��Analiza wariancji
Problemy:
" Czy jako[ opon samochodowych zale\y od marki producenta?
" Czy rodzaj paszy wpBywa na mleczno[ kr�w?
" Czy rodzaj opakowania pBatk�w [niadaniowych ma wpByw na ich
sprzeda\?
" Czy poziom cholesterolu u pacjent�w zale\y od typu lekarstwa
farmakologicznego?
" Czy oceny z egzaminu zale\ od wykBadowcy?
Wsp�Bautork poni\szych
slajd�w jest
dr Katarzyna Kocot-G�recka
Czy jako[ opon samochodowych (mierzona dBugo[ci
drogi hamowania) zale\y od marki producenta?
W analizie wariancji sprawdzamy, czy zmienna zale\na
(obja[niana) przyjmuje r�\ne warto[ci w zale\no[ci od
warto[ci zmiennych niezale\nych
warto[ci zmiennych niezale\nych
" Zmienna obja[niana liczba metr�w, po kt�rych nastpuje
zatrzymanie samochodu rozpdzonego do pewnej
prdko[ci
" Zmienna zale\na marka opon
Je\eli czynnik (klasyfikacja) istotnie r�\nicuje zmienn
obja[nian to wystpuj istotne r�\nice midzy [rednimi
w grupach.
tzn.
powstaBe grupy s w miar jednolite wewntrz i
r�wnocze[nie r�\ni si dostatecznie wyraznie midzy
sob.
Gdy musimy por�wna ze sob [rednie wicej ni\ dw�ch
pr�b, stosujc testy parametryczne, musimy por�wnywa
wszystkie [rednie parami, co jest bardzo kBopotliwe i
pracochBonne.
Innym sposobem jest zastosowanie statystyki F.
" Test analizy wariancji mo\na stosowa w�wczas, gdy rozkBady
populacji s normalne lub zbli\one do normalnego oraz maj
jednakowe wariancje.
" Mo\e bowiem zdarzy si tak, \e wszystkie populacje maj
rozkBady normalne i jednakowe wariancje, ale r�\ni si warto[ciami
[rednimi:
JEDNOCZYNNIKOWY MODEL ANALIZY WARIANCJI
Formujemy model
" Zmienna Y w populacji generalnej (zmienna obja[niana)
Ronald Fischer
(1890-1962).
zale|y do pewnego czynnika , kt�ry przyjmuje r poziom�w.
" Przyjmujc poziom czynnika za kryterium podziaBu
" Przyjmujc poziom czynnika za kryterium podziaBu
wyodrbniamy r populacji (grup) i rozpatrujemy zmienne Y1
, Y2 ,& , Yr , kt�re maja rozkBady N(m,�)
" Z ka|dej populacji pobieramy pr�b prost liczebno[ci ni ,
przy czym
r
"n = n
i
i=1
Je[li czynnik nie wpBywa na warto[ci zmiennej Y, to hipoteza
zapisujemy H0 jako:
Wobec hipotezy alternatywnej:
Analiza wariancji
polega na ocenie wzgldnej wielko[ci wariancji
(zr�|nicowania) wedBug jej zr�dBa w pr�bie.
CaBkowita zmienno[ SST zaobserwowanych
wynik�w skBada si z dw�ch skBadowych:
Ronald Fischer
(1890-1962).
Zr�|nicowanie
Zr�|nicowanie
caBkowite
SST
Zr�|nicowanie
Zr�|nicowanie
midzygrupowe
Wewntrzgrupowe
SSB
SSE
r n r n r
i i
2 2 2
SST =
ki ki i i i
""(y - y) = ""(y - y ) + "n (y - y)
i=1 k =1 i=1 k =1 i=1
r n
i
2
SST =
ki
""(y - y) = SSE + SSB
i=1 k =1
ni
r r
1 1
Zrednia og�lna:
y = yki = yini
" " "
n ni=1
i=1 k =1
ni
1
Zrednia grupowa:
yi = yki
"
ni k =1
ni ni
r r r
2 2 2
SST =
""(y - y) = ""(y - yi ) + "n (yi - y)
ki ki i
i=1 k =1 i=1 k =1 i=1
ni
r
2
SST =
""(y - y) = SSE + SSB
ki
i=1 k =1
yr�dBo zmienno[ci
Suma Stopnie Zredni
kwadrat�w swobody kwadrat
odchyleD odchyleD
odchyleD odchyleD
Czynnik
(zr�\nicowanie SSB r-1 MSB
midzygrupowe)
BBd losowy
(zr�\nicowanie SSE n-r MSE
wewntrzgrupowe)
Zr�\nicowanie
SST n-1 -
caBkowite
Procedura
Do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystujemy statystyk postaci:
MSB
F =
MSE
gdzie:
SSB SSE
MSB = oraz MSE =
r -1 n - r
r -1 n - r
Statystyka F przy zaBo|eniu sBuszno[ci H0 ma rozkBad
F-Snedecora o stopniach swobody licznika i mianownika odpowiednio
v1 = r-1 oraz v2 = n-r.
