WYKA
AD 13
Macierz przekształcenia liniowego
Jacek Jędrzejewski
2009/2010
Spis treści
1 Przestrzeń przekształceń liniowych 2
2 Macierz przekształcenia liniowego 4
3 Dalsze własności mnożenia macierzy 7
1
1 Przestrzeń przekształceń liniowych
Dla funkcji przekształcających przestrzeń liniową V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad tym samym ciałem
K możemy zdefiniować sumę takich przekształceń i iloczyn takiego przekształcenia przez element ciała K.
Definicja 1 Jeśli A : V - W i B : V - W są dowolnymi przekształceniami i  " K, to sumą przekształceń A
i B nazywamy przekształcenie, oznaczane symbolem A + B, które każdemu wektorowi x z przestrzeni V przypo-
rzÄ…dkowuje wektor A(x) + B(x). Symbolicznie,
(A + B)(x) = A(x) + B(x), gdy x " V .
Podobnie, iloczynem elementu  z ciała K i przekształcenia A nazywamy przekształcenie, oznaczane symbolem
·A, które każdemu wektorowi x, należącemu do przestrzeni V przypisuje wektor ·A(x). Symbolicznie,
(·A)(x) = ·A(x), gdy x " V .
Udowodnimy, że dodawanie przekształceń jest działaniem wewnętrznym w zbiorze HomK(V , W ) oraz mnożenie
przekształceń przez elementy ciała K jest działaniem zewnętrznym w tym zbiorze.
Twierdzenie 1 Dla dowolnych homomorfizmów przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad
tym samym ciałem suma tych homomorfizmów jest homomorfizmem.
D o w ó d. Niech A i B będą dowolnymi homomorfizmami przestrzeni V w przestrzeń W . Niech ponadto x, y
będą dowolnymi wektorami przestrzeni V i   dowolnym elementem ciała K. Wtedy

(A + B)(x + y) = A(x + y) + B(x + y) = A(x) + A(y) + B(x) + B(y) =

= A(x) + B(x) + A(y) + B(y) = A + B (x) + A + B (y),
co oznacza, że A + B jest przekształceniem addytywnym.
Podobnie,
(A + B)(x) = A(x) + B(x) = ·A(x) + ·B(x) =

= · A(x) + B(x) = · A + B (x),
co oznacza, że przekształcenie A + B spełnia drugi warunek homomorfizmu. Tak więc przekształcenie A + B jest
homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń W .
Twierdzenie 2 Dla dowolnego homomorfizmu przestrzeni liniowej V nad ciałem K w przestrzeń liniową W nad
tym samym ciałem i dowolnego elementu ciała K iloczyn tego elementu i homomorfizmu jest homomorfizmem
przestrzeni V w przestrzeń W .
D o w ó d. Niech A będzie homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń W i   dowolnym elementem ciała K.
Niech ponadto x, y będą dowolnymi wektorami przestrzeni V i ł  dowolnym elementem ciała K. Wtedy

(·A)(x + y) = ·A(x + y) = · A(x) + A(y) =

= ·A(x) + ·A(y) = ·A (x) + ·A (y),
co oznacza, że ·A jest przeksztaÅ‚ceniem addytywnym.
Podobnie,

(·A)(Å‚x) = ·A(Å‚x) = · Å‚·A(x) =

= (·Å‚)·A(x) = (Å‚·)·A(x) = Å‚· ·A (x),
co oznacza, że przeksztaÅ‚cenie  · A speÅ‚nia drugi warunek homomorfizmu. Tak wiÄ™c przeksztaÅ‚cenie  · A jest
homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń W .
Z powyższych twierdzeń wynika, że można rozpatrywać zbiór wszystkich homomorfizmów jednej przestrzeni
liniowej w drugą, jako pewną strukturę algebraiczną. Okazuje się (jak udowodnimy to poniżej), że zbiór ten ma
strukturÄ™ przestrzeni liniowej.
2
Twierdzenie 3 Zbiór HomK(V , W ), gdzie V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K, stanowi przestrzeń
liniową nad ciałem K.
Dowód polega na sprawdzeniu kolejnych warunków przestrzeni liniowej.
Twierdzenie 4 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A " Hom(V , W )
i B " Hom(W , U ), to
Bć%A " Hom(V , U ).
D o w ó d. Niech x " V , y " V i ł " K. Wtedy
(Bć%A)(x + y) = B(A(x + y)) = B(A(x) + A(y)) =
B(A(x)) + B(A(y)) = (Bć%A)(x) + (Bć%A)(y)
oraz
(Bć%A)(Å‚x) = B(A(Å‚x)) = B(Å‚·A(x)) = Å‚·B(A(x)) = Å‚·(Bć%A)(x),
skąd wynika, że przekształcenie Bć%A jest homomorfizmem.
Twierdzenie 5 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A " Hom(V , W ),
B " Hom(V , W ) oraz C " Hom(W , U ), to
C ć%(A + B) = C ć%A + C ć%B.
D o w ó d. Z warunków homomorfizmu wynika, że dla dowolnego wektora x z przestrzeni V mamy:

