MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Przedstawienie metod przybliżonych na przykładzie równania Poissona
Równanie Poissona opisuje wiele zjawisk o dużym znaczeniu w technice: stacjonarny przepływ ciepła,
stacjonarny bezwirowy przepływ nieściśliwej i nielepkiej cieczy,
proste pola magnetyczne i elektryczne.
naprężeń w przekroju pręta skręcanego (TS).
"2u "2u
+ + f (x1, x2) = 0
2 2
"x1 "x2 x2
,
n2
(y)
n
W przypadku f(x1,x2)=0 mamy r-nie Laplacea.
n1
&!
" "
�q
"2T = 0
"2 = +
Np. , gdzie
2 2
"x1 "x2
�u
Rozważmy warunki brzegowe Dirichleta na �u i Neumanna na �q:
u(x) = u0 , x " �u
x1
(x)
"u(x)
q(x) = = q0 , x " �q
"n
gdzie u0 i q0 są danymi funkcjami określonymi na odpowiednich częściach brzegu.
W szczególnych przypadkach (prosta geometria i warunki brzegowe) zadanie ma swoje analityczne rozwiązanie.
1
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Metoda Różnic Skończonych
MRS przybliża rozwiązanie równania różniczkowego za pomocą zastępowania operatorów różniczkowych operatorami różnicowymi.
Pochodna funkcji w punkcie a z definicji:
może zostać przybliżona ilorazem różnicowym: dla małych wartości h.
Dyskretyzacja polega na zastąpienie poszukiwanej funkcji przez zbiór jej wartości w węzłach siatki (regularnej lub nieregularnej).
Wartości pochodnych w punkcie zastępowane są za pomocą przyrostów (różnic) funkcji w sąsiadujących węzłach. W ten sposób równanie
różniczkowe zastępowane są przez równania algebraiczne tzw. równania różnicowe.
Zamiast równania różniczkowego otrzymujemy układ równań algebraicznych z niewiadomymi będącymi wartościami funkcji w węzłach.
xi=xo+ih,
y
Dla siatki prostokątnej mamy:
yk=yo+kg,
h h
ui,k+1
u ui,k=u(xi, yk )
i+1,k
Można przyjąć różne
ui-1,k u i,k ui+1,k g
ui,k-1 schematy różnicowe:
ui,k+1
yk
g
ui,k-1
u
i-1,k
ui,k+1 - ui,k iloraz różnicowy przedni,
"u "u
a) H" = ,
"y "y g
ui,k
"u "u - ui,k-1 iloraz różnicowy tylny
b) H" = ,
y0
"y "y g
ui,k+1 - ui,k-1 iloraz różnicowy centralny
"u "u
c) H" = .
x0 xi x "y "y 2g
xo, yo - ponkt referencyjny siatki,
u(x, y)
- funkcja poszukiwana
2
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Różnice odpowiadające wyższym pochodnym:
ui+1,k - 2ui,k + ui-1,k
"2u "2u
H" = ,
ui+2, j - 4ui+1, j + 6ui, j - 4ui-1, j + ui-2, j
"4u "4u
"x2 "x2 h2
H" =
"x4 "x4 h4
ui,k+1 - 2ui,k + ui,k-1
"2u "2u
H" = .
"y2 "y2 g2
Za pomocą schematy rożnicowego możemy wyrazić równanie różniczkowe w dowolnym punkcie (xi, yj ) za pomocą równania algebraicznego.
W przypadku r-nia Poissona:
1 1
ui+1, -2ui, +ui-1, + ui, -2ui, +ui, +f xi, yj =0
( ) ( ) ( )
h2 j j j g2 j+1 j j-1
Dla siatki regularnej ( h=g ) i fa"0 (równanie Laplacea) mamy:
ui+1, j+ui-1, j+ui, j+1+ui, j-1
ui, j=
4
N węzłów w obszarze &! , N równań, N niewiadomych (każde równanie odpowiada odpowiedniemu węzłowi siatki).
