Statystyka
- zbiór metod służących pozyskiwaniu,
prezentacji oraz analizie danych.
Podstawowe zadanie statystyki: analiza i
interpretacja danych
Współautorką poniższych slajdów jest
dr Katarzyna Kocot-Górecka
Zbiorowość statystyczna
Zbiorowość generalna (populacja
generalna) - kompletny zbiór elementów
lub wyników procesu.
�� populacja generalna skończona,
�� populacja generalna nieskończona
Cechy statystyczne
Typy cech statystycznych
cechy mierzalne: posiadające charakter
ilościowy,
o charakterze ciągłym
o charakterze skokowym (dyskretnym)
cechy niemierzalne: posiadające charakter
jakościowy
Metody statystyczne:
" statystyka opisowa - syntetyczny
liczbowy opis właściwości zbioru danych
" wnioskowanie statystyczne
statystyka matematyczna
Losowy dobór próby
" każda jednostka populacji generalnej ma
dodatnie znane prawdopodobieństwo
znalezienia się w próbie,
Losowanie proste: wszystkie elementy mają
jednakowe prawdopodobieństwo dostania się
do próby i prawdopodobieństwo dostania się do
próby poszczególnych elementów nie zmienia
się w trakcie losowania.
Rozkład empiryczny cechy
przyporządkowanie
" dane indywidualne
" xj - wartości cechy, gdzie j=1,2,...,n ;
n  liczebność
"
" dane pogrupowane
xi, ni dla i= 1, 2, ... , k, gdzie k < n
Rozkład empiryczny cechy
skokowej
xi - cecha przyjmuje k wartości, dla i= 1,2, ... ,k,.
gdzie ..,k (1Ł�kni - liczba jednostek zbiorowości, dla których
cecha przyjmuje wartość xi,
r
ni =� n
��
przy czym zachodzi: ,
i=�1
wi - udział jednostek o wartości xi cechy w ogólnej
liczebności zbiorowości, czyli częstość
względna (częstość jej występowania w ogólnej
zbiorowości) określana jako:
r
ni
wi =�1
��
wi =�
i =� 1,2,..., k
; ,oraz
n
i=�1
Szereg rozdzielczy
Wartości cechy Dystrybuanta
Liczebności Częstości
empiryczna
xi
ni wi
Fn(xi) = S� ws
x1 n1 w1 w1
x2 n2 w2 w1+w2
x3 n3 w3 w1+w2+ w3
. . . .
. . .
xk nk wk w1+ ... +wk =1
Ogółem n 1
-------
Rozkład empiryczny cechy ciągłej
podział obszaru zmienności cechy na
przedziały klasowe
określenie liczby przedziałów klasowych k
(kŁ�5),
ustalenie rozpiętości przedziału klasowego hi:
i =� 1,2,..., k
hi =� x1i -� x0i
x0i, x1i - odpowiednia dolna i górna granica
przedziału klasowego.
Dystrybuanta empiryczna cechy X
" jest to funkcja Fn (x) określona na zbiorze liczb
rzeczywistych w następujący sposób:
0 dla x < x1
i
dla xi Ł� x <� x
i+1
��ws
s=�1
Fn (x) =
1 dla xi ł� x k
gdzie (i=1, 2,. .,k-1)
własności dystrybuanty:
1) Fn (xó� ) ł� Fn (x ), dla x ó� > x
�� �0 Ł� Fn (x) Ł� 1
Opis rozkładu empirycznego
charakterystyki rozkładu
�� miary położenia rozkładu
�� miary zróżnicowania
�� miary asymetrii
Średnia arytmetyczna (miara klasyczna):
dane indywidualne ,
n
1
formuła nieważona x =�
��x
j
n
j =�1
w rozkładzie cechy skokowej, dane pogrupowane,
k
1
formuła ważona x =�
��x n
i i
n
i =�1
w rozkładzie z przedziałami klasowymi,
k
1
&�
formuła ważona x �
��x n
i i
n
i =�1
o
o
xi1 +� xi0
xi =�
x - środek i-tego przedziału klasowego
2
Miary pozycyjne
" kwantyl rzędu p �� (0 < p <1) �� w
rozkładzie empirycznym to taka wartość
kp cechy, dla której - jako pierwszej -
dystrybuanta empiryczna spełnia
warunek:
" Fn (kp) ł� p
" mediana �� to środkowa wartość w uporządkowanym
rosnąco zbiorze wartości cechy.
dane indyw idualne
x
n +� 1
2
m e =
x +� x
n n
+� 1
2
2
2
M ediana w rozkładzie cechy skokow ej - pierw sza
w artość cechy xi , dla której jest spełniony
w arunek
F (xi) ł� 0,5
n
M ediana w rozkładzie z przedziałam i klasow ym i
(interpolacja)
h
m
me =� x +� (0,5 - Fn (x ) )
o m o m
w
m
kwartyle �� Q1 , Q2 , Q3
w rozkładzie cechy skokowej
Fn (Q1 ) ł� 0,25;
Q2=me;
Fn (Q3 ) ł� 0,75
dominanta �� w rozkładzie empirycznym to taka wartość
cechy, której odpowiada największa liczebność (częstość)
w rozkładzie cechy skokowej
do = xk dla której:
nk = max { ni } lub wk = max { wi }
w rozkładzie cechy ciągłej
nd -� nd -�1
do =� nd +� hd
(nd -� nd -�1) +� (nd -� nd +�1)
Klasyczne miary zróżnicowania
wariancja �� z próby, to suma kwadratów odchyleń wartości
cechy od jej średniej podzielona przez n-1
" dane indywidualne, formuła nieważona
n
2 2
1
-�x) ��
S =�
��(xj
n-�1
j =�1
n
2 2
1
S =� ( xj 2 -�n(x) )
��
n-�1
j =�1
" w rozkładzie cechy skokowej, formuła ważona
k
2 2
1
S =� -�x) ni ��
��(xi
n-�1
i =�1
k
2 2
1
n
�� S =� ( xi 2 -�n(x) )
��
i
n-�1
i =�1
" odchylenie standardowe ��
2
S =� S
" typowy obszar zmienności cechy
x-�S Ł� xtyp Ł� x+�S
(miary pozycyjne)
" rozstęp = xmax  xmin
" rozstęp międzykwartylowy �� I = Q3 - Q1
" odchylenie ćwiartkowe ��
Q3-�Q1
Q=�
2
Miary względne
współczynnik zmienności (miara klasyczna )
S
V =� *100%
x
współczynnik zmienności (miara pozycyjna )
Q
V =�
me*100%
rozkład symetryczny rozkład prawostronny
x =� me =� do x >� me >� do
rozkład lewostronny
x <� me <� do
Miary asymetrii
m�3
współczynnik asymetrii (miara klasyczna)
A=�
S3
3
m� =�1��(x -�x)
gdzie
3
n
j
dla danych indywidualnych, formuła nieważona
n
3
M3=�1 ��(x -�x)
n
j
j =�1
w rozkładzie cechy skokowej, formuła ważona
n
3
M3 =�1 ��(x -�x) *ni
n
i
j =�1
w rozkładzie z przedziałami klasowymi, formuła
ważona
n
3
&�
M3 �1 ��(x -�x) *ni
n
i
j =�1