FUNKCJA KWADRATOWA
1. Rozwiązać równanie:
25 śą x-1źą2-9śą xƒÄ…2źą2=0 .
2. Rozwiązać nierówności:
a) śą x-5źą2-2 śą x-5źąąą0 ,
b) -2śą xƒÄ… 2źąśą2x-ćą
2źąą0 ,
ćą
-6
Ä…0
c) .
8-x2
3. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale A, gdy:
a) f(x)=2x2-4x+3 i A=<½;2>,
b) f(x)=-x2+3x-1 i A=<-1;1>.
4. Oblicz, dla jakich wartości m funkcja kwadratowa f określona wzorem:
a) f(x)=x2-mx+1 przyjmuje tylko wartości dodatnie,
b) f(x)=x2-2mx-3 ma wykres, którego oś symetrii ma równanie x=1.
5
f śąx źą=
5. Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem .
-x2ƒÄ…4x-3
6. Wykres funkcji f danej wzorem f(x)=-2x2 przesunięto wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo oraz
wzdłuż osi OY o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g.
a) Rozwiąż nierówność f(x)+5<3x.
b) Podaj zbiór wartości funkcji g.
c) Podaj wzór funkcji g.
7. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej g jest przedział (-",5>, a zbiorem rozwiązań nierówności
g(x)>0 jest przedział (2,8). Wyznacz wzór funkcji g.
8. Znajdz
wzór funkcji kwadratowej y=f(x), której wykresem jest parabola o wierzchołku (1,-9)
przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci
kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
9. Liczby -2 i 4 sÄ… miejscami zerowymi funkcji f(x)=-½x2+bx+c.
a) Wyznacz współczynniki b i c, a następnie naszkicuj wykres funkcji f.
b) Dla jakich wartości x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji g(x)=x+2?
10. Naszkicuj wykres funkcji f. Wyznacz jej miejsca zerowe oraz przedziały monotoniczności.
-x2-2xƒÄ…3 ; x"Ä…0
f śą xźą=
{
x2-4xƒÄ…3 ; x‡Ä…0
11. Udowodnij, że nie istnieją dwie liczby, których suma jest równa 4, a ich iloczyn jest równy 5.
12. Uzasadnij, że nie istnieją takie dwie liczby całkowite, których suma jest równa 23, a ich iloczyn
jest większy od 132.
13. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest równa 155. Wyznacz te
liczby.
14. Ania i Maciek budują dom. Kupili działkę w kształcie prostokąta o powierzchni 640 m2.
Wiedząc, że jeden bok prostokąta jest o 12 m dłuższy od drugiego, oblicz, nie uwzględniając strat
siatki, ile metrów bieżących siatki trzeba kupić na ogrodzenie tej działki.
15. Kazik bawił się jednakowymi kostkami sześciennymi o krawędzi 1 dm. Gdy ułożył z nich duży
sześcian, zostało mu 7 kostek, a gdy długość krawędzi dużego sześcianu chciał powiększyć o 1 dm,
to zabrakło mu 12 kostek. Oblicz, iloma kostkami bawił się Kazik.
16. Ciało wyrzucone pionowo w górę osiąga po t sekundach wysokość równą wartościom funkcji h
określonej wzorem h(t)=-4t2+40t.
a) Ile czasu upłynęło od chwili wyrzucenia ciała w górę do chwili jego upadku na ziemię?
b) Po jakim czasie ciało osiągnęło maksymalną wysokość? Podaj wartość tej wysokości.
17. Właściciel księgarni sprzedaje miesięcznie 20 egzemplarzy książki w cenie po 40 zł za jeden
egzemplarz. Zauważył, że obniżka ceny książki o 1 zł powoduje przeciętnie zwiększenie sprzedaży
o jeden egzemplarz. Jaką cenę jednego egzemplarza książki powinien ustalić właściciel księgarni,
aby jego miesięczny utarg był największy?
18. Wartościami funkcji f określonej wzorem f(n)=n2-n+41, gdzie nT{1,2,3,...,40}, są liczby
pierwsze.
a) Oblicz najmniejszą i największą liczbę pierwszą, którą można wyznaczyć za pomocą tego wzoru.
b) Sprawdz
, czy liczba pierwsza 547 jest wartością tej funkcji.
19. Bartek-chodziarz, na długich dystansach chodzi z średnią szybkością 2 km/h, a Kuba-biegacz,
biega z średnią szybkością 8 km/h. Treningi rozpoczynają z tego samego miejsca, każdy po innej
z dwóch prostopadłych do siebie ścieżek. Bartek rozpoczyna trening o godzinę wcześniej niż Kuba.
a) Po jakim czasie od momentu startu Kuby odległość między nimi będzie równa 50 km?
b) Ile kilometrów przejdzie w tym czasie Bartek?
20. Suma obwodów prostokąta o stosunku boków 1:2 i prostokąta o stosunku boków 1:3 jest równa
40. Przy jakich długościach boków takich prostokątów suma ich pól jest najmniejsza?
21. Doświadczalnie ustalono, że czas T(n), liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne
ułożenie n kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym przybliżeniem, wzorem T(n)=an2+bn.
Ułożenie 10 kartek trwa średnio 20 sekund, a 30 kartek średnio 90 sekund. Wyznacz wzór funkcji
T(n) i oblicz, ile kartek można ułożyć średnio w ciągu 50 sekund.