WYKA
AD 12
Przekształcenia liniowe
Jacek Jędrzejewski
2009/2010
Spis treści
1 Podstawowe własności 2
2 Obraz i jądro przekształcenia liniowego 4
3 Dalsze własności przekształceń liniowych 9
1
1 Podstawowe własności
Ważną rolę w teorii przestrzeni liniowych odgrywają pewne przekształcenia tych przestrzeni.
Noszą one nazwę przekształceń liniowych lub homomorfizmów.
Definicja 1 Niech V i W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad (tym samym) ciałem K.
Funkcję A : V - W nazywamy przekształceniem liniowym lub homomorfizmem, jeśli spełnia
ona następujące warunki:

(1) A(a + b) = A(a) + A(b) ,
" "
a"V b"V

(2) A(Ä…a) = Ä… ·A(a) .
"Ä…"K a"V
"
Warunek (1) nazywamy warunkiem addytywności, a warunek (2) warunkiem jednorodności
przekształcenia. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni V do przestrzeni W
będziemy oznaczali symbolem HomK(V , W ) lub Hom(V , W ), a czasem L (V , W ).
Jeśli przekształcenie liniowe A : V - W jest różnowartościowe, to nazywamy je monomor-
fizmem.
Jeśli przekształcenie liniowe A : V - W przekształca zbiór V na przestrzeń W , to nazywa-
my je epimorfizmem.
Definicja 2 Homomorfizm przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniową W nazywamy izo-
morfizmem, jeśli jest on funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Często izomorfizm przestrzeni V na tę samą przestrzeń nazywamy automorfizmem przestrzeni
V . Zbiór wszystkich automorfizmów przestrzeni V oznaczamy symbolem AutK(V ) lub krócej
Aut(V ).
Często przekształcenie liniowe przestrzeni V w tę samą przestrzeń nazywamy operatorem
liniowym lub endomorfizmem przestrzeni V . Zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni V
oznaczamy symbolem EndK(V ) lub krócej End(V ).
Izomorfizm przestrzeni V w tę samą przestrzeń nazywamy automorfizmem. Zbiór wszystkich
automorfizmów przestrzeni V oznaczamy symbolem AutK(V ) lub krócej Aut(V ).
Przykład 1 Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową. Przekształcenie tożsamościowe zbio-
ru V w siebie jest, jak łatwo sprawdzić, przekształceniem liniowym. Ponieważ (oczywiście) jest
ono wzajemnie jednoznaczne, więc przekształcenie tożsamościowe przestrzeni V w siebie jest
izomorfizmem.
2
Przykład 2 Niech V i W będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Przekształ-
cenie Ś : V - W określone wzorem
Åš(x) = 0, gdy x " V ,
jest, jak bardzo łatwo sprawdzić, przekształceniem liniowym. Nazywamy je przekształceniem
zerowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Twierdzenie 3 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i A : V - W jest
przekształceniem liniowym, to
(3) A(0) = 0,
(4) A(-a) = -A(a),
(5) A (Ä…1a1 + Ä…2a2) = Ä…1A(a1) + Ä…2A(a2)
dla dowolnych wektorów a, a1, a2 z przestrzeni V i dowolnych elementów ą1, ą2 z ciała K.
D o w ó d. Ponieważ 0 = 0·0, wiÄ™c
A(0) = A(0·0) = 0·A(0) = 0.
Podobnie,
A(-a) = A((-1)·a) = (-1)·A(a) = -A(a).
Niech a1 i a2 będą dowolnymi wektorami przestrzeni V oraz ą1 i ą2 dowolnymi elementami z
ciała K. Wtedy, korzystając najpierw z addytywności a potem z jednorodności przekształcenia
A mamy
A (Ä…1a1 + Ä…2a2) = A (Ä…1a1) + A (Ä…2a2) = Ä…1A(a1) + Ä…2A(a2).
Bez trudu zauważamy, że jeśli funkcja A przekształcająca przestrzeń V w przestrzeń W
spełnia warunek (5), to jest przekształceniem liniowym.
Indukcyjnie dowodzi się następującego twierdzenia.
Twierdzenie 4 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i A : V - W jest
przekształceniem liniowym, to

