1
Zadanie 4
Położenie osi transformerów a, b oraz c można przedstawić jako osie powstałe w efekcie
obrotów osi x układu współrzędnych odpowiednio o kąty:
Õa = Å‚ = 252° Ò! 72°
Õb = 180° - ² + Å‚ = 417° Ò! 57°
Õc = Å‚ + Ä… = 306° Ò! 126°
1 1 1
Å„Å‚µ = Å"(µ + µ Å"(µ - µ
)+ )Å"cos(2Õa)+ Å"Å‚ Å"sin(2Õa )
a x y x y xy
ôÅ‚
2 2 2
ôÅ‚
1 1 1
ôÅ‚µ = Å"(µ + µ Å"(µ - µ
)+ )Å"cos(2Õb)+ Å"Å‚ Å"sin(2Õb)
òÅ‚
b x y x y xy
2 2 2
ôÅ‚
1 1
ôÅ‚µ = Å"(µx + µ Å"(µ - µ 1
)+ )Å"cos(2Õc )+ Å"Å‚ Å"sin(2Õc )
c y x y xy
ôÅ‚
2 2 2
ół
~ wartoÅ›ci funkcji trygonometrycznych sin i cos dla podwojonych kÄ…tów Õa , Õb, Õc :
sin (2Õa ) = sin (144°) = 0,58779 cos (2Õa ) = -0,809
sin (2Õb ) = sin (114°) = 0,91355 cos (2Õb ) = -0,40674
sin (2Õc ) = sin (252°) = -0,95106 cos (2Õc ) = -0,309
1 1 1
Å„Å‚- 2624 = Å"(µ + µ Å"(µ - µ 0,809)+ Å"Å‚ Å" 0,58779
)+ )Å"(-
x y x y xy
ôÅ‚
2 2 2
ôÅ‚
1 1 1
ôÅ‚-1885 = Å"(µ + µ Å"(µ - µ 0,40674)+ Å"Å‚ Å" 0,91355
)+ )Å"(-
òÅ‚
x y x y xy
2 2 2
ôÅ‚
1 1 1
ôÅ‚660 = Å"(µ + µ Å"(µ - µ 0,309)+ Å"Å‚ Å"(- 0,95106)
)+ )Å"(-
x y x y xy
ôÅ‚
2 2 2
ół
2
~ wartości odkształceń :
µ = 3197,308 Å"10-6
x
µ = -2447,73Å"10-6
y
Å‚ = -2433,961Å"10-6
xy
~ wyznaczenie kierunków odkształceń głównych:
Å‚
- 2433,961Å"10-6
xy
tg(2Ä…) = = = -0,43117 Ò! Ä… = -11,662°
µ - µ (3197,308 - (- 2447,73))Å"10-6
x y
~ wyznaczenie wartości odkształceń głównych:
1 1
2
2
µ1,2 = Å"(µ + µ )Ä… (µ - µ ) + Å‚
x y x y xy
2 2
1 1 2 2
µ1,2 = Å"(3197,308 - 2447,73)Å"10-6 Ä… ((3197,308 - (- 2447,73))Å"10-6) + (- 2433,961Å"10-6)
2 2
Å„Å‚
ôÅ‚µ = 3 448,49 Å"10-6
1
µ1,2 = 374,789 Å"10-6 Ä… 3 073,70 Å"10-6 Ò!