RozkBad F
f(F)
Obszar krytyczny wyznaczony jest
z zale|no[ci:
P{F e" F�}= �
�
�
�
�
v1=r-1
v2 =n-r
0 F�
�
�
�
PrzykBad
Czy jako[ opon samochodowych (mierzona dBugo[ci drogi
hamowania) zale|y od marki producenta?
Zmienn losow jest ilo[ metr�w, po kt�rych nastpuje zatrzymanie samochodu
rozpdzonego do pewnej prdko[ci. Zmienna ta ma rozkBad normalny.
Czynnikiem wpBywajcym jest marka opony (samoch�d i warunki te same).
marka A 22 24 23 21
marka B 23 26 23
marka C 24 26 25 27
marka D 24 25 23
n =14, r = 4
Zrednia dBugo[ hamowania w 4 populacjach opon jest taka sama
Przynajmniej dwie [rednia dBugo[ci hamowania w 4 populacjach
opon nie s takie same
PrzykBad
Czy jako[ opon samochodowych (mierzona dBugo[ci drogi
hamowania) zale|y od marki producenta?
Zmienn losow jest ilo[ metr�w, po kt�rych nastpuje zatrzymanie samochodu
rozpdzonego do pewnej prdko[ci. Zmienna ta ma rozkBad normalny.
Czynnikiem wpBywajcym jest marka opony (samoch�d i warunki te same).
marka A 22 24 23 21
marka B 23 26 23
marka C 24 26 25 27
marka D 24 25 23
n =14, r = 4
Zrednia og�lna
y=(22+24+23+21+23+......+24+25+23)/14=24
SST = SSE + SSB
ni
r
2
SST =
""(y - y) = (22 - 24)2 + (24 - 24)2 + (23 - 24)2 +
ki
i=1 k =1
.....+ (24 - 24)2 + (25 - 24)2 + (23 - 24)2 = 36
ni
r
2
SSE= +(25-24)2 +(23-24)2 =18
""(y -yi) =(22-22,5)2 +(24-22,5)2 +......
ki
i=1 k=1
r
2
SSB=
SSB=
"(y - y) n =(22,5-24)2 *4+(24-24)2 *3+(25,5-24)2 *4+(24-24)2 *3=18
"(y - y) ni =(22,5-24)2 *4+(24-24)2 *3+(25,5-24)2 *4+(24-24)2 *3=18
i
i=1
" marka A 22 24 23 21
y1=(22+23+24+21)/4=22,5
" marka B 23 26 23
y2=(23+26+23)/3=24
" marka C 24 26 25 27
y3=25,5
" marka D 24 25 23
y4=24
Zrednia og�lna
ni
r r
1 1
y = yki = yini = (22,5*4 + 24*3 + 25,5* 4 + 24*3) /14 = 24
"" "
n n
i=1 k =1 i=1
SST = SSE + SSB
(n-1)=(n-r)+(r-1)
36=18+18
(14-1)=(14-4)+(4-1)
MST = MSE + MSB
SST/n-1=SSE/n-r + SSB/r-1
SST/n-1=SSE/n-r + SSB/r-1
36/13 = 18/10 + 18/3
7,78 = 1,8 + 6
SSB / r -1 MSB
MSB 6
F = =
F = = = 3,33
SSE / r -1 MSE
MSE 1,8
Obszar odrzuceD H0
P{F e" F�}= �
RozkBad F
f(F)
Warto[ krytyczna F dla
�=0,05; v1=r-1=3 i v2 =n-r=10
�
�
�
�
�=0,05
0 F�
�
�
�
F=3,33
F=3,33
Odrzucamy H0, je\eli Fobl>F�(r-1, n-r)
Warto[ci krytyczne rozkBadu F-Snedecora, �
�=0,1
�
�
P(F e" F� ,v1,v2 ) = �
v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 " r1
v2 r2
1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,71 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,79 63,06 66,33 1
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,48 9,49 2
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,18 5,17 5,16 5,15 5,14 5,13 3
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,78 3,76 4
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,14 3,12 3,10 5
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,72 6
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,58 2,56 2,54 2,51 2,49 2,47 7
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 2,29 8
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,28 2,25 2,23 2,21 2,18 2,16 9
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,18 2,16 2,13 2,11 2,08 2,06 10
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,21 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,03 2,00 1,97 11
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,04 2,01 1,99 1,96 1,93 1,90 12
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 13
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 13
