Opracowanie bimbaÅ‚owego examu z 25 czerwca 2010. © by Kokosz
Zadanie 1
Aby dobrze zrozumieć to zadanie najlepiej je rozrysować w formie  drzewka :
Oznaczenie ABB' oznacza tutaj zdarzenie polegające na odebraniu jakiegokolwiek sygnału różnego
od ABB, reszta oznaczeń jest raczej intuicyjna.
Prawdopodobieństwa  pierwszej części drzewka odczytujemy bezpośrednio z treści, zaś  drugiej
części wnioskujemy na podstawie danego rys.1
Przykładowo prawdopodobieństwo P(ABB|BBB) to prawdopodobieństwo odebrania sygnału ABB
gdy nadano BBB i tak:
-pierwsza litera: prawdopodobieństwo odebrania A gdy nadano B wynosi 0.25
-druga litera: prawdopodobieństwo odebrania B gdy nadano B wynosi 0.5
-trzecia litera: prawdopodobieństwo odebrania B gdy nadano B wynosi 0.5
Stąd prawdopodobieństwo P(ABB|BBB) wynosi 0.25*0.5*05=0.0625
Analogicznie dla reszty gałęzi.
1
Opracowanie bimbaÅ‚owego examu z 25 czerwca 2010. © by Kokosz
a) Mamy obliczyć P(ABB), czyli prawdopodobieństwo odebrania sygnału ABB. Skorzystamy ze
wzoru na prawdopodobieństwo zupełne (inna nazwa: całkowite):
P śą ABBźą = P śą ABB#"AAAźąÅ"P śą AAAźąƒÄ…P śą ABB#"BBBźąÅ"P śąBBBźąƒÄ… P śą ABB#"CCC źąÅ"P śąCCC źą=
1 1 1 1 1
= 0Å" ƒÄ… Å" ƒÄ…0Å" =
2 16 4 4 64
b) Mamy obliczyć P(AAA|ABB), czyli prawdopodobieństwo tego, że sygnał odebrany jako ABB
był nadany jako AAA. Skorzystamy z twierdzenia Bayesa (odebranie sygnału ABB to wynik
doświadczenia, nadanie sygnału jako AAA to hipoteza):
P śą ABB#"AAAźąÅ"P śą AAAźą
P śą AAA#"ABBźą= =
P śą ABB#"AAAźąÅ"P śą AAAźąƒÄ…P śą ABB#"BBBźąÅ"P śą BBBźąƒÄ… P śąABB#"CCCźąÅ"P śąCCC źą
0Å"1
2
= = 0
1
0Å"1ƒÄ… Å"1 ƒÄ…0Å"1
2 16 4 4
Zgadza się to z intuicją, ponieważ skoro ktoś nadałby sygnał AAA to z rys.1 widać, że odebrany on
też musi być jako AAA, zatem nie może być odebrany jako ABB (prawdopodobieństwo takiej
sytuacji wynosi 0, co wyżej pokazano).
Zadanie 2
a) Stałą C wyliczamy z tzw. warunku normalizacyjnego, tzn
ƒÄ…"
pśą xźą dx=1
+"
-"
U nas:
+ +
2 2
+
+ + + + +
Ccosx dx=C cosx dx=C [ sinx]-2 = C [sin -sin śą- źą]=C [sin ƒÄ…sin ]=C [2sin ]=2C
+" +"
+
2 2 2 2 2
+ +
2
- -
2 2
1
2C=1 Śą C =
Zatem
2
E śą X źą
b) Wartość przeciętna to inaczej wartość średnia, dla zmiennej losowej ciągłej
zdefiniowana jako:
ƒÄ…"
E śą X źą= xÅ"pśą xźądx
+"
-"
2
Opracowanie bimbaÅ‚owego examu z 25 czerwca 2010. © by Kokosz
U nas:
+ +
2 2
+
1Å"cosx dx = 1 1
E śą X źą = x xÅ"cosx dx = [ xÅ"sinxƒÄ…cosx]-2 =
+" +"
+
2 2 2
+ +
2
- -
2 2
1 +Å"sin + + +Å"sin śą- + +
[ ƒÄ…cos -[- źąƒÄ…cosśą- źą]]=
2 2 2 2 2 2 2
1 + +Å"sinśą + + 1 + +
[ ƒÄ…0-[ źąƒÄ…cosśą źą]]= [ - ƒÄ…0]= 0
2 2 2 2 2 2 2 2
Znowu można powiedzieć, że zgadza się to z intuicją, bo  na oko widać, że wartość średnia
funkcji 1/2cosx (czyli tego p(x)) to 0.
