bn = W szczególności b1 = f(ś) dś.
2Ä„i (z - Å›)-n+1 2Ä„i
C C
Współczynnik b1 a" c-1 nazywamy residuum funkcji f
w izolowanym punkcie osobliwym z0.
Rachunek residuów to bardzo skuteczna metoda liczenia całek po
konturach zamkniętych . Jeżeli potrafimy znalez
ć residuum funkcji, to
caÅ‚ka równa jest temu residuum ×2Ä„ i!

f(Å›) dÅ› = 2Ä„ib1.
C
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Residuum
Współczynniki bn określone sa jako

1 f(Å›) dÅ› 1
bn = W szczególności b1 = f(ś) dś.
2Ä„i (z - Å›)-n+1 2Ä„i
C C
Współczynnik b1 a" c-1 nazywamy residuum funkcji f
w izolowanym punkcie osobliwym z0.
Rachunek residuów to bardzo skuteczna metoda liczenia całek po
konturach zamkniętych . Jeżeli potrafimy znalez
ć residuum funkcji, to
caÅ‚ka równa jest temu residuum ×2Ä„ i!

f(Å›) dÅ› = 2Ä„ib1.
C
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Residuum
Współczynniki bn określone sa jako

1 f(Å›) dÅ› 1
bn = W szczególności b1 = f(ś) dś.
2Ä„i (z - Å›)-n+1 2Ä„i
C C
Współczynnik b1 a" c-1 nazywamy residuum funkcji f
w izolowanym punkcie osobliwym z0.
Rachunek residuów to bardzo skuteczna metoda liczenia całek po
konturach zamkniętych . Jeżeli potrafimy znalez
ć residuum funkcji, to
caÅ‚ka równa jest temu residuum ×2Ä„ i!

f(Å›) dÅ› = 2Ä„ib1.
C
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Residuum
Współczynniki bn określone sa jako

1 f(Å›) dÅ› 1
bn = W szczególności b1 = f(ś) dś.
2Ä„i (z - Å›)-n+1 2Ä„i
C C
Współczynnik b1 a" c-1 nazywamy residuum funkcji f
w izolowanym punkcie osobliwym z0.
Rachunek residuów to bardzo skuteczna metoda liczenia całek po
konturach zamkniętych . Jeżeli potrafimy znalez
ć residuum funkcji, to
caÅ‚ka równa jest temu residuum ×2Ä„ i!

f(Å›) dÅ› = 2Ä„ib1.
C
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Rachunek residuów  przykład
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć całkę

e-z
dz.
(z - 1)2
|z|=2
Jedyny punkt osobliwy z = 1 znajduje siÄ™ wewnÄ…trz konturu. Szereg
Laurenta dla f uzyskamy rozwijajÄ…c eksponentÄ™ w szereg Taylora
wokół z = 1
e-z = e-1 - e-1(z - 1) + e-1(z - 1)2/2! - . . .
a więc
e-z e-1 e-1
= - + . . .
(z - 1)2 (z - 1)2 (z - 1)
Współczynnik przy pierwszej ujemnej potędze (z - 1) to
Res [f(z); z = 1] = -1/e.

e-z
dz = -2Ä„i/e.
(z - 1)2
|z|=2
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Rachunek residuów  przykład
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć całkę

e-z
dz.
(z - 1)2
|z|=2
Jedyny punkt osobliwy z = 1 znajduje siÄ™ wewnÄ…trz konturu. Szereg
Laurenta dla f uzyskamy rozwijajÄ…c eksponentÄ™ w szereg Taylora
wokół z = 1
e-z = e-1 - e-1(z - 1) + e-1(z - 1)2/2! - . . .
a więc
e-z e-1 e-1
= - + . . .
(z - 1)2 (z - 1)2 (z - 1)
Współczynnik przy pierwszej ujemnej potędze (z - 1) to
Res [f(z); z = 1] = -1/e.

