Wydano za zgodÄ… Rektora
Materiały pomocnicze do zajęć z przedmiotów
 mechanika techniczna i  mechanika ogólna
dla studentów kierunków:
zarzÄ…dzanie i in\
ynieria produkcji, transport
nierecenzowane
W procesie wydawniczym pominięto
etap opracowania językowego.
Wersja elektroniczna materiałów
została przygotowana przez Autorów.
mechanika ogólna
statyka
kinematyka
dynamika
Wszelkie prawa zastrze\
one.
śaden fragment publikacji nie mo\
e być powielany
w jakiejkolwiek formie.
ISBN 978-83-7199-854-6
Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej
al. Powstańców Warszawy 12, 35-959 Rzeszów
e-mail: [e-mail]
2
SPIS TREÅšCI
STATYKA
Zadanie nr 1 ...................................................................................................................... 5
Zadanie nr 2 ...................................................................................................................... 9
Zadanie nr 3 ...................................................................................................................... 13
Zadanie nr 4 ...................................................................................................................... 17
Prawa tarcia
Zadanie nr 5 ...................................................................................................................... 22
KINEMATYKA
Zadanie nr 6 ...................................................................................................................... 26
Zadanie nr 7 ...................................................................................................................... 29
Zadanie nr 8 ...................................................................................................................... 33
DYNAMIKA
Zadanie nr 9 ...................................................................................................................... 38
Zadanie nr 10 .................................................................................................................... 40
Zadanie nr 11 .................................................................................................................... 43
Zadanie nr 12 .................................................................................................................... 45
3
4
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
STATYKA
Zadanie nr 1
Wyznacz reakcje więzów nało\
onych na belkÄ™.
Dane: l [m]; Ä… [rad]; F [N].
Belka podparta w punkcie A współpracuje przegubowo z bryłą 2 w punkcie B.
RozwiÄ…zanie graficzne:
Z danych wynika, \
e bryłę nr 2 mo\
na potraktować jako pręt lub cięgno.
W pierwszym kroku przyjmuje się układ odniesienia. Mamy do czynienia z układem
sił na płaszczyz
nie. Na belkę działa 3 siły (reakcja podpory stałej w punkcie A,
reakcja pręta w punkcie B i siła zewnętrzna ). Układ będzie w równowadze, gdy
będzie spełniał twierdzenie o trzech siłach. Szukamy punktu zbie\
ności.
5
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Poniewa\
linie działania siły i reakcji pręta 2 przecinają się w punkcie K, to aby
otrzymać układ sił zbie\
nych linia działania reakcji podpory w punkcie A musi
przecinać punkt K.
Siły muszą tworzyć trójkąt zamknięty. Z warunku tego otrzymuje się zwroty reakcji w
punktach A i B (patrz rozwiÄ…zanie graficzne).
W przypadku wykonania rozwiÄ…zania graficznego w odpowiedniej skali, z pomiaru
długości wektorów sił i otrzymuje się wartości tych\
e reakcji (po uwzględnieniu
współczynnika skali).
RozwiÄ…zanie analityczne:
W tym zadaniu do rozwa\
enia jest równowaga statyczna belki 1, równowaga
statyczna pręta 2 współpracującego dodatkowo z podporą stałą w punkcie C.
Z poprzednich rozwa\
ań wiadomo, \
e układ sił działających na belkę 1 tworzy
zbie\
ny układ sił.
Po uwolnieniu od więzów otrzymuje się belkę z układem sił zbie\
nych oraz punkt
charakterystyczny C, na który działa reakcja pręta 2 oraz reakcje podpory i .
6
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Punkt C
Wprowadzamy kÄ…t ² (kÄ…t pochylenia reakcji do kierunku poziomego.
Równania równowagi statycznej układu sił działających na belkę 1 (dwa równania):
1) 0
2) 0
Równanie równowagi pręta 2:
3)
Równania równowagi statycznej punktu C (dwa równania):
4) 0
5) 0
Wyznaczamy wartość kÄ…ta ² w funkcji danych. Z porównania trójkÄ…tów prostokÄ…tnych
AKM i BKM będzie:
7
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Z powy\
szych wielkości wynika, \
e
3
co daje zale\
noÅ›ci na kÄ…t ²
1 1
6
3 3
Z rozwiązania poszczególnych równań będzie:
(1)
(2)
Po przekształceniach:
Wiadomo, \
e sin
czyli
sin
Po uwzględnieniu (1) będzie:
sin
oraz:
(3)(4)
sin
(2)(5)
sin
8
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 2
Ułó\
równania równowagi statycznej układu, następnie wyznacz reakcje więzów
układu. Podaj charakter pracy prętów.
Dane: układ prętowy opisany na sześcianie o boku a [m] F1, F2 [N].
W punktach A i B pręty współpracują przegubowo, w pozostałych punktach pręty
współpracują z podporami stałymi.
Przyjmujemy układ współrzędnych. Uwalniamy od więzów. Korzystnie jest przyjąć
taki sam charakter pracy wszystkich prętów układu. Przykładowo zakładamy, \
e
wszystkie pręty pracują na rozciąganie.
9
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Otrzymujemy układy sił zbie\
nych odpowiednio w punktach A, B, C, D, E. Dla
ka\
dego takiego układu nale\
y uło\
yć trzy równania równowagi statycznej.
Równowaga statyczna punktu A:
2
"
1) 0
2
2) 0
2
"
3) 0
2
Równowaga statyczna punktu B:
2
"
4) 0
2
2
"
5) 0
2
10
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
6) 0
Równowaga statyczna punktu C:
7) 0
8) 0
9) 0
Równowaga statyczna punktu D:
2
"
10) 0
2
2
"
11) 0
2
12) 0
Równowaga statyczna punktu E:
2
"
13) 0
2
14) 0
2
"
15) 0
2
Równowaga statyczna prętów:
16) ; ; ; ; ;
11
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
W pierwszej kolejności wyznaczamy wartości reakcji prętów.
Rozwiązujemy więc równania (1)-(6):
(3)
" - pręt ściskany
2
(2) 0- pręt zerowy
"
(1)
- pręt rozciągany
(6) - pręt ściskany
(16)(4)
" "
2 2 - pręt ściskany
"
(16)(5)
- pręt rozciągany
W dalszej kolejności wyznaczamy składowe reakcji podpór. Rozwiązujemy równania
(7)-(15):
(7) 0
(16)(8)
(9) 0
2
"
(16)(10)

