Podejmowanie decyzji
Podejmowanie decyzji
w warunkach niepełnej informacji
w warunkach niepełnej informacji
T.Trzaskalik
Wprowadzenie
do badań operacyjnych
z komputerem
Decyzje w warunkach ryzyka - zadanie jednoetapowe
Decyzje w warunkach ryzyka - zadanie jednoetapowe
Przykład 5.1
Przykład 5.1
Cena hurtowa:80 gr/szt,
Cena sprzedaży:1,10 zł/szt,
Liczba gazet w paczce:40 szt,
Dzień  słaby :popyt 50 szt, częstotliwość 26%
Dzień  przeciętny :popyt 100 szt, częstotliwość 40%
Dzień  dobry :popyt 150 szt, częstotliwość 34%
Zysk gazeciarza przy popycie wynoszÄ…cym:
Decyzja
n=50 n=100 n=150
x=1 12 12 12
x=2 -9 24 24
x=3 -41 14 36
x=4 -73 -18 37
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 2
Reguła maksymalizacji oczekiwanej korzyści
Reguła maksymalizacji oczekiwanej korzyści
Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa
zaistnienia kolejnych stanów natury obliczamy
oczekiwane korzyści dla poszczególnych decyzji.
Decyzją rekomendowaną jest ta, dla której
oczekiwana korzyść jest maksymalna.
EK(x=1) = 12 · 0,26 + 12 · 0,4 + 12 · 0,34 = 12
EK(x=2) = ( 9) · 0,26 + 24 · 0,4 + 24 · 0,34 = 15,42
EK(x=3) = ( 41) · 0,26 + 14 · 0,4 + 36 · 0,34 = 7,18
EK(x=4) = ( 73) · 0,26 + ( 18) · 0,4 + 37 · 0,34 =  13,6
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 3
Jednoetapowe drzewo decyzyjne (1)
Jednoetapowe drzewo decyzyjne (1)
n = 50 ( 0,26 )
12
x = 1 EK x = 1) = 12 n = 100 ( 0,40 )
12
a
n = 150 ( 0,3 4)
12
n = 50 ( 0,26 )
 9
x = 2 EK(x = 2) = 15,42 n = 100 ( 0,40 )
24
b
Węzeł
n = 150 ( 0,34 )
24
Węzły
decyzyjny
n = 50 ( 0,26 )
losowe
1
 41
x = 3 EK(x = 3) = 7,18 n = 100 ( 0,40 )
14
c
n = 150 ( 0,34 )
36
n = 50 ( 0,26 )
 73
x = 4 EK(x = 4) =  13,6 n = 100 ( 0,40 )
 18
d
n = 150 ( 0,34 )
37
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 4
Jednoetapowe drzewo decyzyjne (2)
Jednoetapowe drzewo decyzyjne (2)
x = 1 EK(x = 1) = 12 n = 100 ( 0,40 )
12
n = 50 ( 0,26 )
 9
x = 2 EK(x = 2) = 15,42
a
n = 100 lub n = 150 ( 0,74 )
24
n = 50 ( 0,26 )
1
 41
x = 3 EK x = 3) = 7,18 n = 100 ( 0,40 )
14
b
n = 150 ( 0,34 )
36
n = 50 ( 0,26 )
 73
x = 4 EK(x = 4) =  13,6 n = 100 ( 0,40 )
 18
c
n = 150 ( 0,34 )
37
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 5
Zadanie dwuetapowe
Zadanie dwuetapowe
Przykład 5.2
Przykład 5.2
Kapitał gazeciarza na początku pierwszego dnia = 75
Decyzje dopuszczalne
Dzień pierwszy Dzień drugi
x1(75) = 1 x2(87) = 1 x2(66) = 1 x2(99) = 1
x1(75) = 2 x2(87) = 2 x2(66) = 2 x2(99) = 2
x2(99) = 3
Strategia -
funkcja przyporządkowująca każdemu węzłowi
decyzyjnemu pewnÄ… decyzjÄ™
Strategia
przyporządkowuje każdemu stanowi decyzję
optymalna -
optymalną z punktu widzenia przyjętej reguły
decyzyjnej
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 6
Dwuetapowe drzewo decyzyjne (1)
Dwuetapowe drzewo decyzyjne (1)
Etap 2
Etap 2
EK(x2(87)=1) = 99
EK(x2(87)=2) = 78 · 0,26 + 111 · 0,74 = 102,42
EK(x2(66)=1) = 78
EK(x2(66)=2) = 57 · 0,26 + 90 · 0,74 = 81,42
EK(x2(99)=1) = 111
EK(x2(99)=2) = 90 · 0,26 + 123 · 0,74 = 114,42
