Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Pr d elektryczny sta y
Uwagi wst pne:
Pr d elektryczny  uporz dkowany ruch adunków elektrycznych.
Pr d elektryczny w przewodniku powstaj cy pod wp ywem wytwarzania w nim pola elektrycznego 
pr d przewodzenia.
Aby pojawi si pr d i trwa przez pewien czas nale y spe ni 2 warunki:
musz wyst powa adunki elektryczne w danym rodowisku, które mog si w nim porusza
musi wyst powa w tym rodowisku pole elektryczne, którego energi mo na przeznaczy na
poruszanie tych adunków.
Nale y przy tym uzupe nia energi pola, by zapewni ci g o trwania pr du elektrycznego.
Sprowadza si to do zapewnienia mo liwo ci zamiany energii dowolnego rodzaju na energi
pola elektrycznego ( ród o si y elektromotorycznej lub ród o pr du).
Umownie przyjmuje si , e kierunek pr du wyznacza kierunek ruchu adunków dodatnich.
Podstawowe wielko ci
Nat enie pr du:

(3.01)

W przypadku pr du sta ego (nat enie pr du i kierunek nie ulegaj zmianie w czasie):


(3.02)

 adunek przechodz cy przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie .
W tym przypadku obwód musi by zamkni ty. Nat enie pr du jest jednakowe dla pr du sta ego
we wszystkich przekrojach przewodnika.
[Jaworski t.2]
Jednostk nat enia pr du jest amper [A] = [C/s]. Nat enie pr du to wielko skalarna.
Z kolei rozk ad pola elektrycznego w ró nych miejscach przekroju przewodnika opisuje wektor
g sto ci pr du j. Wektor ten ma kierunek zgodny z kierunkiem pr du, za jego modu :

(3.03)

To nat enie pr du przep ywaj cego przez jednostkowy przekrój poprzeczny prostopad y do
kierunku pr du. Jednostk jest A/m2.
Dla dowolnej powierzchni , gdy normalna do niej tworzy z j k t , odpowiadaj ca jej
powierzchnia prostopad a do j wynosi:
(3.04)

Po podstawieniu:

(3.05)


58
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Ca kowite nat enie pr du w przewodniku wynosi zatem:

(3.06)

Dalej rozpatrywa b dziemy tylko sytuacj uproszczon , dla której
(3.07)
oraz

(3.08)
Wtedy
(3.09)

Dla pr du sta ego:
(3.10)

Uwagi o klasycznej teorii elektronowej przewodno ci elektrycznej metali.
W tej teorii wysok przewodno elektryczn metali wyja nia si wyst powaniem wielkiej liczby
no ników pr du (elektronów przewodzenia) przemieszczaj cych si w ca ej obj to ci przewodnika.
Operuje si wtedy poj ciem gazu elektronowego, który zachowuje si podobnie jak gaz jedno-
atomowy doskona y. Elektrony zderzaj si z jonami siatki krystalicznej zatem ich rednia droga
swobodna powinna co do rz du wielko ci wynosi tyle co sta a siatki krystalicznej (ok. 0.1 nm).
Z teorii kinetycznej gazów:

(3.11)


 masa elektronu,  rednia pr dko kwadratowa elektronu (NIE pr dko wiat a) (dla
, wynosi oko o 100km/s)
Pod wp ywem pola zewn trznego w przewodniku zachodzi ruch uporz dkowany elektronów,
czyli powstaje pr d.
G sto tego pr du:
(3.12)
gdzie - pr dko rednia uporz dkowanego ruchu elektronów,
- liczba elektronów w jednostce obj to ci.
Oszacujmy .
Przyjmijmy przekrój 1mm2, dla przewodnika miedzianego najwy sza dopuszczalna warto
1100 A/cm2 oraz dla miedzi = 8.5 1022 cm-3

(3.13)