n n

. . . A Ä…iai = Ä…i · A(ai) .
" " "Ä…1
" "Ä…n
n"N a1"V "K an"V "K
i=1 i=1
3
D o w ó d. Gdy n = 1 wzór jest oczywisty, a z twierdzenia 3. wiemy, że wzór z tezy twierdzenia
jest prawdziwy, gdy n = 2.
Załóżmy, że n jest dowolną, ale ustaloną liczbą naturalną i prawdziwy jest wzór z tezy dla
liczby n. Udowodnimy, że z tego wzoru wynika
n+1
n+1

A Ä…iai = Ä…i · A (ai)
i=1 i=1
dla dowolnych wektorów a1, . . . , an+1 z przestrzeni V oraz dowolnych elementów ą1, . . . , ąn+1
z ciała K.
Istotnie, korzystając z addytywności przekształcenia A oraz założenia indukcyjnego, otrzy-
mujemy kolejno
n+1
n

A Ä…iai = A Ä…iai + Ä…n+1an+1 =
i=1 i=1

n n

A Ä…iai + A (Ä…n+1an+1) = Ä…i · A(ai) + Ä…n+1A(an+1) =
i=1 i=1
n+1

= Ä…i · A(ai).
i=1
Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej wzór z tezy jest prawdziwy dla każdej liczby natu-
ralnej n.
Oczywistym jest fakt, iż z warunku

n n

. . . A Ä…iai = Ä…i · A(ai)
" " "Ä…1
" "Ä…n
n"N a1"V "K an"V "K
i=1 i=1
wynika, że A jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
2 Obraz i jądro przekształcenia liniowego
Definicja 5 Jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym, to obrazem tego przekształce-
nia nazywamy zbiór A(V ), czyli

y " W : (y = A(x)) .
"
x"V
Zbiór ten oznaczamy symbolem Im A.
Definicja 6 Jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym, to jądrem tego przekształcenia
nazywamy zbiór A-1(0), czyli
{x " V : A(x) = 0} .
Zbiór ten oznaczamy symbolem Ker A.
4
Zbadamy, jakie mają struktury zdefiniowane powyżej zbiory.
Twierdzenie 7 Jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym, to obraz tego przekształce-
nia jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni W .
D o w ó d. Ponieważ 0W jest obrazem wektora zerowego 0V , więc obraz przekształcenia A jest
zbiorem niepustym.
Niech teraz y1 i y2 będą dowolnymi elementami zbioru Im A oraz ą  dowolną liczbą z ciała
K. Istnieją wektory x1 i x2 w przestrzeni V takie, że
y1 = A(x1) i y2 = A(x2).
Wtedy
y1 + y2 = A(x1) + A(x2) = A(x1 + x2)
oraz
Ä…·y1 = Ä…1·A(x1) = A(Ä…·x1),
a to dowodzi, że y1 +y2 " Im A i Ä…·y1 " Im A. Wnioskujemy stÄ…d, że Im A jest podprzestrzeniÄ…
przestrzeni W .
Twierdzenie 8 Jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym, to jądro tego przekształce-
nia jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni V .
D o w ó d. Ponieważ 0W jest obrazem wektora zerowego 0V , więc jądro przekształcenia A jest
zbiorem niepustym.
Niech teraz x1 i x2 będą dowolnymi elementami zbioru Ker A oraz ą  dowolną liczbą z
ciała K. Wtedy
A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) = 0W + 0W = 0W
oraz
A(Ä…·x1) = Ä…1·A(x1) = Ä…·0W = 0W ,
a to dowodzi, że x1 + x2 " Ker A i Ä…·x1 " Ker A. Wnioskujemy stÄ…d, że Ker A jest podprze-
strzeniÄ… przestrzeni V .
Jeśli przestrzenie liniowe V i W są skończenie wymiarowe, to z zależności
Im A ‚" W i Ker A ‚" V
wynikają nierówności
dim Im A dim W i dim Ker A dim V .
5
Twierdzenie 9 Przekształcenie liniowe A : V - W jest monomorfizmem wtedy i tylko wte-
dy, gdy Ker A = {0V }.
D o w ó d. Jeśli Ker A = {0V }, to istnieje wektor x różny od wektora zerowego, należący do