e-z
dz = -2Ä„i/e.
(z - 1)2
|z|=2
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Rachunek residuów  przykład
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć całkę

e-z
dz.
(z - 1)2
|z|=2
Jedyny punkt osobliwy z = 1 znajduje siÄ™ wewnÄ…trz konturu. Szereg
Laurenta dla f uzyskamy rozwijajÄ…c eksponentÄ™ w szereg Taylora
wokół z = 1
e-z = e-1 - e-1(z - 1) + e-1(z - 1)2/2! - . . .
a więc
e-z e-1 e-1
= - + . . .
(z - 1)2 (z - 1)2 (z - 1)
Współczynnik przy pierwszej ujemnej potędze (z - 1) to
Res [f(z); z = 1] = -1/e.

e-z
dz = -2Ä„i/e.
(z - 1)2
|z|=2
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Rachunek residuów  przykład
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć całkę

e-z
dz.
(z - 1)2
|z|=2
Jedyny punkt osobliwy z = 1 znajduje siÄ™ wewnÄ…trz konturu. Szereg
Laurenta dla f uzyskamy rozwijajÄ…c eksponentÄ™ w szereg Taylora
wokół z = 1
e-z = e-1 - e-1(z - 1) + e-1(z - 1)2/2! - . . .
a więc
e-z e-1 e-1
= - + . . .
(z - 1)2 (z - 1)2 (z - 1)
Współczynnik przy pierwszej ujemnej potędze (z - 1) to
Res [f(z); z = 1] = -1/e.

e-z
dz = -2Ä„i/e.
(z - 1)2
|z|=2
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Rachunek residuów  przykład
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć całkę

e-z
dz.
(z - 1)2
|z|=2
Jedyny punkt osobliwy z = 1 znajduje siÄ™ wewnÄ…trz konturu. Szereg
Laurenta dla f uzyskamy rozwijajÄ…c eksponentÄ™ w szereg Taylora
wokół z = 1
e-z = e-1 - e-1(z - 1) + e-1(z - 1)2/2! - . . .
a więc
e-z e-1 e-1
= - + . . .
(z - 1)2 (z - 1)2 (z - 1)
Współczynnik przy pierwszej ujemnej potędze (z - 1) to
Res [f(z); z = 1] = -1/e.

e-z
dz = -2Ä„i/e.
(z - 1)2
|z|=2
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Rachunek residuów  przykład
Przypuśćmy, że chcemy obliczyć całkę

e-z
dz.
(z - 1)2
|z|=2
Jedyny punkt osobliwy z = 1 znajduje siÄ™ wewnÄ…trz konturu. Szereg
Laurenta dla f uzyskamy rozwijajÄ…c eksponentÄ™ w szereg Taylora
wokół z = 1
e-z = e-1 - e-1(z - 1) + e-1(z - 1)2/2! - . . .
a więc
e-z e-1 e-1
= - + . . .
(z - 1)2 (z - 1)2 (z - 1)
Współczynnik przy pierwszej ujemnej potędze (z - 1) to
Res [f(z); z = 1] = -1/e.

e-z
dz = -2Ä„i/e.
(z - 1)2
|z|=2
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Twierdzenie o residuach
Twierdzenie: Niech C oznacza zamknięty (i dodatnio skierowany)
kontur, na którym i wewnątrz którego funkcja f(z) jest analityczna,
za wyjątkiem skończonej liczby izolowanych punktów osobliwych
z1, z2, . . . , zn. Wówczas

n

f(z) dz = 2Ä„i [Resf(z); z = zk] .
C
k=1
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Twierdzenie o residuach
Twierdzenie: Niech C oznacza zamknięty (i dodatnio skierowany)
kontur, na którym i wewnątrz którego funkcja f(z) jest analityczna,
za wyjątkiem skończonej liczby izolowanych punktów osobliwych
z1, z2, . . . , zn. Wówczas

n

f(z) dz = 2Ä„i [Resf(z); z = zk] .
C
k=1

f(z) dz - f(z) dz
C C1

- f(z) dz - . . .
C2

- f(z) dz = 0
Cn
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Twierdzenie o residuach
Twierdzenie: Niech C oznacza zamknięty (i dodatnio skierowany)
kontur, na którym i wewnątrz którego funkcja f(z) jest analityczna,
za wyjątkiem skończonej liczby izolowanych punktów osobliwych
z1, z2, . . . , zn. Wówczas

n

f(z) dz = 2Ä„i [Resf(z); z = zk] .
C
k=1

f(z) dz - f(z) dz
C C1

- f(z) dz - . . .
C2

- f(z) dz = 0
Cn

Każda f(z) dz = 2ĄiRes [f(z); z = zi] .
Ci
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Szereg Laurenta  residua i bieguny
Twierdzenie o residuach