Pr dko ta jest bardzo ma a w porównaniu do redniej pr dko ci ruch cieplnego elektronów.
T umaczy si to cz stymi zderzeniami elektronów z jonami siatki.
Niemal natychmiastowe przekazywanie sygna u elektrycznego na odleg o kontrastuje z tym
wynikiem.
Oczywi cie zamkni cie obwodu powoduje b yskawiczne rozprzestrzenianie si pola
elektrycznego w obwodzie i otaczaj cej przestrzeni (z pr dko ci wiat a 300 000 km/s). Po
up ywie czasu (  d ugo przewodu) ustala si pole stacjonarne i rozpoczyna si ruch
uporz dkowany elektronów przewodzenia) 0.000003 s. Zatem ruch elektronów pod
wp ywem pola inicjuje si wzd u ca ego przewodu bardzo krótko po zamkni ciu obwodu i
w czeniu pola.
59
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Klasyczna teoria elektronowa a prawa Ohma i Joule a-Lenza
Oba te podstawowe prawa mo na atwo wyprowadzi w ramach tej teorii.
Za ó my, e w wyniku zderze z w z ami siatki krystalicznej elektrony trac ca kowicie energi
uzyskan uprzednio w obecno ci pola elektrycznego na drodze swobodnej. W takim przypadku
mo na przyj , e do czasu zderzenia elektrony poruszaj si ze sta ym przyspieszeniem. Wtedy:


(3.14)

 rednia pr dko uporz dkowanego ruchu elektronów,
 rednia warto tej pr dko ci, ale nabytej na ca ej drodze swobodnej (do chwili

zderzenia).
Równanie ruchu elektronu ma posta :

(3.15)


Po rozdzieleniu zmiennych i sca kowaniu obustronnym mamy:

(3.16)



i oczywi cie

(3.17)


- atwo wyznaczy mo na z relacji:

(3.18)



gdzie - rednia pr dko ruchu cieplnego.

Poniewa :
(3.19)


to w dobrym przybli eniu

(3.20)



Zatem:

(3.21)


aponiewa , to:

(3.22)



Wielko ostatniego wzoru

(3.23)




nazywa si przewodno ci w a ciw (a jej odwrotno oporem w a ciwym ) przewodnika.
Zatem uzyskali my prawo Ohma w postaci:

(3.24)


Mo na je tak e zapisa w postaci wektorowej:



(3.25)

60
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Rozwa my jeszcze krótko relacje energetyczne podczas zderze elektronów z w z ami sieci.
Podczas zderzenia elektrony trac ca kowicie pr dko ruchu uporz dkowanego przekazuj c




swoj energi kinetyczn jonowi.

Liczba zderze elektronu z w z ami siatki na jednostk czasu:


(3.26)

Wszystkie elektrony do wiadczaj wi c zderze na jednostk czasu i przekazuj jonom
energi :



(3.27)


Energia ta zu ywana jest na ogrzewanie przewodnika.
Wykorzystuj c uzyskane wcze niej wyra enia na i mamy:





(3.28)





T energi przekazan w z om sieci krystalicznej w jednostce obj to ci przewodnika i jednostce
czasu nazywa si g sto ci mocy cieplnej pr du. Ostatnie wyra enie mo na wi c zapisa
w postaci:

(3.29)


Gdzie tak jak poprzednio jest przewodno ci w a ciw . Jest to posta dobrze znanego prawa
Joule a-Lenza.
Prawo Wiedemanna-Franza
W danej temperaturze stosunek wspó czynnika przewodno ci cieplnej i przewodno ci
elektrycznej w a ciwej jest jednakowy dla wszystkich metali:

(3.30)

Dalej pokazano wykonuj c badania temperaturowe , e


(3.31)

Prawo to mo na tak e uzyska z teorii elektronowej przewodnictwa metali. W poprzednim
semestrze podali my dla metali zwi zek:

(3.32)



 sta a Boltzmanna. Wykorzystuj c wzór na (np. z prawa Ohma) i ostatni zwi zek mamy:




(3.33)

W przybli eniu przyj tym przez Drude



(3.34)


St d:

(3.35)

61
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Mamy w ten sposób dane prawo przy przyj ciu warto ci sta ej

(3.36)

Dla

(3.37)
(3.38)

uzyskujemy

(3.39)

co jest rozs dn warto ci w odniesieniu do danych do wiadczalnych.
Dalsze uwagi o teorii elektronowej:
1) Rozwini cia klasycznej teorii Drude przez Lorentza poprzez wzi cie pod uwag rozk adu
pr dko ci w gazie elektronowym nie doprowadzi y do praktycznie adnego post pu w opisie
zjawisk przewodzenia w metalach.
2) Teoria ta nie wyja ni a rzeczywistej zale no ci oporu w a ciwego od temperatury
3) Podobne trudno ci teoria ta napotka a przy próbie wyja nienia bilansu ciep a atomowego
metali
4) Teoria ta nie okre li a tak e prawid owo d ugo ci drogi swobodnej w zwi zku z warto ciami
przewodno ci w a ciwej metali. Prawid owe warto ci przewodno ci w a ciwej wymaga yby
przyj cia dróg swobodnych 2-3 rz dy wielko ci wi kszych ni sta a siatki krystalicznej.
Prawa pr du sta ego
Oprócz si kulombowskich do podtrzymania w obwodzie pr du sta ego konieczne jest wyst powanie
dodatkowych si zewn trznych (tzw. si ubocznych). Pole elektryczne si ubocznych jest oczywi cie
wytwarzane przez ród apr du.
Kosztem wytwarzanego przez to ród o pola si ubocznych adunki elektryczne poruszaj si
wewn trz ród a pr du, a na ko cach obwodu elektrycznego podtrzymywana jest ró nica
potencja ów i w obwodzie p ynie pr dsta y.
Prawo Ohma, prawo Joule a-Lenza i prawa Kirchoffa
Nat enie wypadkowego pola elektrycznego w dowolnym punkcie wewn trz przewodnika:
(3.40)

Zatem g sto pr du:

(3.41)


Skalarne pomno enie przez wektor (ma y element d ugo ci przewodnika o kierunku ) obu
stron daje:

(3.42)


Dla zgodnie skierowanych wektorów
(3.43)

Wprowad my zamiast do tego równania:

(3.44)


62
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Ca kowanie po od przekroju 1 do przekroju 2 przewodnika przy sta ym daje:


(3.45)


Pierwszy sk adnik po prawej stronie wyra a prac jak wykonuj si y kulombowskie przy
przeniesieniu jednostkowego adunku dodatniego z punktu 1 do 2. Wiemy, e

(3.46)
 potencja pola elektrostatycznego.
Zatem

(3.47)


czyli ró nicy potencja ów w punktach 1 i 2.
Z kolei ca k :

(3.48)

nazywamy si elektromotoryczn (SEM) dzia aj c na odcinku od 1 do 2. Warto si y
elektromotorycznej jest równa pracy jak wykonuj si y uboczne przy przesuwaniu adunku
jednostkowego dodatniego od 1 do 2 wzd u przewodnika.
Spadek napi cia (napi cie) na odcinku 1-2 jest to wielko równa pracy wykonanej przez pole
wypadkowe si kulombowskich i ubocznych nad wspomnianym wcze niej adunkiem przy jego
przesuwaniu od 1 do 2:


(3.49)

albo pro ciej:
(3.50)

Opór definiujemy jako ca k :


(3.51)


Dla jednorodnego liniowego przewodnika mamy:

(3.52)


- d ugo przewodnika od 1 do 2.
Wówczas:

(3.53)
lub

(3.54)

Jest to prawo Ohma dla dowolnego odcinka obwodu. Jednostka oporu: .

