Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Elektromagnetyzm i fale elektromagnetyczne
Definicje i poj cia podstawowe
Elektrostatyka
Ten dzia fizyki zajmuje si badaniem w asno ci i wzajemnego oddzia ywania nieruchomych
adunków elektrycznych w rozpatrywanym uk adzie odniesienia.
adunki elektryczne  poj cie pierwotne. adunki elektryczne to ród apolaelektrycznego.
adunki elektryczne mog by dodatnie lub ujemne.
adunki jednoimienne odpychaj si , za ró noimienne przyci gaj .
Obowi zuje prawo zachowania adunku elektrycznego, podobnie jak i inne prawa zachowania w
fizyce.
Ca kowity adunek dowolnego cia a jest wielokrotno ci pewnego adunku elementarnego.
Najmniejsz cz stk posiadaj c adunek elementarny ujemny nazwano elektronem, za dodatni
protonem.
Prawo Coulomba
Coulomb poda nast puj ce prawo oddzia ywania dwóch adunków punktowych lub ma ych
na adowanych kulek:

(2.01)

gdzie  wspó czynnik proporcjonalno ci.
Prawo Coulomba w postaci wektorowej:
(2.02)






oznacza si dzia aj c na od . Podobnie si a dzia aj ca na od :



(2.03)


gdzie . W uk adzie SI:



(2.04)

w pró ni za w o rodku o przenikalno ci dielektrycznej ogólnie


(2.05)

pokazuje ile razy si a wzajemnego oddzia ywania dwóch adunków punktowych elektrycznych
jest mniejsza ni wpró ni.
49
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Nat enie pola elektrycznego
Zajmiemy si teraz wybranymi w asno ciami pól elektrostatycznych (wytwarzanych przez
nieruchome adunki).
Nat eniem pola elektrycznego w danym punkcie nazywa si wektor , którego warto równa
si warto ci si y z jak pole to oddzia uje na jednostkowy adunek dodatni umieszczony w tym
punkcie ( adunek próbny), a kierunek odpowiada kierunkowi dzia ania si y:


(2.06)


Jednostka nat enia pola N/C.
Korzystaj c z prawa Coulomba


(2.07)


i powy szej definicji dla = mo na atwo okre li nat enie pola pochodz ce od
punktowego adunku elektrycznego :



(2.08)

W postaci skalarnej:

(2.09)


Z postaci wektorowej wynika, e wektor nat enia pola adunku punktowego jest zawsze
skierowany wzd u od adunku, gdy , ado adunku, gdy .

Zasada superpozycji pól elektrycznych
Rozwa my pole wytwarzane przez uk ad nieruchomych adunków punktowych. Poniewa
wypadkowa si a dzia aj ca na adunek próbny jest zawsze sum wektorow si sk adowych od
poszczególnych adunków to:


(2.10)

Ponadto


(2.11)


(2.12)
St d

(2.13)


Nat enie pola elektrycznego uk adu adunków punktowych jest sum wektorow nat e pól
wytworzonych przez ka dy z nich  zasada superpozycji.
Stosuj c wzór na nat enie pola dla dowolnego i-tego adunku punktowego na wypadkowe
nat enie zatem dostajemy:

(2.14)





(2.15)



50
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
adunki mog by roz o one w przestrzeni w sposób ci g y lub dyskretny.
W przypadku rozk adu ci g ego operujemy cz sto poj ciem g sto ci adunku:

l (2.16)


(g sto liniowa)

l (2.17)


(g sto powierzchniowa)

l
(2.18)


(g sto obj to ciowa)
Wa ny przyk ad  pole dipola elektrycznego
Dipolem elektrycznym nazywamy uk ad dwóch ró noimiennych i równych co do warto ci
adunków elektrycznych, których rodki ci ko ci s oddalone od siebie na pewn odleg o d.
Pole dipola elektrycznego zwykle analizujemy dla odleg o ci przekraczaj cych wyra nie rozmiary
liniowe tego dipola.
Model dipola elektrycznego jest niezwykle wa ny ze wzgl du na opis w asno ci elektrycznych
cz steczek oraz opis ich oddzia ywania z promieniowaniem elektromagnetycznym.
Poni szy rysunek ilustruje poj cie dipola elektrycznego oraz tzw. momentu dipolowego.
Graficznie charakter pola elektrycznego odwzorowuj
linie si pola. Linie si pola to takie krzywe, do których
styczne w ka dym ich punkcie maj kierunek wektora
nat enia pola (rysunek obok).
Przyk adowy rozk ad linii si pola dla
adunku punktowego dodatniego adunku punktowego ujemnego
dipola elektrycznego
Wszystkie rysunki: [Jaworski t.2]
51
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Potencja pola elektrycznego
Formalne podobie stwo wyra e na si oddzia ywania elektrostatycznego dwóch adunków

(2.20)


oraz przyci gania dwóch mas w oddzia ywaniu grawitacyjnym


(2.21)

sugeruje, e podobnie jak w tym ostatnim przypadku tak e i si y elektrostatyczne powinny by
zachowawcze.