1
xmed F śą xmed źą=
c) Mediana dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym to taka wartość , że
2
(dystrybuanta na argumencie x który jest medianÄ… wynosi ½). To sprowadza siÄ™ do speÅ‚nienia
xmed
1
równości pśą xźą dx=
+"
2
-"
+ +
<- ; >
Dodatkowo mediana należy u nas do przedziału (treść zadania).
2 2
Zatem u nas:
xmed xmed
1 1 1 1 + 1 1 1
cosx dx = cosx dx = [ sinx] xmed = [sin xmed-sin śą- źą] = [sin xmedƒÄ…1]= sin xmedƒÄ…
+" +"
+
2 2 2 - 2 2 2 2 2
+ + 2
- -
2 2
To jest lewa strona powyżej równoÅ›ci, prawa wynosi ½ stÄ…d mamy, że
1
sin xmed =0
2
sin x =0
med
+ +
xmed=k+ gdzie k"$! a uwzględniając, że xmed"<- ; >
2 2
Otrzymujemy ostatecznie xmed=0
d) Aby obliczyć wariancję skorzystamy ze wzoru obliczeniowego:
2
W śą X źą=E śą X źą-[ E śą X źą]2
+ +
2 2
+
1 1
2
E śą X źą = x2 1Å"cosx dx = x2Å"cosx dx = [ x2 sinxƒÄ…2xcosx-2sinx ]- 2 =
+" +"
+
2 2 2
+ +
2
- -
2 2
2 2
1 + + + + + + + + + +
[śą źą sin ƒÄ…2 cos -2sin -[śą- źą sinśą- źąƒÄ…2śą- źącosśą- źą-2sin śą- źą]]=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 + + + + + + 1 + + +2-8
[śą źą ƒÄ…0-2-[-śą źą sin -2 cos ƒÄ…2sin ]]= [śą źą -2ƒÄ…śą źą -2] =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
3
Opracowanie bimbaÅ‚owego examu z 25 czerwca 2010. © by Kokosz
już obliczyliśmy w punkcie b ), że E śą X źą=0, zatem
+2-8 +2-8
W śą X źą= -02=
4 4
e) Między gęstością prawdopodobieństwa p(x) a dystrybuantą F(x) zachodzi dla zmiennej losowej
ciągłej związek:
x
F śą x źą= pśą xźądx
+"
-"
U nas więc:
x x
1 1 1 1 + 1 1 1
F śą x źą= cosx dx = cosx dx = [ sinx]-x+ = [sin x-sin śą- źą]= [sin xƒÄ…1]= sin x ƒÄ…
+" +"
2 2 2 2 2 2 2 2
+ +
2
- -
2 2
1
F śą0źą=
przy okazji potwierdza się tutaj wyliczona przez nas wcześniej mediana, bo widać, że
2
F śąx źą=P śą X "ąx źą
f) Można tu skorzystać z definicji dystrybuanty:
P śą X "ą0źą
Widać więc, że szukane prawdopodobieństwo to po prostu wartość dystrybuanty w
punkcie 0, czyli
1
P śą X "ą0źą=F śą0źą=
2
Zadanie 3
a)
Przede wszystkim możemy od razu dopisać do naszej tabeli rozkłady brzegowe, tzn. np. P(X=-1),
sumujemy wówczas całą kolumnę gdzie X=-1, analogicznie dla reszty kolumn i wierszy.
Tak otrzymana tabelka jest poniżej:
P śą X =i ;Y = jźą X =i
-1 0 1
1 1
Y = j -1 0 0
P śąY =-1źą=
3 3
1 1
0 0 0
P śąY =0źą =
3 3
1 1
1 0 0
P śąY =1źą=
3 3
1 1 1
P śą X =-1źą = P śą X =0źą = P śą X =1źą=
3 3 3
4
Opracowanie bimbaÅ‚owego examu z 25 czerwca 2010. © by Kokosz
Aby dobrze zrozumieć jak oblicza się dystrybuantę najlepiej narysować wykres funkcji rozkładu
prawdopodobieństwa (szare linie są tylko pomocnicze):
Teraz wpisujemy wartości do tabeli dystrybuanty, np. w pole gdzie X(0;1> i Y(-1;0> wpisujemy
sumę wysokości wszystkich strzałek z powyższego wykresu, których współrzędne są mniejsze niż
górne granice przedziałów, tzn. X są mniejsze od 1, a Y są mniejsze od 0.