C ć%(A + B) (x) = C (A + B)(x) = C A(x) + B(x) =

= C A(x) + C B(x) = (C ć%A)(x) + (C ć%B)(x) = (C ć%A + C ć%B)(x),
co kończy dowód.
Twierdzenie 6 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A " Hom(V , W ),
B " Hom(V , W ) oraz C " Hom(U , V ), to
(A + B)ć%C = Ać%C + Bć%C.
D o w ó d. Z warunków homomorfizmu wynika, że dla dowolnego wektora x z przestrzeni U mamy:

[(A + B)ć%C](x) = (A + B) C(x) = A C(x) + B C(x) =

= (Ać%C)(x) + (Bć%C)(x) = (Ać%C) + (Bć%C) (x),
co kończy dowód.
Twierdzenie 7 Niech V , W i U będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Jeśli A " Hom(V , W ),
B " Hom(W , U ) oraz Ä… " K, to
(Ä…·B)ć%A = Bć%(Ä…·A) = Ä…·(Bć%A).
D o w ó d. Niech x będzie dowolnym wektorem z przestrzeni V . Wtedy


(Ä…·B)ć%A (x) = Ä…·B (A(x)) = Ä…· B A(x) =


= Ä…· Bć%A (x) = Ä…· Bć%A (x)
oraz podobnie


(Ä…·B)ć%A (x) = Ä…·B (A(x)) = Ä…· B A(x) =


= B Ä…·A(x) = Bć% Ä…·A (x),
co kończy dowód.
3
2 Macierz przekształcenia liniowego
W tym paragrafie zajmiemy się zagadnieniem związania przekształcenia liniowego z macierzą. Oczywiście, nie
zawsze tak można uczynić. Taki związek znajdziemy tylko dla przekształceń liniowych skończenie wymiarowej
przestrzeni liniowej w przestrzeń liniową skończenie wymiarową. W związku z tym wszystkie przestrzenie liniowe
rozważane w tym rozdziale będą przestrzeniami skończenie wymiarowymi.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wiemy, że takie przekształcenie liniowe jest jednoznacznie
wyznaczone przez wartości tego przekształcenia dla wektorów bazy. Niech więc V i W będą przestrzeniami liniowymi
nad ciałem K i niech układ (x1, . . . , xn) będzie bazą przestrzeni V , natomiast układ (y1, . . . , ym) będzie bazą
przestrzeni W .
Niech A będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W . Każdy wektor A(xj) można jedno-
znacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów y1, . . . , ym, tzn. istnieją elementy aij ciała K takie,
że
A(xj) = a1jy1 + . . . + amjym, gdy j " {1, . . . , n}.
Otrzymane współczynniki tworzą macierz o m wierszach i n kolumnach
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
.
ðÅ‚ . . . . . . . . . ûÅ‚
am1 . . . amn

Oznaczamy tę macierz symbolem A lub MA lub krótko A. Macierz tę nazywamy macierzą przekształcenia A
Y,X
względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , ym).
Zauważamy, że j-ta kolumna składa się ze współczynników rozwinięcia wektora A(xj) względem bazy (y1, . . . , ym).
Zauważmy, że

Twierdzenie 8 Niech V i V będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz niech

X będzie bazą przestrzeni V , a X  bazą przestrzeni V . Jeśli A " Hom(V , V ), B " Hom(V , V ) i ą " K, to

