Wyk 010 druk

WYKAAD 10
Przestrzenie liniowe c.d.
Jacek Jędrzejewski
2009/2010
Spis treści
1 Suma podprzestrzeni 2
2 Liniowa zależność układu wektorów 5
3 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 10
1
Jak zawsze, V oznacza dowolną przestrzeń liniową nad ciałem K, gdzie K jest ciałem liczb
rzeczywistych lub ciałem liczb zespolonych.
1 Suma podprzestrzeni
Definicja 1 Niech W1, . . . , Wm będą dowolnymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni linio-
wej V . Sumą tych podprzestrzeni nazywamy zbiór
ńł
�ł
m
�ł żł

x " V : x = ai ,
ół �ł
i"{1,...,m} ai"Wi i=1
który oznaczamy symbolem W1 + . . . + Wm.
Innymi słowy, suma W1 + . . . + Wm jest zbiorem wszystkich sum wektorów, z których i-ty
wektor należy do podprzestrzeni Wi.
Twierdzenie 2 Suma dowolnej (skończonej) liczby podprzestrzeni liniowych przestrzeni linio-
wej V jest też jej podprzestrzenią.
D o w ó d. Niech W1, . . . , Wm będą dowolnymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni linio-
wej V . Oznaczmy
W = W1 + . . . + Wm.
Jeśli wektory a i b należą do zbioru W , to istnieją wektory a1, . . . am oraz b1, . . . , bm takie, że
ai " Wi, bi " Wi dla każdego elementu i ze zbioru {1, . . . , m} oraz
a = a1 + . . . + am i b = b1 + . . . + bm.
Wtedy
a + b = (a1 + . . . + am) + (b1 + . . . + bm) = (a1 + b1) + . . . + (am + bm) ,
a z uwagi, że każdy wektor ai + bi należy do podprzestrzeni Wi, wnioskujemy, iż a + b należy
do zbioru W .
Jeśli teraz ą jest dowolnym elementem ciała K, to
ąa = ą�(a1 + . . . + am) = ąa1 + . . . + ąam,
więc ąa jest też elementem zbioru W , gdyż każdy wektor ąai należy do podprzestrzeni Wi.
Na podstawie twierdzenia o podprzestrzeniach wnioskujemy teraz, że zbiór W tworzy pod-
przestrzeń liniową przestrzeni V .
2
Definicja 3 Niech V będzie przestrzenią liniową i W1, . . . , Wm będą podprzestrzeniami liniowy-
mi przestrzeni V . Jeśli
V = W1 + . . . + Wm,
to mówimy, że przestrzeń liniowa V jest sumą podprzestrzeni W1, . . . , Wm.
Definicja 4 Przestrzeń liniową V nazywamy sumą prostą podprzestrzeni W1, . . . , Wm, jeśli każ-
dy wektor x przestrzeni V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
x = a1 + . . . + am,
gdzie ai " Wi dla każdego i należącego do zbioru {1, . . . , m}. Oznaczamy wtedy
V = W1 �" . . . �" Wm
lub
m

V = Wi.
i=1
Twierdzenie 5 Przekrój dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni liniowych przestrzeni linio-
wej V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
D o w ó d. Niech {Ws : s " S} będzie dowolną rodziną podprzestrzeni liniowych przestrzeni
liniowej V . Oznaczmy

W = Ws.
s"S
Niech a i b będą dwoma wektorami zbioru W i dowolnym elementem ciała K. Ponieważ
Ws jest podprzestrzenią liniową dla każdego elementu s ze zbioru S, więc
a " Ws i a + b " Ws, gdy s " S.
Stąd wynika, że
a " W i a + b " W ,
co dowodzi, w myśl twierdzenia o podprzestrzeniach, że W jest podprzestrzenią liniową prze-
strzeni V .
Twierdzenie 6 Jeśli V jest przestrzenią liniową i W1, . . . , Wm podprzestrzeniami liniowymi
przestrzeni V , to
m

