Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 1
Wykład nr 1
Wprowadzenie i podstawowe pojęcia.
Wprowadzenie i podstawowe pojęcia.
Rachunek wektorowy.
Rachunek wektorowy.
Wypadkowa układu sił.
Wypadkowa układu sił.
Równowaga.
Równowaga.
1
1
Przedmiot
Przedmiot
Mechanika:
Mechanika:
 ogólna, techniczna, teoretyczna.
 ogólna, techniczna, teoretyczna.
Dział fizyki zajmujący się badaniem
Dział fizyki zajmujący się badaniem
Dział fizyki zajmujący się badaniem
Dział fizyki zajmujący się badaniem
ruchu i równowagi ciał materialnych,
ruchu i równowagi ciał materialnych,
ustalaniem ogólnych praw ruchu oraz ich
ustalaniem ogólnych praw ruchu oraz ich
stosowaniem do wyidealizowanych ciał
stosowaniem do wyidealizowanych ciał
rzeczywistych (punkt materialny oraz
rzeczywistych (punkt materialny oraz
ciało doskonale sztywne  ramy, kraty).
ciało doskonale sztywne  ramy, kraty).
2
2
Program zajęć (1)
Program zajęć (1)
Podstawowe pojęcia.
Podstawowe pojęcia.
Podstawy rachunku wektorowego.
Podstawy rachunku wektorowego.
Układy sił i stan równowagi.
Układy sił i stan równowagi.
Układy sił i stan równowagi.
Układy sił i stan równowagi.
Reakcje więzów w układach
Reakcje więzów w układach
płaskich.
płaskich.
Siły wewnętrzne
Siły wewnętrzne
 w belkach;
 w belkach;
 w ustrojach ramowych.
 w ustrojach ramowych.
3
3
Program zajęć (2)
Program zajęć (2)
Siły wewnętrzne:
Siły wewnętrzne:
 w kratownicach;
 w kratownicach;
 w łukach;
 w łukach;
 w łukach;
 w łukach;
Reakcje więzów i siły wewnętrzne
Reakcje więzów i siły wewnętrzne
w układach przestrzennych.
w układach przestrzennych.
Zjawisko tarcia i prawa tarcia;
Zjawisko tarcia i prawa tarcia;
Elementy kinematyki.
Elementy kinematyki.
Podstawy dynamiki.
Podstawy dynamiki.
4
4
Literatura
Literatura
[1] J. Leyko: Mechanika ogólna
[1] J. Leyko: Mechanika ogólna
[2] J. Leyko: Mechanika ogólna w zadaniach
[2] J. Leyko: Mechanika ogólna w zadaniach
[3] J. Misiak: Mechanika ogólna
[3] J. Misiak: Mechanika ogólna
[4] Z. Cywiński: Mechanika budowli w
[4] Z. Cywiński: Mechanika budowli w
[4] Z. Cywiński: Mechanika budowli w
[4] Z. Cywiński: Mechanika budowli w
zadaniach (Tom 1)
zadaniach (Tom 1)
[5] A. Chudzikiewicz: Statyka budowli
[5] A. Chudzikiewicz: Statyka budowli
(Tom 1)
(Tom 1)
[6] P. Jastrzębski, J. Mutermilch,
[6] P. Jastrzębski, J. Mutermilch,
W. Orłowski: Wytrzymałość materiałów
W. Orłowski: Wytrzymałość materiałów
(Tom 1)
(Tom 1)
5
5
Zaliczenie
Zaliczenie
Ćwiczenia:
Ćwiczenia:
 obecności;
 obecności;
 ćwiczenie projektowe;
 ćwiczenie projektowe;
 ćwiczenie projektowe;
 ćwiczenie projektowe;
 kolokwia.
 kolokwia.
Egzamin:
Egzamin:
 część pisemna;
 część pisemna;
 część ustna.
 część ustna.
6
6
Działy mechaniki
Działy mechaniki
Statyka  bada przypadki, kiedy siły działające na
Statyka  bada przypadki, kiedy siły działające na
ciało nie wywołują sił bezwładności, tj. są
ciało nie wywołują sił bezwładności, tj. są
przykładane w nieskończenie długim czasie oraz
przykładane w nieskończenie długim czasie oraz
równoważą się wzajemnie.
równoważą się wzajemnie.
Kinematyka  zajmuje się badaniem ruchu ciał
Kinematyka  zajmuje się badaniem ruchu ciał
Kinematyka  zajmuje się badaniem ruchu ciał
Kinematyka  zajmuje się badaniem ruchu ciał
niezależnie od czynników wywołujących ten ruch.
niezależnie od czynników wywołujących ten ruch.