òÅ‚
ôÅ‚ -2 698,91Å"10-6
=
ółµ 2
~ wyznaczenie wartoÅ›ci naprężeÅ„ à , à oraz Ä :
x y xy
E 93,38Å"103
à = Å"(µ +Å Å"µ )= Å"(3197,308 + 0,2 Å"(- 2447,73))Å"10-6 = 263,386 MPa
x x y
2
1-Å 1- 0,22
E 93,38 Å"103
à = Å"(µ +Å Å"µ )= Å"(- 2447,73 + 0,2 Å" 3197,308)Å"10-6 = -175,89 MPa
y y x
2
1-Å 1- 0,22
E 93,38 Å"103
Ä = G Å"Å‚ = Å"Å‚ = Å"(- 2433,961)Å"10-6 = -94,701 MPa
xy xy xy
2 Å"(1+Å) 2 Å"1,2
3
Zadanie 5
1. Charakterystyki geometryczne
1.1. Środek ciężkości
13,9 12,4 19,4 25,8
´1 = = 0,695 cm ´2 = = 0,62 cm ´3 = = 0,97 cm ´4 = =1,29 cm
20,0 20,0 20,0 20,0
A =13,9 Å"0,695 +12,4Å"0,62 +19,4Å" 0,97 + 25,8Å"1,29 = 69,4485[cm2]
12,4 19,4
öÅ‚
Sy =13,9 Å"0,695Å"0 +12,4Å" 0,62 Å" +19,4 Å"0,97 Å"ëÅ‚12,4 + + 25,8Å"1,29 Å"12,4 = 876,24[cm4]
ìÅ‚ ÷Å‚
1
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
13,9 25,8
öÅ‚
Sz =13,9 Å"0,695Å"ëÅ‚- ÷Å‚
+12,4 Å"0,62 Å"0 +19,4 Å"0,97 Å"0 + 25,8Å"1,29 Å" = 362,197[cm4]
ìÅ‚
1
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
362,197
yC = = 5,2153[cm]
69,4485
876,24
zC = =12,617 [cm]
69,4485
1.2. Centralne momenty bezwładności
2
0,62 Å"12,43 12,4
2 ëÅ‚-12,617 + öÅ‚
I = 13,9 Å" 0,695Å"(-12,617) + +12,4 Å" 0,62 Å" +
ìÅ‚ ÷Å‚
y0
12 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
19,4 0,97 Å"19,43
öÅ‚ 2
19,4 Å" 0,97 Å"ëÅ‚31,8 -12,617 - ÷Å‚
+ + 25,8 Å"1,29 Å"(-12,617 +12,4) = 4236,94[cm4]
ìÅ‚
2 12
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚- 13,9 0,695Å"13,93
2 2
Iz = 13,9 Å" 0,695Å" +12,4 Å" 0,62 Å"(- 5,2153) +19,4 Å" 0,97 Å"(- 5,2153)
ìÅ‚ - 5,2153öÅ‚ +
÷Å‚
0
2 12
íÅ‚ Å‚Å‚
2
1,29 Å" 25,83 25,8
+ + 25,8 Å"1,29 Å"ëÅ‚ - 5,2153öÅ‚ = 6117,8[cm4]
ìÅ‚ ÷Å‚
12 2
íÅ‚ Å‚Å‚
13,9
ëÅ‚
I = 13,9 Å" 0,695Å" - - 5,2153öÅ‚ Å"(-12,617)+12,4 Å" 0,62 Å"(- 6,417)Å"(- 5,2153)+19,4 Å" 0,97 Å" 9,483Å"(- 5,2153)
ìÅ‚ ÷Å‚
y0 z0
2
íÅ‚ Å‚Å‚
25,8
ëÅ‚
+ 25,8 Å"1,29 Å" - 5,2153öÅ‚ Å"(- 0,217)= 753,9[cm4]
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
4
1.3. Osie główne
2Iy z0
2Å"753,9
0
tg(2Õ0)= - = - = -0,80166 Ò! Õ0 =19,359°
Iy - Iz 4236,94 - 6117,78
0 0
1.4. Wykresy współrzędnych
i 0 ( 0
y(i) = (y1 - y1 )Å" cosÕ0 + (z1i) - z1 )Å"sinÕ0
y(1) = (-13,9 - 5,2153)Å" cos 19,359° + (0 -12,617)Å" sin 19,359° = -22,217
y(2) = (0 - 5,2153)Å" cos 19,359° + (0 -12,617)Å"sin 19,359° = -9,1028