Dla obwodu zamkni tego 1 i 2 s identyczne, zatem i . Zatem dla obwodu
zamkni tego prawo Ohma ma posta :
(3.55)

 suma algebraiczna wszystkich si elektromotorycznych w obwodzie.
63
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Prawo Joule a-Lenza
Okre lmy energi wydzielan na danym odcinku obwodu, w którym p ynie pr d .
Je li w jednostce obj to ci przewodnika i jednostce czasu wydziela si energia (g sto
obj to ciowa mocy cieplnej), to w obj to ci i czasie wydziela si energia :

(3.56)
Zgodnie z prawem Joule a-Lenza g sto mocy cieplnej mo na zapisa jako:
(3.57)


ast d
(3.58)


Oczywi cie
(3.59)

A poniewa wektory s zgodne co do kierunku, to
i


(3.60)



Po podstawieniu mamy:

(3.61)
Po sca kowaniu powinni my dosta energi
(3.62)
czyli energie wydzielon w obj to ci przewodnika w czasie t.
Rzeczywi cie:


(3.63)


W przypadku sta ego pr du:


(3.64)

Oczywi cie

(3.65)


st d


(3.66)

gdzie


(3.67)


Ciep o wydzielone odpowiadaj ce tej energii:

(3.68)
Przy czym Q wyra ono w kaloriach.
Z prawa Ohma , zatem

l
(3.69)

64
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Prawa Kirchhoffa
Praktyczne obwody s cz sto bardzo z o one. Okre lenie oporów i si elektromotorycznych w
skomplikowanych obwodach jest atwe przy wykorzystaniu praw Kirchhoffa.
Dowolny punkt czenia si wi cej ni dwóch przewodników nazywa si w z em.
I prawo Kirchhoffa:
Suma algebraiczna nat e pr dów w w le jest równa 0:

(3.70)

 liczba przewodników schodz cych si w w le, - pr d w -tym przewodniku.
Pr dy wp ywaj ce do w z a uwa a si za dodatnie, a wyp ywaj ce za ujemne.
Z przyk adu na poni szym rysunku od razu wida , e:
[Jaworski t.2]
(3.71)
II prawo Kirchhoffa to po prostu uogólnienie prawa Ohma do obwodów rozga zionych. Zgodnie
z nim, w dowolnym obwodzie zamkni tym wyodr bnionym z ca ej sieci elektrycznej:

(3.72)


Po prawej stronie mamy oczywi cie sum algebraiczn wszystkich dzia aj cych w obwodzie si
elektromotorycznych.
Nale y pami ta o konsekwentnym wyborze kierunku obiegu obwodu (zgodnie albo przeciwnie
do kierunku ruchu wskazówek zegara).
Np. dla obwodu z poni szego rysunku mamy:
[Jaworski t.2]

(3.73)
65
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Pr d elektryczny w cieczach
Roztwory soli, kwasów oraz zasad s dobrymi przewodnikami pr du. Przep yw pr du przez te
ciecze powoduje wydzielanie si sk adników tych cieczy na elektrodach. Zjawisko to nazywa si
elektroliz , a odpowiednie przewodniki elektrolitami lub przewodnikami jonowymi lub
przewodnikami II rodzaju.
Prawa elektrolizy ustali do wiadczalnie Faraday.
I prawo Faraday a:
Masa wydzielonej na elektrodzie substancji jest proporcjonalna do adunku który przep yn
przez elektrolit:

(3.74)
jest równe masie substancji wydzielonej przy przep ywie przez elektrolit adunku jednostkowego i
nazywamy go równowa nikiem elektrochemicznym substancji.
Gdy mówimy o pr dzie sta ym to:
(3.75)

i oczywi cie
(3.76)

II prawo Faraday a:
Równowa niki elektrochemiczne pierwiastków s wprost proporcjonalne do ich równowa ników
chemicznych.
Równowa nik chemiczny pierwiastka to iloraz (ci ar atomowy/warto ciowo ). Wynika
st d, e:


(3.77)

 sta a uniwersalna dla wszystkich pierwiastków.
Zamiast stosuje si cz ciej odwrotno tej sta ej:

(3.78)


zwan sta Faraday a. W tym uj ciu:

(3.79)


a po podstawieniu do I prawa Faraday a mamy:


(3.80)


(3.81)

Je li

(3.82)
to . Zatem odpowiada ilo ci adunku, który przechodzi przez elektrolit w celu
wydzielenia na elektrodzie 1 gramorównowa nika substancji. Z do wiadczenia wynika, e:


(3.83)

66
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Proces rozk adania cz steczek oboj tnych cieczy na jony dodatnio i ujemnie na adowane nazywa
si dysocjacj elektrolityczn .
Przyk adowe reakcje dysocjacji elektrolitycznej kwasu siarkowego, NaOH oraz NaCl w roztworach
wodnych:

(3.84)

(3.85)

l l (3.86)
Dysocjacja jest wynikiem silnego oddzia ywania rozpuszczanych cz steczek np. kwasu siarkowego z
cz steczkami wody. Nieuporz dkowany ruch cieplny prowadzi z drugiej strony do ponownego
czenia si jonówwzwi zki oboj tne (rekombinacja).

Niech w roztworze znajduje si cz steczek rozpuszczonych spo ród których jest

zdysocjowanych,  sta adysocjacji. Liczba cz steczek dysocjuj cych na jednostk obj to ci
i jednostk czasu jest proporcjonalna do liczby cz steczek niezdysocjowanych, czyli:

(3.87)

 wspó czynnik proporcjonalno ci.
Liczba cz steczek oboj tnych powstaj cych w wyniku rekombinacji (na jednostk obj to ci i
czasu):

(3.88)
 wspó czynnik proporcjonalno ci. W stanie równowagi dynamicznej mi dzy dysocjacj , a
rekombinacj :

(3.89)

Zatem po podstawieniu:

(3.90)

lub po prostym przekszta ceniu

(3.91)


ast d w przypadku granicznym mamy , co oznacza, e w roztworach
rozcie czonych prawie wszystkie cz steczki dysocjuj . Natomiast w st onych roztworach:


(3.92)

Prawa Faraday a stanowi y istotny krok w przyj ciu prawdziwo ci wniosku o atomistycznym
charakterze elektryczno ci. Je li bowiem na elektrodzie wydzieli si 1 gramoatom jedno-
warto ciowego zwi zku to przez elektrolit musi przep yn adunek 96500 C. Dla
warto ciowej substancji musi to by adunek . Z uwagi na to, e przenoszone jest wci
jonów to na ka dy jon substancji -warto ciowej wypada

(3.93)


a dla jednowarto ciowej:

(3.94)


Wyniki te prowadz do nast puj cych wniosków:

1) Jony -warto ciowe mog mie ró ne adunki, ale rednio wynosz one .


2) Ka dy jon jest no nikiem ci le okre lonego adunku , przy czym warto ci adunków mog


ró ni si tylko o wielokrotno adunku jonu jednowarto ciowego

67
Podstawy fizyki z elementami biofizyki
Warto ujemnego adunku elementarnego wyznaczy pierwszy Millikan.
Atomistyczny charakter elektryczno ci mo na te pokaza przy wykorzystaniu uk adu jak na
rysunku poni ej (1912, Joffe).
[Jaworski t.2]
Ujemnie na adowany py ek umieszcza si mi dzy ok adkami kondensatora i dobiera nat enie
pola tak, by pozostawa w równowadze ( ). Py ek na wietlamy, w wyniku zjawiska
fotoelektrycznego ubywa adunku ujemnego z py ka. By utrzyma stan równowagi zmieniamy
odpowiednio nat enie pola:
(3.95)
st d


(3.96)

Okazuje si , e adunek mo e przyjmowa tylko ci le okre lone nieci g e warto ci.
68