EK(x2(99)=3) = 58 · 0,26 + 113 · 0,4 + 135 · 0,34 = 106,18
Etap 1
Etap 1
EK(x2(75)=1) = 102,42
EK(x2(75)=2) = 81,42 · 0,26 + 114,42 · 0,74 = 105,84
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 7
Dwuetapowe drzewo decyzyjne (2)
Dwuetapowe drzewo decyzyjne (2)
x2 = 1 EK(x2(87)=1) = 99 n = 50 lub n = 100 lub n = 150 (1)
n = 50
99
lub n =100
lub n =150
x1 = 1 EK(x1(75)=1) = 102,42
(1)
2 Kapitał = 87 n = 50 (0,26)
78
x2 = 2 EK(x2(87)=2) = 102,42 n = 100 lub n = 150 (0,74)
111
b
x2 = 1 EK(x2(66)=1) = 78 n = 50 lub n = 100 lub n = 150 (1)
78
n = 50
(0,26)
3
Kapitał = 66 n = 50 (0,26)
1
Kapitał = 75
57
x2 = 2 EK(x2(66)=2) = 81,42 n = 100 lub n = 150 (0,74)
90
c
x2 = 1 EK(x2(99)=1) = 111 n = 50 lub n = 100 lub n = 150 (1)
111
x1 = 2 EK(x1(75)=2) = 105,84 n = 50 (0,26)
n = 100
90
a
lub n = 150
(0,74)
x2=2 EK(x2(99)=2) =114,42 n = 100 lub n = 150 (0,74)
4
123
d
Kapitał = 99
n = 50 (0,26)
58
x2=3 EK(x2(99)=3) = 106,18 n = 100 (0,40)
113
e
n = 150 (0,34)
135
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 8
Dwuetapowe drzewo decyzyjne (5)
Dwuetapowe drzewo decyzyjne (5)
Strategia optymalna
Strategia optymalna
Etap Węzeł Decyzja
decyzyjny optymalna
1 1 x1 = 2
2 2 x2 = 2
2 3 x2 = 2
2 4 x2 = 2
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 9
Funkcja użyteczności przy awersji do ryzyka
Funkcja użyteczności przy awersji do ryzyka
Å„Å‚10 x, x e" 0
ôÅ‚
u1(x) =
òÅ‚- x2
, x < 0
ôÅ‚
ół 10
Wartości funkcji użyteczności u1 przy popycie wynoszącym:
Decyzja
n = 50 n = 100 n = 150
x = 1 34,64 34,64 34,64
x = 2  8,1 48,99 48,99
x = 3  168,1 37,42 60
x = 4  532,9  32,4 60,83
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 10
Reguła maksymalizacji oczekiwanej użyteczności (1)
Reguła maksymalizacji oczekiwanej użyteczności (1)
Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia
kolejnych stanów natury obliczamy oczekiwane użyteczności dla
poszczególnych decyzji. Decyzją rekomendowaną jest ta, dla której
oczekiwana użyteczność jest maksymalna.
Eu1(x=1) = 34,64 · 0,26 + 34,64 · 0,4 + 34,64 · 0,34 = 34,64
Eu1 (x=2) = ( 8,1) · 0,26 + 48,99 · 0,4 + 48,99 · 0,34 = 34,15
Eu1 (x=3) = ( 168,1) · 0,26 + 37,42 · 0,4 + 60 · 0,34 =  8,34
Eu1 (x=4) = ( 532,9) · 0,26 + ( 32,4) · 0,4 + 60,83 · 0,34 =  130,83
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 11
Funkcja użyteczności przy skłonności do ryzyka
Funkcja użyteczności przy skłonności do ryzyka
Å„Å‚
x2
, x e" 0
ôÅ‚
u2(x) =
10
òÅ‚
ôÅ‚-10 x , x < 0
ół
Wartości funkcji użyteczności u2 przy popycie wynoszącym:
Decyzja
n = 50 n = 100 n = 150
x = 1 14,4 14,4 14,4
x = 2  30 57,6 57,6
x = 3  64,03 19,6 129,6
x = 4  85,44  42,43 136,9
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 12
Reguła maksymalizacji oczekiwanej użyteczności (2)
Reguła maksymalizacji oczekiwanej użyteczności (2)
Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia
kolejnych stanów natury obliczamy oczekiwane użyteczności dla
poszczególnych decyzji. Decyzją rekomendowaną jest ta, dla której
oczekiwana użyteczność jest maksymalna.
