Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 27
EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH - lista zadań
1. Obliczyć wszystkie pochodne rzędu drugiego funkcji:
x
a) z = f (x, y) = x3 y2 + x cos y , b) z = f (x, y) = x cos(2x + y) , c) z = f (x, y) = xy + ,
y
x2 + y2
d) z = f (x, y) = , e) u = f (x, y, z) = x3 yexz .
x + y
2. Wykazać, że:
// // 2
a) f = f jeżeli f (x, y, z) = x3 y ln z + 4yez ,
yz zy
// 2
b) fxz = fz// , jeżeli f (x, y, z) = x3 y exy + ln(x + 2z) .
x
3. Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe:
/// IV
a) fxxy , jeżeli f (x, y) = xln(xy) , b) fxyxy , jeżeli f (x, y) = x3 sin y + y3 sin x .
4. Wyznaczyć hesjan funkcji w podanym punkcie oraz obliczyć minory główne otrzymanej macierzy:
a) f (x, y) = x3 + 3x2 y + y3 , P(-1, 2 ) , b) f (x, y) = x2 + x2 y + xy, P(1,3) ,
c) f (x, y, z) = xy + z3 + 3x2 yz, P(1, 0, - 2 ) , d) f (x, y, z) = xy2 z3 + x2 z, P(2,1, 0 ) .
5. Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich rodzaj:
a) f (x, y) = 3x + 6y - x2 - xy - y2 , b) f (x, y) = x2 - xy + y2 + 9x - 6y + 20 ,
c) f (x, y) = x2 - xy + y2 + 3x - 2y +1 , d) f (x, y) = x2 - 6xy + y3 + 3x + 6y ,
e) f (x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 , f) f (x, y) = x3 + 3x2 y - 6xy - 3y2 -15x -15y .
6. Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich rodzaj:
a) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z , b) f (x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 - 2xy + 4z - y ,
c) f (x, y, z) = x3 - 3x + y2 + 2y + z2 , d) f (x, y, z) = x3 + xy + y2 - 2xz + 2z2 + 3y ,
e) f (x, y, z) = x3 + y2 + z2 +12xy + 2z .
7. Wyznaczyć ekstrema funkcji i określić ich rodzaj:
1
a) f (x1, x2, x3, x4) = (x12 + x22 + x32 + x42 + x3x4) - 4x1 + 8x2 + 6x3 -12x4 ,
2
1
b) f (x1, x2, x3, x4) = (x12 + x22) + x3x4 - 4x1 + 8x2 +12x3 - 6x4 ,
2
c) u = f (x1, x2 , x3,..., xn ) = x13 + x2 3 + x33 +...+xn 3 - 3(x1 + x2 + x3 +...+xn ) ,
1 1 1 1
d) u = f (x1, x2 , x3, x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 + + + + .
x1 x2 x3 x4
Zadania do wykładu 27: Ekstrema funkcji wielu zmiennych
2
Odpowiedzi
1.
/ 2 /
a) f (x,y) = 3x2 y + cos y , f (x,y) = 2x3 y - x sin y ,
x y
// // // //
f (x,y) = 6xy2 , f (x,y) = 2x3 - x cos y , fxy (x,y) = f (x,y) = 6x2 y - sin y .
yx
x2 y2
/ /
b) f (x,y) = cos(2x + y) - 2x sin(2x + y) , f (x,y) = -x sin(2x + y) ,
x y
// //
f (x,y) = -4sin(2x + y) - 4x cos(2x + y) , f (x,y) = -x cos(2x + y) ,
x2 y2
// //
fxy (x,y) = f (x,y) = -sin(2x + y) - 2x cos(2x + y) .
yx
1 x 2x 1
/ / // // // //
c) f (x,y) = y + , f (x,y) = x - , f (x,y) = 0 , f (x,y) = , fxy (x,y) = f (x,y) = 1- .
