WIELOMIANY
1. Rozłóż na czynniki wielomiany:
a) W(x)=2x2-1 b) W(x)=8x3+36x2+54x+27 c) W(x)=12x3+4x2+9x+3
d) W(x)=x3-7x2-3x+21.
2. Rozwiąż równanie wielomianowe:
a) 9x3+27x2-25x-75=0 b) 2x3-x2-6x+3=0 c) 3x4-3x2-9(x-1)(x+1)=0
d) (x2-7x+18)2=36.
3. Liczby x =-4, x =3 sÄ… pierwiastkami wielomianu W(x)=x3+4x2-9x-36. Oblicz trzeci pierwiastek
1 2
tego wielomianu.
4. Dany jest wielomian W(x)=ax4-4x2+4.
a) Dla a=1 rozłóż W(x) na czynniki stopnia możliwie najniższego.
b) Dla a=0 rozłóz
W(x) na czynniki stopnia możliwie najniższego.
c) Wyznacz taką wartość a, dla której W(3)=130.
5. Dany jest wielomian W(x)=-x4+x2-1.
a) Wyznacz W(-"3) oraz W("2).
b) Wyznacz wartość wyrażenia #" #" .
3Å"W śą-ćą
2źą-ćą ćą
2Å"W śą 3źą
ćą
6. Dane sÄ… wielomiany K(x)=x3+2x2-1, L(x)=-x3+2x-1 oraz W(x)=x-1.
a) Udowodnij, że zachodzi równość [K(x)-L(x)]"W(x)=K(x)"W(x)-L(x)"W(x).
b) Czy dla innych wielomianów K(x), L(x), W(x) spełnionu byłby warunek z punktu a?
c) Jakie prawo dotyczące liczb zapewnia równość z punktu a?
7. Dane są wielomiany W (x)=x2+x+t oraz W (x)=x4+2x3+x2. Wyznacz taką wartość współczynnika
1 2
t, aby zachodziła równość wielomianów W (x) i [W (x)]2.
2 1
8. Dany jest wielomian W(x)=x3-x2+2. Wyznacz wzór wielomianu Q(x)=W(x+1)+W(x-1)-8.
Wyznacz sumę współczynników wielomianu 2Q(x) oraz miejsca zerowe wielomianu Q(x).
9. Wyznacz wszystkie wartości k, dla których równanie z niewiadomą x: (x-2)(x2-2kx+1-k2)=0 ma
trzy różne rozwiązania.
10. Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których pierwsza jest liczbą parzystą,
jest liczbÄ… podzielnÄ… przez 4.
11. Rozłóż na czynniki wielomian W(n) =n4-2n3+n2, a następnie uzasadnij, że dla każdej liczby
całkowitej n wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 4.
12. Sprawdz
, która z liczb: -1, 0, 1, 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x100-2x99+x2-4x+4.
13. Rozwiąż nierówność (x-2)2-4<0. Podaj rozwiązania równania x3+6x2-4x-24=0 należące do
zbioru rozwiązań tej nierówności.
14. Dane sÄ… przedziaÅ‚y (-"; 18m+9> i <2m3+m2; +"), gdzie mõR. Wyznacz wszystkie wartoÅ›ci
parametru m, dla których część wspólna tych przedziałów jest zbiorem jednoelementowym.
15. Ostrosłup o podstawie prostokąta o wymiarach x i 2x-1 ma wysokość równą x-2.
a) Wykaż, że funkcja opisująca objętość tego ostrosłupa wyraża się wzorem: V(x)=S!(2x3-5x2+2x),
dla x>2.
b) Oblicz objętość tego ostrosłupa dla x=3.
c) Dla jakiej wartości x objętość ostrosłupa jest równa 5/3?
16. Wielomian w dany jest wzorem w(x)=x3+ax2-4x+b.
a) Wyznacz współczynniki a, b i c, tak aby wielomian w był równy wielomianowi
p(x)=x3+(2a+3)x2+(a+b+c)x-1.
b) Dla a=3 i b=0 zapisz wielomian w w postaci iloczynu trzech wielomianów pierwszego stopnia.
17. Krawędzie prostopadłościanu mają długości 2x, x, x-3 (x>3). Wyznacz wartość x, dla której
objętość tego prostopadłościanu jest równa objętości sześcianu o krawędzi x.
18. Wykonaj dzielenie:
a) (x3+4x2-7x-10):(x-2) b) (2x3+4x2-7x-10):(x+2) c) (x3-5x+4):(x+1).
19. Rozwiąż nierówności:
a) x4+5x3-x2-5x<0 b) -x3+x2+x-1e"0 c) (x+2)(x-1)2(x-3)5<0.