Eu2(x=1) = 14,4 · 0,26 + 14,4 · 0,4 + 14,4 · 0,34 = 14,4
Eu2(x=2) = ( 30) · 0,26 + 57,6 · 0,4 + 57,6 · 0,34 = 34,82
Eu2(x=3) = ( 64,03) · 0,26 + 19,6 · 0,4 + 129,6 · 0,34 = 35,26
Eu2(x=4) = ( 85,44) · 0,26 + ( 42,43) · 0,4 + 136,9 · 0,34 = 7,36
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 13
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Przykład 5.3
Przykład 5.3
Warunki pogodowe
Rodzaj
uprawy
Susze Normalne Deszcze
1 8 10 12
2 10 11 7
3 9 13 8
4 11 10 6
5 10 10 9
Jaką decyzję powinien podjąć rolnik nie znając prawdopodobieństw
wystąpienia możliwych stanów natury?
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 14
Reguła max-min
Reguła max-min
Wykorzystując kolejne wiersze macierzy wypłat znajdujemy dla
każdej decyzji minimalną korzyść, którą możemy uzyskać biorąc
pod uwagę możliwość realizacji kolejnych stanów natury.
Wybieramy tę decyzję, dla której minimalna korzyść jest
największa.
Warunki pogodowe
Rodzaj
min
uprawy
Susze Normalne Deszcze
1 8 10 12 8
2 10 11 7 7
3 9 13 8 8
4 11 10 6 6
max
5 10 10 9 9
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 15
Reguła min-max
Reguła min-max
Wykorzystując kolejne wiersze macierzy wypłat
znajdujemy dla każdej decyzji maksymalną stratę, którą
możemy ponieść biorąc pod uwagę możliwość realizacji
kolejnych stanów natury. Wybieramy tę decyzję, dla której
maksymalna strata jest najmniejsza.
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 16
Reguła max-max
Reguła max-max
Wykorzystując kolejne wiersze macierzy wypłat znajdujemy dla
każdej decyzji maksymalną korzyść, którą możemy uzyskać biorąc
pod uwagę możliwość realizacji kolejnych stanów natury.
Wybieramy tę decyzję, dla której maksymalna korzyść jest
największa.
Warunki pogodowe
Rodzaj
max
uprawy
Susze Normalne Deszcze
1 8 10 12 12
2 10 11 7 11
max
3 9 13 8 13
4 11 10 6 11
5 10 10 9 10
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 17
Reguła Hurwicza (1)
Reguła Hurwicza (1)
Współczynnik ostrożności
Współczynnik ostrożności
ai - minimalna wypłata dla decyzji i,
Ai - maksymalna wypłata dla decyzji i,
Hi(Å‚) = ai ·Å‚ + Ai ·(1 - Å‚)
ł " [0, 1] - współczynnik ostrożności
Wartość 1 charakteryzuje skrajną awersję do ryzyka,
wartość 0 skrajną skłonność do ryzyka.
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 18
Reguła Hurwicza (2)
Reguła Hurwicza (2)
Wykorzystując kolejne wiersze macierzy wypłat
znajdujemy dla każdej decyzji o numerze i wartości: ai, Ai
oraz Hi(ł). Wybieramy tę decyzję, dla której wartość Hi(ł)
jest największa.
