WYKA
AD 11
PODPRZESTRZENIE
Jacek Jędrzejewski
2009/2010
Spis treści
1 Jeszcze o wymiarze 2
2 Przekrój podprzestrzeni 3
3 Suma podprzestrzeni 5
1
1 Jeszcze o wymiarze
Niech V będzie przestrzenią liniową skończenie wymiarową. Jeśli
(b1, . . . , bn)
jest bazą tej przestrzeni, to jak wiemy z definicji bazy, każdy wektor x tej przestrzeni ma
przedstawienie w postaci
x = ¾1·b1 + . . . + ¾n·bn.
Udowodnimy, że to przedstawienie jest jednoznaczne.
Istotnie, przypuśćmy, że jakiś wektor c z przestrzeni V ma dwa przedstawienia:
c = Ä…1·b1 + . . . + Ä…n·bn
oraz
c = ²1·b1 + . . . + ²n·bn.
Wtedy
Åš = c - c = Ä…1·b1 + . . . + Ä…n·bn - (²1·b1 + . . . + ²n·bn) =
= (Ä…1 - ²1)·b1 + . . . + (Ä…n - ²n)·bn,
skąd wnioskujemy (bazę stanowi układ liniowo niezależny), że
Ä…1 = ²1, . . . , Ä…n = ²n,
czyli jednoznaczność przedstawienia wektora c w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy.
Twierdzenie 1 Jeśli W jest podprzestrzenią liniową skończenie wymiarowej przestrzeni V i
dim W = dim V , to W = V .
D o w ó d. Ponieważ W jest podprzestrzenią przestrzeni skończenie wymiarowej, więc istnieje
skończona baza tej podprzestrzeni; niech to będzie układ (w1, . . . , wn). Oczywiście wektory te
należą do przestrzeni V i są liniowo niezależne. Z równości wymiarów przestrzeni V i W wynika,
że dim V = n, zatem wektory w1, . . . , wn stanowią bazę przestrzeni V . Tak więc
V = span (w1, . . . , wn) = W ,
co kończy dowód.
Twierdzenie 2 Jeśli układ (x1, . . . , xm) wektorów w przestrzeni liniowej skończenie wymiaro-
wej V , dla której dim V = n i m < n, jest liniowo niezależny, to istnieją wektory xm+1, . . . , xn
takie, że układ
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
jest bazÄ… przestrzeni V .
2
D o w ó d. Ponieważ m < n, więc istnieje wektor xm+1 w przestrzeni V taki, że
xm+1 " span (x1, . . . , xm) .
Jeśli m + 1 = n, to układ (x1, . . . , xm, xm+1), będąc liniowo niezależnym, stanowi, w myśl
twierdzenia 2, bazÄ™ przestrzeni V .
Załóżmy, że m + 1 < n i dla każdego elementu k ze zbioru {m + 1, . . . , n - 1} określiliśmy
wektory xm+1, . . . , xk takie, że
xi " span (x1, . . . , xi-1) ,
gdy i " {m + 1, . . . , k}.
Ponieważ k < n, więc istnieje wektor xk+1 taki, że
xk+1 " span (x1, . . . , xk) .
W ten sposób określiliśmy indukcyjnie, dla każdej liczby naturalnej k, ze zbioru {m + 1, . . . , n}
ciąg wektorów xm+1, . . . , xk taki, że układ
x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xk
jest liniowo niezależny. Ponieważ k nie może być większe niż n, więc ciąg
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
stanowi bazÄ™ przestrzeni V .
Powyższe twierdzenie można sformułować następująco:
Każdy liniowo niezależny układ wektorów skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej można
uzupełnić do bazy tej przestrzeni.
2 Przekrój podprzestrzeni
Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K. Przypominamy:
Twierdzenie 3 Niepusty podzbiór W zbioru V tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni V
wtedy i tylko wtedy, gdy

(1) a + b " W ,
" "
a"W b"W

(2) Ä…·a " W .
"Ä…"K a"W
"
Twierdzenie 4 Przekrój dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni liniowych przestrzeni linio-
wej V jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni V .
3
D o w ó d. Niech {Ws : s " S} będzie dowolną rodziną podprzestrzeni liniowych przestrzeni
liniowej V . Oznaczmy