F(x,y)
X
(-" ;-1 > (-1 ;0 > ( 0 ;1 > (1 ;ƒÄ…">
(-";-1>
0 0 0 0
(-1 ;0 > 1
0 0 0
Y
3
( 0 ;1 > 1 2
0 0
3 3
(1 ;ƒÄ…" > 1 2
0 1
3 3
I to już jest podana dystrybuanta łączna.
5
Opracowanie bimbaÅ‚owego examu z 25 czerwca 2010. © by Kokosz
b)
Współczynnik korelacji (unormowany współczynnik kowariancji) jest dany wzorem:
corr śą X , Y źą-E śą X źą E śąY źą E śą X Y źą-E śą X źą E śąY źą
ÁX Y = =
W śą X źąÅ" W śąY źą W śą X źąÅ" W śąY źą
ćą ćą ćą ćą
Teraz musimy policzyć wszystkie występujące we wzorze wielkości.
E śą X Y źą= iÅ"jÅ"P śą X =i ;Y = jźą
""
" "
j i
W praktyce liczymy to mnożąc współrzędne każdego pola w tabelce rozkładu przez wartość tego
pola:
E śą X Y źą=
1 1 1 2
-1Å"śą-1źąÅ" ƒÄ…śą-1źąÅ"0Å"0ƒÄ…śą-1źąÅ"1Å"0ƒÄ…0Å"śą-1źąÅ"0ƒÄ…0Å"0Å" ƒÄ…0Å"1Å"0ƒÄ…1Å"śą-1źąÅ"0ƒÄ…1Å"0Å"0ƒÄ…1Å"1Å" =
3 3 3 3
E śą X źą= iÅ"P śą X =iźą
"
"
i
W praktyce liczymy to mnożąc każdą możliwą wartość X przez prawdopodobieństwo, że ZL
przyjmie tą właśnie wartość X (te prawdopodobieństwa brzegowe dopisaliśmy w powyższej tabelce
nad wykresem). StÄ…d:
E śą X źą=-1Å"1 ƒÄ…0Å"1 ƒÄ…1Å"1=0
3 3 3
Analogcznie dla Y:
E śąY źą= jÅ"P śąY = jźą
"
"
j
E śąY źą=-1Å"1 ƒÄ…0Å"1 ƒÄ…1Å"1=0
3 3 3
Wariancje policzymy korzystając z podanego już we wcześniejszym zadaniu wzoru
obliczeniowego:
2 2
W śą X źą=E śą X źą-[ E śą X źą]2 i analogicznie W śąY źą=E śąY źą-[ E śąY źą]2
2
2
2
E śą X źą= i2Å"P śą X =iźą
"
E śą X źą=śą-1źą2Å"1 ƒÄ…02Å"1 ƒÄ…12Å"1 =
u nas więc:
"
3 3 3 3
i
Analogicznie dla Y:
2
2
2
E śąY źą= j2Å"P śąY = jźą
"
E śąY źą=śą-1źą2Å"1 ƒÄ…02Å"1 ƒÄ…12Å"1 =
u nas więc:
"
3 3 3 3
j
6
Opracowanie bimbaÅ‚owego examu z 25 czerwca 2010. © by Kokosz
Zatem wariancje wynoszą (można zauważyć, że wszystkie wartości występujące we wzorze na
wariancję są takie same dla X i Y, więc wariancja X będzie równa wariancji Y):
2 2
W śą X źą=W śąY źą= -02=
3 3
Mamy więc wszystko do współczynnika korelacji:
2-0Å"0
E śą X Y źą-E śą X źą E śąY źą 3
ÁX Y = = = 1
W śą X źąÅ" W śąY źą
ćą ćą
2Å" 2
3 3
ćą ćą
c)
ZL X i Y będą niezależne statystycznie, gdy będzie zachodzić
" " P śą X =i ;Y = jźą= P śą X =iźąÅ"P śąY = jźą
j i
Sprawdz
my więc czy dla pierwszego pola z tabeli rozkładu prawdopodobieństwa zachodzi
powyższy warunek:
P śą X =-1 ;Y =-1źą=P śą X =-1źąÅ"P śąY =-1źą
1 1 1
= Å"
3 3 3
1 1
`"
3 9
Widać więc, że podany warunek nie zachodzi dla każdego i oraz j, więc zmienne losowe X i Y nie
są niezależne statystycznie (są zależne).
7