jądra przekształcenia liniowego A. Ponieważ
A(0V ) = 0W i A(x) = 0W ,
więc A nie jest funkcją różnowartościową.
Załóżmy, że A nie jest monomorfizmem, czyli nie jest funkcją różnowartościową. Wtedy ist-
nieją wektory x1 i x2 takie, że
A(x1) = A(x2) i x1 = x2.

Wynika stąd, że x1 - x2 = 0 oraz

A(x1 - x2) = 0,
a to dowodzi, że Ker A = {0V }, a to kończy dowód.

Wniosek 1 Przekształcenie liniowe A : V - W jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy,
gdy dim Ker A = 0.
Definicja 10 Jeśli A jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W nad wspól-
nym ciałem, to wymiar podprzestrzeni Ker A nazywamy defektem przekształcenia A, natomiast
wymiar podprzestrzeni Im A nazywamy rzędem przekształcenia A. Defekt przekształcenia A
oznaczać będziemy symbolem def (A), rząd przekształcenia A  symbolem rz (A).
Z definicji rzędu przekształcenia liniowego i twierdzenia Steinitza wynika nierówność
rz A min{dim V , dim W }.
Lemat 11 Jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym oraz wektory x1, . . . , xn są linio-
wo zależne, to również wektory A(x1), . . . , A(xn) są liniowo zależne.
D o w ó d. Z liniowej zależności wektorów x1, . . . , xn wynika, że istnieją liczby ą1, . . . , ąn, nie
wszystkie równe zeru i takie, że
Ä…1·x1 + . . . + Ä…n·xn = 0V .
Zatem
0W = A(Ä…1·x1 + . . . + Ä…n·xn) = Ä…1·A(x1) + . . . + Ä…n·A(xn),
a to kończy dowód.
6
A
atwo zauważamy, że jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej
V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i wektory a1, . . . , an są liniowo
niezależne (w przestrzeni V ), to wektory A(a1), . . . , A(an) nie muszą być liniowo niezależne.
Przykładem na potwierdzenie tej uwagi jest przekształcenie zerowe.
Wnioskiem z tego lematu jest:
Wniosek 2 Jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym oraz wektory A(x1), . . . , A(xn)
są liniowo niezależne, to również wektory x1, . . . , xn są liniowo niezależne.
Lemat 12 Jeśli A : V - W jest monomorfizmem oraz wektory x1, . . . , xn są liniowo nieza-
leżne, to wektory A(x1), . . . , A(xn) są też liniowo niezależne.
D o w ó d. Jeśli
Ä…1·A(x1) + . . . + Ä…n·A(xn) = 0W ,
to
A(Ä…1·x1 + . . . + Ä…n·xn) = 0,
a z różnowartościowości funkcji A wnioskujemy, że
Ä…1·x1 + . . . + Ä…n·xn = 0.
Ponieważ wektory x1, . . . , xn są liniowo niezależne, więc
Ä…1 = 0, . . . , Ä…n = 0.
Dowodzi to, że wektory A(x1), . . . , A(xn) są liniowo niezależne.
Twierdzenie 13 Jeśli A : V - W jest przekształceniem liniowym i przestrzeń V jest skoń-
czenie wymiarowa, to
rz A + def A = dim V ,
czyli
dim Im A + dim Ker A = dim V .
D o w ó d. Jeśli Ker A = {0V }, to A jest monomorfizmem. Niech (x1, . . . , xn) będzie jakąś
bazą przestrzeni V . Na podstawie lematu 12, wnioskujemy, że wektory (A(x1), . . . , A(xn)) są
liniowo niezależne. Udowodnimy, że
L {A(x1), . . . , A(xn)} = Im A.
Zawieranie
L {A(x1), . . . , A(xn)} ‚" Im A
7
jest oczywiste.
Niech teraz y będzie dowolnym wektorem z podprzestrzeni Im A. Istnieje w przestrzeni V
wektor x taki, że y = A(x). Istnieją więc liczby ą1, . . . , ąn takie, że
x = Ä…1x1 + . . . + Ä…nxn.
Wtedy
y = A(x) = A(Ä…1x1 + . . . + Ä…nxn) = Ä…1A(x1) + . . . + Ä…nA(xn),
a to dowodzi, że
Im A ‚" L {A(x1), . . . , A(xn)} .
Z obu powyżej udowodnionych zawierań wynika zapowiedziana równość. Wnioskujemy stąd,
że wektory A(x1), . . . , A(xn) stanowią bazę podprzestrzeni Im A.
Mamy więc
dim Ker A = 0, dim Im A = n i dim V = n,
co kończy dowód w tym przypadku.
Załóżmy teraz, że dim Ker A = k > 0. Istnieje więc baza podprzestrzeni Ker A, niech to
będzie
x1, . . . , xk.
Z twierdzenia o uzupełnianiu wektorów liniowo niezależnych do bazy wnioskujemy, że istnieją
wektory xk+1, . . . , xn takie, że układ
x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn
stanowi bazÄ™ przestrzeni V .
Podobnie jak w poprzednim przypadku, można dowieść, że
Im A = L {A(x1), . . . , A(xn)} .
Ponieważ A(x1) = 0W , . . . , A(xk) = 0W , więc
Im A = L {A(xk+1), . . . , A(xn)} .
Udowodnimy teraz, że wektory A(xk+1), . . . , A(xn) są liniowo niezależne. Istotnie. Jeśli dla liczb
²k+1, . . . , ²n speÅ‚niona jest równość
n