W = Ws.
s"S
Oczywiście wektor zerowy należy do wszystkich podprzestrzeni, więc zbiór W jest niepusty.
Niech a i b będą dwoma wektorami zbioru W i  dowolnym elementem ciała K. Ponieważ
Ws jest podprzestrzenią liniową dla każdego elementu s ze zbioru S, więc
a " Ws i a + b " Ws, gdy s " S.
Stąd wynika, że
a " W i a + b " W ,
co dowodzi, w myśl twierdzenia 3, że W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
Zauważmy, że mnogościowa suma podprzestrzeni przestrzeni V nie musi być podprzestrzenią
liniowÄ… przestrzeni V .
Istotnie, zbiory R × {0}, {0} × R sÄ… podprzestrzeniami przestrzeni liniowej R2, natomiast
ich suma mnogościowa nie jest podprzestrzenią przestrzeni R2.
Mamy jednak:
Twierdzenie 5 Jeśli W1 i W2 są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V , to W *" W2 jest
podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy
W1 ‚" W2 (" W2 ‚" W1.
D o w ó d. JeÅ›li W1 ‚" W2, to W1 *"W2 = W2 i, oczywiÅ›cie, W1 *"W2 jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ…
przestrzeni V .
Podobnie dowodzimy, gdy W2 ‚" W1.
Jeśli teraz W1 *" W2 jest podprzestrzenią liniową oraz
W1 ‚" W2 '" W2 ‚" W1,
to istnieją wektory x1 i x2 takie, że
x1 " W1 \ W2 '" x2 " W2 \ W1.
Wtedy x1 + x2 " W1 *" W2. Jeśli np. x1 + x2 " W1, to x2 " W1, gdyż
x2 = (x1 + x2) + (-x1).
Sprzeczność kończy dowód.
4
3 Suma podprzestrzeni
W przyszłości dla skrócenia zapisów będziemy stosowali następujące oznaczenie:
n

Ä…kak = Ä…1a1 + . . . + Ä…nan.
k=1
Definicja 6 Jeśli W1 i W2 są dowolnymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej V ,
to sumą tych podprzestrzeni nazywamy zbiór

x " V : (x = ai + a2) ,
" "
a1"W1 a2"W2
który oznaczamy symbolem W1 + W2.
Podobnie:
Definicja 7 Niech W1, . . . , Wm będą dowolnymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni linio-
wej V . Sumą tych podprzestrzeni nazywamy zbiór

m

x " V : x = ai ,
" "
i"{1,...,m} ai"Wi
i=1
który oznaczamy symbolem W1 + . . . + Wm.
Innymi słowy, suma W1 + . . . + Wm jest zbiorem wszystkich sum wektorów, z których i-ty
wektor należy do podprzestrzeni Wi.
Twierdzenie 8 Suma skończonej liczby podprzestrzeni liniowych przestrzeni liniowej V jest
też jej podprzestrzenią.
D o w ó d. Niech W1, . . . , Wm będą dowolnymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni linio-
wej V . Oznaczmy
W = W1 + . . . + Wm.
Jeśli wektory a i b należą do zbioru W , to istnieją wektory a1, . . . , am oraz b1, . . . , bm takie,
że ai " Wi, bi " Wi dla każdego elementu i ze zbioru {1, . . . , m} oraz
a = a1 + . . . + am i b = b1 + . . . + bm.
Wtedy
a + b = (a1 + . . . + am) + (b1 + . . . + bm) = (a1 + b1) + . . . + (am + bm) ,
a z uwagi, że każdy wektor ai + bi należy do podprzestrzeni Wi, wnioskujemy, iż a + b należy
do zbioru W .
5
Jeśli teraz ą jest dowolnym elementem ciała K, to
Ä…a = Ä…·(a1 + . . . + am) = Ä…a1 + . . . + Ä…am,
a ponieważ każdy wektor ąai należy do podprzestrzeni Wi, więc ąa jest też elementem zbioru
W .
Na podstawie twierdzenia 3 wnioskujemy teraz, że zbiór W tworzy podprzestrzeń liniową
przestrzeni V .
Definicja 9 Niech V będzie przestrzenią liniową i W1, . . . , Wm będą podprzestrzeniami liniowy-
mi przestrzeni V . Jeśli
V = W1 + . . . + Wm,
to mówimy, że przestrzeń liniowa V jest sumą podprzestrzeni W1, . . . , Wm.
Przestrzeń liniową V nazywamy sumą prostą podprzestrzeni W1, . . . , Wm, jeśli każdy wektor
x przestrzeni V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
x = a1 + . . . + am,
gdzie ai " Wi dla każdego i należącego do zbioru {1, . . . , m}. Oznaczamy wtedy
V = W1 •" . . . •" Wm
lub
m