A + B = A + B

X ,X X ,X X ,X

Ä… · A = Ä… · A

X ,X X ,X
Przykład 1 Niech funkcja A : R3 - R2 będzie określona wzorem

A (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3).
Czy A jest homomorfizmem przestrzeni R3 w przestrzeń R2? Jeśli tak, to znalez
ć macierz tego przekształcenia
względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, x2, x3) i Y = (y1, y2)
oraz
x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0), x3 = 0, 0, 1),
y1 = (1, 0), i y2 = (0, 1).
Niech x i y, gdzie
x = (x1, x2, x3) i y = (y1, y2, y3),
będą dowolnymi wektorami z przestrzeni R3 i ą dowolnym elementem ciała R. Wtedy
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) i Ä…x = (Ä…x1, Ä…x2, Ä…x3).
Zatem

A(x + y) = 2(x1 + y1) + (x2 + y2), (x1 + y1) - 3(x2 + y2) + (x3 + y3) =
4

= 2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3) + 2y1 + y2, y1 - 3y2 + y3 =
= A(x) + A(y).
Podobnie

A(Ä…x) = 2(Ä…x1) + Ä…x2, Ä…x1 - 3(Ä…x2) + Ä…x3 =

= Ä…(2x1 + x2), Ä…(x1 - 3x2 + x3) =

= Ä…· (2x1 + x2), (x1 - 3x2 + x3) = Ä…·A(x).
Udowodniliśmy, że przekształcenie A jest homomorfizmem.
Obliczmy wartości A(x1), A(x2) i A(x3) :

A(x1) = 2·1 + 0, 1 - 3·0 + 0 = (2, 1) = 2·(1, 0) + (0, 1) = 2y1 + y2,

A(x2) = 2·0 + 1, 0 - 3·1 + 0 = (1, -3) = (1, 0) - 3·(0, 1) = y1 - 3y2,

A(x3) = 2·0 + 0, 0 - 3·0 + 1 = (0, 1) = y2.
Z obliczeń tych wynika, że


2 1 0
A = .
Y,X
1 -3 1
W przypadku endomorfizmów (czyli gdy V = W ) przyjmujemy (chyba, że zaznaczymy inaczej), że została

ustalona tylko jedna baza; niech to będzie baza X . W takim przypadku mówimy, że macierz A endomorfizmu
X ,X
(operatora liniowego) A przestrzeni V jest macierzą tego endomorfizmu względem bazy X . Macierz tę oznaczamy

jako A . Macierz takiego przekształcenia jest więc macierzą kwadratową.
X
Twierdzenie 9 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz dim V = n i dim W = m, to prze-
strzeÅ„ Hom(V , W ) jest izomorficzna z przestrzeniÄ… Mm×n(K) wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach.
D o w ó d. Wiemy, że zbiór macierzy Mm×n(K) stanowi przestrzeÅ„ liniowÄ… ze wzglÄ™du na dodawanie macierzy i
mnożenie przez elementy ciała. Niech X i Y, gdzie X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , ym) będą bazami przestrzeni V
i W , odpowiednio. Niech T będzie przekształceniem, które każdemu homomorfizmowi A przestrzeni V w przestrzeń
W przyporzÄ…dkowuje macierz [A]Y,X .

Wtedy T Hom(V , W ) = Mm×n(K). Istotnie, niech aij bÄ™dzie dowolnÄ… macierzÄ… ze zbioru Mm×n(K) oraz
niech
wj = a1jy1 + . . . + amjym, j " {1, . . . , n}.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wynika, że istnieje jedyne przekształcenie liniowe A przestrzeni

V w przestrzeń W takie, że A(xj) = wj dla każdego wskaz
nika j ze zbioru {1, . . . , n}. Oczywiście [A]Y,X = aij ,