A u= b
[ ]{}{}
Żądamy spełnienia równania różnicowego we wszystkich węzłach wewnętrznych. W podobny sposób aproksymuje się warunki brzegowe i żąda
ich spełnienia:
a)
b)
W przypadku nieregularnych kształtów brzegu:
hu0+�u2
�
a) zakładamy u1= zamiast u=u0
2 1 0 0 1 h+�
2
h
�
hu0-�u2
h
b) zakładamy u1= zamiast u=u0
h-�
interpolacja warunku brzegowego ekstrapolacja warunku brzegowego
3
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
a) b)
y
y
x x
c)
y
d)
y
�
r
x
x
h
e)
6
g
l
4
0
1
2
3
5
Przykłady regularnych siatek MRS
4
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Metoda Elementów Brzegowych
Można przedstawić brzegowe równanie całkowe, które stanowi sformułowanie równoważne dla zagadnienia Poissona:
"u(x)u x
* * *
c(�)u(�)+ (�,)d�(x)= (�,)d�(x)+ (�,)d&!(x)
+"u(x)q x +" +"f(x)u x
"n
� � &!
Funkcje u* i q* zależą od położenia dwóch punktów:
c(�- punkt żródłowy, (x)
) u - punkt obserwacyjny
x
2
c(�) - współczynnik równy � na gładkim konturze lub 1 wewnątrz obszaru &!.
n
n2 n
1 1
�ł �ł
Rozwiązanie fundamentalne (znane w teorii r-ń całkowych): u" = (� , x) = ln , (36)
&!
n1
�ł �ł
2Ą r
�ł łł
r2 x
r
r
r= (x1-�1)2+(x2-�2)2 .
x
�
q
r1
"u"(�, x)
�
Funkcja q* określona jest przez pochodną kierunkową u* : q"(�, x) =u . � (37)
"n
� � =�
u q
�
�
�
�
"u" "u"
q" = �" n1 + �"n2,
"x1 "x2 ,
x
1
Dokonując różniczkowania, otrzymamy:
-(r1 �" n1 + r2 �" n2)
q" = ,
2Ąr2
gdzie ri=xi-�i , i=1,2, n=n1,n2 jest jednostkowym wektorem zewnętrznym, normalnym do brzegu �
�.
�
�
"u(x)
u(x) q(x) =
Brzegowe równanie całkowe wiąże ze sobą nieznaną funkcją i jej pochodną normalną na brzegu �.
"n
5
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Schemat rozwiązania numerycznego
1. Brzeg �
� dzielimy na LE elementów brzegowych, będących odcinkami lub krzywoliniowymi segmentami
�
�
u(x) q(x)
2. Na każdym elemencie brzegowym aproksymujemy funkcje i
(np. u(Pi), q(Pi) stałe na elementach brzegowych)
3. Przekształcamy równanie całkowe dla każdego węzła (�) w algebraiczne r-nie liniowe
c( )
LE LE
*
1
u(Pi)= q*(Pi , x)u(Pj)d�j + f(x)u*(Pi , x)d&!, i = 1,2,...LE
" i "
2
+"u(P , x)q(Pj)d�j - +" +"
j=1 j=1
�j �j &!
LE LE
x2
* *
1
u(Pi)=
"U q(Pj)-"Q u(Pj)+ fi , i = 1,2,...LE,
ij ij
2
j=1 j=1
fi = f(x)u*(Pi , x)d&!(x)
Pj
+"
&!
r
1
" "
u = �ł łł q
{} {}- �ł łł u + f
{} { }
.
�łU �ł �łQ �ł
2
u(Pj )
LE liniowych równań z niewiadomymi: (jeśli punkt Pj "�q ) lub q(Pi ) (jeśli Pi "�u )
Pi
x1
A y= b
[ ]{}{}
Ostatecznie:
Rozwiązanie {y} przedstawia poszukiwane wartości brzegowe u i q.