V = Wi,
i=1
wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) V = W1 + . . . + Wm,
3
oraz
(2) Wj )" (W1 + . . . + Wj-1 + Wj+1 + . . . + Wm) = {0}
dla każdego elementu j ze zbioru {1, . . . , m}.
D o w ó d. Załóżmy, że
m

V = Wi.
i=1
Wtedy, oczywiście spełniony jest warunek
V = W1 + . . . + Wm.
Przypuśćmy, że warunek (2) nie jest spełniony dla pewnego j należącego do zbioru {1, . . . , m}.
Istnieje więc niezerowy wektor a taki, że
a " Wj )" (W1 + . . . + Wj-1 + Wj+1 + . . . + Wm) .
Wtedy istnieją wektory a1, . . . , aj-1, aj+1, . . . , am takie, że
ak " Wk, gdy k " {1, . . . , j - 1, j + 1, . . . , m}
i
a = a1 + . . . + aj-1 + aj+1 + . . . + am.
Zatem wektor zerowy oprócz przedstawienia w postaci sumy wektorów zerowych ma przedsta-
wienie w postaci
0 = a - a = a1 + . . . + aj-1 - a + aj+1 + . . . + am,
skąd wnioskujemy, że przestrzeń V nie jest sumą prostą podprzestrzeni W1, . . . , Wm.
Załóżmy teraz, że spełnione są warunki (1) i (2), ale V nie jest sumą prostą tych podprze-
strzeni. Istnieje więc wektor x w przestrzeni V , który ma co najmniej dwa różne przedstawienia:
x = a1 + . . . + am i x = b1 + . . . + bm,
gdzie ai " Wi oraz bi " Wi dla każdego wskaznika i ze zbioru {1, . . . , m}.
Wnioskujemy więc, że istnieje wskaznik i0 taki, że ai = bi . Dla ustalenia uwagi przyjmijmy,

