Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 21
KOMBINATORYKA. PRAWDOPODOBIEC
STWO ZDARZEC
- lista zadań
12! 24! 3!�"10! 22!�" 24! (n +1)!�" (2n)! (5n)!�" (5n - 2)!
1. Obliczyć: a) , b) , c) , d) , e) , f) .
8! 22! 2!�" 7! 20!�" 21! (2n - 2)!�" n! (5n +1)!�" (5n -1)!
2. Z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5 tworzymy liczby pięciocyfrowe. Ile jest takich liczb? Jak zmieni się wynik,
jeżeli jedną z cyfr zastąpimy cyfrą 0?
3. Na półce z książkami znajdują się 4 książki z matematyki i 5 książek z logiki.
a) Ile jest sposobów rozmieszczenia tych książek?
b) Ile jest sposobów rozmieszczenia, w których książki z matematyki  przeplatają się z książkami
z logiki.
4. Ile jest liczb czterocyfrowych utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, w których nie powtarza się
żadna cyfra?
5. Ile można utworzyć liczb sześciocyfrowych z cyfr 4, 5, 6?
6. W grze liczbowej losuje się 5 liczb z 40. Ile jest możliwych wyników?
7. Ile nastąpi powitań gdy spotka się 6 znajomych?
8. Obliczyć
7 3 7 4 6 5
�# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś# �# ś#
a) , b) , c) �"ś# + �"ś# .
ś# ś# ś#
3ź# 0ź# 3ź# 1ź# ś# 2ź# 2ź#
�# # �# # �# # �# # �# # �# #
9. Na n kartkach wrzuconych do pudełka napisane są odpowiednio numery 1, 2, 3, ..., n :
a) losujemy w sposób przypadkowy jedną kartkę.
b) losujemy w sposób przypadkowy dwie kartki.
W obu przypadkach wyznaczyć zbiór zdarzeń elementarnych oraz liczbę tych zdarzeń.
10. Rzucamy kolejno trzema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za każdym razem wypadła
ta sama strona monety?
11. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) na pierwszej kostce wypadło co najwyżej tyle oczek, co na kostce drugiej,
b) w sumie wypadło mniej niż 7 oczek,
c) suma oczek jest podzielna przez 4.
12. Z talii kart losujemy jednocześnie 3 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich:
a) jest dokładnie jeden as, b) są co najmniej dwie damy, c) jest mariasz (król i dama tego samego
koloru).
13. Dwudziestoosobowa grupa studencka, w której jest 6 kobiet otrzymała 4 bilety do teatru. Bilety
rozdziela się drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród posiadaczy biletów:
a) będzie dwóch mężczyzn i dwie kobiety, b) będą sami mężczyz
ni?
Kombinatoryka. Prawdopodobieństwo zdarzeń  lista zadań
2
14. W celu kontroli jakości partii towaru złożonej ze 100 sztuk losuje się 5 z nich. Jeśli choć jedna
z tych sztuk jest wadliwa towar nie zostaje przyjęty. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia
partii towaru, jeżeli zawiera ona 7 sztuk wadliwych?
15. Z grupy składającej się z dziesięciu kobiet i pięciu mężczyzn wybrano w sposób losowy delegację
3-osobową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w skład delegacji wchodzą mężczyz
ni i kobiety?
16. Sprawdzić, czy jednakowe jest prawdopodobieństwo wygrania w loterii zawierającej n biletów,
spośród których jeden wygrywa i w loterii zawierającej 2n biletów, spośród których dwa
wygrywają, jeśli: a) gracz kupuje jeden bilet, b) gracz kupuje dwa bilety.
17. Pan X dojeżdża do pracy tramwajem lub autobusem, w zależności od tego, co przyjedzie pierwsze.
Autobus przyjeżdża zawsze o pełnej godzinie, tramwaj 20 minut po nim. Jakie jest
prawdopodobieństwo, ze X pojedzie tramwajem?
18. Losujemy dwie liczby z przedziału 0;1 . Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma nie
przekracza 0,5 ?
19. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, ze pierwiastki równania kwadratowego x2 + 2ax + b = 0 są
rzeczywiste, jeżeli współczynniki mogą przyjąć z jednakowym prawdopodobieństwem każdą
z wartości w kwadracie: -1d" a d"1, -1d" b d"1.
20. Na płaszczyz
nie poprowadzono dwie rodziny prostych równoległych, które dzielą ją na prostokąty
o bokach a i b, a d" b .. Na płaszczyznę tę rzucono w sposób losowy monetę o średnicy 2r < a.
Obliczyć prawdopodobieństwo, ze nie przetnie ona żadnej z prostych.
21. (Paradoks kawalera de Mere) Przy rzucie trzema kostkami sumę 11 i 12 oczek można uzyskać
na tyle samo sposobów. Dlaczego w praktyce częściej wypada suma 11?
2