Zmienna losowa i jej rozkład
Współautorką poni\
szych slajdów
jest
dr Katarzyna Kocot-Górecka
ZMIENNA LOSOWA
Def., Zmienną losową jest zmienna,
która przyjmuje ró\
ne wartości
liczbowe, wyznaczone przez los.
(A.D. Aczel )
Jest to niepewność!!!
" Wynik rzutu kostką do gry (liczba oczek)
" Utarg w supermarkecie
" Wartość WIG
" Zu\
ycie paliwa przez samochód na trasie
Ideę prawdopodobieństwa stosujemy
wtedy, gdy nie mamy pewności.
Rachunek
prawdopodobieństwa zajmuje
sie analizą praw rządzących
zdarzeniami losowymi.
Pojęciami pierwotnymi są:
" zdarzenie elementarne �
" zbiór zdarzeń elementarnych &! .
Pierre Simon de Laplace
(1749-1827)
Definicja prawdopodobieństwa
(klasyczna) Laplace'a (1812)
" Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy
iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby
wszystkich mo\
liwych przypadków, zakładając, \
e
wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są
jednakowo mo\
liwe.
Jedna kostka do gry
Prawdopodobieństwo wyrzucenia 6 oczek?
P(6)=1/6
Prawdopodobieństwo geometryczne
G.L.L.Buffon
G.L.Buffon
Definicja klasyczna nie pozwala obliczać
(1707-1788)
prawdopodobieństwa w przypadku, gdy zbiory A i &!
są nieskończone (ciągłe), jeśli jednak zbiory te mają
interpretację geometryczną, zamiast liczebności
zbiorów mo\
na u\
yć miary geometrycznej
zbiorów mo\
na u\
yć miary geometrycznej
(długość, pole powierzchni, objętość).
t
T
Przykład
Dwie osoby mogą przyjść na spotkanie w ka\
dej
chwili z przedziału [0, 4]. Obliczyć
prawdopodobieństwo, \
e jedna z tych osób nie
będzie musiała czekać na druga dłu\
ej ni\
2 min.
2
2
4
Statystyczna definicja prawdopodobieństwa
np. rzut monetą
Je\
eli przy wielokrotnym powtarzaniu doświadczeń,
umo\
liwiających wystąpienie zdarzenia A, częstość
(względna liczebność) tego zdarzenia oscyluje w miarę
zwiększania liczby doświadczeń z coraz mniejszą amplitudą
wokół pewnej liczby p, to liczba ta nazywa się
prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A.
Typy zmiennych losowych
" Def. Zmienna losowa X jest typu skokowego,
Def. typu skokowego
Def. typu skokowego
Def. typu skokowego
jeśli mo\
e przyjmować skończoną lub
nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
" Def. Zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeśli
Def. typu ciągłego
Def. typu ciągłego
Def. typu ciągłego
jej mo\
liwe wartości nale\
ą do przedziału ze
zbioru liczb rzeczywistych.
Przykład: Do tarczy oddaje się w sposób niezale\
ny 3 strzały.
Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę p=1/2;
X  liczba trafień w tarczę
Zdarzenia elementarne:
PPP, PPT, PTP, TPP, TPT, TTP, PTT, TTT
Zmienna losowa: liczba trafień
xi 0 1 2 3
pi 1/8 3/8 3/8 1/8
n
Wykres funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X n
p
"pi =1
3/8 . .
i =1
1/8 . .
0 1 2 3 x
Rozkład zmiennej losowej skokowej
= funkcja prawdopodobieństwa
to uporządkowany zbiór wszystkich wartości zmiennej xi
wraz z przyporządkowanymi im
prawdopodobieństwami p1, p2, p3,...pn.
Funkcja prawdopodobieństwa: pi = P(X = xi ), gdzie
Funkcja prawdopodobieństwa: p = P(X = x ), gdzie
n
"pi =1
i =1
" gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wartości,
"
lub
pi = 1, (2)
"
i=1
" gdy zmienna losowa X przyjmuje nieskończoną liczbę
wartości
Dystrybuanta zmiennej losowej X jest to funkcja
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta zmiennej losowej
F(x) określona na zbiorze liczb rzeczywistych
F(x) = P(X d" x), czyli jest to
prawdopodobieństwo, \
e zmienna losowa X
przyjmie wartość nie większą od wartości x.
Dla zmiennej losowej X skokowej, która
Dla zmiennej losowej X skokowej, która
przyjmuje wartości x1, x2, ... z
prawdopodobieństwami p1, p2, ..., dystrybuanta
ma postać:
F(x) = P(X = xi) = pi (- " < x < ")
" "
xi d"x xi d"x
Rozkład prawdopodobieństwa Rozkład dystrybuanty
x 0 1 2 3
i
F(x) 1/8 4/8 7/8 1
Dystrybuanta zmiennej losowej X
0 dla x < 0,
ńł
�ł1/8 dla 0 d" x < 1,
�ł
�ł
F(x) =
�ł4/8 dla 1 d" x < 2,
�ł7 /8 dla 2 d" x < 3,
�ł
�ł
�ł
1 dla x e" 3,
1 dla x e" 3,
ół
ół
F(x)
1
7/8
4/8
1/8
0 1 2 3 x
Własności dystrybuanty:
" 0 d" F(x)d"1,
dla -" < x < +",
" lim F(x) = 0 oraz lim F(x) =1,
x-" x+"
F(x)
( )
" jest funkcją niemalejącą
F(x1)d" F(x2))
(dla x1F(x)
" jest funkcją prawostronnie ciągłą.