x y yx
2 x2 y2
y y2
y y3
2 2
x2 + 2xy - y y + 2xy - x2
/ /
d) f (x,y) = , f (x,y) = ,
x y
(x + y)2 (x + y)2
2
4y 4x2 // - 4xy
// // //
f (x,y) = , f (x,y) = , fxy (x,y) = f (x,y) = .
yx
x2
(x + y)3 y2 (x + y)3 (x + y)3
/
/ xz /
e) f (x,y,z) = x2 y(3 + xz)e , f (x,y,z) = x3exz , f (x,y,z) = x4 yexz ,
x y z
// 2 //
f (x,y,z) = xy(6 + 6xz + x2 z )exz , f (x,y,z) = 0 , fz// (x,y,z) = x5 yexz ,
2
x2 y2
// // // //
fxy (x,y,z) = f (x,y,z) = x2 (3 + xz)exz , fxz ( x, y, z ) = fzx ( x, y, z ) = x3(4y + xyz)exz ,
yx
// //
fyz ( x, y , z ) = fzy ( x, y , z ) = x4exz .
2.
2x3 y 2
// // // //
a) fyz ( x, y, z ) = fzy ( x, y, z) = + 4ez , b) fxz ( x, y, z ) = fzx ( x, y, z ) = - .
z (x + 2z)2
3.
/// IV
a) fxxy (x, y) = 0 , b) fxyxy (x, y) =-6xsin y - 6ysin x .
4.
6x + 6y 6x 6
Ą# ń# Ą# - 6
ń#
a) Hessf (x,y) = , Hessf ( - 1, 2 ) = , M1 = 6, M = 36 .
ó# ó# Ą# 2
6x 6yĄ#
Ł# Ś# Ł#- 6 12 Ś#
2 + 2y 2x +1 8 3
Ą# ń# Ą# ń#
b) Hessf (x,y) = , Hessf (1, 3) = , M1 = 8, M = -9 .
ó# Ą# ó#3 0Ą# 2
2x +1 0
Ł# Ś# Ł# Ś#
6yz 1+ 6xz 6xy 0
Ą# ń# Ą# -11 0
ń#
ó#1+ ó# Ą#
c) Hessf (x,y,z) = 6xz 0 3x2 Ą# , Hessf (1,0,-2) = ,
ó# Ą# ó#-11 0 3 Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
6xy 3x2 6z 0 3 -12Ś#
Ł# Ś# Ł#
M1 = 0, M = -121, M = 1452 .
2 3
Ą# ń#
0 0 4
2z 2yz3 3y2 z2 + 2x Ą# ń#
ó# Ą#
ó#0
d) Hessf (x,y,z) = 2yz3 2xz3 6xyz2 Ą# , Hessf ( 2,1, 0 ) = 0 0Ą# ,
ó#
ó# Ą#
ó#3y2z2 + 2x 6xyz2 6xy2z Ą#
ó# Ą#
Ł#4 0 0Ś#
Ł# Ś#
M1 = 0, M = 0, M = 0 .
2 3
2
Zadania do wykładu 27: Ekstrema funkcji wielu zmiennych
3
5.
Ą# -2 -1
ń#
a) Punkt stacjonarny P(0,3) . Hessf (0,3) = , M1 = -2 < 0, M2 = 3 > 0 ,
ó# Ą#
-1 -2
Ł# Ś#
W punkcie występuje maksimum globalne fmax = f (0,3) = 9 .
2
Ą# -1
ń#
b) Punkt stacjonarny P(-4,1) . Hessf (-4,1) = , M1 = 2 > 0, M = 3 > 0 ,
2
ó# Ą#
-1 2
Ł# Ś#
W punkcie występuje minimum globalne fmin = f (-4,1) = -1.
2
ń#
4 1 4 1 Ą# -1
c) Punkt stacjonarny P(- , ) . Hessf (- , ) = , M1 = 2 > 0, M = 3 > 0 ,
ó# Ą# 2
4 3 3 3
Ł#-1 2 Ś#
4 1 4
W punkcie występuje minimum globalne fmin = f (- , ) = - .
3 3 3
3 27
d) Punkty stacjonarne: P1( ,1), P2 ( , 5) .
