plik


��Analiza wariancji Problemy: " Czy jako[ opon samochodowych zale\y od marki producenta? " Czy rodzaj paszy wpBywa na mleczno[ kr�w? " Czy rodzaj opakowania pBatk�w [niadaniowych ma wpByw na ich sprzeda\? " Czy poziom cholesterolu u pacjent�w zale\y od typu lekarstwa farmakologicznego? " Czy oceny z egzaminu zale\ od wykBadowcy? Wsp�Bautork poni\szych slajd�w jest dr Katarzyna Kocot-G�recka Czy jako[ opon samochodowych (mierzona dBugo[ci drogi hamowania) zale\y od marki producenta? W analizie wariancji sprawdzamy, czy zmienna zale\na (obja[niana) przyjmuje r�\ne warto[ci w zale\no[ci od warto[ci zmiennych niezale\nych warto[ci zmiennych niezale\nych " Zmienna obja[niana  liczba metr�w, po kt�rych nastpuje zatrzymanie samochodu rozpdzonego do pewnej prdko[ci " Zmienna zale\na marka opon Je\eli czynnik (klasyfikacja) istotnie r�\nicuje zmienn obja[nian to wystpuj istotne r�\nice midzy [rednimi w grupach. tzn. powstaBe grupy s w miar jednolite wewntrz i r�wnocze[nie r�\ni si dostatecznie wyraznie midzy sob. Gdy musimy por�wna ze sob [rednie wicej ni\ dw�ch pr�b, stosujc testy parametryczne, musimy por�wnywa wszystkie [rednie parami, co jest bardzo kBopotliwe i pracochBonne. Innym sposobem jest zastosowanie statystyki F. " Test analizy wariancji mo\na stosowa w�wczas, gdy rozkBady populacji s normalne lub zbli\one do normalnego oraz maj jednakowe wariancje. " Mo\e bowiem zdarzy si tak, \e wszystkie populacje maj rozkBady normalne i jednakowe wariancje, ale r�\ni si warto[ciami [rednimi: JEDNOCZYNNIKOWY MODEL ANALIZY WARIANCJI Formujemy model " Zmienna Y w populacji generalnej (zmienna obja[niana) Ronald Fischer (1890-1962). zale|y do pewnego czynnika , kt�ry przyjmuje r poziom�w. " Przyjmujc poziom czynnika za kryterium podziaBu " Przyjmujc poziom czynnika za kryterium podziaBu wyodrbniamy r populacji (grup) i rozpatrujemy zmienne Y1 , Y2 ,& , Yr , kt�re maja rozkBady N(m,�) " Z ka|dej populacji pobieramy pr�b prost liczebno[ci ni , przy czym r "n = n i i=1 Je[li czynnik nie wpBywa na warto[ci zmiennej Y, to hipoteza zapisujemy H0 jako: Wobec hipotezy alternatywnej: Analiza wariancji polega na ocenie wzgldnej wielko[ci wariancji (zr�|nicowania) wedBug jej zr�dBa w pr�bie. CaBkowita zmienno[ SST zaobserwowanych wynik�w skBada si z dw�ch skBadowych: Ronald Fischer (1890-1962). Zr�|nicowanie Zr�|nicowanie caBkowite SST Zr�|nicowanie Zr�|nicowanie midzygrupowe Wewntrzgrupowe SSB SSE r n r n r i i 2 2 2 SST = ki ki i i i ""(y - y) = ""(y - y ) + "n (y - y) i=1 k =1 i=1 k =1 i=1 r n i 2 SST = ki ""(y - y) = SSE + SSB i=1 k =1 ni r r 1 1 Zrednia og�lna: y = yki = yini " " " n ni=1 i=1 k =1 ni 1 Zrednia grupowa: yi = yki " ni k =1 ni ni r r r 2 2 2 SST = ""(y - y) = ""(y - yi ) + "n (yi - y) ki ki i i=1 k =1 i=1 k =1 i=1 ni r 2 SST = ""(y - y) = SSE + SSB ki i=1 k =1 yr�dBo zmienno[ci Suma Stopnie Zredni kwadrat�w swobody kwadrat odchyleD odchyleD odchyleD odchyleD Czynnik (zr�\nicowanie SSB r-1 MSB midzygrupowe) BBd losowy (zr�\nicowanie SSE n-r MSE wewntrzgrupowe) Zr�\nicowanie SST n-1 - caBkowite Procedura Do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystujemy statystyk postaci: MSB F = MSE gdzie: SSB SSE MSB = oraz MSE = r -1 n - r r -1 n - r Statystyka F przy zaBo|eniu sBuszno[ci H0 ma rozkBad F-Snedecora o stopniach swobody licznika i mianownika odpowiednio v1 = r-1 oraz v2 = n-r. RozkBad F f(F) Obszar krytyczny