y(3) = (0 - 5,2153)Å" cos 19,359° + (12,4 -12,617)Å"sin 19,359° = -4,9924
y(4) = (0 - 5,2153)Å" cos 19,359° + (31,8 -12,617)Å" sin 19,359° = 1,4383
y(5) = (25,8 - 5,2153)Å" cos 19,359° + (12,4 -12,617)Å" sin 19,359° = 19,349
i 0 0
z(i) = -(y1 - y1 )Å" sinÕ0 + (z1(i) - z1 )Å" cosÕ0
z(1) = -(-13,9 - 5,2153)Å"sin 19,359° + (0 -12,617)Å" cos 19,359° = -5,5674
z(2) = -(0 - 5,2153)Å" sin 19,359° + (0 -12,617)Å" cos 19,359° = -10,175
z(3) = -(0 - 5,2153)Å"sin 19,359° + (12,4 -12,617)Å" cos 19,359° = 1,5240
z(4) = -(0 - 5,2153)Å" sin 19,359° + (31,8 -12,617)Å" cos 19,359° = 19,827
z(5) = -(25,8 - 5,2153)Å"sin 19,359° + (12,4 -12,617)Å" cos 19,359° = -7,0283
É(1) = -13,9 Å"12,4 = -172,36[cm2] É(2) = 0 É(3) = 0 É(4) = 0 É(5) = 0
5
1.5. Momenty bezwładności
13,9
2 2
I = Å"[2 Å"((- 5,5674) + (-10,175) )+ 2 Å"(- 5,5674)Å"(-10,175)]Å" 0,695 +
y
6
12,4
2
Å"[2 Å"((-10,175) +1,52402)+ 2 Å"(-10,175)Å"1,5240]Å" 0,62 +
6
19,4
Å"[2 Å"(1,52402 +19,8272)+ 2 Å"1,5240Å"19,827]Å" 0,97 +
6
25,8
2
Å"[2(1,52402 + (- 7,0283) )+ 2 Å"1,5240Å"(- 7,0283)]= 3972,1[cm4]
6
13,9
2 2
I = Å"[2 Å"((- 22,217) + (- 9,1028) )+ 2 Å"(- 22,217)Å"(- 9,1028)]Å" 0,695 +
z
6
12,4
2 2
Å"[2 Å"((- 9,1028) + (- 4,9924) )+ 2 Å"(- 9,1028)Å"(- 4,9924)]Å" 0,62 +
6
19,4
2
Å"[2 Å"((- 4,9924) +1,43832)+ 2 Å"(- 4,9924)Å"1,4383]Å" 0,97 +
6
25,8
2
[2((- 4,9924) +19,3492)+ 2 Å"(- 4,9924)Å"19,349]Å"1,29 = 6382,7 [cm4]
6
1 1
Ks = ´i3 = Å"(13,9 Å" 0,6953 +12,4 Å" 0,623 +19,4 Å"0,973 + 25,8Å"1,293)= 26,9 [cm4]
"li
3 3
i
13,9
IÉ = Å"[2 Å"(- 22,217)Å"(-172,36)+ (- 9,1028)Å"(-172,36)]Å" 0,695 = 14 857,2[cm5]
By
6
13,9
IÉ = Å"[2 Å"(- 5,5674)Å"(-172,36)+ (-10,175)Å"(-172,36)]Å" 0,695 = 5 913,7[cm5]
Bz
6
1.6. Główny biegun wycinkowy
IÉ
5913,7
Bz
yA = y(3) + = -4,9924 + = -3,5036[cm]
Iy 3972,1
IÉ
14857,2
By
zA = z(3) - = 1,5240 - = -0,80373[cm]
Iz 6382,7
1.7. Główna współrzędna wycinkowa
1.7.1. Współrzędne głównego bieguna
wycinkowego w układzie osi środkowych
y0 = yA Å" cos(- Õ)+ zA Å" sin(- Õ)= -3,5036 Å" cos(-19,359°)- 0,80373Å"sin(-19,359°)= -3,0391[cm]
z0 = - yA Å" sin(- Õ)+ zA Å" cos(-Õ)= 3,5036Å" sin(-19,359°)- 0,80373Å" cos(-19,359°)= -1,9198[cm]
1.7.2. Współrzędne głównego bieguna wycinkowego w układzie osi początkowych
y1 = y0 + yC = -3,0391+ 5,2153 = 2,1762[cm]