2
2
"
(16)(11)

2
(12) 0
"
(16)(13)
- pręt ściskany
(14) 0
2
"
(16)(15)

2
12
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 3
Ułó\
równania równowagi statycznej układu, następnie wyznacz wartości reakcje
więzów nało\
onych na układ.
Dane: Ä… [rad], ² [rad], l [m], M [Nm], q [N/m], F1 [N], F2 [N];
G1 [N], G2 [N], G3 [N] - ciÄ™\
ary własne.
Układ składa się z trzech ciał. Belka 1 jest podparta w punkcie C podporą ruchomą i
współpracuje przegubowo z belką zakrzywioną 2. Belka 2 jest utwierdzona w punkcie
A. Do przegubu B przymocowana jest lina, na której zawieszony jest bloczek 3.
Układ sił działających na belkę 1 i 2 stanowi płaski dowolny układ sił.
Przyjmujemy skald odniesienia i uwalniamy od więzów. Obcią\
enia rozło\
one
zamieniamy na siły skupione. Przyjmuje się jednorodny rozkład cię\
aru na jednostce
długości w ka\
dej belce.
3
2
13
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Bryła 1:
W przypadku bryły 2 korzystnie jest rozło\
yć cię\
ar na dwie składowe zaczepione w
środkach długości odcinków prostoliniowych belki.
Długość całkowita belki 2 wynosi 8l. Wprowadzamy wielkość odzwierciedlającą
rozkład cię\
aru bryły 2 na jednostkę długości ; musi być spełniony warunek
gdzie:
5
5
8
3
5
8
Bryła 2:
14
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Bryła 3:
Z uwolnienia od więzów liny 3 pojawia się reakcja liny działająca na przegub B.
Reakcję tą przykładamy do jednej z brył (nie do obu jednocześnie), np. do bryły 1.
Równania równowagi statycznej sił działających na bryłę 1:
1) 0
2) 0
3
3) 2 2 0
2
4) ;
Równania równowagi statycznej sił działających na bryłę 2:
5) 0
6) 0
7) 2 2 4 4 2 4 3 0
Równania równowagi statycznej sił działających na bryłę 3:
8) 0
Równowaga statyczna liny:
15
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
9)
Rozwiązanie równań:
(9)(8)
1 3
(3)
2
2 2
1
(2)
1 2
2
4
(1)
2
2
4
(4)(5)
2
2
4
(4)(6)
1 3
2 2 4
(7) 2 2 4 4 2 4 3
5
2 2 2 3 4 2 3
4
16
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 4
Ułó\
równania równowagi statycznej układu, następnie wyznacz reakcje więzów
układu.
Dane: płyta kwadratowa 1 o boku l [m] pochylona pod katem ą [rad] do płaszczyzny
xy; M [Nm], G1 [N], AD=l [m].
Poniewa\
dany jest tylko ciÄ™\
ar płyty 1 to bryłę 2 traktujemy jako pręt.
Wprowadzamy wszystkie siły działające i uwalniamy od więzów.
17
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
PÅ‚yta 1 punkcie A swobodnie podparta, w punkcie B Å‚o\
ysko poprzeczne, w punkcie
C współpracuje przegubowo z prętem 2.
W celu wyznaczenia rzutów reakcji prÄ™ta wprowadza siÄ™ dodatkowe kÄ…ty ² i Å‚.
Układ sił działających na płytę 1 stanowi przestrzenny dowolny układ sił, w punkcie D
mamy do czynienia z przestrzennym zbie\
nym układem sił.
"
2
4 4 2
Równania równowagi statycznej układu sił działających na płytę:
1) 0
2) 0
3) 0
18
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
1 "
2
4) 0
2 2
1 "
2
5) 0
2 2
2
"
6) 0
2
Równowaga statyczna pręta 2:
7)
Równania równowagi statycznej punktu D:
8) 0
9) 0
10) 0
Wyznaczamy wprowadzone kÄ…ty ² i Å‚ w funkcji danych.
Pierwszy trójkąt (ściana dolna prostopadłościanu)