0 0
że i0 = 1. Wtedy a1 = b1. Wektor a1 - b1 jest wektorem niezerowym oraz

a1 + (a2 + . . . + am) = b1 + (b2 + . . . + bm)
czyli
a1 - b1 = (b2 + . . . + bm) - (a2 + . . . + am)
a1 - b1 = (b2 - a2) + . . . + (bm - am).
Wynika stąd, że (niezerowy) wektor a1 -b1 należy do podprzestrzeni W1 oraz do podprzestrzeni
W2 + . . . + Wm, co jest zaprzeczeniem warunku (2).
4
2 Liniowa zależność układu wektorów
Definicja 7 Układ (u1, . . . , um) wektorów z przestrzeni V nazywamy liniowo zależnym, jeśli
istnieją elementy ą1, . . . , ąm w ciele K, nie wszystkie równe zeru i takie, że
ą1u1 + � � � + ąmum = 0.
Definicja 8 Układ (u1, . . . , um) wektorów z przestrzeni V nazywamy liniowo niezależnym, jeśli
nie jest on układem liniowo zależnym.
Zauważamy więc, że układ wektorów (u1, . . . , um) z przestrzeni V jest liniowo niezależny,
jeśli nie istnieją elementy ą1, . . . , ąm w ciele K, nie wszystkie równe zeru i takie, że
ą1u1 + � � � + ąmum = 0,
czyli: dla każdego układu elementów (ą1, . . . , ąm) z ciała K warunek
ą1u1 + � � � + ąmum = 0
implikuje równości
ą1 = 0, . . . , ąm = 0.
Warto podkreślić, że jeśli ą1 = 0, . . . , ąm = 0, to
ą1v1 + . . . + ąnvm = 0
dla każdego układu v1, . . . , vm wektorów z przestrzeni V .
Przykład 1 Rozważmy przestrzeń R4 nad ciałem R. Wektory e1, e2, e3 i e4, gdzie
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1),
są liniowo niezależne. Istotnie, jeśli
ą1e1 + ą2e2 + ą3e3 + ą4e4 = 0,
to
(ą1, ą2, ą3, ą4) = (0, 0, 0, 0),
czyli
ą1 = 0, ą2 = 0, ą3 = 0, ą4 = 0.
5
Przykład 2 W tej samej przestrzeni R4 nad ciałem R wektory a1, a2 i a3, gdzie
a1 = (-2, 1, 3, 4), a2 = (3, 4, 1, 1), a3 = (1, 2, 4, 5),
są liniowo niezależne. Istotnie, jeśli ą1a1 + ą2a2 + ą3a3 = 0, to
(-2ą1 + 3ą2 + ą3, ą1 + 4ą2 + 2ą3, 3ą1 + ą2 + 4ą3, 4ą1 + ą2 + 5ą3) =
= (0, 0, 0, 0).
Powstaje w ten sposób układ równań
ńł
�ł
�ł
�ł-2ą1 + 3ą2 + ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ą1 + 4ą2 + 2ą3 = 0,
�ł
�ł
3ą1 +
�ł ą2 + 4ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
4ą1 + ą2 + 5ą3 = 0,
który jest równoważny układowi
ńł
�ł
�ł
�łą1 + 4ą2 + 2ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
11ą2 + 5ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł-11ą2 - 2ą3 = 0,
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
-15ą2 - 3ą3 = 0.
Stąd wynika, że ą3 = 0, ą2 = 0, ą1 = 0.
Przykład 3 W tej samej przestrzeni R4 nad ciałem R wektory a1, a2 i a3, gdzie
a1 = (1, -1, 1, 1), a2 = (2, 1, 1, -1), a3 = (-5, 2, -4, -2),
są liniowo zależne, gdyż 3a1 + a2 + a3 = 0.
Odnotujmy teraz podstawowe własności liniowo zależnych i liniowo niezależnych układów
wektorów.
Własność 9 W każdej przestrzeni liniowej układ złożony z jednego wektora jest liniowo zależny
wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest zerowy.
Własność 10 Jeśli m > 1, to układ wektorów (a1, . . . , am) jest liniowo zależny wtedy i tylko
wtedy, gdy jeden z tych wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.
6
D o w ó d. Załóżmy, że układ wektorów (a1, . . . , am) jest liniowo zależny. Istnieje układ ele-
mentów (ą1, . . . , ąm) z ciała K taki, że
ą1a1 + � � � + amąm = 0
i przynajmniej jeden z elementów ą1, . . . , ąm jest różny od zera. Przypuśćmy, że ą1 = 0. Wtedy