z1 = z0 + zC = -1,9198 +12,617 = 10,6972[cm]
6
1.7.3. WspółrzÄ™dna ÉA
(
ÉA4) = 0
( (
ÉA3) = ÉA4) + y1 Å" L3 = 0 + 2,1762Å"19,4 = 42,218[cm2]
( (
ÉA2) = ÉA4) + y1 Å"(L3 + L2)= 0 + 2,1762Å" 31,8 = 69,204[cm2]
(1) (
ÉA = ÉA2) - z1 Å" L1 = 69,204 -10,6972Å"13,9 = -79,487[cm2]
( (
ÉA5) = ÉA3) - (L2 - z1)Å" L5 = 42,218 - (12,4 -10,6972)Å" 25,8 = -1,71066[cm2]
1.7.4. Moment statyczny współrzÄ™dnej ÉA
- 79,487 + 69,204 69,204 + 42,218 42,218 + 0
SÉ = Å"13,9 Å" 0,695 + Å"12,4 Å" 0,62 + Å"19,4 Å" 0,97 +
A
2 2 2
42,22 -1,71066
Å" 25,8Å"1,29 =1450,0[cm4]
2
1.7.5. WspółrzÄ™dna É
SÉ 1450,0
(
A
"É = - = - = -20,879[cm2] É(i) = ÉAi) + "É
A 69,4485
É(1) = -79,487 + (- 20,879)= -100,37[cm2]
É(2) = 69,204 + (- 20,879)= 48,325[cm2]
É(3) = 42,218 + (- 20,879)= 21,339[cm2]
É(4) = 0 + (- 20,879)= -20,879[cm2]
É(5) = -1,7107 + (- 20,879)= -22,59[cm2]
1.8. Główny wycinkowy moment bezwładności
13,9
2
IÉ = Å"[2Å"((-100,37) + 48,3252)+ 2Å"(-100,37)Å" 48,325]Å"0,695+
6
12,4
Å"[2Å"(48,3252 + 21,3392)+ 2Å" 48,325Å" 21,339]Å"0,62 +
6
19,4
2
Å"[2Å"(21,3392 +(- 20,879) )+ 2Å" 21,339Å"(- 20,879)]Å" 0,97 +
6
25,8
2
Å"[2(21,3392 + (- 22,59) )+ 2Å" 21,339Å"(- 22,59)]Å"1,29 = 42 296,84[cm6]
6
7
1.9. Współczynnik giętno-skrętny
G Å" Ks 26,9 1 1
Ä… = = 0,4Å" = 0,01595 =1,595
EIÉ 42 296,84 cm m
1.10. Momenty statyczne odciętej części przekroju w punkcie C
y(odcinek 2;¾ =0,74) = -9,1028 + 0,74 Å"(- 4,9924 - (- 9,1028)) = -6,0611[cm]
z(odcinek 2;¾ =0,74) = -10,175 + 0,74 Å"(1,524 - (-10,175)) = -1,5177 [cm]
É(odcinek 2;¾ =0,74) = 48,325 + 0,74 Å"(21,339 - 48,325) = 28,355[cm2]
z(1) + z(2) z(2) + z - 5,5674 -10,175
S (C)= Å" L1 Å"´1 + Å" L2 Å"´2 Å"¾ = Å"13,9 Å" 0,695 +
y
2 2 2
ëÅ‚ -10,175 -1,5177
öÅ‚
Å"12,4 Å" 0,62 Å" 0,74 = -109,30 [cm3]
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
y(1) + y(2) y(2) + y - 22,217 - 9,1028
S (C) = Å" L2 Å"´2 + Å" L2 Å"´2 Å"¾ = Å"13,9 Å" 0,695 +
z
2 2 2
ëÅ‚ - 9,1028 - 6,0611
öÅ‚
Å"12,4 Å" 0,62 Å" 0,74 = -194,42[cm3]
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
É(1) + É(2) É(2) + É -100,37 + 48,325
S (C) = Å" L1 Å"´1 + Å" L2 Å"´2 Å"¾ = Å"13,9 Å" 0,695 +
É
2 2 2
48,325 + 28,355
ëÅ‚ öÅ‚
= Å"12,4 Å" 0,62 Å" 0,74 = -33,25[cm4]
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2. Siły wewnętrzne