lub inne podejście:
1
19
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
1
"1 "1
"1 "1
Drugi trójkąt
"1
1 1

"1 "1
lub inne podejście:
1 1 1 2 1
"3 2
1
3 2 3 2
" "
"1 1
3 2
3 2
"
Reakcje więzów:
2
"
(6)
2
1 "
2
(5)
2 2
20
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
2
"
2
1 "
2
(4)
2 2
1 "
2
"2
2
(3)
1 "
2
"2
2 2 2
(2)
"2
2
(1)
2
"
"2
2 2
21
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Prawa tarcia
Zadanie nr 5
Wyznacz maksymalną wartość momentu M, jaką mo\
na przyło\
yć do ciała 2, nie
naruszając równowagi statycznej układu.
Dane: r [m], f [m], µ, G1 [N], G2 [N], G3 [N].
Szukane: Mmax
Zakładamy, \
e ciało 2 wykazuje tendencję toczenia się bez poślizgu po równi
pochyłej.
Przyjmujemy układ odniesienia, wprowadzamy siły zewnętrzne działające i
uwalniamy od więzów z uwzględnieniem warunków tarcia.
22
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Przy zało\
eniu, \
e działa M=Mmax układ wykazuje tendencję poruszania się
wszystkich ciał  do góry . W obszarze współpracy ciała 1 z równią pochyłą występuje
tarcie posuwiste, w obszarze współpracy ciał 1 i 2 występuje tarcie posuwiste, w
obszarze współpracy ciała 2 z równią występuje tarcie toczne, w obszarze
współpracy liny z ciałem 4 występuje tarcie cięgna.
Kolejny etap to formułowanie równań równowagi statycznej układu.
Równania równowagi statycznej ciała 1 układu (na ciało działa trzy siły
nierównoległe)
1) 0
3
2) 0
3
3) ;
23
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Równania równowagi statycznej ciała 2 układu (na ciało działa płaski dowolny układ
sił)
4) 0
3
5) 0
3
6) 0
7) ;
KÄ…t opasania ; zale\
ność Eulera w tym przypadku wynosi:
8)
Równowaga cięgna:
9)
Równowaga ciała 3 (przyjmujemy dodatkową oś u):
10) 0
Wyznaczamy wartość Mmax:
(6)
"
Wiadomo, \
e oraz
Po uwzględnieniu (7) (3) i pomno\
eniu równania (2) przez µ ukÅ‚ad równaÅ„ (1) (2)
przyjmuje postać:
3
"
0
2
1
0
2
Z równań tych otrzymuje się:
3
"
1 0
2
3
"
2 1
Dalej będzie:
24
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
(10)
(8)(9)
3
"
(4)
2
3 3
" "
2 2 1
3
"
(7)
2 1
1
(5)
2
1 "
3
2 2 1
Po podstawieniu do (6) będzie:
3 3
" " 1
2 1 2 1 2
3 3
" "
2 1 2
Po uporzÄ…dkowaniu otrzymuje siÄ™:
3 3
" " 1
"3
2 1 2 1 2
25
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
KINEMATYKA
Zadanie nr 6
Dane są parametryczne równania ruchu punktu:
2
4 2
Wyznacz:
a) tor ruchu punktu,
b) prędkość chwilową,
c) współrzędną krzywoliniową (drogę),
d) przyspieszenie chwilowe,
e) promień krzywizny.
Poka\
te wielkości graficznie dla chwili czasu t=1[s].
Ad. a) tor ruchu
Po podniesieniu do kwadratu pierwszego równania otrzymuje się:
4
I po podstawieniu do drugiego równania będzie:
4 2
Równanie toru ruchu punktu (krzywa to parabola  skierowana gałęziami do góry )
Wyznaczamy poło\
enie poczÄ…tkowe (t=0[s])
0 0; 0 2; 0 2
Ad. b)Prędkość chwilowa
  