Przedmiotem badań są: droga, prędkość,
Przedmiotem badań są: droga, prędkość,
przyspieszenie itd.
przyspieszenie itd.
Dynamika  rozpatruje ruch ciał w zależności od sił
Dynamika  rozpatruje ruch ciał w zależności od sił
działających na nie, bada zależności między takimi
działających na nie, bada zależności między takimi
wielkościami jak: prędkość, przyśpieszenie, pęd, siła,
wielkościami jak: prędkość, przyśpieszenie, pęd, siła,
energia itd.
energia itd.
7
7
Zasady dynamiki Newtona (1)
Zasady dynamiki Newtona (1)
Prawo I
Prawo I
Punkt materialny, na który nie działa
Punkt materialny, na który nie działa
żadna siła lub działające siły
żadna siła lub działające siły
żadna siła lub działające siły
żadna siła lub działające siły
równoważą się, pozostaje w spoczynku
równoważą się, pozostaje w spoczynku
lub porusza się ruchem jednostajnym
lub porusza się ruchem jednostajnym
po linii prostej.
po linii prostej.
8
8
Zasady dynamiki Newtona (2)
Zasady dynamiki Newtona (2)
Prawo II
Prawo II
Przyspieszenie punktu materialnego jest
Przyspieszenie punktu materialnego jest
wprost proporcjonalne do siły działającej
wprost proporcjonalne do siły działającej
na ten punkt, a odwrotnie proporcjonalne
na ten punkt, a odwrotnie proporcjonalne
na ten punkt, a odwrotnie proporcjonalne
na ten punkt, a odwrotnie proporcjonalne
do masy punktu materialnego. Jego
do masy punktu materialnego. Jego
zwrot i kierunek zgodny jest ze zwrotem i
zwrot i kierunek zgodny jest ze zwrotem i
kierunkiem wektora siły.
kierunkiem wektora siły.
P = ma
P = ma
P
m
a
9
9
Zasady dynamiki Newtona (3)
Zasady dynamiki Newtona (3)
Prawo III
Prawo III
Dwa punkty materialne działają na
Dwa punkty materialne działają na
siebie dwoma siłami równymi co do
siebie dwoma siłami równymi co do
siebie dwoma siłami równymi co do
siebie dwoma siłami równymi co do
wartości, tym samym kierunku, ale o
wartości, tym samym kierunku, ale o
przeciwnym zwrocie.
przeciwnym zwrocie.
P1 =� -�P2
P2
P1 =� P2
P1
10
10
Idealizacje (1)
Idealizacje (1)
Punkt materialny  ciało o
Punkt materialny  ciało o
nieskończenie małych wymiarach, ale
nieskończenie małych wymiarach, ale
posiadające masę.
posiadające masę.
Modeluje ciała o bardzo małych
Modeluje ciała o bardzo małych
Modeluje ciała o bardzo małych
Modeluje ciała o bardzo małych
wymiarach w porównaniu z wymiarami
wymiarach w porównaniu z wymiarami
otoczenia.
otoczenia.
Wymiary na tyle małe, aby można było
Wymiary na tyle małe, aby można było
pominąć obrót ciała względem układu
pominąć obrót ciała względem układu
odniesienia.
odniesienia.
11
11
Idealizacje (2)
Idealizacje (2)
Ciało doskonale sztywne 
Ciało doskonale sztywne 
odległości między jego punktami nie
odległości między jego punktami nie
zmieniają się (nie podlega
zmieniają się (nie podlega
odkształceniom pod wpływem
odkształceniom pod wpływem
odkształceniom pod wpływem
odkształceniom pod wpływem
działających sił).
działających sił).
Model ciała rzeczywistego, gdy
Model ciała rzeczywistego, gdy
odkształcenia są pomijalnie małe w
odkształcenia są pomijalnie małe w
stosunku do wymiarów.
stosunku do wymiarów.
12
12
Idealizacje (3)
Idealizacje (3)
Zasada zesztywnienia
Zasada zesztywnienia
Warunki równowagi sił działających
Warunki równowagi sił działających
na ciało odkształcalne nie zostaną
na ciało odkształcalne nie zostaną
na ciało odkształcalne nie zostaną
na ciało odkształcalne nie zostaną
naruszone przez zesztywnienie tego
naruszone przez zesztywnienie tego
ciała.
ciała.
Punkt przyłożenia siły nie ulega
Punkt przyłożenia siły nie ulega
przesunięciu mimo odkształcenia
przesunięciu mimo odkształcenia
konstrukcji.
konstrukcji.