V = Wi.
i=1
Twierdzenie 10 Jeśli V jest przestrzenią liniową i W1, . . . , Wm podprzestrzeniami liniowymi
przestrzeni V , to
m

V = Wi,
i=1
wtedy i tylko wtedy, gdy
1. V = W1 + . . . + Wm,
oraz
2. Wj )" (W1 + . . . + Wj-1 + Wj+1 + . . . + Wm) = {0}
dla każdego elementu j ze zbioru {1, . . . , m}.
6
D o w ó d. Załóżmy, że
m

V = Wi.
i=1
Wtedy, oczywiście spełniony jest warunek
V = W1 + . . . + Wm.
Przypuśćmy, że warunek (2) nie jest spełniony dla pewnego j należącego do zbioru {1, . . . , m}.
Istnieje więc niezerowy wektor a taki, że
a " Wj )" (W1 + . . . + Wj-1 + Wj+1 + . . . + Wm) .
Wtedy istnieją wektory a1, . . . , aj-1, aj+1, . . . , am takie, że
ak " Wk, gdy k " {1, . . . , j - 1, j + 1, . . . , m}
i
a = a1 + . . . + aj-1 + aj+1 + . . . + am.
Zatem wektor zerowy oprócz przedstawienia w postaci sumy wektorów zerowych ma przedsta-
wienie w postaci
0 = a - a = a1 + . . . + aj-1 - a + aj+1 + . . . + am,
skąd wnioskujemy, że przestrzeń V nie jest sumą prostą podprzestrzeni W1, . . . , Wm.
Dowód dostateczności pozostawiamy jako pracę domową.
Twierdzenie 11 Jeśli V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K, to
dla każdej podprzestrzeni V1 przestrzeni V istnieje podprzestrzeń V2 przestrzeni V taka, że
V = V1 •" V2.
D o w ó d. JeÅ›li V1 = {0}, to za V2 przyjmujemy przestrzeÅ„ V i oczywiÅ›cie, V1 •" V2 = V .
JeÅ›li V1 = V , to niech V2 = {0}. Wtedy też V = V1 •" V2.
Jeśli V1 = {0} i V1 = V , to niech układ (x1, . . . , xm) będzie bazą podprzestrzeni V1. Z

twierdzenia 2 wynika, że istnieją wektory xm+1, . . . , xn takie, że układ
(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)
jest bazÄ… przestrzeni V . Niech teraz
V2 = span (xm+1, . . . , xn) .
Wtedy, oczywiÅ›cie, V = V1 •" V2.
7
Wniosek 1 Jeśli V1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni skończenie wymiarowej V , to
dim V1 dim V .
Definicja 12 JeÅ›li V = V1 •" V2, to podprzestrzeÅ„ V2 nazywamy podprzestrzeniÄ… dopeÅ‚niajÄ…cÄ…
do podprzestrzeni V1 i odwrotnie, podprzestrzeń V1 nazywamy podprzestrzenią dopełniającą do
podprzestrzeni V2.
Twierdzenie 11 można teraz sformułować w sposób następujący:
Twierdzenie 13 Dla każdej podprzestrzeni przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej istnieje
podprzestrzeń dopełniająca.
8