��Analiza wariancji Problemy: " Czy jako[

opon samochodowych zale\
y od marki producenta? " Czy rodzaj paszy wpB
ywa na mleczno[

kr�w? " Czy rodzaj opakowania pB
atk�w [
niadaniowych ma wpB
yw na ich sprzeda\
? " Czy poziom cholesterolu u pacjent�w zale\
y od typu lekarstwa farmakologicznego? " Czy oceny z egzaminu zale\

od wykB
adowcy? Wsp�B
autork
poni\
szych slajd�w jest dr Katarzyna Kocot-G�recka Czy jako[

opon samochodowych (mierzona dB
ugo[
ci
drogi hamowania) zale\
y od marki producenta? W analizie wariancji sprawdzamy, czy zmienna zale\
na (obja[
niana) przyjmuje r�\
ne warto[
ci w zale\
no[
ci od warto[
ci zmiennych niezale\
nych warto[
ci zmiennych niezale\
nych " Zmienna obja[
niana  liczba metr�w, po kt�rych nast
puje zatrzymanie samochodu rozp
dzonego do pewnej pr
dko[
ci " Zmienna zale\
na marka opon Je\
eli czynnik (klasyfikacja) istotnie r�\
nicuje zmienn
obja[
nian
to wyst
puj
istotne r�\
nice mi
dzy [
rednimi w grupach. tzn. powstaB
e grupy s
w miar
jednolite wewn
trz i r�wnocze[
nie r�\
ni
si
dostatecznie wyraz
nie mi
dzy sob
. Gdy musimy por�wna
ze sob
[
rednie wi
cej ni\
dw�ch pr�b, stosuj
c testy parametryczne, musimy por�wnywa
wszystkie [
rednie parami, co jest bardzo kB
opotliwe i pracochB
onne. Innym sposobem jest zastosowanie statystyki F. " Test analizy wariancji mo\
na stosowa
w�wczas, gdy rozkB
ady populacji s
normalne lub zbli\
one do normalnego oraz maj
jednakowe wariancje. " Mo\
e bowiem zdarzy
si
tak, \
e wszystkie populacje maj
rozkB
ady normalne i jednakowe wariancje, ale r�\
ni
si
warto[
ciami [
rednimi: JEDNOCZYNNIKOWY MODEL ANALIZY WARIANCJI Formujemy model " Zmienna Y w populacji generalnej (zmienna obja[
niana) Ronald Fischer (1890-1962). zale|
y do pewnego czynnika , kt�ry przyjmuje r poziom�w. " Przyjmuj
c poziom czynnika za kryterium podziaB
u " Przyjmuj
c poziom czynnika za kryterium podziaB
u wyodr
bniamy r populacji (grup) i rozpatrujemy zmienne Y1 , Y2 ,& , Yr , kt�re maja rozkB
ady N(m,�) " Z ka|
dej populacji pobieramy pr�b
prost
liczebno[
ci ni , przy czym r "n = n i i=1 Je[
li czynnik nie wpB
ywa na warto[
ci zmiennej Y, to hipoteza zapisujemy H0 jako: Wobec hipotezy alternatywnej: Analiza wariancji polega na ocenie wzgl
dnej wielko[
ci wariancji (zr�|
nicowania) wedB
ug jej z
r�dB
a w pr�bie. CaB
kowita zmienno[

SST zaobserwowanych wynik�w skB
ada si
z dw�ch skB
adowych: Ronald Fischer (1890-1962). Zr�|
nicowanie Zr�|
nicowanie caB
kowite SST Zr�|
nicowanie Zr�|
nicowanie mi
dzygrupowe Wewn
trzgrupowe SSB SSE r n r n r i i 2 2 2 SST = ki ki i i i ""(y - y) = ""(y - y ) + "n (y - y) i=1 k =1 i=1 k =1 i=1 r n i 2 SST = ki ""(y - y) = SSE + SSB i=1 k =1 ni r r 1 1 Z
rednia og�lna: y = yki = yini " " " n ni=1 i=1 k =1 ni 1 Z
rednia grupowa: yi = yki " ni k =1 ni ni r r r 2 2 2 SST = ""(y - y) = ""(y - yi ) + "n (yi - y) ki ki i i=1 k =1 i=1 k =1 i=1 ni r 2 SST = ""(y - y) = SSE + SSB ki i=1 k =1 y
r�dB
o zmienno[
ci Suma Stopnie Z
redni kwadrat�w swobody kwadrat odchyleD
odchyleD
odchyleD
odchyleD
Czynnik (zr�\
nicowanie SSB r-1 MSB mi
dzygrupowe) BB