13
13
Zasada superpozycji
Zasada superpozycji
Działania poszczególnych obciążeń są
Działania poszczególnych obciążeń są
od siebie niezależne.
od siebie niezależne.
Efekt działania (odkształcenie, siła
Efekt działania (odkształcenie, siła
Efekt działania (odkształcenie, siła
Efekt działania (odkształcenie, siła
wewnętrzna) dwóch lub więcej
wewnętrzna) dwóch lub więcej
wpływów (obciążeń) może zostać
wpływów (obciążeń) może zostać
wyznaczony jako suma efektów
wyznaczony jako suma efektów
wywołanych działaniem tych wpływów
wywołanych działaniem tych wpływów
oddzielnie.
oddzielnie.
14
14
Skalar i wektor
Skalar i wektor
Skalar  do opisania niezbędne jest
Skalar  do opisania niezbędne jest
podanie jednej wartości w odniesieniu
podanie jednej wartości w odniesieniu
do określonego punktu w przestrzeni.
do określonego punktu w przestrzeni.
Wektor  do opisania poza miarą
Wektor  do opisania poza miarą
Wektor  do opisania poza miarą
Wektor  do opisania poza miarą
(modułem, długością wektora),
(modułem, długością wektora),
niezbędne jest podanie:
niezbędne jest podanie:
 kierunku (ułożenia linii działania),
 kierunku (ułożenia linii działania),
 zwrotu (uporządkowania punktów od
 zwrotu (uporządkowania punktów od
początku do końca wektora),
początku do końca wektora),
 punktu zaczepienia.
 punktu zaczepienia.
15
15
Interpretacja geometryczna,
Interpretacja geometryczna,
przykłady
przykłady
Wektor można przedstawić jako
Wektor można przedstawić jako
uporządkowaną parę punktów, z
uporządkowaną parę punktów, z
których jeden jest początkiem wektora,
których jeden jest początkiem wektora,
a drugi jego końcem.
a drugi jego końcem.
a drugi jego końcem.
a drugi jego końcem.
Skalary:
Skalary:
 gęstość, masa, temperatura, energia;
 gęstość, masa, temperatura, energia;
Wektory
Wektory
 przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie,
 przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie,
siła.
siła.
16
16
Rodzaje wektorów
Rodzaje wektorów
Wektory zaczepione  związane z
Wektory zaczepione  związane z
punktem przyłożenia;
punktem przyłożenia;
Wektory ślizgające się  mogące
Wektory ślizgające się  mogące
Wektory ślizgające się  mogące
Wektory ślizgające się  mogące
poruszać się wzdłuż linii działania (np.
poruszać się wzdłuż linii działania (np.
poruszać się wzdłuż linii działania (np.
poruszać się wzdłuż linii działania (np.
wektory sił w mechanice);
wektory sił w mechanice);
Wektory swobodne  mogą zostać
Wektory swobodne  mogą zostać
przyłożone w dowolnym punkcie (np.
przyłożone w dowolnym punkcie (np.
wektory momentów sił).
wektory momentów sił).
17
17
Podstawowe jednostki
Podstawowe jednostki
Masa: g (gram); kg = 1000 g (kilogram)
Masa: g (gram); kg = 1000 g (kilogram)
Długość: mm = 0,001 m (milimetr);
Długość: mm = 0,001 m (milimetr);
m (metr); km = 1000 m (kilometr)
m (metr); km = 1000 m (kilometr)
m (metr); km = 1000 m (kilometr)
m (metr); km = 1000 m (kilometr)
Czas: s (sekunda); min = 60 s (minuta);
Czas: s (sekunda); min = 60 s (minuta);
h = 60 min = 3600 s (godzina)
h = 60 min = 3600 s (godzina)
Siła: N = kg m/s2 (niuton);
Siła: N = kg m/s2 (niuton);
kN = 1000N (kiloniuton)
kN = 1000N (kiloniuton)
Moment siły: Nm (Niutonometr)
Moment siły: Nm (Niutonometr)
18
18
Działania na wektorach
Działania na wektorach
Suma wektorów;
Suma wektorów;
Różnica wektorów;
Różnica wektorów;
Mnożenie wektora przez skalar;
Mnożenie wektora przez skalar;
Mnożenie wektora przez skalar;
Mnożenie wektora przez skalar;
Iloczyn wektorów:
Iloczyn wektorów:
 skalarny;
 skalarny;
 wektorowy;
 wektorowy;
 mieszany;
 mieszany;
 inne wielokrotne iloczyny wektorów.
 inne wielokrotne iloczyny wektorów.