2; 8

4 64
lub
2 1 16
26
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Ad. c)Współrzędna krzywoliniowa (droga)
2 1 16
Czyli po wykonaniu operacji całkowania będzie:
1
4 1 16 ln 4 1 16
4
Ad. d) Przyspieszenie chwilowe:
 
0; 8

8
Ad. e) Promień krzywizny:
32
"1 16
32
64
1 16
64
1 16
4 1 16
"
1
1 16
2
Dla chwili czasu t=1 [s]:
27
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
1 2; 1 2;
1 2"17
1
1 4"17 ln 4 "17
4
1 8
32
17
"
8
17
"
1
17
2
28
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 7
Wyznacz prędkość, współrzędną krzywoliniową (drogę) oraz przyspieszenie punktu
M mechanizmu.
Dane:
2 4
,
3 3
 współrzędna kątowa
p=const
Zakładamy współpracę ciał bez poślizgu
Prędkość kątowa ciała 1:

Z warunku współpracy bez poślizgu wynika, \
e:
  
29
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Ze względu na ciało 1 będzie:
 
2
3
Ze względu na ciało 2:
 
Z warunku współpracy bez poślizgu:
4 2

3 3
1
2
Prędkość punktu M:
 
2
3
Współrzędna krzywoliniowa (droga):
2
3
2 1
3
Czyli:
2
3
Przyspieszenie punktu M:
 

30
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
1
2
Znak minus wykorzystujemy do ustalenia zwrotu przyspieszenia względem prędkości
kÄ…towej.
2
3
 
1
3
2 1
3 3
1
4
3
2
W dalszej kolejności wyznaczamy pozostałe parametry kinematyczne kątowe ciał
oraz przyspieszenie liniowe punktu D mechanizmu:
31
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