ą1a1 = - (ą2a2 + � � � + ąmam) ,
czyli

ą2 ąm
a1 = - a2 + � � � + - am,
ą1 ą1
co oznacza, że wektor a1 jest kombinacją liniową wektorów pozostałych, czyli wektorów a2, . . . , am.
Załóżmy teraz, że jeden z wektorów a1, . . . , am jest kombinacją liniową wektorów pozosta-
łych. Przypuśćmy, że jest to wektor a1. Wtedy istnieją elementy ą2, . . . , ąm w ciele K takie,
że
a1 = ą2a2 + � � � + ąmam.
Wynika stąd, że
1 � a1 + (-ą2) a2 + � � � + (-ąm) am = 0,
skąd wnioskujemy, że układ wektorów (a1, . . . , am) jest liniowo zależny.
Własność 11 Jeśli część układu wektorów jest liniowo zależna, to również cały układ jest li-
niowo zależny.
D o w ó d. Załóżmy, że układ wektorów (a1, . . . , ak) jest liniowo zależny. Wtedy układ wek-
torów (a1, . . . , ak, ak+1, . . . , am), gdzie m > k, jest liniowo zależny. Istotnie, istnieją elementy
ą1, ą2, . . . , ąk w ciele K nie wszystkie równe zeru i takie, że
ą1a1 + � � � + ąkak = 0.
Wtedy również
ą1a1 + � � � + ąkak + 0 � ak+1 + . . . + 0 � am = 0
i przynajmniej jeden ze współczynników ą1, . . . , ąk, 0, . . . , 0 jest różny od zera.
Bezpośrednim wnioskiem z tej własności jest:
Własność 12 Każda część układu liniowo niezależnego jest układem liniowo niezależnym.
Własność 13 (Twierdzenie Steinitza)
Jeśli układ wektorów (x1, x2, . . . , xk) należących do podprzestrzeni
span (a1, . . . , am)
jest liniowo niezależny, to k m.
7
Przeprowadzimy dowód równoważnego sformułowania twierdzenia Steinitza.
Własność 14 Jeśli wektory x1, x2, . . . , xk należą do podprzestrzeni
span (a1, . . . , am)
oraz k > m, to układ wektorów (x1, x2, . . . , xk) jest liniowo zależny.
D o w ó d. Z Własności 11 wynika, że wystarczy udowodnić tezę, gdy k = m + 1.
Dowód poprowadzimy metodą indukcji matematycznej.
Załóżmy, że m = 1.
Niech x1 i x2 będą wektorami należącym do przestrzeni generowanej przez wektor a1.
Jeśli x1 = 0 lub x2 = 0, to układ wektorów (x1, x2) jest liniowo zależny.
Jeśli x1 = 0 i x2 = 0, to istnieją elementy ą1 i ą2 takie, że

ą1 = 0 i ą2 = 0 i x1 = ą1a1 i x2 = ą2a1.

Wtedy
ą2x1 + (-ą1) x2 = (ą2 � ą1) a1 + (-ą1 � ą2) a1 = 0
a ponieważ ą1 � ą2 = 0, więc wektory x1 i x2 stanowią układ liniowo zależny.

Załóżmy teraz, że m jest dowolną (ustaloną) liczbą naturalną oraz każdy układ m + 1 wek-
torów w podprzestrzeni generowanej przez m wektorów jest liniowo zależny. Udowodnimy, że
układ m + 2 wektorów należących do podprzestrzeni generowanej przez m + 1 wektorów jest
liniowo zależny.
Niech x1, . . . , xm+1, xm+2 będą wektorami należącymi do podprzestrzeni generowanej przez
wektory a1, . . . , am+1. Udowodnimy, że wektory
x1, . . . , xm+1, xm+2
są liniowo zależne. Z założenia wynika, że istnieją elementy
ą1,1, . . . , ą1,m+1, . . . , ąm+2,1, . . . , ąm+2,m+1
ciała K takie, że
x1 = ą1,1a1 + � � � + ą1,mam + ą1,m+1am+1,
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
xm+1 = ąm+1,1a1 + � � � + ąm+1,mam + ąm+1,m+1am+1,
xm+2 = ąm+2,1a1 + � � � + ąm+2,mam + ąm+2,m+1am+1.
8
Jeśli ą1,m+1 = 0, ą2,m+1 = 0, . . . ąm+2,m+1 = 0, to wektory x1, . . . , xm+1 należą do podprze-
strzeni span (a . . . , am) i, stosując założenie indukcyjne, wnioskujemy, że tworzą one układ
,
liniowo zależny, tak więc również układ wektorów (x1, . . . , xm+1, xm+2) jest liniowo zależny.
Załóżmy teraz, że przynajmniej jeden ze współczynników
ą1,m+1, . . . , ąm+2,m+1
jest różny od zera. Niech np. ąm+2,m+1 = 0. Rozważmy wektory

ą1,m+1
y1 = x1 + - xm+2,
ąm+2,m+1

ą2,m+1
y2 = x2 + - xm+2,
ąm+2,m+1
...................................................