²iA(xi) = 0W ,
i=k+1
to również
ëÅ‚ öÅ‚
n

íÅ‚
A ²ixiÅ‚Å‚ = 0W ,
i=k+1
8
n n

czyli wektory ²ixi i (-²i)xi należą do jÄ…dra przeksztaÅ‚cenia A. IstniejÄ… wiÄ™c liczby
i=k+1 i=k+1
²1, . . . , ²k takie, że
n k

(-²i)xi = ²ixi,
i=k+1 i=1
skąd wynika równość
n

²ixi = 0V .
i=1
Ponieważ wektory x1, . . . , xn stanowią bazę, więc są liniowo niezależne i powyższa równość
może być spełniona jedynie w przypadku, gdy
²1 = 0, . . . , ²n = 0.
W ten sposób udowodniliśmy, że wektory A(xk+1), . . . , A(xn) są liniowo niezależne. Stanowią
więc bazę podprzestrzeni Im A. Mamy zatem:
dim Ker A = k, dim Im A = n - k i dim V = n,
a to kończy dowód w tym przypadku.
Podsumowując, w każdym z możliwych przypadków spełniona jest równość
dim Im A + dim Ker A = dim V .
3 Dalsze własności przekształceń liniowych
Jednym z podstawowych twierdzeń o przekształceniach liniowych jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 14 Niech V i W będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad (tym samym)
ciałem K. Jeśli układ wektorów (x1, . . . , xn) stanowi bazę przestrzeni V , natomiast wektory
y1, . . . , yn należą do przestrzeni W , to istnieje jedyne przekształcenie liniowe Ś przestrzeni V
w przestrzeń W takie, że
Åš(xi) = yi, gdy i " {1, . . . , n}.
D o w ó d. Niech x będzie dowolnym wektorem przestrzeni V . Wtedy wektor x ma jedno-
znaczny rozkÅ‚ad wzglÄ™dem bazy (x1, . . . , xn), czyli istnieje jedyny ukÅ‚ad (¾1, . . . , ¾n) elementów
z ciała K taki, że
x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn.
9
Przekształcenie Ś określamy następująco:
Åš(x) = ¾1y1 + . . . + ¾nyn, gdy x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn.
Z jednoznaczności przedstawienia wektora w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy wynika,
że powyższy wzór określa funkcję.
Ponadto, Ś(xi) = yi dla każdego wskaz
nika i ze zbioru {1, . . . , n}.
Niech teraz x i y będą dowolnymi wektorami przestrzeni V , mającymi przedstawienia:
x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn i y = ·1x1 + . . . + ·nxn.
Wtedy
x + y = (¾1 + ·1) x1 + . . . + (¾n + ·n) xn.
Z określenia funkcji Ś wynika więc zależność