czyli T (A) = aij .
Z tego twierdzenia wynika też, że jeśli T (A) = T (B) dla pewnych przekształceń liniowych A i B ze zbioru
Hom(V , W ), czyli dla każdego wektora xj z bazy X spełniony jest warunek A(xj) = B(xj), to A = B.
Udowodnimy teraz, że funkcja T jest homomorfizmem. Niech A i B będą dowolnymi przekształceniami ze zbioru
Hom(V , W ) i ą  dowolnym elementem z ciała K. Jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n b11 . . . b1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
T (A) = . . . . . . . . . ûÅ‚ ðÅ‚ . . . . . . . . . ûÅ‚
i T (B) = ,
ðÅ‚
am1 . . . amn bm1 . . . bmn
to
(A + B)(xj) = A(xj) + B(xj) = (a1j + b1j)·y1 + . . . + (amj + bmj)·ym,
5
gdy j " {1, . . . , n}. Zatem
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 + b11 . . . a1n + b1n
ïÅ‚ śł
T (A + B) = . . . . . . . . . ûÅ‚
=
ðÅ‚
am1 + bm1 . . . amn + bmn
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n b11 . . . b1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= . . . . . . . . . + . . . . . . . . . = T (A) + T (B).
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn bm1 . . . bmn
Ponieważ
(Ä…·A)(xj) = Ä…·A(xj) = (Ä…a1j)·y1 + . . . + (Ä…amj)·ym,
więc
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Ä…a11 . . . Ä…a1n a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł śł
T (Ä…·A) = . . . . . . . . . Ä…·ïÅ‚ . . . . . . . . . Ä…·T (A).
= =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Ä…am1 . . . Ä…amn am1 . . . amn
Twierdzenie 10 Niech U , V i W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K, w
których bazami są:
X = (u1, . . . , un) w przestrzeni U ,
Y = (v1, . . . , vm) w przestrzeni V ,
Z = (w1, . . . , wk) w przestrzeni W .

Jeśli A " Hom(U , V ) i B " Hom(V , W ) oraz A i B są macierzami przekształceń A i B, gdzie
Y,X Z,Y

A = [aij] i B = [bli], to macierz B ć% A przekształcenia Bć%A ma współczynniki clj, gdzie
Y,X Z,Y Z,X
m

clj = bli·aij, gdy l " {1, . . . , k} i j " {1, . . . , n}.
i=1
D o w ó d. Z przyjętego sposobu wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego względem danych baz prze-
strzeni liniowych wynika, że
m

A(uj) = a1j ·v1 + . . . + amj ·vm = aijvi
i=1
oraz
k

B(vi) = b1i·w1 + . . . + bki·wk = bliwl,
l=1
gdzie j " {1, . . . , n} oraz i " {1, . . . , m}.
Składając przekształcenia B i A możemy zapisać
m


(Bć%A)(uj) = B A(uj) = aij ·B(vi) =
i=1

m k k m

= aij · bli·wl = bli·aij ·wl.
i=1 l=1 l=1 i=1
Oznacza to, że współczynnik clj macierzy złożenia przekształceń względem baz X i Z w l-tym wierszu i j-tej
m

kolumnie jest równy bli·aij.
i=1
Powyższe twierdzenie sugeruje, jak powinno być zdefiniowane mnożenie macierzy i w jakich przypadkach.
6
3 Dalsze własności mnożenia macierzy
Przypomnijmy:
Definicja 2 Niech A " Mm×n(K) i B " Mk×m(K). JeÅ›li
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 · · · a1n b11 · · · b1m
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = · · · · · · · · · ûÅ‚ ðÅ‚ · · · · · · · · · ûÅ‚
i B = ,
ðÅ‚
am1 · · · amn bk1 · · · bkm
to iloczynem macierzy B i A nazywamy macierz C taką, że
m
l=1,...,k

C = clj i clj = bli·aij.
j=1,...,n
i=1
"
Macierz tÄ™ oznaczamy symbolem B A.
Element clj tego iloczynu nazywamy iloczynem l-tego wiersza macierzy B przez j-tÄ… kolumnÄ™ macierzy A.
Przykład 2 Niech
îÅ‚ Å‚Å‚

1 2
5 -1 3
ïÅ‚ śł
A = i B = 3 0 ûÅ‚
.
ðÅ‚
4 2 3
-2 1
" "
Obliczyć iloczyny B A i A B.
îÅ‚ Å‚Å‚
1·5 + 2·4 1·(-1) + 2·2 1·3 + 2·3
ïÅ‚ śł
"
B A = 3·5 + 0·4 3·(-1) + 0·2 3·3 + 0·3 =
ðÅ‚ ûÅ‚
(-2)·5 + 1·4 (-2)·(-1) + 1·2 (-2)·3 + 1·3
îÅ‚ Å‚Å‚
13 3 9
ïÅ‚ śł
15
ðÅ‚ -3 9 .
ûÅ‚
-6 4 -3