ąm+1,m+1
ym+1 = xm+1 + - xm+2.
ąm+2,m+1
Przedstawmy teraz wektor y1 w innej postaci, wstawiając w miejsce wektorów x1, xm+2
odpowiednie kombinacje liniowe wektorów a1, . . . , am+1 :
y1 = ą1,1a1 + � � � + ą1,mam + ą1,m+1am+1+

ą1,m+1
+ - � (ąm+2,1a1 + � � � + ąm+2,m+1am+1) =
ąm+2,m+1
= ą1,1a1 + � � � + ą1,mam + ą1,m+1am+1+

ą1,m+1ąm+2,1 ą1,m+1ąm+2,m
+ - � a1 + � � � + - � am + (-ą1,m+1) � am+1 =
ąm+2,m+1 ąm+2,m+1

ą1,m+1ąm+2,1 ą1,m+1ąm+2,m
= ą1,1 - � a1 + � � � + ą1,m - � am.
ąm+2,m+1 ąm+2,m+1
Udowodniliśmy, że wektor y1 należy do podprzestrzeni span (a1, . . . , am) .
Podobnie dowodzi się, że
y2 " span (a1, . . . , am) , . . . , ym+1 " span (a1, . . . , am) .
Korzystając z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że wektory
y1, . . . , ym, ym+1
są liniowo zależne. Istnieją więc elementy �1, . . . , �m+1 w ciele K (nie wszystkie równe zeru)
takie, że
�1y1 + � � � + �m+1ym+1 = 0.
9
Z tego wynika, że również
�1x1 + � � � + �m+1xm+1 + �m+2xm+2 = 0,
gdzie