Warunki pogodowe
Rodzaj
min max
Hi(Å‚-=0,5)
uprawy
Susze Normalne Deszcze
10
1 8 10 12 8 12
2 10 11 7 7 11 9
max
3 9 13 8 8 13 10,5
4 11 10 6 6 11 8,5
5 10 10 9 9,5
9 10
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 19
Reguła Hurwicza (3)
Reguła Hurwicza (3)
Funkcja H1(Å‚)
Funkcja H1(Å‚)
H1(Å‚) = 8 · Å‚ + 12 · (1  Å‚)
H1(Å‚)
H1(Å‚) = 8 Å‚ + 12 (1-Å‚)
12
8
O 1 Å‚
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 20
Reguła Hurwicza (4)
Reguła Hurwicza (4)
Funkcje H1(Å‚) - H5(Å‚)
Funkcje H1(Å‚) - H5(Å‚)
H1(Å‚) = 8 · Å‚ + 12 · (1  Å‚)
H(Å‚)
H2(Å‚) = 7 · Å‚ + 11 · (1  Å‚)
H3(Å‚) = 8 · Å‚ + 13 · (1  Å‚)
H4(Å‚) = 6 · Å‚ + 11 · (1  Å‚)
10
H5(Å‚) = 9 · Å‚ + 10 · (1  Å‚)
1
O Å‚
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 21
Reguła Hurwicza (5)
Reguła Hurwicza (5)
Funkcje H(Å‚)
Funkcje H(Å‚)
H(Å‚) = max { H1(Å‚), H2(Å‚), H3(Å‚), H4(Å‚), H5(Å‚) }
H3(Å‚) = 8 Å‚ + 13 (1-Å‚)
A
H5(Å‚) = 9 Å‚ + 10 (1-Å‚)
H1(Å‚) = 8 Å‚ + 11 (1-Å‚)
B
10
C
H2(Å‚) = 7Ä… + 11 (1-Å‚)
H4(Å‚) = 6 Å‚ + 11(1-Å‚)
O 1
Å‚
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 22
Reguła Laplace a
Reguła Laplace a
Wykorzystując kolejne wiersze macierzy wypłat znajdujemy dla
każdej decyzji oczekiwaną korzyść, przyjmując, że realizacje
kolejnych stanów natury są równie prawdopodobne. Wybieramy tę
decyzję, dla której oczekiwana korzyść jest największa.
Warunki pogodowe
Rodzaj Oczekiwana
uprawy
korzyść
Susze Normalne Deszcze
max
1 8 10 12 30/3
2 10 11 7
28/3
max
3 9 13 8
30/3
4 11 10 6
27/3
5 10 10 9 29/3
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 23
Reguła Savage a (1)
Reguła Savage a (1)
Macierz żalu
Macierz żalu
Pozwala na określenie utraconych korzyści, związanych z podjęciem
decyzji, która okazała się nietrafna w kontekście zrealizowanego
stanu natury.
w*j - maksymalna wartość w j-tej kolumnie macierzy wypłat,
wij - korzyści dla decyzji x=i oraz j-tego stanu natury,
zij - element macierzy żalu: zij = w*j  wij
3 3 0
8 10 12 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 2 5śł
ïÅ‚10 11 7 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Z = 2 0 4
ïÅ‚ śł
W = 9 13 8
ïÅ‚0 3 6śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚11 10 6 śł
ïÅ‚1 3 3śł
ïÅ‚10 10 9 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
w*j 11
13 12
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 24
Reguła Savage a (2)
Reguła Savage a (2)
Wykorzystując kolejne wiersze macierzy wypłat znajdujemy dla
każdego stanu natury wartości maksymalnych korzyści w*j i
tworzymy macierz żalu Z. Dla kolejnych decyzji znajdujemy
maksymalne wartości macierzy Z. Wybieramy decyzję, która
minimalizuje największą możliwą stratę.
Warunki pogodowe
Rodzaj Maksymalny
uprawy
żal
Susze Normalne Deszcze
max
1 3 3 0
3
5
2 1 2 5
4
3 2 0 4
6
4 0 3 6
max
3
5 1 3 3
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 25
Reguły decyzyjne - porównanie wyników
Reguły decyzyjne - porównanie wyników
Rekomendowana
Reguła decyzyjna
decyzja
Max-min 5
Max-max 3
Hurwicza 3
Laplace a 1, 3
Savage a 1, 5
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 26
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gry dwuosobowe o sumie zero
Przykład 5.4
Przykład 5.4
S1  spędzić po jednym dniu w mieście A i mieście B
S2  spędzić obydwa dni w A
S3  spędzić obydwa dni w B.
Macierze wypłat
Macierze wypłat
1 2 4 -1 - 2 - 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 0 5 śł ïÅ‚-1 0 - 5śł
W1 = W2 =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 -1 1
ðÅ‚0 1 -1ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 4
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 0 5 śł
W =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 1 -1ûÅ‚
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 27
Eliminacja strategii zdominowanych
Eliminacja strategii zdominowanych
Dominacja strategii Strategia zdominowana
Strategia dominujÄ…ca Strategia niezdominowana
1 2 4
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 4
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 0 5 śł
W = W =
ïÅ‚1 0 5śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 1 -1ûÅ‚
1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
W = W = [1 2]
ïÅ‚1 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚
W = [1]
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 28
Punkt siodłowy (1)
Punkt siodłowy (1)
wI* - wypłata gracza I otrzymana przy wykorzystaniu strategii
SI(i*) wybranej przy pomocy reguły max-min.
wII* - wypłata gracza II otrzymana przy wykorzystaniu strategii
SII(j*) wybranej przy pomocy reguły min-max.