Znak minus informuje nas o zwrocie przyspieszenia przeciwnym względem prędkości
kÄ…towej.
1 1 1
2 2
1
2
Przyspieszenie punktu D ciała 1:
  ; ;
 ; ;
2
3
Przyspieszenie punktu D ciała 2:
  ; ;
 ; ;
1
4
3
Warunek współpracy bez poślizgu w odniesieniu do przyspieszenia przyjmuje postać:
oraz
32
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 8
Wyznacz prędkość i przyspieszenie pkt. D mechanizmu w poło\
eniu chwilowym
pokazanym na rys.
1  ciało w ruchu obrotowym
2  ciało w ruchu płaskim
3  ciało w ruchu postępowym
Dane:
"
3
; ; ;
3
Szukane: ,
Zaczynamy od punktu A
33
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Ze względu na ciało 1:
C2  chwilowy środek obrotu ciała 2
Geometria układu:
2
3
"3
3
(du\
y trójkąt)
4
3
2 "3
3
3
Ze względu na ciało 2
" 3
1
3
3
34
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Prędkość punktu D:
3
"
2
3
9
4
39
"
2
1 39
"
3 2
39
"
6
Przyspieszenie chwilowe punktu D:
Zaczynamy od punktu A:
3
"
3
2 3
"
3
W dalszej kolejności szukamy przyspieszenia kątowego ciała 2. Bierzemy pod uwagę
drugi punkt ciała 2, o którego ruchu coś wiemy. Takim punktem jest punkt B (porusza
się ruchem postępowym).
" ?
"3 ?
?
"
35
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
1
"3
3
3
"
9
Podstawowe równanie wektorowe przyspieszenia w punkcie B:
Znany jest kierunek przyspieszenia i natomiast nie znane są wartości tych
przyspieszeń.
Pozostałe przyspieszenia są znane co do kierunku i wartości. Rzutujemy równanie
wektorowe dla na osie układu xy.
3 6
0
3 6
W drugim z powy\
szych dwóch równań występuje jedna niewiadoma. Będzie więc:
3 3 6
3 3 3 3
" " " "
"3
2 2 3 9
Po dalszych przekształceniach będzie:
5 3
"
27
Wartość przyśpieszenia jest dodatnia, znaczy to, \
e przyjęty zwrot jest właściwy i
przyśpieszenie kątowe ma przeciwny zwrot do prędkości kątowej .
W dalszej kolejności wyznaczamy przyśpieszenie pkt. D
Metoda podstawowa, wykorzystujemy punkt A.
36
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Podstawowe równanie wektorowe przyspieszenia w punkcie D:
;
"
;
Nie znane jest tylko przyspieszenie w punkcie D. Przewidujemy je jako dwie
prostopadłe do siebie składowe. Rzutujemy równanie wektorowe dla na osie
układu xy:
3 6
3 6
Po podstawieniu będzie:
17
18
3
"
6
17 3 3
"
3 2
"
37
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
DYNAMIKA
Zadanie nr 9
Ciało porusza się po równi pochyłej o kącie pochylenia ą. Wyznacz czas potrzebny
do przebycia drogi s przez ciało. Warunki początkowe zerowe.
Dane: m [kg], Ä… [rad], µ  współczynnik tarcia, G [N]  siÅ‚a ciÄ™\
kości, F [N], s [m].
Warunki poczÄ…tkowe zerowe: 0 0, 0 0
Przyjmujemy układ odniesienia i wprowadzamy siły działające.
Formułujemy dynamiczne równania ruchu ciała. Ruch odbywa się na kierunku osi x:
1)
2) 0
3)
W pierwszej kolejności wyznaczamy przyspieszenie ciała z równania (1).
Wyznaczamy wszystkie nieznane siły w równaniu (1).
38
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
(2)
(3)
(1)
czyli będzie:

Otrzymaliśmy równanie ró\
niczkowe. Po scałkowaniu będzie:

1
2
gdzie i to stałe całkowania, które wyznaczamy z warunków początkowych.
Warunki poczÄ…tkowe zerowe:
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0
i ostatecznie będzie:
1
2
Ciało po jakimś czasie przebędzie drogę s czyli:
1
2
Czas przebycia zadanej drogi:
2
39
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 10
Wyznacz odległość z w jakiej nale\
y ustawić chwytak aby punkt materialny o masie
m, poruszający się zgodnie z zadanymi warunkami ruchu, trafił do chwytaka.
Dane: m [kg], µ, Ä… [rad], k [N/m]  staÅ‚a sprÄ™\
yny, f [m]  ugięcie statyczne sprę\
yny,
H [m], h [m], l [m], g [m/s2]  przyspieszenie ziemskie.
Szukane: z=?
Zadanie rozwiÄ…\
emy dwuetapowo. W pierwszym etapie opiszemy ruch masy w
prowadnicy z wykorzystaniem twierdzenia o energii dla punktu materialnego.
Rozpatrujemy dwa poło\
enia:
1  punkt materialny rozpoczyna ruch,
2  punkt materialny opuszcza prowadnicę z prędkością  , którą wyznaczymy.
Twierdzenie o energii:
40
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
0 - energia kinetyczna w pierwszym poło\
eniu
- energia kinetyczna w drugim poło\
eniu
- praca przejścia z poło\
enia 1 do poło\
enia 2 wykonana
przez siłę reakcji sprę\
yny, siłę cię\
kości i siłę tarcia wynikającą z ruchu po
chropowatym odcinku prowadnicy.
W celu wyznaczenia siły tarcia wprowadzamy dodatkową oś u prostopadłą do
chropowatego odcinka toru. Na kierunku osi u punkt materialny siÄ™ nie przemieszcza,
będzie więc:
0
czyli będzie:
Po wstawieniu do twierdzenia o energii będzie:
1 1
2 2
co po przekształceniach mo\
na doprowadzić do postaci:
2
W kolejnym etapie opisujemy ruch punktu od momentu opuszczenia prowadnicy
(tzw. rzut ukośny) w układzie współrzędnych prostokątnych xy z wykorzystaniem II
prawa Newtona.
Warunki poczÄ…tkowe bierzemy z poprzedniego etapu tzn.
41
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
0 ; 0 ; 0 ; 0 0
Opór ośrodka pomijamy, na masę działa tylko siła cię\
kości G.
Dynamiczne równania ruchu punktu w układzie xy przyjmują postać:
0