= 0 f(z) dz- f(z) dz- f(z) dz-. . .- f(z) dz = 0.
“ C C1 C2 Cn
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
dwie osobliwości: z = 0 i z = 1. Residua w tych punktach:
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
dwie osobliwości: z = 0 i z = 1. Residua w tych punktach:
z = 0 0 < |z| < 1

5z - 2 2 -1 2
= 5 - = -5 + [1 + z + z2 + . . .]
z(z - 1) z 1 - z z
2
= - 3 - 3z - 3z2 + . . .
z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
dwie osobliwości: z = 0 i z = 1. Residua w tych punktach:
z = 0 0 < |z| < 1

5z - 2 2 -1 2
= 5 - = -5 + [1 + z + z2 + . . .]
z(z - 1) z 1 - z z
2
= - 3 - 3z - 3z2 + . . . R(0) = 2.
z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
dwie osobliwości: z = 0 i z = 1. Residua w tych punktach:
z = 0 0 < |z| < 1

5z - 2 2 -1 2
= 5 - = -5 + [1 + z + z2 + . . .]
z(z - 1) z 1 - z z
2
= - 3 - 3z - 3z2 + . . . R(0) = 2.
z
z = 1 |z - 1| < 1 Taylor: 1/z = 1 - (z - 1) + 2(z - 1)2 - . . .
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
dwie osobliwości: z = 0 i z = 1. Residua w tych punktach:
z = 0 0 < |z| < 1

5z - 2 2 -1 2
= 5 - = -5 + [1 + z + z2 + . . .]
z(z - 1) z 1 - z z
2
= - 3 - 3z - 3z2 + . . . R(0) = 2.
z
z = 1 |z - 1| < 1 Taylor: 1/z = 1 - (z - 1) + 2(z - 1)2 - . . .

5z - 2 3 1
= 5 + = (. . .) [1 - (z - 1) + . . .]
z(z - 1) z - 1 z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
dwie osobliwości: z = 0 i z = 1. Residua w tych punktach:
z = 0 0 < |z| < 1

5z - 2 2 -1 2
= 5 - = -5 + [1 + z + z2 + . . .]
z(z - 1) z 1 - z z
2
= - 3 - 3z - 3z2 + . . . R(0) = 2.
z
z = 1 |z - 1| < 1 Taylor: 1/z = 1 - (z - 1) + 2(z - 1)2 - . . .

5z - 2 3 1
= 5 + = (. . .) [1 - (z - 1) + . . .]
z(z - 1) z - 1 z
R(1) = 3
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  przykład
Obliczmy całkę

5z - 2
I = dz, C = K(0, 2).
z(z - 1)
C
dwie osobliwości: z = 0 i z = 1. Residua w tych punktach:
z = 0 0 < |z| < 1

5z - 2 2 -1 2
= 5 - = -5 + [1 + z + z2 + . . .]
z(z - 1) z 1 - z z
2
= - 3 - 3z - 3z2 + . . . R(0) = 2.
z
z = 1 |z - 1| < 1 Taylor: 1/z = 1 - (z - 1) + 2(z - 1)2 - . . .

5z - 2 3 1
= 5 + = (. . .) [1 - (z - 1) + . . .]
z(z - 1) z - 1 z
R(1) = 3 I = 10Ä„i.
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Punkty osobliwe  klasyfikacja
" Osobliwość usuwalna
" Osobliwość biegunowa (biegun rzędu m)
" Osobliwość istotna
Definicje Przykłady
Szereg Laurenta nie zawiera potęg Kładąc f(z0) = a0 usuwamy (ewentu-
ujemnych (z - z0). alną) osobliwość.
"