Åš(x + y) = Åš (¾1 + ·1) x1 + . . . + ¾n + ·n xn =
= (¾1 + ·1) y1 + . . . + (¾n + ·n) yn =

= ¾1y1 + . . . + ¾nyn + ·1y1 + . . . + ·nyn = Åš(x) + Åš(y).
Ponadto, jeśli ą jest dowolnym elementem ciała K, to
Ä…x = (Ä…¾1)x1 + . . . + (Ä…¾n)xn,
skÄ…d wynika

Åš(Ä…x) = Åš Ä…¾1x1 + . . . + Ä…¾nxn =

= (Ä…¾1)y1 + . . . + (Ä…¾n)yn = Ä… ¾1y1 + . . . + ¾nyn = Ä… · Åš(x).
Z powyższych rozważań wnioskujemy, że Ś jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w prze-
strzeń W .
Przypuśćmy, że przeksztaÅ‚cenie liniowe ¨ : V - W speÅ‚nia warunek
¨(xi) = yi, gdy i " {1, . . . , n}.
Wtedy dla każdego wektora x z przestrzeni V , mającego postać
x = ¾1x1 + . . . + ¾nxn,
spełnione są równości
¨(x) = ¨ (¾1x1 + . . . + ¾nxn) = ¾1¨(x1) + . . . + ¾n¨(xn) =
= ¾1Åš(x1) + . . . + ¾nÅš(xn) = Åš (¾1x1 + . . . + ¾nxn) = Åš(x),
a stÄ…d wynika, że przeksztaÅ‚cenia Åš i ¨ sÄ… równe.
Tak więc Ś jest jedynym przekształceniem liniowym spełniającym warunki twierdzenia.
10
Twierdzenie 15 Jeżeli A : V - W jest izomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K
w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i wektory a1, . . . , an stanowią bazę przestrzeni
V , to układ wektorów A(a1), . . . , A(an) jest bazą przestrzeni W .
D o w ó d. Z uwagi na twierdzenie 12. wystarczy udowodnić, że
W = span (A(a1), . . . , A(an)) .
Niech y będzie dowolnym wektorem przestrzeni W . Z założenia, że A jest izomorfizmem
wynika, że istnieje wektor x w przestrzeni V taki, że
y = A(x).
Ponieważ wektory a1, . . . , an stanowią bazę przestrzeni V , więc generują przestrzeń V . Wobec
tego istniejÄ… elementy ¾1, . . . , ¾n z ciaÅ‚a K takie, że
x = ¾1a1 + · · · + ¾nan.
Wtedy
y = A(x) = A(¾1a1 + · · · + ¾nan) = ¾1A(a1) + · · · + ¾nA(an),
skąd wnioskujemy, że wektory A(a1), . . . , A(an) generują przestrzeń W .
Twierdzenie 16 Jeżeli A : V - W jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V
nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem i przekształca bazę jakąś prze-
strzeni V na bazę przestrzeni W , to przekształcenie A jest izomorfizmem.
D o w ó d. Niech układ wektorów a1, . . . , an stanowi bazę przestrzeni V , dla której układ
wektorów A(a1), . . . , A(an) stanowi bazę przestrzeni W .
Udowodnimy najpierw, że przekształcenie A przekształca przestrzeń V na przestrzeń W .
Niech wiÄ™c y bÄ™dzie dowolnym wektorem przestrzeni W . IstniejÄ… elementy ·1, . . . , ·n ciaÅ‚a K
takie, że
y = ·1A(a1) + · · · + ·nA(an),
czyli
y = A (·1a1 + · · · + ·nan) ,
a ponieważ wektor ·1a1 + · · · + ·nan należy do przestrzeni V , wiÄ™c y jest obrazem pewnego
