ALGEBRA LINIOWA
PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE
Jacek Jędrzejewski
1
1 Przestrzenie euklidesowe
Klasyczną przestrzenią euklidesową jest przestrzeń R2 i R3. Ale czym one są?
Są to przestrzenie złożone z punktów, a punktom tym przypisane są wekto-
ry, które tworzą przestrzeń liniową, w której określony jest iloczyn skalarny.
Standardowym iloczynem skalarnym dla wektorów x i y jest
x · y = x1·y1 + x2·y2 + x3·y3,
gdzie x = (x1, x2, x3) i y = (y1, y2, y3).
Iloczynem tym jest więc pewna forma dwuliniowa określona dodatnio.
Uogólniając więc przestrzeń euklidesową i iloczyn skalarny, przyjmujemy na-
stępujące definicje.
Definicja 1 Dwuliniowy funkcjonał symetryczny określony dodatnio w prze-
strzeni liniowej V nad ciałem liczb rzeczywistych nazywamy iloczynem ska-
larnym w przestrzeni V .
Inaczej możemy powiedzieć, że funkcja Ć : V × V - R jest iloczynem
skalarnym w przestrzeni V , jeśli dla każdej liczby rzeczywistej ą i dowolnych
wektorów x, y i z z przestrzeni V spełnione są następujące warunki:
1. Ć(x, x) 0 oraz Ć(x, x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0;
2. Ć(x, y) = Ć(y, x);
3. Ć(x + z, y) = Ć(x, y) + Ć(z, y);
4. Ć(x, y + z) = Ć(x, y) + Ć(x, z);
5. Ć(Ä…·x, y) = Ä…·Ä†(x, y) = Ć(x, Ä…·y).
Najczęściej, zamiast Ć na oznaczenie iloczynu skalarnego, stosuje się sym-
bol (·|·), wiÄ™c iloczyn skalarny wektorów x i y, to (x|y), rzadziej x · y.
Zauważmy, że
(x | 0) = (x | 0·0) = 0 · (x | 0) = 0,
więc
(x | 0) = (0 | x) = 0
dla każdego wektora x z przestrzeni V .
2
Definicja 2 Przestrzenią euklidesową nazywamy skończenie wymiarową prze-
strzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, w której jest określony iloczyn
skalarny.
Przykład 3 Niech V będzie przestrzenią wektorów swobodnych na płaszczyz
-
nie. Dla dowolnych wektorów x i y z tej przestrzeni przyjmujemy
Å„Å‚
òÅ‚
|x|·|y|·cos Ä…, gdy x = 0 '" y = 0,

(x|y) =
ół
0, gdy x = 0 (" y = 0,
gdzie |x| jest długością wektora x oraz ą  kątem między wektorami x i y.
A
atwo sprawdzić, że powyżej określona funkcja jest funkcjonałem dwu-
liniowym symetrycznym oraz jest określona dodatnio, jest więc iloczynem
skalarnym.
Przykład 4 Niech V będzie przestrzenią Rn. Dla wektorów x i y z tej prze-
strzeni określamy
(x|y) = x1·y1 + x2·y2 + . . . + xn·yn,
gdzie x = (x1, x2, . . . , xn) i y = (y1, y2, . . . , yn).
A
atwe rachunki prowadzą do stwierdzenia, że tak określona funkcja jest
iloczynem skalarnym, przestrzeń Rn możemy więc traktować jako przestrzeń
euklidesową. Nazywamy ją kartezjańską przestrzenią euklidesową o wymia-
rze n.
Przykład 5 Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem R,
mającą wymiar skończony. Niech (b1, . . . , bn) będzie bazą tej przestrzeni. Funk-
cja Ć : V × V - R okreÅ›lona wzorem
Ć(x, y) = x1·y1 + . . . + xn·yn,
gdzie x = x1·b1 +. . .+xn·bn, y = y1·b1 +. . .+yn·bn, jest iloczynem skalarnym
w przestrzeni V .
Podobnie, jak w poprzednim przykładzie, łatwe rachunki dowodzą, że
funkcja Ć jest istotnie iloczynem skalarnym w przestrzeni V .
Zauważmy, że każda podprzestrzeń liniowa W przestrzeni euklidesowej
V jest przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym, będącym obcięciem
iloczynu skalarnego w przestrzeni V do podprzestrzeni W .
3
Twierdzenie 6 (nierówność Schwarza) JeÅ›li (· | ·) jest iloczynem skalarnym
w przestrzeni liniowej V nad ciałem liczb rzeczywistych, to dla każdych wek-
torów x, y, należących do przestrzeni V , spełniona jest nierówność
(x | y )2 (x | x) · (y | y ).
D o w ó d. Niech x i y będą dowolnymi wektorami z przestrzeni V .
Jeśli y = 0, to (x, 0) = 0 i nierówność z tezy jest spełniona.
Załóżmy teraz, że y = 0. Dla każdej liczby rzeczywistej  mamy