1
f(z) = ctg z - ; f(0) = 0.
f(z) = an(z - z0)n
z
n=0 sin z
f(z) = ; f(0) = 1.
z
lim f(z) = a0 a" f(z0).
zz0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Punkty osobliwe  klasyfikacja
" Osobliwość usuwalna
" Osobliwość biegunowa (biegun rzędu m)
" Osobliwość istotna
Definicje Przykłady
Szereg Laurenta zawiera skończoną
sinh z 1 1 1 1 1
liczbę potęg ujemnych;
= + + z + z3 + . . .
bm = 0; bn a" 0 dla n > m. z4 z3 3! z 5! 7!

punkt z = 0 jest biegunem 3. rzędu.
b1 b2
f(z) = + . . . +
z - z0 (z - z0)2
1 - exp(2z) 2 2 4
= . . . = - - - -. . .
"
z4 z3 z2 3z
bm
. . . + + an(z - z0)n.
punkt z = 0 jest biegunem 3. rzędu.
(z - z0)m
n=0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Punkty osobliwe  klasyfikacja
" Osobliwość usuwalna
" Osobliwość biegunowa (biegun rzędu m)
" Osobliwość istotna
Definicje Przykłady
"
Szereg Laurenta zawiera nieskończoną

1 1 1
liczbę potęg ujemnych.
cosh = 1 + .
z (2n)! z2n
n=1
Tw. Weierstrassa: w (dowolnie małym)
Punkt z = 0 jest osobliwością istotną.
sÄ…siedztwie punktu istotnie osobliwego
funkcja f(z) może osiągnąć dowolną
(z góry zadaną!) wartość.
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak określić rząd osobliwości biegunowej?
" Rozwinąć funkcję w szereg Laurenta i zidentyfikować wyraz z
najniższą potęgą (najwyższą ujemną) (z - z0).
" Często
p(z)
f(z) = ,
q(z)
gdzie obie funkcje sa analityczne w z0 oraz q(z0) = 0 a p(z0) = 0.

Wówczas rząd bieguna funkcji f = = rząd zera funkcji q(z) .
" Dla takiej postaci funkcji f, w przypadku bieguna pierwszego
rzędu podamy zgrabny sposób liczenia residuum!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak określić rząd osobliwości biegunowej?
" Rozwinąć funkcję w szereg Laurenta i zidentyfikować wyraz z
najniższą potęgą (najwyższą ujemną) (z - z0).
" Często
p(z)
f(z) = ,
q(z)
gdzie obie funkcje sa analityczne w z0 oraz q(z0) = 0 a p(z0) = 0.

Wówczas rząd bieguna funkcji f = = rząd zera funkcji q(z) .
" Dla takiej postaci funkcji f, w przypadku bieguna pierwszego
rzędu podamy zgrabny sposób liczenia residuum!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak określić rząd osobliwości biegunowej?
" Rozwinąć funkcję w szereg Laurenta i zidentyfikować wyraz z
najniższą potęgą (najwyższą ujemną) (z - z0).
" Często
p(z)
f(z) = ,
q(z)
gdzie obie funkcje sa analityczne w z0 oraz q(z0) = 0 a p(z0) = 0.

Wówczas rząd bieguna funkcji f = = rząd zera funkcji q(z) .
" Dla takiej postaci funkcji f, w przypadku bieguna pierwszego
rzędu podamy zgrabny sposób liczenia residuum!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak określić rząd osobliwości biegunowej?
" Rozwinąć funkcję w szereg Laurenta i zidentyfikować wyraz z
najniższą potęgą (najwyższą ujemną) (z - z0).
" Często
p(z)
f(z) = ,
q(z)
gdzie obie funkcje sa analityczne w z0 oraz q(z0) = 0 a p(z0) = 0.

Wówczas rząd bieguna funkcji f = = rząd zera funkcji q(z) .
" Dla takiej postaci funkcji f, w przypadku bieguna pierwszego
rzędu podamy zgrabny sposób liczenia residuum!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak określić rząd osobliwości biegunowej?
" Rozwinąć funkcję w szereg Laurenta i zidentyfikować wyraz z
najniższą potęgą (najwyższą ujemną) (z - z0).
" Często
p(z)
f(z) = ,
q(z)
gdzie obie funkcje sa analityczne w z0 oraz q(z0) = 0 a p(z0) = 0.