2.1. Od zginania: siły tnące i momenty zginające
qy = Pz1 Å"sinÕ0 = 31 kN Å"sin(19,359°) = 10,276 kN
qz = Pz1 Å"cosÕ0 = 31 kN Å"cos(19,359°) = 29,247 kN
Wartosci w przekroju a - a
M = 21,472 kNm
y
Tz = 11,114 kN
M = -7,544 kNm
z
Ty = 3,905 kN
8
 2.2. SiÅ‚y pochodzÄ…ce od skrÄ™cania prÄ™ta cienkoÅ›ciennego: B, MÉ , Ms
É
É
É
M = -Py Å"(z(4) -z )+ Pz Å"(y(4) - yA)= -10,276 Å"(19,827 - (- 0,80373))Å"10-2 +
A
+ 29,247 Å"(1,4383 - (- 3,5036))Å"10-2 = -0,67466 kNm
Przedział I 0 < x < łL
- (- 0,67466)
M = [2
s
2 Å"sinh(1,595 Å" 4,6)Å" Å"(0,62 -1)Å"sinh(1,595 Å" 4,6)- sinh(1,595 Å"((0,62 -1)Å" 4,6 + x))+ sinh(1,595 Å"((1- 0,62)Å" 4,6 + x))]
- (- 0,67466)
B =
1,595 Å"sinh(1,595 Å" 4,6)Å"sinh(1,595 Å"(0,62 -1)Å" 4,6)Å"sinh(1,595 Å" x)
- (- 0,67466)
M =
É
sinh(1,595 Å" 4,6)Å"sinh(1,595 Å"(0,62 -1)Å" 4,6)Å" cosh(1,595 Å" x)
Przedział II łL < x < 4,6
(- 0,67466)Å" îÅ‚ 1
M = [sinh(1,595Å"((1+ 0,62)Å" 4,6 - x))+ sinh(1,595 Å"((0,62 -1)Å" 4,6 + x))]Å‚Å‚
s
ïÅ‚- 2 Å"0,62 + sinh(1,595 Å" 4,6)Å" śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
(- 0,67466)
B =
1,595 Å"sinh(1,595 Å" 4,6)Å"sinh(1,595 Å" 0,62 Å" 4,6)Å"sinh(1,595Å"(4,6 - x))
- (- 0,67466)
MÉ =
sinh(1,595 Å" 4,6)Å"sinh(1,595Å" 0,62 Å" 4,6)Å" cosh(1,595 Å"(4,6 - x))
Ms B
MÉ
É
É
É
I 0 -0,24926 0 -0,00711
-0,17874 -0,04847 -0,07763
²L = 1,932
0,07972 -0,21071 -0,33609
Å‚L = 2,852
II 0,338570
Å‚L = 2,852
L=4,6 0,37677 0 0,041514
9
3. Naprężenia
3.1. Naprężenia normalne w przekroju a-a
M
M B
y
(i)
z
à = Å" z(i) - Å" y(i) + Å"É(i)
x
I Iz IÉ
y
21,472Å"10-3 - 7,544Å"10-3 - 0,04847Å"10-3
(1)
à = Å"(- 5,5674Å"10-2)- Å"(- 22,217Å"10-2)+ Å"(-100,37Å"10-4)=
x
3972,1Å"10-8 6382,7 Å"10-8 42296,84Å"10-12
= -56,356+11,500 = -44,856 MPa
21,472Å"10-3 - 7,544Å"10-3 - 0,04847Å"10-3
(2)
à = Å"(-10,175Å"10-2)- Å"(- 9,1028Å"10-2)+ Å"(48,325Å"10-4)=
x
3972,1Å"10-8 6382,7 Å"10-8 42296,84Å"10-12
= -65,763- 5,537 = -71,3 MPa
21,472Å"10-3 - 7,544Å"10-3 - 0,04847Å"10-3
(3)
à = Å"(1,524Å"10-2)- Å"(- 4,9924Å"10-2)+ Å"(21,339Å"10-4)=
x
3972,1Å"10-8 6382,7 Å"10-8 42296,84Å"10-12
= 2,337 - 2,445 = -0,108 MPa
21,472Å"10-3 - 7,544Å"10-3 - 0,04847Å"10-3
(4)
à = Å"(19,827Å"10-2)- Å"(-1,4383Å"10-2)+ Å"(- 20,879Å"10-4)=
x
3972,1Å"10-8 6382,7 Å"10-8 42296,84Å"10-12
= 108,882+ 2,392 = 111,274 MPa