(x - ·y) | (x - ·y) 0.
Zatem

y | y ·2 - 2· x | y · + x | x 0.
Lewa strona powyższej nierówności jest trójmianem kwadratowym zmien-
nej . Trójmian ten jest nieujemny wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik
jest niedodatni, tzn., gdy

2
2· x | y - 4· x | x · y | y 0.
Nierówność ta dowodzi tezy twierdzenia.
Definicja 7 FunkcjÄ™ · : V - R okreÅ›lonÄ… w przestrzeni liniowej V nad
ciałem liczb rzeczywistych nazywamy normą, jeśli spełnia następujące warun-
ki:
1. dla każdego wektora x z przestrzeni V spełniona jest nierówność x
0 oraz
x = 0 Ð!Ò! x = 0;
2. Ä…·x = |Ä…|· x dla każdego wektora x z przestrzeni V i każdej liczby
rzeczywistej Ä…;
3. x + y x + y dla dowolnych wektorów x, y z przestrzeni V .
Wartość normy dla wektora x nazywamy też długością wektora x lub nor-
mą wektora x. Nierówność z warunku (3) nazywamy nierównością trójkąta.
Definicja 8 Przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych wraz z normą
w tej przestrzeni nazywamy przestrzeniÄ… unormowanÄ….
4
Twierdzenie 9 Niech V będzie dowolną przestrzenią euklidesową. Funkcja

x = (x | x), gdzie (· | ·) jest iloczynem skalarnym w tej przestrzeni, jest
normÄ… w tej przestrzeni.
D o w ó d. Własności (1) i (2) z definicji normy są bezpośrednio widoczne.
Udowodnimy teraz nierówność (3).
Niech x i y będą dowolnymi wektorami z przestrzeni V . Z określenia
funkcji · wynika, że

x + y 2 = x + y | x + y = x | x + 2· x | y + y | y .
Stąd i z nierówności Schwarza wnioskujemy, że


x + y 2 x | x + 2· x | y + y | y


x 2 + 2· (x | x)· (y | y) + y 2 =
= ( x + y )2 ,
a z nieujemnoÅ›ci funkcji · wynika teza twierdzenia.
Z nierówności Schwarza wynika też nierówność
(x | y)
-1 1,
x · y
gdzie x i y sÄ… niezerowymi wektorami przestrzeni euklidesowej V .
Istnieje więc taka liczba ą w przedziale [0, Ą], że
(x | y)
cos Ä… = .
x · y
Liczbę tę nazywamy kątem między wektorami x i y.
Definicja 10 Wektory x i y nazywamy ortogonalnymi (lub prostopadłymi),
jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zeru.
Zauważamy bez trudu, że wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wek-
tora oraz dwa niezerowe wektory sÄ… ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy kÄ…t
Ä„
między nimi jest równy .
2
5
Definicja 11 Niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej V .
Wektor x nazywamy ortogonalnym do podprzestrzeni W , jeśli jest ortogo-
nalny do każdego wektora tej podprzestrzeni. Zapisujemy wtedy xĄ"W .
Twierdzenie 12 Wektor x jest ortogonalny do podprzestrzeni W wtedy i tyl-
ko wtedy, gdy jest ortogonalny do każdego wektora pewnej bazy tej podprze-
strzeni.
D o w ó d. Jeśli wektor x jest ortogonalny do podprzestrzeni W , to jest or-
togonalny do każdego wektora tej podprzestrzeni, więc i do każdego wektora
jakiejkolwiek bazy podprzestrzeni W .
Załóżmy teraz, że wektory a1, . . . , ak stanowią bazę podprzestrzeni W
i wektor x jest ortogonalny do każdego wektora ai, gdzie i " {1, . . . , k}. Jeśli
w jest dowolnym wektorem podprzestrzeni W , to istniejÄ… liczby rzeczywiste
ą1, . . . , ąk takie, że
k