wyznaczony jest z zale|no[ci: P{F e" F�}= � � � � � v1=r-1 v2 =n-r 0 F� � � � PrzykBad Czy jako[ opon samochodowych (mierzona dBugo[ci drogi hamowania) zale|y od marki producenta? Zmienn losow jest ilo[ metr�w, po kt�rych nastpuje zatrzymanie samochodu rozpdzonego do pewnej prdko[ci. Zmienna ta ma rozkBad normalny. Czynnikiem wpBywajcym jest marka opony (samoch�d i warunki te same). marka A 22 24 23 21 marka B 23 26 23 marka C 24 26 25 27 marka D 24 25 23 n =14, r = 4 Zrednia dBugo[ hamowania w 4 populacjach opon jest taka sama Przynajmniej dwie [rednia dBugo[ci hamowania w 4 populacjach opon nie s takie same PrzykBad Czy jako[ opon samochodowych (mierzona dBugo[ci drogi hamowania) zale|y od marki producenta? Zmienn losow jest ilo[ metr�w, po kt�rych nastpuje zatrzymanie samochodu rozpdzonego do pewnej prdko[ci. Zmienna ta ma rozkBad normalny. Czynnikiem wpBywajcym jest marka opony (samoch�d i warunki te same). marka A 22 24 23 21 marka B 23 26 23 marka C 24 26 25 27 marka D 24 25 23 n =14, r = 4 Zrednia og�lna y=(22+24+23+21+23+......+24+25+23)/14=24 SST = SSE + SSB ni r 2 SST = ""(y - y) = (22 - 24)2 + (24 - 24)2 + (23 - 24)2 + ki i=1 k =1 .....+ (24 - 24)2 + (25 - 24)2 + (23 - 24)2 = 36 ni r 2 SSE= +(25-24)2 +(23-24)2 =18 ""(y -yi) =(22-22,5)2 +(24-22,5)2 +...... ki i=1 k=1 r 2 SSB= SSB= "(y - y) n =(22,5-24)2 *4+(24-24)2 *3+(25,5-24)2 *4+(24-24)2 *3=18 "(y - y) ni =(22,5-24)2 *4+(24-24)2 *3+(25,5-24)2 *4+(24-24)2 *3=18 i i=1 " marka A 22 24 23 21 y1=(22+23+24+21)/4=22,5 " marka B 23 26 23 y2=(23+26+23)/3=24 " marka C 24 26 25 27 y3=25,5 " marka D 24 25 23 y4=24 Zrednia og�lna ni r r 1 1 y = yki = yini = (22,5*4 + 24*3 + 25,5* 4 + 24*3) /14 = 24 "" " n n i=1 k =1 i=1 SST = SSE + SSB (n-1)=(n-r)+(r-1) 36=18+18 (14-1)=(14-4)+(4-1) MST = MSE + MSB SST/n-1=SSE/n-r + SSB/r-1 SST/n-1=SSE/n-r + SSB/r-1 36/13 = 18/10 + 18/3 7,78 = 1,8 + 6 SSB / r -1 MSB MSB 6 F = = F = = = 3,33 SSE / r -1 MSE MSE 1,8 Obszar odrzuceD H0 P{F e" F�}= � RozkBad F f(F) Warto[ krytyczna F dla �=0,05; v1=r-1=3 i v2 =n-r=10 � � � � �=0,05 0 F� � � � F=3,33 F=3,33 Odrzucamy H0, je\eli Fobl>F�(r-1, n-r) Warto[ci krytyczne rozkBadu F-Snedecora, � �=0,1 � � P(F e" F� ,v1,v2 ) = � v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 " r1 v2 r2 1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,71 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,79 63,06 66,33 1 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,48 9,49 2 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,18 5,17 5,16 5,15 5,14 5,13 3 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,78 3,76 4 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,14 3,12 3,10 5 6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,72 6 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,58 2,56 2,54 2,51 2,49 2,47 7 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 2,29 8 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,28 2,25 2,23 2,21 2,18 2,16 9 10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,18 2,16 2,13 2,11 2,08 2,06 10 11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,21 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,03 2,00 1,97 11 12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,04 2,01 1,99 1,96 1,93 1,90 12 13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 13 13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 13 