19
19
Dodawanie wektorów
Dodawanie wektorów
Suma wektorowa wektorów a i b:
Suma wektorowa wektorów a i b:
a =� [ax,ay, az ] b =� [bx,by,bz ]
c =� a +� b =� b +� a
c =� [ax +� bx,ay +� by,az +� bz ]
c
b
20
a 20
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów
Kwadrat długości boku trójkąta leżącego
Kwadrat długości boku trójkąta leżącego
naprzeciw kąta g� jest równy sumie
naprzeciw kąta g� jest równy sumie
kwadratów długości boków leżących
kwadratów długości boków leżących
przy tym kącie oraz podwojonego
przy tym kącie oraz podwojonego
przy tym kącie oraz podwojonego
przy tym kącie oraz podwojonego
iloczynu tych długości boków i cosinusa
iloczynu tych długości boków i cosinusa
tego kąta g�.
tego kąta g�.
a�
b
c =� a2 +� b2 -� 2ab cosg�
c
g�
b�
a
21
21
Zasada równoległoboku
Zasada równoległoboku
Suma dwóch wektorów może zostać
Suma dwóch wektorów może zostać
przedstawiona jako przekątna
przedstawiona jako przekątna
równoległoboku zbudowanego na
równoległoboku zbudowanego na
równoległoboku zbudowanego na
równoległoboku zbudowanego na
bazie sumowanych wektorów
bazie sumowanych wektorów
przecinająca kąt między tymi
przecinająca kąt między tymi
wektorami.
wektorami.
c
b
p� -�a�
c =� a2 +� b2 -� 2abcos(p� -�a� ) =�
a�
=� a2 +� b2 +� 2abcosa�
a
22
22
Odejmowanie wektorów(1)
Odejmowanie wektorów(1)
Różnica wektorów a i b jest równa
Różnica wektorów a i b jest równa
sumie wektora a i wektora
sumie wektora a i wektora
przeciwnego do b:
przeciwnego do b:
przeciwnego do b:
przeciwnego do b:
a =� [ax, ay, az ] b =� [bx,by,bz ]
-� b =� [-�bx,-�by,-�bz ] c =� a -� b =� [ax -� bx, ay -� by, az -� bz ]
Różnica wektorów b i a jest równa sumie
Różnica wektorów b i a jest równa sumie
wektora b i wektora przeciwnego do a:
wektora b i wektora przeciwnego do a:
-� a =� [-�ax,-�ay,-�az ] d =� b -� a =� [bx -� ax,by -� ay,bz -� az ]
23
23
Odejmowanie wektorów(2)
Odejmowanie wektorów(2)
b
a
a
d
b
c
-b
-a
a
d =� b +� (�-� a)�=� b -� a
c =� a +� (�-� b)�=� a -� b
24
24
Skalowanie wektora
Skalowanie wektora
Mnożenie wektora przez skalar (n)  wyniku otrzymuje
Mnożenie wektora przez skalar (n)  wyniku otrzymuje
się wektor o takim samym kierunku, mierze n razy
się wektor o takim samym kierunku, mierze n razy
a
większej (przy |n|>1)
większej (przy |n|>1)
n>1
n>1
n>1
n>1
n�a
n�a
lub 1/n razy mniejszej (przy |n|<1) i takim samym
lub 1/n razy mniejszej (przy |n|<1) i takim samym
zwrocie, jeżeli n>0,
zwrocie, jeżeli n>0,
a
00n�a
zaś przeciwnym, jeżeli n<0.
zaś przeciwnym, jeżeli n<0.
a
n�a
-1-1a
n�a
n<-1
n<-1
25
25
Iloczyn skalarny (1)
Iloczyn skalarny (1)
Iloczyn skalarny  wielkość skalarna
Iloczyn skalarny  wielkość skalarna
równa iloczynowi modułów mnożonych
równa iloczynowi modułów mnożonych
wektorów i cosinusa kąta zawartego
wektorów i cosinusa kąta zawartego
wektorów i cosinusa kąta zawartego
wektorów i cosinusa kąta zawartego
między nimi (iloczyn miary jednego
między nimi (iloczyn miary jednego
wektora przez rzut prostokątny
wektora przez rzut prostokątny
drugiego na kierunek pierwszego).
drugiego na kierunek pierwszego).