P(a < X d" b) = F(b) - F(a)
Rozkład zmiennej losowej
ciągłej
opisany jest przez funkcją gęstości
prawdopodobieństwa f(x), określoną na zbiorze
liczb rzeczywistych jako:
P(x < X d" x + "x)
( )
f x = lim
"x0
"x
P(x < X d" x + "x)
f (x)= lim
"x0
"x
Własności funkcja gęstości
zmiennej X
f (x) e" 0,
"
b
b
f (x)dx = P(a < X d" b)
" dla dowolnych a+"
a
+"
f (x)dx = P(- " < X d" +") =1
"
+"
-"
czyli, pozwala obliczać prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej
losowej w dowolnym przedziale.
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
f(x)
f(x)
b
P(a < X d" b)= f (x)dx
+"
a
b
f (x)dx
+"
a
a b x
Całkowite pole pod wykresem f(x) wynosi 1
Dystrybuanta zmiennej losowej X jest to funkcja F(x)
Dystrybuanta zmiennej losowej X
Dystrybuanta zmiennej losowej X
Dystrybuanta zmiennej losowej X
określona na zbiorze liczb rzeczywistych
F(x) = P(X d" x), czyli jest to prawdopodobieństwo, \
e
zmienna losowa X przyjmie wartość nie większą od
wartości x.
Def. Dystrybuantę zmiennej losowej X typu ciągłego
mo\
na określić następująco:
mo\
na określić następująco:
x
F(x) = f (t)d(t),
+"
-"
gdzie f(t) jest funkcją gęstości zmiennej losowej X
Własności dystrybuanty F(x) zmiennej losowej X typu
ciągłego są takie same jak dla zmiennej skokowej.
Średnia zmiennej losowej=
wartość oczekiwana zmiennej losowej=
nadzieja matematyczna
Def. Wartością oczekiwanej zmiennej losowej X nazywamy
wyra\
enie:
xi pi dla zmiennejlosowejskokowej
ńł
"
"
�ł i
�ł i
�ł
�ł
"
E(X )=
�ł
xf (x)dx dla zmiennejlosowej ciąglej
�ł
+"
�ł-"
ół
gdzie pi oznaczają wartości funkcję prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X przyjmującej wartości xi (i=1,2,...),
natomiast f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa.
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Liczba trafień do tarczy
1/8 3/8 3/8 1/8
Nadzieja matematyczna = wartość oczekiwana
zmiennej losowej skokowej
Średnia liczba trafień do tarczy:
E(X)=0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8=1,5
Właściwości E(X)
" E(b) = b
" E(aX) = aE(X)
" E(aX+b) = aE(X)+b
" E(aX+b) = aE(X)+b
" Jeśli Y = X - E(X) to E(Y) = 0
" E(X+Y) = E(X)+E(Y)
" E(XY) = E(X)*E(Y) jeśli X i Y są
niezale\
ne
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Liczba trafień do tarczy
1/8 3/8 3/8 1/8
Wariancja odchylenie standardowe
n
2
2
D2 X =
D2 X =
i i
"(x - E(X )) p
"(x - E(X )) p
i=1
Liczba trafień do tarczy:
D�(X)=(0-1,5)�*1/8+(1-1,5)�*3/8+(2-1,5)�*3/8 +
+(3-1,5)�*1/8=0,75
D(X)=0,87
Def. Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli
przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem 0wartość 0 z prawdopodobieństwem q=1-p.
Funkcja prawdopodobieństwa rozkładu zero-jedynkowego:
xi 0 1
reszka=0; orzeł=1, p=0,5
pi 1-p p
Dystrybuanta zmiennej losowej zero-jedynkowej:
0, dla x < 0
ńł
�ł1- p, dla 0 d" x < 1
F(x) =
�ł
�ł
1, dla x e" 1
ół
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej zero-jedynkowej:
E(X)=0*0,5+1*0,5=0,5
E(X )= 0�"(1- p)+1�" p = p,
D(X)=0,5
D2(X )= (0 - p)2(1- p)+ (1- p)2 p = p(1- p).
Jacob Bernoulli
ROZKA
AD DWUMIANOWY
(1654-1705)
Zało\
enie
zmienna losowa X jest liczbą sukcesów zaobserwowanych w
eksperymencie przeprowadzonym zgodnie ze schematem
Bernoulliego,
Schemat Bernoulliego
" wykonujemy doświadczenie, którego rezultatem mo\
e być zdarzenie A
(sukces) z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne (pora\
ka)
(sukces) z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne (pora\
ka)
A z prawdopodobieństwem q=1-p,
" doświadczenie powtarzamy n-krotnie w sposób niezale\
ny co oznacza,
\
e prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje w pojedynczych próbach
stałe i równe p,
" liczba sukcesów jaką zaobserwujemy w wyniku n-krotnego powtórzenia
doświadczenia, mo\
e być równa k=0,1,2,...,n.