Wówczas rząd bieguna funkcji f = = rząd zera funkcji q(z) .
" Dla takiej postaci funkcji f, w przypadku bieguna pierwszego
rzędu podamy zgrabny sposób liczenia residuum!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak obliczyć residuum w osobliwości biegunowej rzędu m?
bm = 0; Õ(z) a" (z - z0)mf(z), 0 < |z - z0| < r1.

Dla tej funkcji punkt z0 może być najwyżej usuwalną osobliwością 
kÅ‚adziemy Õ(z0) = bm. Funkcja Õ(z)
"

Õ(z) = b1(z - z0)m-1 + b2(z - z0)m-2 + . . . + bm + an(z - z0)m+n
n=0
jest analityczna w otoczeniu z0  powyższy wzór to szereg Taylora
funkcji Õ(z). Jeżeli tak, to współczynnik przy wyrazie (z - z0)m-1
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak obliczyć residuum w osobliwości biegunowej rzędu m?
bm = 0; Õ(z) a" (z - z0)mf(z), 0 < |z - z0| < r1.

Dla tej funkcji punkt z0 może być najwyżej usuwalną osobliwością 
kÅ‚adziemy Õ(z0) = bm. Funkcja Õ(z)
"

Õ(z) = b1(z - z0)m-1 + b2(z - z0)m-2 + . . . + bm + an(z - z0)m+n
n=0
jest analityczna w otoczeniu z0  powyższy wzór to szereg Taylora
funkcji Õ(z). Jeżeli tak, to współczynnik przy wyrazie (z - z0)m-1
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak obliczyć residuum w osobliwości biegunowej rzędu m?
bm = 0; Õ(z) a" (z - z0)mf(z), 0 < |z - z0| < r1.

Dla tej funkcji punkt z0 może być najwyżej usuwalną osobliwością 
kÅ‚adziemy Õ(z0) = bm. Funkcja Õ(z)
"

Õ(z) = b1(z - z0)m-1 + b2(z - z0)m-2 + . . . + bm + an(z - z0)m+n
n=0
jest analityczna w otoczeniu z0  powyższy wzór to szereg Taylora
funkcji Õ(z). Jeżeli tak, to współczynnik przy wyrazie (z - z0)m-1
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak obliczyć residuum w osobliwości biegunowej rzędu m?
bm = 0; Õ(z) a" (z - z0)mf(z), 0 < |z - z0| < r1.

Dla tej funkcji punkt z0 może być najwyżej usuwalną osobliwością 
kÅ‚adziemy Õ(z0) = bm. Funkcja Õ(z)
"

Õ(z) = b1(z - z0)m-1 + b2(z - z0)m-2 + . . . + bm + an(z - z0)m+n
n=0
jest analityczna w otoczeniu z0  powyższy wzór to szereg Taylora
funkcji Õ(z). Jeżeli tak, to współczynnik przy wyrazie (z - z0)m-1
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak obliczyć residuum w osobliwości biegunowej rzędu m?
bm = 0; Õ(z) a" (z - z0)mf(z), 0 < |z - z0| < r1.

Dla tej funkcji punkt z0 może być najwyżej usuwalną osobliwością 
kÅ‚adziemy Õ(z0) = bm. Funkcja Õ(z)
"

Õ(z) = b1(z - z0)m-1 + b2(z - z0)m-2 + . . . + bm + an(z - z0)m+n
n=0
jest analityczna w otoczeniu z0  powyższy wzór to szereg Taylora
funkcji Õ(z). Jeżeli tak, to współczynnik przy wyrazie (z - z0)m-1
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak obliczyć residuum w osobliwości biegunowej rzędu m?
bm = 0; Õ(z) a" (z - z0)mf(z), 0 < |z - z0| < r1.

Dla tej funkcji punkt z0 może być najwyżej usuwalną osobliwością 
kÅ‚adziemy Õ(z0) = bm. Funkcja Õ(z)
"

Õ(z) = b1(z - z0)m-1 + b2(z - z0)m-2 + . . . + bm + an(z - z0)m+n
n=0
jest analityczna w otoczeniu z0  powyższy wzór to szereg Taylora
funkcji Õ(z). Jeżeli tak, to współczynnik przy wyrazie (z - z0)m-1
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Osobliwości biegunowe i ich residua
Jak obliczyć residuum w osobliwości biegunowej rzędu m?
bm = 0; Õ(z) a" (z - z0)mf(z), 0 < |z - z0| < r1.