d losowy (zr�\
nicowanie SSE n-r MSE wewn
trzgrupowe) Zr�\
nicowanie SST n-1 - caB
kowite Procedura Do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystujemy statystyk
postaci: MSB F = MSE gdzie: SSB SSE MSB = oraz MSE = r -1 n - r r -1 n - r Statystyka F przy zaB
o|
eniu sB
uszno[
ci H0 ma rozkB
ad F-Snedecora o stopniach swobody licznika i mianownika odpowiednio v1 = r-1 oraz v2 = n-r. RozkB
ad F f(F) Obszar krytyczny wyznaczony jest z zale|
no[
ci: P{F e" F�}= � � � � � v1=r-1 v2 =n-r 0 F� � � � PrzykB
ad Czy jako[

opon samochodowych (mierzona dB
ugo[
ci
drogi hamowania) zale|
y od marki producenta? Zmienn
losow
jest ilo[

metr�w, po kt�rych nast
puje zatrzymanie samochodu rozp
dzonego do pewnej pr
dko[
ci. Zmienna ta ma rozkB
ad normalny. Czynnikiem wpB
ywaj
cym jest marka opony (samoch�d i warunki te same). marka A 22 24 23 21 marka B 23 26 23 marka C 24 26 25 27 marka D 24 25 23 n =14, r = 4 Z
rednia dB
ugo[

hamowania w 4 populacjach opon jest taka sama Przynajmniej dwie [
rednia dB
ugo[
ci hamowania w 4 populacjach opon nie s
takie same PrzykB
ad Czy jako[

opon samochodowych (mierzona dB
ugo[
ci
drogi hamowania) zale|
y od marki producenta? Zmienn
losow
jest ilo[

metr�w, po kt�rych nast
puje zatrzymanie samochodu rozp
dzonego do pewnej pr
dko[
ci. Zmienna ta ma rozkB
ad normalny. Czynnikiem wpB
ywaj
cym jest marka opony (samoch�d i warunki te same). marka A 22 24 23 21 marka B 23 26 23 marka C 24 26 25 27 marka D 24 25 23 n =14, r = 4 Z
rednia og�lna y=(22+24+23+21+23+......+24+25+23)/14=24 SST = SSE + SSB ni r 2 SST = ""(y - y) = (22 - 24)2 + (24 - 24)2 + (23 - 24)2 + ki i=1 k =1 .....+ (24 - 24)2 + (25 - 24)2 + (23 - 24)2 = 36 ni r 2 SSE= +(25-24)2 +(23-24)2 =18 ""(y -yi) =(22-22,5)2 +(24-22,5)2 +...... ki i=1 k=1 r 2 SSB= SSB= "(y - y) n =(22,5-24)2 *4+(24-24)2 *3+(25,5-24)2 *4+(24-24)2 *3=18 "(y - y) ni =(22,5-24)2 *4+(24-24)2 *3+(25,5-24)2 *4+(24-24)2 *3=18 i i=1 " marka A 22 24 23 21 y1=(22+23+24+21)/4=22,5 " marka B 23 26 23 y2=(23+26+23)/3=24 " marka C 24 26 25 27 y3=25,5 " marka D 24 25 23 y4=24 Z
rednia og�lna ni r r 1 1 y = yki = yini = (22,5*4 + 24*3 + 25,5* 4 + 24*3) /14 = 24 "" " n n i=1 k =1 i=1 SST = SSE + SSB (n-1)=(n-r)+(r-1) 36=18+18 (14-1)=(14-4)+(4-1) MST = MSE + MSB SST/n-1=SSE/n-r + SSB/r-1 SST/n-1=SSE/n-r + SSB/r-1 36/13 = 18/10 + 18/3 7,78 = 1,8 + 6 SSB / r -1 MSB MSB 6 F = = F = = = 3,33 SSE / r -1 MSE MSE 1,8 Obszar odrzuceD
H0 P{F e" F�}= � RozkB
ad F f(F) Warto[