26
26
Iloczyn skalarny (2)
Iloczyn skalarny (2)
a =� [ax, ay,az ] b =� [bx,by,bz ]
s =� a o�b =� a ��b�� cos S�(a,b) =� axbx +� ayby +� azbz
b
b
a�
a
b cosa�
27
27
Iloczyn wektorowy (1)
Iloczyn wektorowy (1)
Iloczyn wektorowy (wektor):
Iloczyn wektorowy (wektor):
 kierunek prostopadły do płaszczyzny
 kierunek prostopadły do płaszczyzny
wyznaczonej przez mnożone wektory,
wyznaczonej przez mnożone wektory,
 zwrot określony zgodnie z regułą śruby
 zwrot określony zgodnie z regułą śruby
 zwrot określony zgodnie z regułą śruby
 zwrot określony zgodnie z regułą śruby
prawoskrętnej,
prawoskrętnej,
 miara równa iloczynowi miar mnożonych
 miara równa iloczynowi miar mnożonych
wektorów i sinusa kąta między nimi (pole
wektorów i sinusa kąta między nimi (pole
powierzchni równoległoboku
powierzchni równoległoboku
zbudowanego na mnożonych wektorach).
zbudowanego na mnożonych wektorach).
28
28
a�
s
o
c
a
Iloczyn wektorowy (2)
Iloczyn wektorowy (2)
a =� [ax, ay, az ] b =� [bx,by,bz ]
i j k i j k
c =� a��b
c =� a a a d =� bx by bz
x y z
d =� b��a d =� -�c
bx by bz ax ay az
x y z x y z
c =� d =� a ��b��sin S�(a,b) =�
22
2
=� aybz -� azby +� azbx -� axbz +� axby -� aybx
(� )�
(� )� (� )�
b
a�
c
b
a
a�
d
a
29
29
Iloczyn mieszany
Iloczyn mieszany
Iloczyn mieszany  wielkość
Iloczyn mieszany  wielkość
skalarna równa objętości
skalarna równa objętości
równoległościanu zbudowanego na
równoległościanu zbudowanego na
równoległościanu zbudowanego na
równoległościanu zbudowanego na
mnożonych wektorach jako na
mnożonych wektorach jako na
krawędziach.
krawędziach.
V =� (a��b) o� c
d
c
V =� d o� c =� d ��c cosb�
b�
b
d =� absina�
a�
V =� absina� ��c cosb�
30
30
a
Przemienność działań
Przemienność działań
Suma wektorów i iloczyn skalarny są
Suma wektorów i iloczyn skalarny są
działaniami przemiennymi, natomiast
działaniami przemiennymi, natomiast
różnica wektorów i iloczyn wektorowy
różnica wektorów i iloczyn wektorowy
różnica wektorów i iloczyn wektorowy
różnica wektorów i iloczyn wektorowy
nie są przemienne.
nie są przemienne.
a  b = c b  a = d => d = -c
a  b = c b  a = d => d = -c
a � b = c b � a = d => d = -c
a � b = c b � a = d => d = -c
31
31
Pojęcie siły
Pojęcie siły
Siła  wzajemne oddziaływanie ciał,
Siła  wzajemne oddziaływanie ciał,
które przejawia się w wyprowadzeniu
które przejawia się w wyprowadzeniu
ciała ze stanu spoczynku, bądz
przez
ciała ze stanu spoczynku, bądz
przez
ciała ze stanu spoczynku, bądz
przez
ciała ze stanu spoczynku, bądz
przez
zmianę ruchu już poruszającego się
zmianę ruchu już poruszającego się
ciała. Aby scharakteryzować siłę
ciała. Aby scharakteryzować siłę
należy podać wektor, opisujący tą siłę,
należy podać wektor, opisujący tą siłę,
oraz punkt przyłożenia siły.
oraz punkt przyłożenia siły.
32
32
Układy sił
Układy sił
Układ sił  dowolna grupa oddziaływań
Układ sił  dowolna grupa oddziaływań
ciał zewnętrznych na analizowane ciało.
ciał zewnętrznych na analizowane ciało.
Równoważne układy sił
Równoważne układy sił
Dwa układy sił są równoważne wtedy,
Dwa układy sił są równoważne wtedy,
Dwa układy sił są równoważne wtedy,
Dwa układy sił są równoważne wtedy,
gdy zastąpienie jednego układu,
gdy jednego układu,
działającego na ciało sztywne, przez
działającego na ciało sztywne, przez
drugi układ sił nie wywoła zmiany
drugi układ sił
ruchu, czyli nie spowoduje zmiany
, czyli nie spowoduje zmiany
kierunku ruchu, prędkości,
kierunku ruchu, prędkości,
przyśpieszenia, itd.
przyśpieszenia, itd.