Dla tej funkcji punkt z0 może być najwyżej usuwalną osobliwością 
kÅ‚adziemy Õ(z0) = bm. Funkcja Õ(z)
"

Õ(z) = b1(z - z0)m-1 + b2(z - z0)m-2 + . . . + bm + an(z - z0)m+n
n=0
jest analityczna w otoczeniu z0  powyższy wzór to szereg Taylora
funkcji Õ(z). Jeżeli tak, to współczynnik przy wyrazie (z - z0)m-1
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu m  przykład
Funkcja
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
ma w punkcie z = 0 biegun 3. rzędu, bo mianownik przy z 0
zachowuje siÄ™ jak z2 · z. Możemy liczyć drugÄ… pochodnÄ… funkcji,
ja wolę liczyć residuum z jego podstawowej definicji 
jako współczynnik przy 1/z.
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
(Ä„z)2 (Ä„z)4
1 - + - . . .
2! 4!
=
Ä„z3 Ä„3z5
- + . . .
1! 3!
1 1 1
= - Ä„ + . . .
Ä„z3 3 z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu m  przykład
Funkcja
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
ma w punkcie z = 0 biegun 3. rzędu, bo mianownik przy z 0
zachowuje siÄ™ jak z2 · z. Możemy liczyć drugÄ… pochodnÄ… funkcji,
ja wolę liczyć residuum z jego podstawowej definicji 
jako współczynnik przy 1/z.
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
(Ä„z)2 (Ä„z)4
1 - + - . . .
2! 4!
=
Ä„z3 Ä„3z5
- + . . .
1! 3!
1 1 1
= - Ä„ + . . .
Ä„z3 3 z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu m  przykład
Funkcja
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
ma w punkcie z = 0 biegun 3. rzędu, bo mianownik przy z 0
zachowuje siÄ™ jak z2 · z. Możemy liczyć drugÄ… pochodnÄ… funkcji,
ja wolę liczyć residuum z jego podstawowej definicji 
jako współczynnik przy 1/z.
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
(Ä„z)2 (Ä„z)4
1 - + - . . .
2! 4!
=
Ä„z3 Ä„3z5
- + . . .
1! 3!
1 1 1
= - Ä„ + . . .
Ä„z3 3 z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu m  przykład
Funkcja
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
ma w punkcie z = 0 biegun 3. rzędu, bo mianownik przy z 0
zachowuje siÄ™ jak z2 · z. Możemy liczyć drugÄ… pochodnÄ… funkcji,
ja wolę liczyć residuum z jego podstawowej definicji 
jako współczynnik przy 1/z.
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
(Ä„z)2 (Ä„z)4
1 - + - . . .
2! 4!
=
Ä„z3 Ä„3z5
- + . . .
1! 3!
1 1 1
= - Ä„ + . . .
Ä„z3 3 z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu m  przykład
Funkcja
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
ma w punkcie z = 0 biegun 3. rzędu, bo mianownik przy z 0
zachowuje siÄ™ jak z2 · z. Możemy liczyć drugÄ… pochodnÄ… funkcji,
ja wolę liczyć residuum z jego podstawowej definicji 
jako współczynnik przy 1/z.
cos Ä„z 1
sin Ä„z z2
(Ä„z)2 (Ä„z)4
1 - + - . . .
2! 4!
=
Ä„z3 Ä„3z5
- + . . .
1! 3!
1 1 1
= - Ä„ + . . .
Ä„z3 3 z
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu 1.
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
W szczególności, dla m = 1
b1 = c-1 = (z - z0)f(z)|z=z = lim (z - z0)f(z).
0
zz0
p(z) p(z)