ROZKA
AD DWUMIANOWY
" Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy,
jeśli przyjmuje wartości k= 0, 1, 2,& z
prawdopodobieństwami określonymi wzorem
" Liczbę doświadczeń n oraz
prawdopodobieństwo sukcesu p nazywamy
parametrami tego rozkładu
ROZKA
AD DWUMIANOWY
0,35
0,3
0,25
n=10 i p=0,2
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 2 4 6 8 10 12
Wartości zmiennej losowej X
3,00E-01
n=10 i p=0,7
2,50E-01
2,00E-01
2,00E-01
1,50E-01
1,00E-01
0,3
5,00E-02
n=10 i p=0,5
0,25
0,00E+00
0,2 0 2 4 6 8 10 12
Wartości zmiennej losowej X
0,15
0,1
0,05
0
0 2 4 6 8 10 12
Wartości zmiennej losowej X
Prawdopodobieństwo pi
Prawdopodobieństwo pi
Prawdopodobieństwo pi
Prawdopodobieństwo pi
Przykład
Student zdą\
ył przygotować tylko 40 odpowiedzi na 60
egzaminacyjnych pytań. Na egzaminie wylosuje 5 pytań. Jakie
jest prawdopodobieństwo wylosowania trzech pytań, na które
zna odpowiedz
, czyli zdania egzaminu na ocenę dostateczną
k=3, n=5,
ROZKA
AD DWUMIANOWY
Wartość oczekiwana i wariancja
n n
�ł �ł
�ł �ł
E(X )= E�ł Xi �ł =
" "E(X )= np,
i
�ł i=1 łł i=1
n n
�ł �ł
2
�ł �ł
D2(X )= D2�ł Xi �ł =
" "D (Xi)= np(1- p).
�ł i=1 łł i=1
ROZKA
AD NORMALNY- zmienna ciągła
Z rozkładem normalnym mamy do czynienia gdy
na dane zjawisko oddziałuje du\
a liczba
niezale\
nych czynników, których wpływ
traktowany odrębnie jest mało znaczący. Na
przykład rozkład normalny lub bardzo zbli\
ony
do normalnego mają takie zmienne jak:
do normalnego mają takie zmienne jak:
" waga i wzrost osobników jednorodnych
populacji ludzkich lub zwierzęcych,
" losowe błędy pomiarów,
" wykonanie norm pracy przez robotników w
jednorodnych warunkach pracy przez
jednorodną grupę wykonawców.
ROZKA
AD NORMALNY- zmienna ciągła
" Zmienna losowa X ma rozkład normalny o
parametrach m oraz �
�, je\
eli jej funkcja
�
�
gęstości wyra\
a się wzorem:
(x-m)2
-
1
(x-m)2
2
2�
-
((x)=
)
ff x = e
1 2
- " < x < +"
� 2e 2� ,
� 2Ą
Ą
� 2Ą
� 2Ą
przy czym �>0
" Jej konkretna postać określona jest
przez dwa parametry:
 wartość oczekiwaną m
 odchylenie standardowe �
Rozkład normalny zmiennej X ~ N(m, �)
rozkład Gaussa
(x-m)2
-
1
2
2�
( )
f x = e
f(x)
� 2Ą
f(x)
krzywa Gaussa
Własności
" Jest symetryczna względem
" Jest symetryczna względem
prostej x=m
� �
" Osiąga maksimum równe
" Jej ramiona mają punkty
x
przegięcia dla x=m-� i
�
m
x=m+�
Własności funkcja gęstości zmiennej losowe o
rozkładzie normalnym X~ N(m, �)
f (x) e" 0,
"
b
f (x)dx = P(a < X d" b)
" dla dowolnych a+"
a
+"
f (x)dx = P(- " < X d" +") =1
f (x)dx = P(- " < X d" +") =1
"
"
+"
+"
-"
a b
Własności funkcji gęstości zmiennej losowej X~ N(m, �)
m=0, �=0,45
m=0, �=1,0
m=0, �=2,0
m=-2, �=0,7
Reguła 3 sigm
Prawdopodobieństwo tego, \
e zmienna losowa X o
rozkładzie normalnym N(m, �) przyjmie wartość ró\
niącą
się od średniej o:
Rozkład normalny ze średnią m=0 oraz odchyleniem
standardowym �=1 nazywamy standardowym
rozkładem normalnym i oznaczamy N(0,1)
funkcja gęstości: Ć(u)= Ć(-u)
X
X
U
U
X
X~ N(m,�)
Własności dystrybuanty zmiennej losowe X~
N(0, 1)
" Ś(-u)=1-Ś(u)
u
-u
" 1-Ś(-u)=Ś(u)
" 1-Ś(-u)=Ś(u)
u
-u
" P(-u1-u1 u1 u2
-u-u2