14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,91 1,89 1,86 1,83 1,80 14 15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,90 1,87 1,85 1,82 1,79 1,76 15 16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 1,99 1,94 1,89 1,87 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 16 17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,96 1,91 1,86 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 17 18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,93 1,89 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 18 19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,91 1,86 1,81 1,79 1,76 1,73 1,70 1,67 1,63 19 20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,77 1,74 1,71 1,68 1,64 1,61 20 21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,87 1,83 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 21 22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,86 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 22 23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,84 1,80 1,74 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 1,55 23 24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,83 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,61 1,57 1,53 24 25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 1,77 1,72 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52 25 26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,81 1,76 1,71 1,68 1,65 1,61 1,58 1,54 1,50 26 27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,80 1,75 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 1,53 1,49 27 28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52 1,48 28 29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,78 1,73 1,68 1,65 1,62 1,58 1,55 1,51 1,47 29 30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,64 1,61 1,57 1,54 1,50 1,46 30 40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,47 1,42 1,38 40 60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,51 1,48 1,44 1,40 1,35 1,29 60 120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,45 1,41 1,37 1,32 1,26 1,19 12 0 " 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60 1,55 1,49 1,42 1,38 1,34 1,30 1,24 1,17 1,00 " Obszar odrzuceD H0 P{F e" F�}= � RozkBad F f(F) Warto[ krytyczna F dla �=0,05; v1=r-1=3 i v2 =n-r=10 � � � � F 0,05;3;10 =2,73 0 F� � � F=2,73� Fobl =3,33 Fobl =3,33 Fobl = 3,33 � = 2,73;+") Poniewa\ Fobl. znalazBo si w obszarze odrzuceD, to mamy statystyczne podstawy do odrzucenia H0 i przyjcia H1 przy �=0,05 Weryfikacja zaBo\eD modelu wariancji ZaBo\enia: - skBadniki losowe �ki maj rozkBad N(0;�), - skBadniki losowe �ki s niezale\ne, - identyczno[ wariancji zmiennej obja[nianej w grupach. Test jednorodno[ci wariancji - hipotezy ��4 2 2 2 H0 : '" �1 = � = ... = � ��3 2 r ��2 ��1 i, j 2 2 H1 : (" �1 `" � j i, j i `" j testy Bartletta, Cochrana, Hartleya

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WYKLAD 6 stud 13
wyklad 3 STUD
wyklad 4 STUD
Wykład 4 stud
wyklad 1 STUD
wyklad 2 STUD
wyklad 9 STUD
Wyklad 1 CIAGI 12 wer stud
Wyklad 8?LKA OZNACZONA Biol wer stud
ochr srod wyklad 1 biologia dla stud
Biomedyka Pedagog 1 Wykład 04 stud
WYKŁAD 3 el aut3 stud
JBZ Wyklad2 dla stud
Psychopatologia UW Wykład III RS cz II dla stud
Wyklad ZMIENNA LOSOWA Biol 2012 wer stud
ArchKomp CISC RISC Wyklad Gotowy PKos SKoz Stud
Wyklad 6?LKA NIEOZNACZONA Biol wer stud

więcej podobnych podstron