f(z) = =
1
q(z) - z0)q (z0) + (z - z0)2q (z0) + . . .
(z
2!
p(z0)
lim (z - z0)f(z) = = Res [f(z); z = z0]
zz0
q (z0)
Bardzo praktyczny wzór!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu 1.
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
W szczególności, dla m = 1
b1 = c-1 = (z - z0)f(z)|z=z = lim (z - z0)f(z).
0
zz0
p(z) p(z)

f(z) = =
1
q(z) - z0)q (z0) + (z - z0)2q (z0) + . . .
(z
2!
p(z0)
lim (z - z0)f(z) = = Res [f(z); z = z0]
zz0
q (z0)
Bardzo praktyczny wzór!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu 1.
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
W szczególności, dla m = 1
b1 = c-1 = (z - z0)f(z)|z=z = lim (z - z0)f(z).
0
zz0
p(z) p(z)

f(z) = =
1
q(z) - z0)q (z0) + (z - z0)2q (z0) + . . .
(z
2!
p(z0)
lim (z - z0)f(z) = = Res [f(z); z = z0]
zz0
q (z0)
Bardzo praktyczny wzór!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu 1.
1 d(m-1) Õ(z) 1 d(m-1)[f(z)(z - z0)m]
b1 = =
(m - 1)! dzm-1 (m - 1)! dzm-1
z0 z0
W szczególności, dla m = 1
b1 = c-1 = (z - z0)f(z)|z=z = lim (z - z0)f(z).
0
zz0
p(z) p(z)

f(z) = =
1
q(z) - z0)q (z0) + (z - z0)2q (z0) + . . .
(z
2!
p(z0)
lim (z - z0)f(z) = = Res [f(z); z = z0]
zz0
q (z0)
Bardzo praktyczny wzór!
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu 1  przykłady
Funkcja
z
f(z) = ,
zn - 1
ma osobliwości biegunowe  pierwszego rzędu  w punktach będących
pierwiastkami równania zn = 1:
2Ä„k
n
z a" zk = ei , k = 0, 1, . . . , (n - 1)
zk zk2 1 4Ä„k
n
Res [f(z); z = zk] = = = ei
nzkn-1 nzkn n
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu 1  przykłady
Funkcja
z
f(z) = ,
zn - 1
ma osobliwości biegunowe  pierwszego rzędu  w punktach będących
pierwiastkami równania zn = 1:
2Ä„k
n
z a" zk = ei , k = 0, 1, . . . , (n - 1)
zk zk2 1 4Ä„k
n
Res [f(z); z = zk] = = = ei
nzkn-1 nzkn n
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w osobliwości biegunowej rzędu 1  przykłady
Funkcja
z
f(z) = ,
zn - 1
ma osobliwości biegunowe  pierwszego rzędu  w punktach będących
pierwiastkami równania zn = 1:
2Ä„k
n
z a" zk = ei , k = 0, 1, . . . , (n - 1)
zk zk2 1 4Ä„k
n
Res [f(z); z = zk] = = = ei
nzkn-1 nzkn n
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w nieskończoności
Definicja
Niech funkcja f(z) będzie analityczna na zewnątrz zamkniętego
konturu C, za wyjątkiem punktu w nieskończoności z = ", który jest
izolowanym punktem osobliwym.
Całkę

1 1
f(z) dz = -Res[f(z); z = "] = - f(z) dz a" -b(").
1
+ -
2Ä„i 2Ä„i
C C
nazywamy residuum funkcji f(z) w nieskończoności.
Przykład
Dla funkcji
1 1 1 1 1
e1/z = 1 + + + + . . .
z 2! z2 3! z3
nieskończoność jest osobliwością usuwalną:
f(") = limz" = 1; Res[f(z); z = "] = -b1 = -1.
Pozwala to na modyfikacjÄ… twierdzenia o residuach
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w nieskończoności
Definicja
Niech funkcja f(z) będzie analityczna na zewnątrz zamkniętego
konturu C, za wyjątkiem punktu w nieskończoności z = ", który jest
izolowanym punktem osobliwym.
Całkę