ą1,m+1�1 ąm+1,m+1�m+1
�m+2 = - + � � � + .
ąm+2,m+1 ąm+2,m+1
Ponieważ przynajmniej jeden z elementów �1, . . . , �m+1 jest różny od zera, więc również i przy-
najmniej jeden z elementów �1, . . . , �m+1, �m+2 jest różny od zera. Dowodzi to, że układ wek-
torów (x1, x2, . . . , xm+1, xm+2) jest liniowo zależny.
Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej wnioskujemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla
każdej liczby naturalnej m.
W naszym wykładzie zajmować się będziemy skończonymi układami wektorów, ale w ogóle
warto zdefiniować nieskończony układ wektorów liniowo niezależny.
Definicja 15 (Nieskończony) Zbiór wektorów nazywamy liniowo niezależnym, jeśli każdy skoń-
czony podzbiór tego zbioru jest układem liniowo niezależnym.
Zauważmy, że def:inicja ta obejmuje również przypadek skończonych zbiorów, co wynika z
twierdzenia o podukładach układów wektorów liniowo niezależnych.
3 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja 16 Układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) z przestrzeni liniowej V nazywamy bazą
przestrzeni V , jeśli
(1 ) układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) jest liniowo niezależny,
(2 ) każdy wektor przestrzeni V można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów
x1, x2, . . . , xn.
Inaczej mówiąc, układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) jest bazą przestrzeni liniowej V wtedy
i tylko wtedy, gdy układ ten jest liniowo niezależny i
V = span (x1, x2, . . . , xn) .
Jeszcze inaczej możemy powiedzieć, że układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) jest bazą prze-
strzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy układ ten jest liniowo niezależny i każdy wektor a
tej przestrzeni można przedstawić w postaci
(3) a = ą1x1 + � � � + ąnxn,
10
gdzie ą1, . . . , ąn są pewnymi elementami z ciała K. Równość (1) nazywamy rozkładem wektora a
względem bazy (x1, x2, . . . , xn). Współczynniki ą1, . . . , ąn nazywamy współrzędnymi wektora
a względem tej bazy.
Niestety, nie wszystkie przestrzenie liniowe mają bazę taką jak zdefiniowaliśmy ją przed chwi-
lą. Aby zagwarantować istnienie bazy każdej niezerowej przestrzeni liniowej należy powyższą
definicję trochę zmodyfikować.
Definicja 17 Podzbiór A wektorów przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli
(1) zbiór wektorów A jest liniowo niezależny,
(2) każdy wektor przestrzeni V można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów ze
zbioru A.
Powyższa definicja jest zgodna z poprzednią w przypadku, gdy istnieje baza skończona.
Ta definicja umożliwia jednak udowodnienie, że każda niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę.
Dowód tego twierdzenia nie jest elementarny, więc pominiemy go. Wymaga on dość zaawan-
sowanych rozważań teorio-mnogościowych. W dalszym ciągu będziemy zajmowali się takimi
przestrzeniami liniowymi, w których istnieją bazy, będące zbiorami skończonymi.
Twierdzenie 18 Rozkład wektora względem danej bazy przestrzeni liniowej jest jednoznaczny.
D o w ó d. Załóżmy, że układ (x1, x2, . . . , xn) jest bazą przestrzeni liniowej V i istnieje
wektor a, mający dwa rozkłady, tj.
a = ą1x1 + � � � + ąnxn
oraz
a = �1x1 + � � � + �nxn.
Wtedy
0 = (ą1 - �1) x1 + � � � + (ąn - �n) xn.
Z liniowej niezależności wektorów bazy wynika, że
ą1 - �1 = 0, . . . , ąn - �n = 0,
czyli ą1 = �1, . . . , ąn = �n, co kończy dowód.
Twierdzenie 19 Układ wektorów (x1, x2, . . . , xn) stanowi bazę przestrzeni liniowej V wte-
dy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni V można jednoznacznie przedstawić w postaci
kombinacji liniowej tego układu wektorów.
11
D o w ó d. Jeśli układ (x1, x2, . . . , xn) stanowi bazę przestrzeni liniowej V , to rzeczywiście
każdy wektor ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej tych wektorów.
Załóżmy teraz, że każdy wektor przestrzeni V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
liniowej kombinacji wektorów x1, x2, . . . , xn. Wynika stąd bezpośrednio, że
V = span (x1, . . . , xn) .
Ponadto, jeśli
ą1x1 + . . . + ąnxn = 0,
to z uwagi na jednoznaczność tego przedstawienia i równość
0 � x1 + . . . + 0 � xn = 0
wnioskujemy, że
ą1 = 0, . . . , ąn = 0.
To znaczy, że układ (x1, x2, . . . , xn) jest liniowo niezależny. Tak więc układ tych wektorów
stanowi bazę przestrzeni V .
Twierdzenie 20 Każde dwie bazy przestrzeni liniowej mają tę samą liczbę elementów.
D o w ó d. Niech (x1, x2, . . . , xn) oraz (y1, y2, . . . , ym) będą dwiema bazami pewnej prze-
strzeni liniowej V . Z równości
V = span (x1, . . . , xn) i V = span (y1, . . . , ym)
oraz twierdzenia Steinitza wynikają nierówności m n i n m, co kończy dowód twierdzenia.
Definicja 21 Przestrzeń liniową V nazywamy n-wymiarową, jeśli ma bazę złożoną z n wekto-
rów. Liczbę n nazywamy wymiarem tej przestrzeni. Wymiar przestrzeni V oznaczamy symbolem
dim V .
W tym przypadku mówimy także, że przestrzeń V jest przestrzenią skończenie wymiarową.
Przyjmujemy, że przestrzeń zerowa ma wymiar zero; mówimy też, że przestrzeń zerowa jest
przestrzenią zero-wymiarową.
Twierdzenie 22 Jeśli przestrzeń liniowa V jest n-wymiarowa, to każdy układ wektorów linio-
wo niezależnych, złożony z n wektorów tej przestrzeni, jest bazą tej przestrzeni.
12
D o w ó d. Załóżmy, że wektory x1, . . . , xn są liniowo niezależne. Niech x będzie dowolnym
wektorem tej przestrzeni. Z twierdzenia Steinitza wynika, że układ (x1, . . . , xn, x) jest liniowo
zależny. Istnieją więc elementy ą1, . . . , ąn, ą z ciała K nie wszystkie równe zeru i takie, że
ą1x1 + . . . + xnąn + ąx = 0.
Gdyby ą był elementem zerowym, to otrzymalibyśmy sprzeczność z liniową niezależnością
wektorów x1, . . . , xn. Zatem ą = 0. Z poprzedniej równości wynika więc, że