Jeżeli
wI* = wII*
racjonalne oczekiwania Gracza I spotykajÄ… siÄ™ z racjonalnymi
oczekiwaniami Gracza II
(SI(i*), SII(j*)) - punkt siodłowy
O ile istnieje punkt siodłowy, jest on rozwiązaniem optymalnym
gry.
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 29
Punkt siodłowy (2)
Punkt siodłowy (2)
Przykład 5.5
Przykład 5.5
Gracz II
Gracz I
min
SII1 SII2 SII3 SII4 SII5
SI1 180 150 230 170 150
150
150
SI2 200 210 200 150 190
max
190
SI3 210 230 190 190 200
150
SI4 150 220 170 180 220
150
SI5 210 200 160 150 210
max
230 230 190 220
210
min
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 30
Gra Człowiek  Kogut  Robak
Gra Człowiek  Kogut  Robak
Przykład 5.6
Przykład 5.6
Człowiek Kogut Robak min
Człowiek 0 1  1  1
Kogut  1 0 1  1
Robak 1  1 0  1
max 1 1 1
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 31
Strategie mieszane (1)
Strategie mieszane (1)
Definicje
Definicje
Wektor wierszowy x = [x1, x2, & , xm] taki, że 0 d" xi d" 1 oraz
x1 + x2 + & + xm = 1 nazywamy strategiÄ… mieszanÄ… gracza I.
Wektor kolumnowy y = [y1, y2, & , yn] taki, że 0 d" yj d" 1 oraz
y1 + y2 + & + yn = 1 nazywamy strategiÄ… mieszanÄ… gracza II.
Strategia czysta jest szczególnym przypadkiem strategii mieszanej, w
której ustaloną strategię wybieramy z prawdopodobieństwem 1.
wI(x, y) oczekiwana wypłata Gracza I, o ile będzie on stosował strategię
x, a Gracz II strategiÄ™ y.
wII(x, y)
oczekiwana wypłata Gracza II, o ile będzie on stosował strategię
y, a Gracz II strategiÄ™ x.
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 32
Strategie mieszane (2)
Strategie mieszane (2)
Oczekiwana wypłata Gracza I
Oczekiwana wypłata Gracza I
S1 0 1 -1
I îÅ‚ Å‚Å‚
Gracz I stosuje strategiÄ™ x* = [x*1, x*2, x*3]
ïÅ‚-1 0 1 śł
2
S
I
ïÅ‚ śł
Gracz II stosuje strategiÄ™ y = [y1, y2, y3]
ïÅ‚ śł
S3 ðÅ‚ 1 -1 0
I
ûÅ‚
Strategia SI1
[0 Å" y1 + 1 Å" y2 + (-1) Å" y3] Å" x*1
Strategia SI2 [(-1) Å" y1 + 0 Å" y2 + 1 Å" y3] Å" x*2
Strategia SI3 [1 Å" y1 + (-1) Å" y2 + 0 Å" y3] Å" x*3
czyli
wI(x*, y) = (y2  y3) Å" x*1 + ( y1 + y3) Å" x*2 + (y1  y2) Å" x*3
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 33
Strategie mieszane (3)
Strategie mieszane (3)
Oczekiwana wypłata Gracza II
Oczekiwana wypłata Gracza II
2 3
S1 S S
II II II
Gracz I stosuje strategiÄ™ x = [x1, x2, x3]
0 1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-1 0 1 śł
Gracz II stosuje strategiÄ™ y* = [y*1, y*2, y*3]
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 -1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
Strategia SII1
[0 Å" x1 + (-1) Å" x2 + 1 Å" x3] Å" y*1
Strategia SII2 [1 Å" x1 + 0 Å" x2 + (-1) Å" x3] Å" y*2
Strategia SII3 [(-1) Å" x1 + 1 Å" x2 + 0 Å" x3] Å" y*3
czyli
wII(x*, y) = ( x2 + x3) Å" y*1 + (x1  x3) Å" y*2 + ( x1 + x2) Å" y*3
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 34
Strategie mieszane (4)
Strategie mieszane (4)
Przypadek ogólny
Przypadek ogólny
m  liczba strategii Gracza I
n  liczba strategii Gracza II
w11 w12 ... w1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚w w22 ... w2n śł
21
ïÅ‚ śł
W =
ïÅ‚ śł
... ... ... ...