1 1
f(z) dz = -Res[f(z); z = "] = - f(z) dz a" -b(").
1
+ -
2Ä„i 2Ä„i
C C
nazywamy residuum funkcji f(z) w nieskończoności.
Przykład
Dla funkcji
1 1 1 1 1
e1/z = 1 + + + + . . .
z 2! z2 3! z3
nieskończoność jest osobliwością usuwalną:
f(") = limz" = 1; Res[f(z); z = "] = -b1 = -1.
Pozwala to na modyfikacjÄ… twierdzenia o residuach
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w nieskończoności
Definicja
Niech funkcja f(z) będzie analityczna na zewnątrz zamkniętego
konturu C, za wyjątkiem punktu w nieskończoności z = ", który jest
izolowanym punktem osobliwym.
Całkę

1 1
f(z) dz = -Res[f(z); z = "] = - f(z) dz a" -b(").
1
+ -
2Ä„i 2Ä„i
C C
nazywamy residuum funkcji f(z) w nieskończoności.
Przykład
Dla funkcji
1 1 1 1 1
e1/z = 1 + + + + . . .
z 2! z2 3! z3
nieskończoność jest osobliwością usuwalną:
f(") = limz" = 1; Res[f(z); z = "] = -b1 = -1.
Pozwala to na modyfikacjÄ… twierdzenia o residuach
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w nieskończoności
Definicja
Niech funkcja f(z) będzie analityczna na zewnątrz zamkniętego
konturu C, za wyjątkiem punktu w nieskończoności z = ", który jest
izolowanym punktem osobliwym.
Całkę

1 1
f(z) dz = -Res[f(z); z = "] = - f(z) dz a" -b(").
1
+ -
2Ä„i 2Ä„i
C C
nazywamy residuum funkcji f(z) w nieskończoności.
Przykład
Dla funkcji
1 1 1 1 1
e1/z = 1 + + + + . . .
z 2! z2 3! z3
nieskończoność jest osobliwością usuwalną:
f(") = limz" = 1; Res[f(z); z = "] = -b1 = -1.
Pozwala to na modyfikacjÄ… twierdzenia o residuach
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Residuum w nieskończoności
Definicja
Niech funkcja f(z) będzie analityczna na zewnątrz zamkniętego
konturu C, za wyjątkiem punktu w nieskończoności z = ", który jest
izolowanym punktem osobliwym.
Całkę

1 1
f(z) dz = -Res[f(z); z = "] = - f(z) dz a" -b(").
1
+ -
2Ä„i 2Ä„i
C C
nazywamy residuum funkcji f(z) w nieskończoności.
Przykład
Dla funkcji
1 1 1 1 1
e1/z = 1 + + + + . . .
z 2! z2 3! z3
nieskończoność jest osobliwością usuwalną:
f(") = limz" = 1; Res[f(z); z = "] = -b1 = -1.
Pozwala to na modyfikacjÄ… twierdzenia o residuach
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  wersja zmodyfikowana
Twierdzenie:
Niech C oznacza zamknięty (i dodatnio skierowany) kontur, na którym
i wewnątrz którego funkcja f(z) jest analityczna,
za wyjątkiem skończonej liczby izolowanych punktów osobliwych
z1, z2, . . . , zN , gdzie zN = ". Wówczas
N-1

Res[f(z); z = zk] + Res[f(z); z = "] = 0.
k=1
Oba składniki sumy są równe
całce po konturze C, ale wziętej
z przeciwnym znakiem!
Wygodne, jeżeli mamy do poli-
czenia dużo residuów wewnątrz
konturu  liczymy te  na ze-
wnÄ…trz i zmieniamy znak.
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua
Twierdzenie o residuach  wersja zmodyfikowana
Twierdzenie:
Niech C oznacza zamknięty (i dodatnio skierowany) kontur, na którym
i wewnątrz którego funkcja f(z) jest analityczna,
za wyjątkiem skończonej liczby izolowanych punktów osobliwych
z1, z2, . . . , zN , gdzie zN = ". Wówczas
N-1

Res[f(z); z = zk] + Res[f(z); z = "] = 0.
k=1
Oba składniki sumy są równe
całce po konturze C, ale wziętej
z przeciwnym znakiem!
Wygodne, jeżeli mamy do poli-
czenia dużo residuów wewnątrz
konturu  liczymy te  na ze-
wnÄ…trz i zmieniamy znak.
szeregi funkcji analitycznych; zera, bieguny i residua