Podstawowe pojęcia - Funkcje - � AT - 1
Wstęp
" Wartość bezwzgledna
ńł
�ł
�ł
x x 0
|x| = .
�ł
ół
-x x < 0
Własności:
|x| 0 , |x| = | - x| , -|x| x |x| .
Działania:

a 0 �! |x| a �! -a x a ;

a 0 �! |x| a �! ( x a (" x -a ) ;


a | a |

|a � b| = |a| � |b| ; = , |b| = 0 .


b | b |
" Potęga
"
1 m
n
n
a0 = 1 ; a-n = ; a = am .
an
" Logarytm
( a " R+ \ {1} '" b " R ) �! ( loga b = c �! b = ac ) ;
a
loga 1 = 0 ; loga a = 1 ; alog b = b ;
log10 a a" log a ; loge a a" ln a ;
loga bm = m � loga b ;
b1, b2 " R+ �! loga b1 + loga b2 = loga(b1 � b2) ;
b1
b1, b2 " R+ �! loga b1 - loga b2 = loga ;
b2
Podstawowe pojęcia - Funkcje - � AT - 2
Funkcje
Definicja
Funkcją określoną na zbiorze X �" R o wartościach w zbiorze Y �" R nazywamy przyporządko-
wanie każdemu elementowi x " X dokładnie jednego elementu y " Y . Oznaczamy: f : X Y .
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a zbiór Y nazywamy jej
przeciwdziedziną.
ten wykres nie przedstawia funkcji to jest wykres funkcji
Przydatne funkcje:
" funkcja potęgowa f(x) = xn
- dla n " N funkcja potęgowa jest wielomianem
- dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika n
" funkcje trygonometryczne
- f(x) = sin x
- f(x) = cos x
- f(x) = tg x
- f(x) = ctg x
" funkcja wykładnicza f(x) = ax, gdzie a " R+ \ {1}
" funkcja logarytmiczna f(x) = loga x, gdzie a " R+ \ {1}
- dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór R+
- funkcja f(x) = ln x oznacza funkcję logarytmiczną f(x) = loge x (czyli podstawą loga-
rytmu jest tu liczba e i taki logarytm jest nazywany logarytmem naturalnym)
Symbol e jest jedną z najważniejszych stałych w matematyce i w przybliżeniu wynosi:
e H" 2.718281828459045235360287471352
Podstawowe pojęcia - Funkcje - � AT - 3
66249775724709369995957496696762772407663035354759
45713821785251664274274663919320030599218174...
Definicja
Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A �" Df, jeżeli istnieją takie liczby m, M " R, że dla
każdego x " Df mamy
m f(x) M .
Uwaga
Funkcja jest ograniczona, gdy jej wykres jest położony pomiędzy dwiema prostymi poziomymi.
Definicja
Funkcja f : X Y jest okresowa, jeżeli istnieje T > 0 takie, że dla każdego x " X zachodzi
x ą T " X oraz f(x + T ) = f(x)
Definicja
Funkcja f : X Y jest
" parzysta, jeżeli dla każdego x " X
-x " X oraz f(-x) = f(x) .
" nieparzysta, jeżeli dla każdego x " X
-x " X oraz f(-x) = -f(x) .
Podstawowe pojęcia - Funkcje - � AT - 4
wykres funkcji parzystej wykres funkcji nieparzystej
Definicja
Funkcja f jest
" rosnąca na zbiorze A �" Df, jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) < f(x2) ) .
" malejąca na zbiorze A �" Df, jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) > f(x2) ) .
" niemalejąca na zbiorze A �" Df, jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) f(x2) ) .
" nierosnąca na zbiorze A �" Df, jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 < x2 ) =�! ( f(x1) f(x2) ) .
Definicja
Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy czym Y �" Z, oraz niech
f : X Y , g : Z W . Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g ć% f określoną wzorem
g ć% f(x) = g(f(x))
dla x " X.
Definicja
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y " Y istnieje
Podstawowe pojęcia - Funkcje - � AT - 5
x " X takie, że f(x) = y.
Oznaczamy
na
f : X - Y .
Odwzorowanie to nazywamy również surjekcją.
Definicja
Funkcja jest różnowartościowa na zbiorze A �" Df, jeżeli dla każdego x1, x2 " A
( x1 = x2 ) =�! ( f(x1) = f(x2) ) .

Odwzorowanie to nazywamy również injekcją.
Funkcję, która jednocześnie jest injekcją i surjekcją nazywamy bijekcją.
Definicja
na
Niech funkcja f : X - Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do f
nazywamy funkcję f-1 : Y X określoną przez warunek
f-1(y) = x �!�! y = f(x)
gdzie x " X, y " Y .
Uwaga
Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji danej, odbijając go symetrycznie
względem prostej y = x.
Podstawowe pojęcia - Funkcje - � AT - 6
Funkcje cyklometryczne
Definicja
Funkcją arcsin (arkus sinus) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedzia-
Ą Ą
łu < - , >. Dziedziną funkcji arcsin jest przedział < -1, 1 >.
2 2
Definicja
Funkcją arc tg (arkus tangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do
Ą Ą
przedziału (- , ). Dziedziną funkcji arc tg jest R.
2 2