33
33
Wypadkowa
Wypadkowa
Siła wypadkowa  wektor, który jest
Siła wypadkowa  wektor, który jest
sumą wszystkich wektorów sił z
sumą wszystkich wektorów sił z
układu, przyłożonego do punktu
układu, przyłożonego do punktu
układu, przyłożonego do punktu
układu, przyłożonego do punktu
materialnego i stanowi układ
materialnego i stanowi układ
równoważny, pod warunkiem, że siła
równoważny, pod warunkiem, że siła
wypadkowa jest przyłożona do tego
wypadkowa jest przyłożona do tego
samego punktu materialnego.
samego punktu materialnego.
34
34
Płaski i przestrzenny
Płaski i przestrzenny
układ sił
układ sił
Układ sił nazywamy płaskim, jeżeli
Układ sił nazywamy płaskim, jeżeli
kierunki wszystkich sił tego układu
kierunki wszystkich sił tego układu
położone są w jednej płaszczyz
nie.
położone są w jednej płaszczyz
nie.
położone są w jednej płaszczyz
nie.
położone są w jednej płaszczyz
nie.
W każdym innym przypadku układ
W każdym innym przypadku układ
nazywamy przestrzennym.
przestrzennym.
35
35
Układ sił zbieżnych
Układ sił zbieżnych
Układ sił zbieżnych  linie działania
Układ sił zbieżnych  linie działania
wszystkich sił przecinają się w jednym
wszystkich sił przecinają się w jednym
punkcie, tzw. punkcie zbieżności.
punkcie, tzw. punkcie zbieżności.
punkcie, tzw. punkcie zbieżności.
punkcie, tzw. punkcie zbieżności.
Określanie wypadkowej układu sił:
Określanie wypadkowej układu sił:
 działających wzdłuż jednej prostej;
 działających wzdłuż jednej prostej;
 zbieżnych
 zbieżnych
metoda graficzna;
metoda graficzna;
metoda analityczna.
metoda analityczna.
36
36
Siły działające wzdłuż
Siły działające wzdłuż
jednej prostej
jednej prostej
Wypadkowa układu sił działających wzdłuż
Wypadkowa układu sił działających wzdłuż
jednej prostej jest wektorem o także
jednej prostej jest wektorem o także
działającym wzdłuż tej prostej, zwrocie
działającym wzdłuż tej prostej, zwrocie
zgodnym z większą ze składanych sił i mierze
zgodnym z większą ze składanych sił i mierze
zgodnym z większą ze składanych sił i mierze
zgodnym z większą ze składanych sił i mierze
równej sumie, gdy miary wektorów
równej sumie, gdy miary wektorów
składowych są zgodne, lub różnicy miar
składowych są zgodne, lub różnicy miar
wektorów składowych, gdy zwroty
wektorów składowych, gdy zwroty
składowych są przeciwne.
składowych są przeciwne.
P
W
P P 2
1 2
P
1
W
W =� P1 +� P2 W =� P1 -� P2
37
37
Wypadkowa
Wypadkowa
- metoda graficzna
- metoda graficzna
Wypadkowa układu dwóch sił może zostać
Wypadkowa układu dwóch sił może zostać
wyznaczona jako przekątna równoległoboku
wyznaczona jako przekątna równoległoboku
zbudowanego w oparciu o wektory
zbudowanego w oparciu o wektory
składowe przecinająca kąt między tymi
składowe przecinająca kąt między tymi
składowe przecinająca kąt między tymi
składowe przecinająca kąt między tymi
wektorami.
wektorami.
W W
P2 P2 P2
a� a� p�-�a�
P1 P1
W =� P12 +� P22 -� 2P1P2 cos(p� -�a� ) =�
=� P12 +� P22 +� 2P1P2 cosa�
38
38
Wielobok sznurowy
Wielobok sznurowy
Do końca pierwszej siły przykładany jest
Do końca pierwszej siły przykładany jest
początek siły następnej, itd. Początek
początek siły następnej, itd. Początek
pierwszej siły połączony z końcem
pierwszej siły połączony z końcem
ostatniej określa wypadkową.
ostatniej określa wypadkową.
ostatniej określa wypadkową.
ostatniej określa wypadkową.
P
3
P
4
P P
P 2 2
3
W
P P
1 1
P
4
39
39
Rozkładanie siły na
Rozkładanie siły na
składowe
składowe
Przez początek i koniec danej siły
Przez początek i koniec danej siły
przeprowadza się kierunki, na które siła
przeprowadza się kierunki, na które siła
ma zostać rozłożona. Siły składowe
ma zostać rozłożona. Siły składowe
mogą zostać wyznaczone jako boki tak
mogą zostać wyznaczone jako boki tak
mogą zostać wyznaczone jako boki tak
mogą zostać wyznaczone jako boki tak
zbudowanego równoległoboku.
zbudowanego równoległoboku.