wektora z przestrzeni V . Dowodzi to, że funkcja A przekształca zbiór V na zbiór W .
Teraz udowodnimy, że funkcja A jest różnowartościowa. Niech więc wektory x i u z przestrzeni
V spełniają warunek
A(x) = A(u).
11
Ponieważ ukÅ‚ad wektorów (a1, . . . , an) jest bazÄ… przestrzeni V , wiÄ™c istniejÄ… liczby ¾1, . . . , ¾n
oraz ·1, . . . , ·n w ciele K takie, że
x = ¾1a1 + · · · + ¾nan
i
u = ·1a1 + · · · + ·nan.
Wtedy
0 = A(x) - A(u) = A(x - u) = A((¾1 - ·1)a1 + · · · + (¾n - ·n)an),
czyli
0 = (¾1 - ·1)A(a1) + · · · + (¾n - ·n)A(an).
Stąd i z liniowej niezależności wektorów
A(a1), . . . , A(an),
wnioskujemy, że
¾1 - ·1 = 0, · · · , ¾n - ·n = 0,
a to dowodzi równości x = u, czyli różnowartościowości funkcji A.
Z dwóch powyższych twierdzeń wynikają następujące wnioski.
Wniosek 3 Przekształcenie liniowe skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V w prze-
strzeń liniową W nad wspólnym ciałem jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształca
każdą bazę przestrzeni liniowej V na bazę przestrzeni W .
Wniosek 4 Przekształcenie liniowe skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V w prze-
strzeń liniową W nad wspólnym ciałem jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształca
jakÄ…Å› bazÄ™ przestrzeni liniowej V na bazÄ™ przestrzeni W .
Jeśli istnieje izomorfizm przestrzeni liniowej V na przestrzeń liniową W , to przestrzenie te
<"
nazywamy izomorficznymi. Zapisujemy wtedy V W . Z powyższych wniosków łatwo można
=
<"
wywnioskować, że jest relacją równoważności w każdej rodzinie przestrzeni liniowych nad
=
danym ciałem.
Niech e1, . . . , en będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wtedy dla wektorów a, b
majÄ…cych przedstawienie
a = Ä…1e1 + · · · + Ä…nen i b = ²1e1 + · · · + ²nen
i dowolnego elementu  z ciała K mamy:
a = (Ä…1)e1 + · · · + (Ä…n)en,
12
a + b = (Ä…1 + ²1)e1 + · · · + (Ä…n + ²n)en.
Ze względu na te równości możemy powiedzieć, że przy dodawaniu wektorów dodajemy ich
współrzędne, a przy mnożeniu wektora przez skalar każdą współrzędną mnożymy przez dany
skalar.
Jeśli symbole [a] i [b] oznaczają ciągi współrzędnych wektorów a i b, to
[a + b] = [Ä…1 + ²1, . . . , Ä…n + ²n] = [a] + [b],
[·a] = [·Ä…1, . . . , Ä…n] = ·[a] .
Wniosek 5 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K oraz B  bazą
przestrzeni V . Przekształcenie A : V - Kn, przekształcające dowolny wektor x z przestrzeni
V w ciąg jego współrzędnych względem bazy B, jest izomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń
Kn.
Wniosek 6 Dwie skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem są izo-
morficzne wtedy i tylko wtedy, gdy majÄ… ten sam wymiar.
13