21,472Å"10-3 - 7,544Å"10-3 - 0,04847Å"10-3
(5)
à = Å"(- 7,0283Å"10-2)- Å"(19,349Å"10-2)+ Å"(- 22,59Å"10-4)=
x
3972,1Å"10-8 6382,7 Å"10-8 42296,84Å"10-12
= -15,124+ 2,588 = -12,536 MPa
(i) ( (i)
y(i) z(i)
É(i)
É
É
É
à ÃÉi) Ã
M x
1 -22,217 -5,5674 -100,37 -56,356 11,500 -44,856
2 -9,1028 -10,175 48,325 -65,763 -5,537 -71,3
3 -4,9924 1,524 21,339 2,337 -2,445 -0,108
4 -1,4383 19,827 -20,879 108,882 2,392 111,274
5 19,349 -7,0283 -22,59 -15,124 2,588 -12,536
10
3.2. Naprężenia styczne w punkcie C
M - 0,17874
S
Ä = Å"´ = Å" 0,0062 = -4,1197 MPa
s
KS 26,9 Å"10-8
îÅ‚Tz Å" S y Ty Å" S z MÉ Å" S É Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
11,114 Å"(-109,3)Å"10-6 3,905 Å"(-194,42)Å"10-6 (- 0,07763)Å"(- 33,27)Å"10-8
Ä = -ïÅ‚ + + śł -ïÅ‚ + + = 6,7527 MPa
=
M +É śł
I Å"´ I Å"´ IÉ Å"´ 3972,1Å"10-8 Å" 0,0062 6382,7 Å"10-8 Å" 0,0062 42296,84 Å"10-12 Å" 0,0062
ïÅ‚ y z śł ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
3.3. Rozkład naprężeń
11
Zadanie 6
1. Postać wyboczeniowa
1.1 Równanie różniczkowe osi odkształconej
I) 0 d" x d" Ä…L
x2
M (x) = M - q +VA Å" x
y A
2
x2
EIw"(x) = q - M -VA Å" x
A
2
x3 x2
EIw'(x) = q - M x -VA + C1
A
6 2
x4 x2 x3
EIw(x) = q - M -VA + C1x + D1
A
24 2 6
II) 0 d" y d" L - Ä…L
y2
M (y) = q Å"
y
2
y2
0,88Å" EI w"(y) = -q Å"
2
y3
0,88Å" EI w'(y) = -q Å" + C2
6
y4
0,88Å" EI w(y) = -q Å" + C2 Å" y + D2
24
1.2. Wyznaczenie stałych z warunków brzegowych
wI (x = 0) = 0 D1 = 0
'
wI (x = 0) = 0 C1 = 0
4 2 3
(0,48 L) (0,48 L) (0,48 L)
wI (x = Ä…L) = 0 q - M Å" -VA = 0
A
24 2 6
4
(0,52 L)
wII (y = L -Ä…L) = 0 - q Å" + 0,52 L Å"C2 + D2 = 0
24
3
ëÅ‚ öÅ‚
- q(0,52 L)
ìÅ‚
+ C2 ÷Å‚
3 2
ìÅ‚ ÷Å‚
6
q(0,48 L) VA(0,48 L)
' íÅ‚ Å‚Å‚
wI (x = Ä…L) = -wII'(L -Ä…L) - 0,48 L Å" M - = -
A
6 2 0,88
2 2
(Ä…L) (L -Ä…L)
+VA(Ä…L)- q - q Å" = 0
"M = M A
B
2 2
12
VA = 0,7225 qL
M = -0,0964 qL2
A
C2 = 0,03974 qL3
D2 = -0,01762 qL4
2. Obciążenie krytyczne
2.1. Kryterium energetyczne Timoshenki
2 2
EI(w") dx + N(w') dx = 0
+" +"
L L
ëÅ‚ öÅ‚
1 x3
'
÷Å‚
wI (x) = ìÅ‚ - 0,36125 qLx2 + 0,0964qL2x÷Å‚
ìÅ‚q
EI 6
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 x2
÷Å‚
w"(x) = ìÅ‚ - 0,7225 qLx + 0,0964qL2 ÷Å‚
I
ìÅ‚q
EI 2
íÅ‚ Å‚Å‚
NI (x) = -2,28P
ëÅ‚ öÅ‚
1 y3
'
÷Å‚
wII (y) = ìÅ‚- q + 0,03974 qL3 ÷Å‚
ìÅ‚
0,88 Å" EI 6