krytyczna F dla �=0,05; v1=r-1=3 i v2 =n-r=10 � � � � �=0,05 0 F� � � � F=3,33 F=3,33 Odrzucamy H0, je\
eli Fobl>F�(r-1, n-r) Warto[
ci krytyczne rozkB
adu F-Snedecora, � �=0,1 � � P(F e" F� ,v1,v2 ) = � v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 " r1 v2 r2 1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,71 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,79 63,06 66,33 1 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,48 9,49 2 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,18 5,17 5,16 5,15 5,14 5,13 3 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,78 3,76 4 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,14 3,12 3,10 5 6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,72 6 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,58 2,56 2,54 2,51 2,49 2,47 7 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 2,29 8 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,28 2,25 2,23 2,21 2,18 2,16 9 10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,18 2,16 2,13 2,11 2,08 2,06 10 11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,21 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,03 2,00 1,97 11 12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,04 2,01 1,99 1,96 1,93 1,90 12 13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 13 13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 13 14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,91 1,89 1,86 1,83 1,80 14 15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,90 1,87 1,85 1,82 1,79 1,76 15 16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 1,99 1,94 1,89 1,87 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 16 17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,96 1,91 1,86 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 17 18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,93 1,89 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 18 19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,91 1,86 1,81 1,79 1,76 1,73 1,70 1,67 1,63 19 20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,77 1,74 1,71 1,68 1,64 1,61 20 21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,87 1,83 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 21 22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,86 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 22 23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,84 1,80 1,74 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 1,55 23 24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,83 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,61 1,57 1,53 24 25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 1,77 1,72 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52 25 26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,81 1,76 1,71 1,68 1,65 1,61 1,58 1,54 1,50 26 27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,80 1,75 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 1,53 1,49 27 28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52 1,48 28 29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,78 1,73 1,68 1,65 1,62 1,58 1,55 1,51 1,47 29 30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,64 1,61 1,57 1,54 1,50 1,46 30 40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,47 1,42 1,38 40 60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,51 1,48 1,44 1,40 1,35 1,29 60 120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,45 1,41 1,37 1,32 1,26 1,19 12 0 " 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60 1,55 1,49 1,42 1,38 1,34 1,30 1,24 1,17 1,00 " Obszar odrzuceD
H0 P{F e" F�}= � RozkB
ad F f(F) Warto[

krytyczna F dla �=0,05; v1=r-1=3 i v2 =n-r=10 � � � � F 0,05;3;10 =2,73 0 F� � � F=2,73� Fobl =3,33 Fobl =3,33 Fobl = 3,33 � = 2,73;+") Poniewa\
Fobl. znalazB
o si
w obszarze odrzuceD
, to mamy statystyczne podstawy do odrzucenia H0 i przyj
cia H1 przy �=0,05 Weryfikacja zaB
o\
eD
modelu wariancji ZaB
o\
enia: - skB
adniki losowe �ki maj
rozkB
ad N(0;�), - skB
adniki losowe �ki s
niezale\
ne, - identyczno[

wariancji zmiennej obja[
nianej w grupach. Test jednorodno[
ci wariancji - hipotezy ��4 2 2 2 H0 : '" �1 = � = ... = � ��3 2 r ��2 ��1 i, j 2 2 H1 : (" �1 `" � j i, j i `" j testy Bartletta, Cochrana, Hartleya