Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 18
CAA
KI NIEWA
AŚCIWE. ZASTOSOWANIE CAA
EK W EKONOMII  lista zadań
1. Zbadać zbieżność całek:
+" +" +" 2 0 0
1 1 1 2x
-3x 3x
a) dx , b) dx , c) dx , d) dx , e)
+" +"e +" +" +"1 + 4x2 dx , f) +"e dx ,
x ln x
x4 x3
1 0 e -" -" -"
+" +"
1
-2x
g) dx , h) dx .
+"e +"
x2 + 4
-" -"
2. Zbadać zbieżność całek:
1 8 3 0 1 e
1 1 1 1 1 1
a) dx , b) dx , c) dx , d) dx , e) dx , f) dx .
+" +" +" +" +" +"
3
2 - x x x -1 x ln x
x2
x
0 0 2 -1 -4 1
3. Realny zysk osiągany z produkcji kolejnej jednostki x towaru wynosi z(x) = -x2 + 6x + 40 .
Ile jednostek warto produkować? Jaki jest łączny zysk przy tej produkcji?
4. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:
+" +" +" 2 2
2
dx 1 dx x
a) , b) xe-x dx , c) dx , d) , e) dx .
+" +" +" +" +"
(x - 3)2 x ln3 x x2 - 4x + 4
x -1
4 0 2 0 1
4
5. Obliczyć pole figury zawartej między krzywą y = a osią OX ( dla x e"1).
x2 + x
2x2 + 5
6. Obliczyć pole figury zawartej między wykresem funkcji y = , a jej asymptotą.
x2 + 1
7. Załóżmy, że do magazynu napływa towar z pewną intensywnością f (t) gdzie t jest miarą czasu.
Jaka jest wielkość zapasu zgromadzonego w odstępie czasu od 0 do 16?
t
-
4
Rozpatrzyć przypadki: a) f (t) = c , c-stała, b) f (t) = te .
W przypadku b) podać, w jakim momencie intensywność napływu towaru jest największa.
Odpowiedzi
1 1 1 1 Ą
1. a) , b) , c) rozbieżna, d) - , e) rozbieżna, f) , g) rozbieżna, h) .
3 3 8 3 2
2. a) rozbieżna, b) 6 , c) rozbieżna, d) rozbieżna, e) rozbieżna, f) rozbieżna.
1100
3. a) x = 10 jednostek, b) z = H" 366,67 zł.
3
+"
1 1 8 4
4. a) 1, b) , c) , d) rozbieżna, e) . 5. P = dx = 4 ln 2 .
2 +"
2 3
2 ln 2 x2 + x
1
+"
2x2 + 5
6. P = 7 a) z = 16c , b) z = 20 - 20e-4 , t = 4 .
+"( x2 + 1 - 2)dx = 3Ą .
-"