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,91 1,89 1,86 1,83 1,80 14
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,90 1,87 1,85 1,82 1,79 1,76 15
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 1,99 1,94 1,89 1,87 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 16
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,96 1,91 1,86 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 17
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,93 1,89 1,84 1,81 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 18
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,91 1,86 1,81 1,79 1,76 1,73 1,70 1,67 1,63 19
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,77 1,74 1,71 1,68 1,64 1,61 20
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,87 1,83 1,78 1,75 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 21
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,86 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 22
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,84 1,80 1,74 1,72 1,69 1,66 1,62 1,59 1,55 23
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,83 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,61 1,57 1,53 24
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 1,77 1,72 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52 25
26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,81 1,76 1,71 1,68 1,65 1,61 1,58 1,54 1,50 26
27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,80 1,75 1,70 1,67 1,64 1,60 1,57 1,53 1,49 27
28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,69 1,66 1,63 1,59 1,56 1,52 1,48 28
29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,78 1,73 1,68 1,65 1,62 1,58 1,55 1,51 1,47 29
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,64 1,61 1,57 1,54 1,50 1,46 30
40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,47 1,42 1,38 40
60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,51 1,48 1,44 1,40 1,35 1,29 60
120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,45 1,41 1,37 1,32 1,26 1,19 12
0
" 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60 1,55 1,49 1,42 1,38 1,34 1,30 1,24 1,17 1,00 "
Obszar odrzuceD H0
P{F e" F�}= �
RozkBad F
f(F)
Warto[ krytyczna F dla
�=0,05; v1=r-1=3 i v2 =n-r=10
�
�
�
�
F 0,05;3;10 =2,73
0 F�
�
�
F=2,73�
Fobl =3,33
Fobl =3,33
Fobl = 3,33
� = 2,73;+")
Poniewa\ Fobl. znalazBo si w obszarze odrzuceD, to mamy
statystyczne podstawy do odrzucenia H0 i przyjcia H1 przy
�=0,05
Weryfikacja zaBo\eD modelu wariancji
ZaBo\enia:
- skBadniki losowe �ki maj rozkBad N(0;�),
- skBadniki losowe �ki s niezale\ne,
- identyczno[ wariancji zmiennej obja[nianej w grupach.
Test jednorodno[ci wariancji
- hipotezy
��4
2 2 2
H0 : '"
�1 = � = ... = � ��3
2 r
��2
��1
i, j
2 2
H1 : (" �1 `" �
j
i, j
i `" j
testy Bartletta, Cochrana, Hartleya
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
WYKLAD 6 stud 13wyklad 3 STUDwyklad 4 STUDWykład 4 studwyklad 1 STUDwyklad 2 STUDwyklad 9 STUDWyklad 1 CIAGI 12 wer studWyklad 8?LKA OZNACZONA Biol wer studochr srod wyklad 1 biologia dla studBiomedyka Pedagog 1 Wykład 04 studWYKŁAD 3 el aut3 studJBZ Wyklad2 dla studPsychopatologia UW Wykład III RS cz II dla studWyklad ZMIENNA LOSOWA Biol 2012 wer studArchKomp CISC RISC Wyklad Gotowy PKos SKoz StudWyklad 6?LKA NIEOZNACZONA Biol wer studwięcej podobnych podstron