w = Ä…i·ai.
i=1
Wtedy

k k



(x | w ) = x Ä…i·ai = Ä…i·(x | ai ) = 0,

i=1 i=1
a to dowodzi ortogonalności wektora x do podprzestrzeni W .
Twierdzenie 13 (Pitagoras) Jeśli wektory x i y z przestrzeni euklidesowej
V sÄ… ortogonalne, to
x + y 2 = x 2 + y 2.
D o w ó d. Z określenia normy wektora w przestrzeni euklidesowej wynika:

x + y 2 = (x + y) | (x + y) =

= x | x + 2· x | y + y | y = x 2 + y 2,

gdyż x | y = 0.
Definicja 14 Układ wektorów w przestrzeni euklidesowej nazywamy ortogo-
nalnym, jeśli każde dwa wektory tego układy są ortogonalne.
6
Twierdzenie 15 Jeśli układ niezerowych wektorów (x1, . . . , xn) jest ortogo-
nalny, to jest liniowo niezależny.
D o w ó d. Załóżmy, że dla liczb ą1, . . ., ąn spełniona jest równość
Ä…1·x1 + . . . + Ä…n·xn = 0.
Wtedy

Ä…1·x1 + . . . + Ä…n·xn | xj = 0 | xj = 0
dla każdego wskaz
nika j ze zbioru {1, . . . , n}.
Z ortogonalności wektorów rozważanego układu wynika, że

Ä…j · xj | xj = 0,
co z uwagi na niezerowość wszystkich wektorów układu, dowodzi, że ąj = 0.
W taki sposób udowodniliśmy, że układ (x1, . . . , xn) jest liniowo niezależny.
Twierdzenie 16 Jeśli układ wektorów (x1, . . . , xn) jest ortogonalny, to
x1 + . . . + xn 2 = x1 2 + . . . + xn 2.
D o w ó d. Do dowodu zastosujemy metodę indukcji matematycznej.
Jeśli n = 1, to wzór z tezy jest oczywisty. Gdy n = 2, to, z uwagi na
twierdzenie Pitagorasa, wzór jest prawdziwy.
Udowodnimy teraz, że z prawdziwości tego wzoru dla liczby n wynika jego
prawdziwość dla liczby n + 1. Niech więc wektory x1, . . . , xn+1 będą parami
ortogonalne. Wtedy

xn+1 | xk = 0, gdy k " {1, . . . , n}.
Wnioskujemy stąd, że

xn+1 | (x1 + . . . + xn) = 0,
zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika równość
x1 + . . . + xn + xn+1 2 = x1 + . . . + xn 2 + xn+1 2.
Dalej, korzystając z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że
x1 + . . . + xn + xn+1 2 = x1 2 + . . . + xn 2 + xn+1 2.
Na mocy zasady indukcji matematycznej, teza jest prawdziwa dla każdej
liczby naturalnej n.
7
Definicja 17 Układ wektorów w przestrzeni euklidesowej nazywamy orto-
normalnym, jeśli każde dwa wektory tego układy są ortogonalne i długość
każdego z tych wektorów jest równa 1.
Definicja 18 Bazę przestrzeni euklidesowej V nazywamy ortogonalną, jeśli
każde dwa wektory tej bazy są ortogonalne.
Definicja 19 BazÄ™ przestrzeni euklidesowej V nazywamy ortonormalnÄ…, je-
śli stanowi ortonormalny układ wektorów.
Tak więc baza (b1, . . . , bn) jest ortonormalna wtedy i tylko wtedy, gdy

bi | bj = ´ij dla każdych liczb i oraz j ze zbioru {1, . . . , n}. (Jak zwykle ´ij
oznacza deltÄ™ Kroneckera.)
Twierdzenie 20 W każdej przestrzeni euklidesowej istnieje baza ortonor-
malna.
W dalszej części udowodnimy twierdzenie Schmidta o ortogonalizacji, któ-
rego bezpośrednim wnioskiem jest powyższe twierdzenie.
Twierdzenie 21 Baza (b1, . . . , bn) przestrzeni euklidesowej V jest ortonor-
malna wtedy i tylko wtedy, gdy
n