ą1 ąn
x = - � x1 + . . . + - � xn,
ą ą
skąd wnioskujemy, że
x " span (x1, . . . , xn) .
Udowodniliśmy w taki sposób, że układ x1, . . . , xn stanowi bazę przestrzeni liniowej V .
Z przyjętej definicji bazy przestrzeni liniowej i rozważań w poprzednim dowodzie wynika
następujące twierdzenie:
Twierdzenie 23 Przestrzeń liniowa V jest n-wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w
tej przestrzeni układ wektorów liniowo niezależny złożony z n wektorów i każdy układ wektorów
złożony z większej liczby wektorów jest liniowo zależny.
Liniowo niezależny układ wektorów nazywamy maksymalnym układem liniowo niezależnym,
jeśli dołączenie do niego choćby jednego wektora powoduje, że układ taki staje się układem
liniowo zależnym.
Pamiętając o tym, że układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z
wektorów jest kombinacją liniową pozostałych, otrzymujemy następującą charakterystykę bazy
przestrzeni liniowej.
Twierdzenie 24 Układ wektorów stanowi bazę przestrzeni liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy
jest on maksymalnym układem liniowo niezależnym w tej przestrzeni.
Definicja 25 Przestrzeń liniową nazywamy nieskończenie wymiarową, jeśli dla każdej liczby
naturalnej n istnieje układ wektorów liniowo niezależny złożony z n wektorów.
Przykład 4 Niech K będzie dowolnym ciałem. Przestrzeń liniowa Kn ma wymiar n. Istotnie,
wektory e1, e2, . . . , en, gdzie
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1),
są liniowo niezależne oraz każdy wektor x, gdzie x = (x1, x2, . . . , xn), można przedstawić w
postaci
x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen.
Bazę tę nazywamy bazą kanoniczną przestrzeni Kn.
13
Przykład 5 Przestrzeń S (E3) wektorów swobodnych jest trójwymiarowa, gdyż istnieją trzy
wektory liniowo niezależne, a każde cztery są liniowo zależne.
Niech e1, . . . , en będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wtedy dla wektorów a,
b mających przedstawienie
a = ą1e1 + � � � + ąnen i b = �1e1 + � � � + �nen
i dowolnego elementu z ciała K mamy:
a = (ą1)e1 + � � � + (ąn)en,
a + b = (ą1 + �1)e1 + � � � + (ąn + �n)en.
Ze względu na te równości możemy powiedzieć, że przy dodawaniu wektorów dodajemy ich
współrzędne, a przy mnożeniu wektora przez skalar każdą współrzędną mnożymy przez dany
skalar.
Jeśli symbole [a] i [b] oznaczają ciągi współrzędnych wektorów a i b, to
[a + b] = [ą1 + �1, . . . , ąn + �n] = [a] + [b],
[�a] = [�ą1, . . . , ąn] = �[a] .
Na koniec tego paragrafu udowodnimy dwa z częściej wykorzystywanych twierdzeń, a zapo-
minanych w głównym wątku wykładu.
Twierdzenie 26 Jeśli W jest podprzestrzenią liniową skończenie wymiarowej przestrzeni V i
dim W = dim V , to W = V .
D o w ó d. Ponieważ W jest podprzestrzenią przestrzeni skończenie wymiarowej, więc istnieje
skończona baza tej podprzestrzeni; niech to będzie układ (w1, . . . , wn). Oczywiście wektory te
należą do przestrzeni V i są liniowo niezależne. Z równości wymiarów przestrzeni V i W wynika,