ïÅ‚ śł
m1
ðÅ‚w wm2 ... wmn ûÅ‚
m
wI (x*, y) =
i
11
"(w y1 + w12 y2 + ... + w1n yn ) Å" x*
i=1
n
wII(x, y*) =
j
11
"(w x1 + w21x2 + ... + wm1xm ) Å" y*
j=1
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 35
Strategie mieszane (5)
Strategie mieszane (5)
Twierdzenie 1
Dla dowolnej strategii x Gracza I oraz y Gracza II zachodzi zwiÄ…zek:
wI(x, y) d" wII(x, y)
Twierdzenie 2
Istnieje para strategii optymalnych x* oraz y* taka, że:
wI(x*, y*) = wII(x*, y*)
Twierdzenie 3
Wartość v oraz strategie optymalne x* oraz y* wyznaczamy przez rozwiązanie
następujących zadań programowania liniowego, sformułowanych dla
poszczególnych graczy:
Gracz I
Gracz II
v max
v min
xW e" v
Wy d" v
x1 = 1
1y = 1
x e" 0
y e" 0
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 36
Strategie mieszane (6)
Strategie mieszane (6)
Wyznaczenie optymalnych strategii mieszanych
Wyznaczenie optymalnych strategii mieszanych
Gracz I Gracz II
x4 max y4 min
- x2 + x3 e" x4 y2 - y3 d" y4
x1 - x3 e" x4 - y1 + y3 d" y4
- x1 - x2 e" x4 y1 - y2 d" y4
x1 + x2 + x3 = 1 y1 + y2 + y3 = 1
x1, x2, x3 e" 0 y1, y2, y3 e" 0
x4 max y4 min
- x2 + x3 - x4 e" 0 y2 - y3 - y4 d" 0
x1 - x3 - x4 e" 0 - y1 + y3 - y4 d" 0
- x1 - x2 - x4 e" 0 y1 - y2 - y4 d" 0
x1 + x2 + x3 = 1 y1 + y2 + y3 = 1
x1, x2, x3 e" 0 y1, y2, y3 e" 0
RozwiÄ…zanie optymalne
1 1 1 1 1 1
x* = , x* = , x* = , x* = 0, y* = , y* = , y* = , y* = 0,
1 2 3 4 1 2 3 4
3 3 3 3 3 3
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 37
Strategie mieszane (7)
Strategie mieszane (7)
Dualność zadań dla Gracza I i Gracza II
Dualność zadań dla Gracza I i Gracza II
x4 max - x4 min
- x2 + x3 - x4 e" 0 - x2 + x3 - x4 e" 0
x1 - x3 - x4 e" 0 x1 - x3 - x4 e" 0
- x1 - x2 - x4 e" 0 - x1 - x2 - x4 e" 0
x1 + x2 + x3 =1 - x1 - x2 - x3 = -1
x1, x2, x3 e" 0 x1, x2, x3 e" 0
- y4 max y4 min
y2 - y3 - y4 d" 0 y2 - y3 - y4 d" 0
- y1 + y3 - y4 d" 0 - y1 + y3 - y4 d" 0
y1 - y2 - y4 d" 0 y1 - y2 - y4 d" 0
- y1 - y2 - y3 = -1 y1 + y2 + y3 = 1
y1, y2, y3 e" 0 y1, y2, y3 e" 0
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 38
Podsumowanie (1)
Podsumowanie (1)
SÅ‚owa kluczowe
Niepełna informacja
Stany natury
Macierz wypłat
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Reguła maksymalizacji oczekiwanej korzyści
Decydent z awersjÄ… do ryzyka
Decydent ze skłonnością do ryzyka
Użyteczność
Funkcja użyteczności
Reguła maksymalizacji oczekiwanej użyteczności
Decyzje jednoetapowe
Decyzje wieloetapowe
Drzewo decyzyjne
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 39
Podsumowanie (2)
Podsumowanie (2)
SÅ‚owa kluczowe (c.d.)
Reguły decyzyjne w warunkach niepewności
Regułą max-min, min-max, max-max
Współczynnik ostrożności
Reguła minimalnego żalu
Teoria gier
Gra dwuosobowa o sumie zero
Strategia
Strategia optymalna
Strategia zdominowana
Strategia dominujÄ…ca
Punkt siodłowy
Strategia mieszana
Pora na relaks
Pora na relaks
T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5/ 40