(x | y ) = ¾i··i
i=1
dla każdych wektorów x i y z przestrzeni V i takich, że
n n

x = ¾i·bi i y = ·i·bi.
i=1 i=1
D o w ó d. Niech B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie bazą ortonormalną.
Wtedy oczywiście
n n

(x | y ) = ¾i··i·(bi | bi ) = ¾i··i
i=1 i=1
dla każdych wektorów x i y z przestrzeni V i takich, że
n n

x = ¾i·bi i y = ·i·bi.
i=1 i=1
8
Jeśli teraz iloczyn skalarny spełnia warunek
n n

(x | y ) = ¾i··i·(bi | bi ) = ¾i··i
i=1 i=1
dla każdych wektorów x i y z przestrzeni V i takich, że
n n

x = ¾i·bi i y = ·i·bi,
i=1 i=1
to
(bi | bi ) = 1 i (bi | bj ) = 0, gdy i = j.

Tak więc, zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym dla bazy orto-
normalnej, wnioskujemy, że B jest bazą ortonormalną.
2 Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Twierdzenie 22 (Nierówność Bessela) Jeśli (b1, . . . , bn) jest układem orto-
normalnym w przestrzeni euklidesowej V , to dla każdego wektora x z prze-
strzeni V spełniona jest nierówność
n

2
Ä…i x 2,
i=1
n

gdzie Ä…i = (x | bi ). Ponadto, wektor x - Ä…i·bi jest ortogonalny do podprze-
i=1
strzeni span (b1, . . . , bn) .
n

D o w ó d. Niech x = x - Ä…i·bi. OczywiÅ›cie x 2 0. Zatem
i=1
ëÅ‚ öÅ‚

n n


íÅ‚
0 (x | x ) = x - Ä…i·bi - Ä…i·bi Å‚Å‚ =
x

i=1 i=1
n n n

= (x | x) - 2 · Ä…i·(x | bi ) + Ä…i·Ä…j ·(bi | bj ) =
i=1 i=1 j=1
n n

2 2
= x 2 - 2 · Ä…i + Ä…i ,
i=1 i=1
9
skąd wynika nierówność Bessela.
Niech j będzie dowolną liczbą ze zbioru {1, . . . , n}. Obliczmy (x | bj ).
n

(x | bj ) = (x | bj ) - Ä…i·(bi | bj ) = (x | bj ) - Ä…j = 0.
i=1
Wynika stąd, że wektor x jest ortogonalny do każdego wektora bj, jest więc,
na mocy twierdzenia 12 ortogonalny do podprzestrzeni span (b1, . . . , bn).
Wniosek 23 Jeśli (b1, . . . , bn) jest bazą ortonormalną przestrzeni euklide-
sowej V , to
n

x = (x | bi ) · bi
i=1
dla każdego wektora x z przestrzeni V .
Twierdzenie 24 (Grama Schmidta) Dla każdego układu liniowo niezależ-
nego wektorów (x1, . . . , xn) w przestrzeni euklidesowej istnieje układ orto-
normalny (b1, . . . , bn) taki, że
span (b1, . . . , bk) = span (x1, . . . , xk)
dla każdej liczby k ze zbioru {1, . . . , n}.
D o w ó d. Oczywiście wektory xi są niezerowe, zatem mają długość do-
datnią. Niech więc
1
b1 = · x1.
x1
Wektor b1 ma długość 1 oraz span (b1) = span (x1) . Załóżmy teraz, że
zdefiniowaliśmy już wektory b1, . . . , bk tworzące układ ortonormalny taki, że
span (b1, . . . , bk) = span (x1, . . . , xk) ,
gdzie k < n.
Niech teraz
k