5·1 + (-1)·3 + 3·(-2) 5·2 + (-1)·0 + 3·1
"
A B = =
4·1 + 2·3 + 3·(-2) 4·2 + 2·0 + 3·1

-4 13
.
4 11
" "
W tym przypadku oba iloczyny A B i B A istnieją, ale nie są równe; co więcej mają różne wymiary. Nawet,
" "
gdy mnożymy macierze kwadratowe A i B o tej samej liczbie wierszy, ich iloczyny A B i B A mogą być różne.
Omówimy teraz kilka podstawowych własności mnożenia macierzy, wynikających z Twierdzenia 8.
Twierdzenie 11 JeÅ›li E jest macierzÄ… jednostkowÄ… stopnia n oraz A " Mm×n(K) i B " Mn×m(K), gdzie m jest
dowolnÄ… liczbÄ… naturalnÄ… dodatniÄ…, to
" "
A E = A i E B = B.

D o w ó d. Niech A = aij i oczywiÅ›cie, E = ´ij , gdzie ´ij jest deltÄ… Kroneckera. Wtedy współczynnik cij
"
macierzy A E, w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma postać:
n

cij = aik ·´kj,
l=1
czyli
cij = aij ·´jj = aij,
"
co dowodzi, że A E = A.
"
Podobnie dowodzi się równości E B = B.
7
Twierdzenie 12 Mnożenie macierzy jest łączne.
D o w ó d. Niech A " Mn×m(K), B " Mm×k(K) i C " Mk×l(K). Zgodnie z twierdzeniem 9 istniejÄ… przeksztaÅ‚-
cenia liniowe A, B i C takie, że
A " Hom(Km, Kn), B " Hom(Kk, Km) i C " Hom(Kl, Kk)
oraz
A = [A], B = [B] i C = [C]
względem baz kanonicznych w odpowiednich przestrzeniach. Wtedy
Ać%(Bć%C) = (Ać%B)ć%C,
zatem dla odpowiadających im macierzy spełniony jest warunek
" " " "
A (B C) = (A B) C.
Podobnie dowodzi się następującej własności:
Własność 1 Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania macierzy (tak z lewej strony jak i z prawej),
to znaczy:
" " "
(B + B ) A = B A + B A,
" " "
B (A + A ) = B A + B A .
Warto teraz przypomnieć macierze transponowane i odnotować odpowiednie własności transponowania macie-
rzy. W rozdziale czwartym zdefiniowaliśmy macierze transponowane w sposób następujący: Jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
A = · · · · · · · · · ,
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn
to
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . am1
ïÅ‚ śł
At = · · · · · · · · · ûÅ‚
.
ðÅ‚
a1n . . . amn
Bez najmniejszego trudu możemy udowodnić następujące twierdzenie:
Twierdzenie 13 JeÅ›li A " Mm×n(K), B " Mm×n(K) i Ä… " K, to
t
At = A, (A + B)t = At + Bt i (Ä…·A)t = Ä…·At.
Twierdzenie 14 JeÅ›li A " Mm×l(K), B " Ml×n(K) i Ä… " K, to

" " " " "
A B)t = Bt At, (Ä…·A) B = Ä…·(A B) = A (Ä…·B).
D o w ó d. Załóżmy, że

"
A = aij , B = bjk , A B = fik
oraz

" "
At = cji , Bt = dkj , (A B)t = gki i Bt At = hki .
Wtedy
cji = aij, dkj = bjk, gki = fik
8
oraz
l l

fik = aij ·bjk i hki = dkj ·cji.
j=1 j=1
Wynika stÄ…d:
l l l

hki = dkj ·cji = bjk ·aij = aij ·bjk = fik = gki,
j=1 j=1 j=1
" "
a stąd wynika równość (A B)t = Bt At.
A
atwiej dowodzimy drugiej równości. Z równości
ëÅ‚ öÅ‚
l l l

íÅ‚
Ä…·fik = Ä… · aij ·bjkÅ‚Å‚ = (Ä…·aij)·bjk = aij ·(Ä…·bjk)
j=1 j=1 j=1
wynikają równości
" " "
(Ä…·A) B = Ä…·(A B) = A (Ä…·B).
9