po podzieleniu przez m będzie:
0

Całkujemy powy\
sze równania:


1
2
gdzie , , , to stałe całkowania, które wyznaczamy z warunków
poczÄ…tkowych.
Warunki poczÄ…tkowe:
0
0 0 0 0
czyli będzie
0
i równania opisujące zjawisko przyjmują postać
1
2
Do wyznaczenia pozostaje jeszcze odległość z.
Po czasie będzie
0 i
co po wstawieniu do powy\
szych równań daje zale\
ności
0
1 2

2
czyli będzie
2 2
42
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 11
Wyznacz reakcje w punkcie A układu.
Dane: r [m], m1 [kg], m2 [kg], µ1 [rad/s2]
Zało\
enia:
- lina jest nierozciÄ…gliwa,
- ciało 2 porusza się na kierunku pionowym.
Przy tych zało\
eniach układ posiada 1 stopień swobody. Do rozwiązania zadania
wykorzystamy twierdzenie o ruchu środka masy układu.
Wprowadzamy siły działające i uwalniamy od więzów zewnętrznych.
43
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Ze względu na ruch w płaszczyz
nie, będzie:


Środek masy ciała 1 jest w punkcie A więc:
0
0
Ciało 2 wykonuje ruch pionowy więc:
0
oraz

będzie więc:
0
44
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Zadanie nr 12
KrÄ…\
ek hamulca klockowego obraca siÄ™ ze staÅ‚a prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É0. W pewnym
momencie rozpoczyna siÄ™ hamowanie krÄ…\
ka. Wyznacz czas hamowania.
Dane: m1 [kg], m2 [kg], R1=2r [m], r1=r, l[m], É0 [rad/s], M [Nm], H [N]  siÅ‚a hamujÄ…ca,
µ, ² [rad]
Ciało 1 jest w ruchu obrotowym, ciało 2 w ruchu postępowym na kierunku pionowym,
dz
wignia 3 pozostaje w równowadze statycznej, układ posiada 1 stopień swobody.
Przyjmujemy układ współrzędnych i uwalniamy od więzów.
45
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Rozpoczynamy opis ruchu od momentu rozpoczęcia hamowania.
Dynamiczne równania ruchu ciała 1:
1) 2
2) 0
3) 0
4)
5) ;
Dynamiczne równania ruchu ciała 2:
6)
7)
Równania równowagi statycznej ciała 3:
46
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
8) 0
9) 0
10) 3 0
Zale\
ności kinematyczne:
11)

Moment bezwładności (wzór definicyjny):
1
2
W pierwszej kolejności wyznaczamy przyspieszenie kątowe . W równaniu (1)
mamy dwie niewiadome, które wyznaczamy.
(6)(7)
(11)
(10)(5) 3
(4) 3
1
(1)
6
2
1
2 6
2
Przyspieszenie kątowe ciała 1:
2 6

2
Po operacji całkowania będzie:
2 6

2
6
2
47
dr in\
. Stanisław Noga
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn
Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna
Warunki poczÄ…tkowe:
0 0
0
0
0 0 0
Ostatecznie po uwzględnieniu stałych całkowania, będzie:
6
2
Wyznaczamy czas hamowania, czyli dla chwili czasu , będzie , 0, czyli
2 6
0
2
2
2 6
Od momentu rozpoczęcia hamowania krą\
ek opóz
nia czyli będzie
2
2 6
Warunek zatrzymania krÄ…\
ka
6 0
6
Warunek na wartość siły hamującej:
6
48