2
P P
P
2
b� b�
a� a�
1
P
40
40
1
Twierdzenie sinusów
Twierdzenie sinusów
W dowolnym trójkącie stosunek
W dowolnym trójkącie stosunek
długości boku do sinusa
długości boku do sinusa
przeciwległego kąta jest stały i równa
przeciwległego kąta jest stały i równa
przeciwległego kąta jest stały i równa
przeciwległego kąta jest stały i równa
się długości średnicy okręgu opisanego
się długości średnicy okręgu opisanego
na trójkącie.
na trójkącie.
a�
b
c
g�
b�
a
a b c
=� =� =� 2R
R
sina� sin b� sing�
41
41
Miary wektorów
Miary wektorów
składowych
składowych
P1 P2 P
=� =�
sinb� sina� sin(�p� -�(�a� +�b� )�)�
b�
P sinb� P sinb�
P
P1 =� =�
P P
2 2
sin(�p� -�(�a� +�b� )�)� sin(�a� +�b� )�
b� p�-�(�a�+�b�)�
a�
a�
P sina� P sina�
P2 =� =�
P
sin(�p� -�(�a� +�b� )�)� sin(�a� +�b� )�
1
p�
a� +�b� =� p�
��
P sinć� -�a�
�� ��
2
2
Ł� ł�
Px =� =� P cosa�
p�
sin
2
p�/�2�-�a�
P
Py
P sina�
a�
Py =� =� P sina�
p�
sin
Px
2
42
42
Wypadkowa
Wypadkowa
- metoda analityczna
- metoda analityczna
Składowe sił układu:
Składowe sił układu:
Pix =� Pi cosa�i Piy =� Pi sina�i
Składowe wypadkowej:
Składowe wypadkowej:
Składowe wypadkowej:
Składowe wypadkowej:
Wy =� P1y +� P2 y +� ...+� Pny
Wx =� P1x +� P2x +� ...+� Pnx
Siła wypadkowa:
Siła wypadkowa:
W =� Wx2 +�Wy 2
Kierunek wypadkowej:
Kierunek wypadkowej:
Wx
Wy
cosa� =�
sina� =�
W
W
43
43
Przykład
Przykład
y
P
1
P
1y
a�
1�
P
P
3y
3y
P
P
3
P
W 1x
a�
y W
3�
P
3x
a�
x
W
x
P
3
P
2
P
2x
a�
2�
P
W
2
P
P
2y
1
44
44
Moment siły (1)
Moment siły (1)
Moment siły względem punktu  iloczyn
Moment siły względem punktu  iloczyn
wektorowy promienia wodzącego, czyli
wektorowy promienia wodzącego, czyli
wektora łączącego omawiany punkt i punkt
wektora łączącego omawiany punkt i punkt
przyłożenia siły, oraz wektora siły:
przyłożenia siły, oraz wektora siły:
przyłożenia siły, oraz wektora siły:
przyłożenia siły, oraz wektora siły:
P
MO =� r �� P
P
a�
P
MO =� r �� P sina�
r
a�
r^� =� r ��sina�
O
P
MO =� r^� �� P
r
4%
45
45
Moment siły (2)
Moment siły (2)
Moment siły względem prostej -
Moment siły względem prostej -
Momentem względem prostej
Momentem względem prostej
nazywamy iloczyn wektorowy
nazywamy iloczyn wektorowy
nazywamy iloczyn wektorowy
nazywamy iloczyn wektorowy
promienia wodzącego, czyli wektora
promienia wodzącego, czyli wektora
łączącego punkt prostej najbliższy
łączącego punkt prostej najbliższy
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły,
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły,
i wektora siły:
i wektora siły:
Ml=r � P
Ml=r � P
46
46
Wypadkowa układu sił
Wypadkowa układu sił
równoległych
równoległych
Z
Z
Przyłożenie układu
Przyłożenie układu
W
2
zerowego (układ sił
zerowego (układ sił
W
1
P
2
równoważących się,
równoważących się,
P
1
np. dwie siły o
np. dwie siły o
np. dwie siły o
np. dwie siły o
takiej samej mierze,
takiej samej mierze,
linii działania i
linii działania i
Z
przeciwnych
przeciwnych
Z
P
W
1
2
zwrotach) nie
zwrotach) nie
P
W 2
wpływa na stan
wpływa na stan
W
1
P
1
równowagi ciała.
równowagi ciała.