Macierz A  pełna i niesymetryczna
u(x) q(x)
4. Rozwiązanie - daje pełną informację o funkcji i jej pochodnej na brzegu
6
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Metoda Elementów Skończonych
x
2
węzły elementy
Równoważne (dla zadania Poissona) zadanie minimalizacji funkcjonału:
�ł�ł �ł2 �ł "u �ł2 łł
1 "u
I (u) = + - 2 f (x1, x2)uśłd&! - ud�,
obszar
�ł 0
+"�ł +"q
2 "x1 �ł �ł "x2 �ł e
�ł śł
&! �q
�ł�ł łł �ł łł �ł
gdzie funkcja u spełnia warunek Dirichleta:
u(x)=u0, x "�u
kontur
1. Dyskretyzacja obszaru rozwiązania &! &!
&! na elementy &!i , i=1,LE,
&! &!
&! &!
połączone w węzłach
x
1
LE
&! = i &!iI&! = 0 i`"j ,
U&! j
e
i=1
2. Aproksymacja funkcji u(x) w elemencie skończonym za pomocą funkcji kształtu i nieznanych parametrów węzłowych ui
u(x ,x )
1 2
LWE
Aproksymacja funkcji u(x,y)
u5
u(x1, x2)= (x1, x2)ui
"N
i
wewnątrz elementu &!e
i=1
x2
LWE  liczba węzłów w elemencie
u6
5
u4
ui , i = 1,...,LWE - wartości węzłowe poszukiwanej funkcji,
6
4
u3
Ni(x1,x2)  funkcje kształtu
u7
e
3
7
u2
3. Postać dyskretna funkcjonału
u8
8 2
LE LK
�ł�ł �ł2 �ł �ł2 łł
1 "u "u
I (u) E" �ł�ł + - 2 f (x1, x2)uśłd&!i - q0ud�
" " j
1 u1 LWE=8
+" +"
2 "x1 �ł �ł "x2 �ł
i=1 �ł śł j=1
&!i �
j
�ł�ł łł �ł łł �ł
x 7
1
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Wewnątrz każdego elementu mamy:
LWE
"u
i
=
""N ui,
"x1 i=1 "x1
LWE
"u
i
=
""N ui.
"x2 i=1 "x2
ui, i=1,2,..., LW
W ten sposób zastępujemy funkcjonał I za pomocą funkcji wielu zmiennych , gdzie LW oznacza liczbę węzłów w
elemencie. W postaci macierzowej funkcja ta ma postać:
k11 k12 k13 K k1LW ńł �ł
�ł łł u1 b1
ńł �ł
LW
�ł śł
�ł �ł �ł �ł
k21 k22 k23
u2 b2
�ł śł
�ł �ł �ł �ł
1
�ł �ł �ł
�ł k31 k32 śł - �łu1,u2,u3,K,uLW śł b3 �ł
I(u) H" ,u2,u3,...,uLW �ł u3 �ł
�ł śł
�ł żł �ł żł
�łu1
�ł m
2
�ł śł
�ł �ł
K
K�ł K�ł
�ł śł
�ł �ł �ł �ł
�ł
kLW1 kLW LW śł �ł �ł
uLW �ł �ł
bLW
ół �ł ół �ł
�ł �ł
elementy
zerowe
1
IH"
�ł [ ]{}-�ł {}
�łuśłK u �łuśłb .
�ł �ł
2
1�LW LW�LW LW�1 1�LW LW�1
Warunkiem koniecznym minimum tej funkcji jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych:
"I
= 0, i=1,K, LW .
"ui
Stąd:
K u = b
[ ]{} {}
, (+ warunki brzegowe)
Układ równań algebraicznych liniowych z nieznanymi wartościami węzłowymi poszukiwanej funkcji.
8
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKA
ADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
9