Obliczmy w zwi zku z tym prac si y dzia aj cej na adunek elektryczny przy

przemieszczeniu go na ma ym odcinku :


(2.22)

Przy przemieszczeniu adunku od a do b praca tej si y:



(2.23)


Gdy pole wytwarza adunek punktowy +q jak na
rysunku obok to:



(2.24)




(2.25)

,  odleg o ci adunku q odpowiednio od a oraz b.
Praca ta jest dodatnia, gdy adunki jednoimienne oddalaj si od siebie a ujemna, gdy zbli aj si do
siebie (praca si zewn trznych). Odwrotnie jest w przypadku adunków ró noimiennych: praca ta jest
dodatnia, gdy adunki zbli aj si a ujemna, gdy oddalaj si od siebie (praca si zewn trznych).
Z ostatniego wyra enia wynika, e praca ta nie zale y od kszta tu toru, po którym porusza si
adunek, a tylko od pocz tkowego i ko cowego po o enia adunku q od przenikalno ci dielektrycznej
oraz warto ci adunków q i q . Na adunek q poruszaj cy si w polu wytworzonym przez uk ad
adunków punktowych dzia asi a:

(2.26)
Praca si y wypadkowej:



(2.27)


,  odleg o ci adunku q od punktów a i b. Praca ta oczywi cie zale y tylko od
pocz tkowego i ko cowego punktu toru, a nie od jego kszta tu. Przy przemieszczaniu adunku po
krzywej zamkni tej L w polu elektrostatycznym:


(2.28)


Poniewa punkt pocz tkowy i ko cowy w tym przypadku pokrywaj si , to zgodnie ze wzorem
na prac :

(2.29)


Pole elektrostatyczne jest wi c polem potencjalnym.
52
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Poniewa praca jak wykonuje si a w polu elektrostatycznym przemieszczaj c adunek q
zale y tylko od po o enia ko cowego i pocz tkowego adunku w tym polu to jest ona równa
ubytkowi energii potencjalnej tego adunku
(2.30)

zatem



(2.31)


warto ci energii potencjalnej adunku q w punktach a i b pola.
Za ó my, e adunek punktowy q porusza si w polu adunku q. Zmiana energii potencjalnej przy
elementarnym przemieszczeniu:

(2.32)


Przy sko czonym przemieszczeniu


(2.33)



Gdy pole wytwarza uk ad adunków punktowych zmiana energii potencjalnej q :


(2.34)



 odleg o ci adunków q i q przed i po przesuni ciu q .
Ostatnie zwi zki podaj wyra enia na zmiany energii potencjalnej. Warto samej energii
potencjalnej adunku q mo na wyznaczy po ustaleniu umownym punktu pola w którym
energia potencjalna adunku jest 0.
Ca kowanie (2.32) daje:

(2.35)

C  sta a. Wygodnie jest przyj , e energia potencjalna adunku q w niesko czonej
odleg o ci od . Daje to natychmiastowo C =0i

(2.36)

Dla adunków jednoimiennych ro nie przy ich zbli aniu oraz maleje dla zbli ania adunków
ró noimiennych. Rysunek przedstawia graficzn zale no energii potencjalnej oddzia ywania
dwóch adunków punktowych od ich wzajemnej odleg o ci.
53
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Oczywi cie energia potencjalna adunku w polu wielu adunków punktowych:



(2.37)


Warto zwróci uwag , e iloraz nie zale yod , zatemmo eby jednoznaczn charakterystyk
pola elektrostatycznego:


(2.38)


nazywa si potencja em pola elektrycznego.
Zatem potencja pola kreowanego przez adunek punktowy:

(2.39)

Prac wykonan przez si y pola elektrostatycznego przy przemieszczaniu adunku q od a do b
mo na okre li jako ró nice energii potencjalnych w tych punktach:
(2.40)

- potencja pola odpowiednio w a i b.
Je li b znajduje si wniesko czono ci to = 0 czyli i = 0. Zatempraca wykonana na
przeniesienie z do niesko czono ci wynosi:
(2.41)

A st d:

(2.42)


Potencja jest wi c równy pracy wykonanej przez si y pola elektrostatycznego przy przeniesieniu
jednostkowego dodatniego adunku z danego punktu pola do niesko czono ci.
Z powodów praktycznych cz sto przyjmuje si , e Ziemia ma potencja 0. Nale y pami ta , e
istotna jest tylko ró nica potencja ów mi dzy dowolnymi punktami pola.
Jednostk potencja u (ró nicy potencja ów) jest J/C.
Relacja mi dzy potencja em pola a nat eniem pola
Praca wykonywana przy niesko czenie ma ym przesuni ciu q w polu:


(2.43)
Z uwagi na mamy , a st d:


(2.44)
lub
(2.45)




Wielko jest elementem d ugo ci linii si y, st d:

(2.46)


gdzie  szybko zmiany potencja u w kierunku linii si y, równ zmianie potencja u
odpowiadaj cej jednostce d ugo ci linii si y.
Okazuje si , e zmiana potencja u na jednostk d ugo ci jest najwi ksza w kierunku linii si y.
Wynika to atwo po rozpatrzeniu sytuacji jak na rysunku obok. Mamy:


(2.47)


 rzut na kierunek przemieszczenia . St d:

(2.48)


54
Podstawy fizyki z elementami biofizyki




Poniewa to , a tak e . oraz osi gaj maksimum



dla czyli dla kierunku zgodnego z .
Zatem potencja w okolicy danego punktu pola najszybciej zmienia si w kierunku linii si y. Znak
   wskazuje, e ma zwrot najszybszego spadku potencja u. Podsumowuj c opisan relacj
mo na przedstawi jako:
(2.49)

Miejsca geometryczne dla których w polu mamy jednakowy potencja tworz powierzchni
ekwipotencjaln . Potencja jest sta y jedynie gdy adunek przemieszcza si w kierunku



prostopad ym do linii si pola: . Oczywi cie wtedy i co daje
Powierzchnie ekwipotencjalne s prostopadle u o one wsz dzie do linii si .
Praca wykonywana zatem przy przemieszczaniu adunku po powierzchni ekwipotencjalnej jest 0.
Rysunek poni szy pokazuje relacje mi dzy liniami si pola a przekrojami powierzchni
ekwipotencjalnych.
[Jaworski t.2]
Pojemno elektryczna
Pojemno przewodnika odosobnionego
Rozpatrzmy przewodnik oddalony od innych cia na adowanych i innych przewodników
(odosobniony).
Rozk ad adunku na powierzchni przewodnika zale y tylko od jego kszta tu. Zwi kszenie adunku
na powierzchni zwi ksza po prostu jego g sto powierzchniow , ale nie zmienia samego
rozk adu. Zatem:
(2.50)
 oznacza pewn funkcj wspó rz dnych danego punktu powierzchni przewodnika.
Podzielmy powierzchni przewodnika na bardzo ma e elementy zawieraj ce adunek .
Potencja pola tego adunku w odleg o ci od niego wynosi jak wiemy:

(2.51)


Ca kowanie po ca ej powierzchni daje potencja w dowolnym miejscu pola:


(2.52)


lub dalej


(2.53)


Warto zwróci uwag , e gdy analizujemy sam powierzchni przewodnika, to warto ca ki
zale y tylko od kszta tu i wielko ci przewodnika. Poniewa dla wszystkich punktów powierzchni
potencja jest sta y to i warto ci ca ek w dowolnych punktach powierzchni s jednakowe.
55
Podstawy fizyki z elementami biofizyki

Iloraz:
(2.54)


dla danego przewodnika nazywa si jego pojemno ci . Zatem:


(2.55)

Przyk ad: pojemno odosobnionej przewodz cej kuli.

Wiemy, e potencja takiej kuli wynosi:
(2.56)

zatem:
(2.57)

Jednostk pojemno ci jest farad (F): 1F = 1C/1V.
1 F to bardzo du a pojemno . Takiej pojemno ci odpowiada aby kula przewodz ca w pró ni o

promieniu: 9 000 000 km.

Jak pojemno powinna mie zatem Ziemia? (obliczy )
czenie kondensatorów
Je li chcemy uzyska du e pojemno ci, to czymy kondensatory
równolegle (rysunek obok).
Niech poszczególne pojemno ci wynosz
Poniewa mi dzy ok adkami ka dego jest ta sama ró nica potencja ów, to
adunki zgromadzone wynosz odpowiednio:


[Jaworski t.2]
(2.58)
&

Ca kowity adunek :


(2.59)

Z drugiej strony mamy te :

(2.60)
St d przy równoleg ym po czeniu:

(2.61)


Ca kowita pojemno jest sum pojemno ci poszczególnych kondensatorów.
56
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Przy po czeniu szeregowym kondensatorów ca kowita ró nica potencja ów dzieli si na
poszczególne kondensatory, przy czym potencja y po czonych s siednich ok adek s jednakowe,
za adunek ca kowity zespo u kondensatorów wynosi tyle co adunek ka dego z
kondensatorów.
[Jaworski t.2]

Niech  pojemno ca kowita, a  i-tego kondensatora oraz ca kowita

ró nica potencja ów. Poniewa :


(2.62)

to



(2.63)


St d:


(2.64)


Zatem przy czeniu szeregowym, odwrotno pojemno ci ca kowitej jest sum odwrotno ci
pojemno ci poszczególnych kondensatorów.
Energia pola elektrycznego
Przy adowaniu przewodnika wykonujemy prac na pokonanie si kulombowskich odpychania
jednoimiennych adunków elektrycznych. Powi ksza si w ten sposób energia elektryczna
na adowanego przewodnika (analog energii potencjalnej w mechanice).
Rozpatrzmy przewodnik charakteryzowany przez wielko ci: . Praca wykonana przy
przenoszeniu ma ego adunku z niesko czono ci na przewodnik przy pokonaniu si pola wynosi:
(2.65)
Aby na adowa cia o do potencja u (od 0) wykona trzeba zatem prac :



(2.66)


Jest to zarazem energia w asna na adowanego cia a:


(2.67)

Jest to oczywi cie te energia na adowanego kondensatora.
57