że dim V = n, zatem wektory w1, . . . , wn stanowią bazę przestrzeni V , zgodnie z twierdzeniem
22. Tak więc
V = span (w1, . . . , wn) = W ,
co kończy dowód.
Twierdzenie 27 Jeśli układ (x1, . . . , xm) wektorów w przestrzeni liniowej skończenie wymia-
rowej V , dla której dim V = n i m < n, jest liniowo niezależny, to istnieją wektory xm+1, . . . , xn
takie, że układ
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
jest bazą przestrzeni V .
14
D o w ó d. Ponieważ m < n, więc istnieje wektor xm+1 w przestrzeni V taki, że
xm+1 " span (x1, . . . , xm) .
Jeśli m + 1 = n, to układ (x1, . . . , xm, xm+1), będąc liniowo niezależnym, stanowi, w myśl
twierdzenia 22, bazę przestrzeni V .
Załóżmy, że m + 1 < n i dla każdego elementu k ze zbioru {m + 1, . . . , n - 1} określiliśmy
wektory xm+1, . . . , xk takie, że
xi " span (x1, . . . , xi-1) ,
gdy i " {m + 1, . . . , k}.
Ponieważ k < n, więc istnieje wektor xk+1 taki, że
xk+1 " span (x1, . . . , xk) .
W ten sposób określiliśmy indukcyjnie, dla każdej liczby naturalnej k, ze zbioru {m + 1, . . . , n}
ciąg wektorów xm+1, . . . , xk taki, że układ
x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xk
jest liniowo niezależny. Ponieważ k nie może być większe niż n, więc ciąg
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
stanowi bazę przestrzeni V .
Powyższe twierdzenie można sformułować następująco:
Twierdzenie 27 Każdy liniowo niezależny układ wektorów skończenie wymiarowej przestrzeni
liniowej można uzupełnić do bazy tej przestrzeni.
Twierdzenie 28 Jeśli V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K, to
dla każdej podprzestrzeni V1 przestrzeni V istnieje podprzestrzeń V2 przestrzeni V taka, że
V = V1 �" V2.
D o w ó d. Jeśli V1 = {0}, to za V2 przyjmujemy przestrzeń V i oczywiście, V1 �" V2 = V .
Jeśli V1 = V , to niech V2 = {0}. Wtedy też V = V1 �" V2.
Jeśli V1 = {0} i V1 = V , to niech układ (x1, . . . , xm) będzie bazą podprzestrzeni V1. Z

twierdzenia poprzedniego wynika, że istnieją wektory xm+1, . . . , xn takie, że układ
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
jest bazą przestrzeni V . Niech teraz
V2 = span (xm+1, . . . , xn) .
Wtedy, oczywiście, V = V1 �" V2.
15
Wniosek 1 Jeśli V1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni skończenie wymiarowej V , to
dim V1 dim V .
Definicja 29 Jeśli V = V1 �" V2, to podprzestrzeń V2 nazywamy podprzestrzenią dopełniającą
do podprzestrzeni V1 i odwrotnie, podprzestrzeń V1 nazywamy podprzestrzenią dopełniającą do
podprzestrzeni V2.
Powyższe twierdzenie można teraz sformułować w sposób następujący:
Twierdzenie 30 Dla każdej podprzestrzeni przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej istnieje
podprzestrzeń dopełniająca.
16

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyk1 druk
Wyk2 druk
Wyk3 druk
Wyk 4 druk
PED WYK DRUK
Wyk 5 druk
Wyk ad 02
Mat Bud wyk
wyk(Ia) wstęp PBiID
Stan cywilny, wyk struktura ludnosci wg 5 str
T0 7

więcej podobnych podstron