b = xk+1 - (xk+1 | bi )·bi
k+1
i=1
oraz
1
bk+1 = · b .
k+1
b
k+1
10
Na mocy twierdzenia poprzedniego wnioskujemy, że wektor bk+1 jest ortogo-
nalny do wszystkich wektorów bi, gdzie i " {1, . . . , k} oraz ma długość równą
1. Ponieważ bk+1 " span (x1, . . . , xk+1), więc
span (b1, . . . , bk+1) ‚" span (x1, . . . , xk+1) ,
zatem przestrzenie span (b1, . . . , bk+1) i span (x1, . . . , xk+1) , majÄ…ce ten sam
wymiar, są równe.
W ten sposób określiliśmy indukcyjnie wektory b1, . . . bn, spełniające żą-
dane warunki.
Metoda opisana w powyższym twierdzeniu nosi nazwę metody ortogona-
lizacji Grama Schmidta.
Przykład 25 Zortogonalizujmy metodą Grama Schmidta w kartezjańskiej
przestrzeni euklidesowej R3 wektory a1, a2, a3, gdzie
a1 = (1, -2, 0), a2 = (5, 5, 1) i a3 = (5, 4, 4).
Bezpośrednio z definicji wektorów a1, a2, a3 wynika, że są to wektory nie-
zerowe.
Sprawdzimy, czy wektory te są liniowo niezależne. Niech
Ä…1·a1 + Ä…2·a2 + Ä…3·a3 = 0.
Wtedy

Ä…1 + 5·Ä…2 + 5·Ä…3, -2·Ä…1 + 5·Ä…2 + 4·Ä…3, Ä…2 + 4·Ä…3 = (0, 0, 0).
Rozwiązując to równanie wektorowe, sprowadzamy je do układu równań li-
îÅ‚ Å‚Å‚
1 5 5
ïÅ‚ śł
niowych, którego macierz -2 5 4 jest nieosobliwa. Jedynym rozwią-
ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 4
zaniem tego układu jest więc (0, 0, 0), co oznacza, że wektory a1, a2, a3 są
liniowo niezależne.
W przestrzeni R3 iloczyn skalarny jest określony wzorem
(x | y ) = ¾1··1 + ¾2··2 + ¾3··3,
gdzie x = (¾1, ¾2, ¾3) i y = (·1, ·2, ·3). Niech wiÄ™c, zgodnie z metodÄ… Grama-
-Schmidta
1
b1 = · a1.
a1
11
Oczywiście, wektory a1 i b1 generują tę samą podprzestrzeń liniową prze-
strzeni R3 i wektor b1 ma normę równą 1. Ponieważ

"
a1 = (a1 | a1 ) = 12 + (-2)2 + 02 = 5,
więc
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 -2
íÅ‚ íÅ‚
" " " " "
b1 = , ·(-2), ·0Å‚Å‚ = , , 0Å‚Å‚.
5 5 5 5 5
Obliczamy teraz iloczyn (a2 | b1 ):

-2
1
" "
(a2 | b1 ) = (5, 5, 1) , , 0 =
5 5
" " "
= 5 - 2 5 + 0 = - 5.
Wtedy określamy wektor b jako
2
b = a2 - (a2 | b1 )·b1,
2
otrzymujÄ…c
ëÅ‚ öÅ‚
"
1 -2
íÅ‚
" "
b = (5, 5, 1) + 5 · , , 0Å‚Å‚ = (6, 3, 1).
2
5 5
Obliczamy teraz długość wektora b :
2
" "
b = 62 + 32 + 12 = 46.
2
Przyjmujemy zatem

1 6 3 1
" " " "
b2 = · (6, 3, 1) = , , .
46 46 46 46
Teraz obliczamy iloczyny (a3 | b1 ) i (a3 | b2 ).

3
-2
1
" "
(a3 | b1 ) = (5, 4, 4) , , 0 = -"
,
5 5
5


"6 "3 "1
(a3 | b2 ) = (5, 4, 4) , , =
46 46 46
"
6 3 1
" " "
= 5· + 4· + 4 · = 46.
46 46 46
12
Wobec tego za wektor b przyjmujemy
3
"
3
"
b = a3 + · b1 - 46 · b2,
3
5
czyli

2 1
b = - , - , 3 .
3
5 5
Wtedy
46
b 2 = ,
3
5
zatem za wektor b3 przyjmujemy

2 1 15
b3 = -" -" "
, , .
230 230 230
13