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 y2
w" (y) = ìÅ‚- q ÷Å‚
II
ìÅ‚ ÷Å‚
0,88 Å" EI 2
íÅ‚ Å‚Å‚
NII (y)= -P
0,48L 0,52L 0,48L 0,52L
2 2 2 2
' '
EI(w") dx + 0,88 Å" EI(w" ) dy - P 2,28 (wI ) dx - P (wII ) dy = 0
I II
+" +" +" +"
0 0 0 0
2.2. Wartość krytyczna siły P
2
0,48L
ëÅ‚ öÅ‚
2 q2 0,48L x2
÷Å‚
I1 = EI(w") dx = ìÅ‚ - 0,7225 Lx + 0,0964 L2 ÷Å‚ dx =
I
+" +" ìÅ‚
EI 2
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
ëÅ‚ öÅ‚
q2 0,48L x4
÷Å‚
= ìÅ‚ - 0,7225 Lx3 + 0,61840625 L2x2 - 0,13928 L3x + 0,00929296 L4 ÷Å‚dx =
+" ìÅ‚
EI 4
íÅ‚ Å‚Å‚
0
0,48L
öÅ‚
q2 ëÅ‚ x5
ìÅ‚ ÷Å‚
= - 0,180625 Lx4 + 0,206135417 L2x3 - 0,06964 L3x2 + 0,00929296 L4x =
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 20
0
íÅ‚ Å‚Å‚
q2L5
= 2,8961Å"10-3
EI
2 0,52L
0,52L
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 q2 0,52L y2 q2 0,52L y4 q2 ëÅ‚ y5 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
I2 = 0,88 Å" EI(w" ) dy = ìÅ‚- ÷Å‚ dy = ìÅ‚ ÷Å‚ =
II
+" +" ìÅ‚ ÷Å‚ +" ìÅ‚ ÷Å‚dy =
ìÅ‚ ÷Å‚
0,88EI 2 0,88EI 4 0,88EI 20
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0
0
íÅ‚ Å‚Å‚
q2 q2L5
= Å"(0,00190102) = 2,1603Å"10-3
0,88EI EI
13
2
0,48L
ëÅ‚ öÅ‚
2 2,28q2 0,48L ìÅ‚ x3
'
÷Å‚
I3 = 2,28Å"(wI ) dx = Å" - 0,36125 Lx2 + 0,0964 L2x÷Å‚ dx =
+" 2 +" ìÅ‚
EI 6
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
ëÅ‚ öÅ‚
2,28q2 0,48L ìÅ‚ x6
÷Å‚
= Å" - 0,120416667 Lx5 + 0,162634963 L2x4 - 0,069649 L3x3 + 0,00929296 L4x2 ÷Å‚dx =
2 +" ìÅ‚
EI 36
íÅ‚ Å‚Å‚
0
0,48L
öÅ‚
2,28q2 ëÅ‚ x7
ìÅ‚
= - 0,020069445 Lx6 + 0,032526993 L2x5 - 0,01741225 L3x4 + 0,003097653 L4x3 ÷Å‚ =
2
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 252
0
íÅ‚ Å‚Å‚
q2L7
= 5,6764 Å"10-5 2
EI
2
0,52L
ëÅ‚ öÅ‚
2 q2 0,52L ìÅ‚ y3
'
÷Å‚
I4 = (wII ) dy = Å" - 0,03974 L3 ÷Å‚ dy =
+" 2 +" ìÅ‚
0,882 EI 6
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
ëÅ‚ öÅ‚
q2 0,52L ìÅ‚ y6
÷Å‚
= Å" - 0,013246667 L3 y3 + 0,001579268L6 ÷Å‚dy =
2 +" ìÅ‚
0,882 EI 36
íÅ‚ Å‚Å‚
0
0,52L
öÅ‚
q2 ëÅ‚ y7 q2L7
÷Å‚
= Å"ìÅ‚ - 0,003311668 L3 y4 + 0,001579268 L6x = 8,0046 Å"10-4 2
2
ìÅ‚ ÷Å‚
0,882 EI 252 EI
0
íÅ‚ Å‚Å‚
q2L5
I1 + I2 2,8961Å"10-3 + 2,1603Å"10-3 EI EI
Pkr = = Å" = 5,8985 = 212,11kN
I3 + I4 5,6764 Å"10-5 + 8,0046 Å"10-4 q2L7 L2
2
EI
2 2
Ä„ EI Ä„
µ = = = 1,2936
PkrL2 5,8988
14