P
2
47
47
Para sił
Para sił
Parę sił stanowią dwie siły o równoległych
Parę sił stanowią dwie siły o równoległych
liniach działania, o przeciwnych zwrotach,
liniach działania, o przeciwnych zwrotach,
zaś o tych samych miarach.
zaś o tych samych miarach.
Ramię pary sił  odległość pomiędzy
Ramię pary sił  odległość pomiędzy
Ramię pary sił  odległość pomiędzy
Ramię pary sił  odległość pomiędzy
kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.
kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.
P1 =� P2 =� P
a
P M =� Pa
2
P
1
48
48
Dowolny płaski układ sił (1)
Dowolny płaski układ sił (1)
Redukcja do siły wypadkowej
Redukcja do siły wypadkowej
przyłożonej w biegunie redukcji i
przyłożonej w biegunie redukcji i
wypadkowego momentu względem
wypadkowego momentu względem
tego bieguna (pary sił).
tego bieguna (pary sił).
tego bieguna (pary sił).
tego bieguna (pary sił).
Siły składowe mogą zostać
Siły składowe mogą zostać
przeniesione do bieguna redukcji,
przeniesione do bieguna redukcji,
pod warunkiem przyłożenie
pod warunkiem przyłożenie
momentu od tych sił względem
momentu od tych sił względem
bieguna redukcji.
bieguna redukcji.
49
49
Dowolny płaski układ sił (2)
Dowolny płaski układ sił (2)
Wypadkową siłę wyznacza się dla układu
Wypadkową siłę wyznacza się dla układu
zbieżnego przyłożonego w biegunie
zbieżnego przyłożonego w biegunie
n
redukcji.
redukcji.
W =�
W =�
��P
��P
i
i
i=�1
Wypadkowy moment jest równy sumie
Wypadkowy moment jest równy sumie
momentów od sił składowych.
momentów od sił składowych.
nn
Mo =�
��r �� Pi =� ��M
i io
i=�1 i=�1
50
50
Przykład (1)
Przykład (1)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
a�1�
P
P3x
(x ,y )
(x3,y3)
(x ,y )
(x1,y1)
P1x
x
0
(x2,y2)
P2x
a�
2�
P2
P2y
51
51
Przykład (2)
Przykład (2)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
a�1�
P
P3x
P1
P1x
P1
0
M0 x
P1
M0 =� -�P1x y1 +� P1yx1
P2x
a�
2�
P2
P2y
52
52
Przykład (3)
Przykład (3)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
a�1�
P
P3x
P1x
P2
M0
x
0
P2
P2
M0 =� -�P2x y2 +� P2 yx2
P2x
a�
2�
P2
P2y
53
53
Przykład (4)
Przykład (4)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
a�1�
P
P3x
P1x
P3
P3
M0
x
0
P3
M0 =� -�P3x y3 +� P3 y x3
P2x
a�
2�
P2
P2y
54
54
Przykład (5)
Przykład (5)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
a�1�
P
P3x
W
P1x
M0
x
0
P1 P2 P3
M0 =� M0 +� M0 +� M0
P2x
a�
2�
P2
P2y
55
55
Dowolny płaski układ sił (3)
Dowolny płaski układ sił (3)
Wypadkowy moment może zostać
Wypadkowy moment może zostać
przedstawiony jako:
przedstawiony jako:
 wektor momentu;
 wektor momentu;
 wektor momentu;
 wektor momentu;
 para sił;
 para sił;
 moment od siły wypadkowej przyłożonej
 moment od siły wypadkowej przyłożonej
nie w biegunie redukcji, a na linii
nie w biegunie redukcji, a na linii
działania wyznaczonej w taki sposób, że
działania wyznaczonej w taki sposób, że
moment od siły wypadkowej równy jest
moment od siły wypadkowej równy jest
momentowi od sił składowych.
momentowi od sił składowych.
56
56
Moment od wypadkowej
Moment od wypadkowej
y
Wy W
W
Wx
y0 M0
a�
x
0
M0 =� -�Wx y0 +�Wy x0
x0
Wy x0 -� M0
y0 =�
Wx
M0
y0 =� x0tga� -�
Wx
57
57
Uogólnienie w przestrzeni
Uogólnienie w przestrzeni
Układ sił zbieżnych  redukcja do siły
Układ sił zbieżnych  redukcja do siły
wypadkowej przyłożonej w punkcie
wypadkowej przyłożonej w punkcie
zbieżności.
zbieżności.
zbieżności.
zbieżności.
Dowolny przestrzenny układ sił 
Dowolny przestrzenny układ sił 
redukcja do wypadkowej siły i
redukcja do wypadkowej siły i
wypadkowego momentu.
wypadkowego momentu.
58
58