2 2
2
ń#
3 Ą# - 6
Hessf ( ,1 ) = , M = -24 < 0 , w punkcie ekstremum nie występuje.
ó# Ą# 2
2
Ł#- 6 6 Ś#
2
ń#
27 Ą# - 6
Hessf ( , 5) = , M1 = 2 > 0, M = 24 > 0 , w punkcie występuje minimum.
ó# Ą# 2
2
Ł#- 6 30 Ś#
27 109
fmin = f ( , 5) = - .
2 4
5
e) Punktami stacjonarnymi są: P1(0,0 ), P2(- , 0 ), P3(-1,2 ), P4(-1,-2 ) .
3
10 0
Ą# ń#
Hessf (0 ,0) = , M1 = 10 > 0, M2 = 20 > 0 , co oznacza, że w punkcie występuje
ó#
0 2Ą#
Ł# Ś#
minimum równe fmin = f (0 , 0) = 0 .
Ą# -10 0
ń#
40
5
ó#Ą#
, M1 =-10 < 0, M2 = > 0 , co oznacza, że w punkcie występuje
Hessf ( - ,0) =
4
ó#Ą#
3
3 0 -
Ł# 3 Ś#
5 125
maksimum równe fmax = f (- , 0) = .
3 27
Ą# -2 4
ń#
Hessf ( -1 ,2) = oraz M2 = -16 < 0 , w punkcie ekstremum nie występuje.
ó# Ą#
4 0
Ł# Ś#
Ą# -2 -4
ń#
Hessf ( -1 ,- 2) = oraz M = -16 < 0 , w punkcie ekstremum nie występuje.
ó#Ą# 2
-4 0
Ł#Ś#
5
f) Punktami stacjonarnymi są: P1(0 , - ), P2 (-1, -1), P3 (3 ,-1) .
2
ń#
5 Ą#-15 - 6
Hessf (0 ,- ) = , M1 = -15 < 0, M = 54 > 0 , co oznacza, że w punkcie
ó# 2
2 - 6 - 6Ą#
Ł# Ś#
5 75
występuje maksimum równe fmax = f (0 , - ) = .
2 4
Ą#- 12 - 12
ń#
, M = -72 < 0 , w punkcie ekstremum nie występuje.
Hessf (- 1 ,- 1) =
2
ó# Ą#
Ł#- 12 - 6 Ś#
12 12
Ą# ń#
Hessf (3 ,- 1) =
2
ó#12 - 6Ą# oraz M = -216 < 0 , w punkcie ekstremum nie występuje.
Ł# Ś#
3
Zadania do wykładu 27: Ekstrema funkcji wielu zmiennych
4
6.
a) Punkt stacjonarny funkcji: P( -1 , - 2 , 3 ) . W każdym punkcie P(x, y, z)
2 0 0
Ą# ń#
ó#0
(również i w stacjonarnym) hesjan ma postać: Hessf (x, y, z) = 2 0Ą# .
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł#0 0 2Ś#
M1 = 2 > 0, M = 4 > 0, M = 8 > 0 . Oznacza to, że w badanym punkcie występuje minimum
2 3
globalne m = umin = f (-1 , - 2 , 3) = -14 .
b) Punkt stacjonarny funkcji: P(1,1, - 2 ) . W każdym punkcie P(x, y, z)
2
Ą# - 2 0
ń#
ó#
(również i w stacjonarnym) hesjan ma postać: Hessf (x, y, z) = 2 4 0Ą# .
ó#- Ą#
ó# Ą#
0 0 2Ś#
Ł#
M1 = 2 > 0, M = 4 > 0, M = 8 > 0 . Oznacza to, że w badanym punkcie występuje minimum
2 3
globalne m = umin = f (1,1, - 2 ) = -5 .
c) Punkty stacjonarne funkcji: P1( 0 , 0 ,1 ), P2 ( 6,18 ,1 ) .
0
Ą# - 6 0
ń#
ó#
Hessf ( 0 , 0 ,1) = 6 2 0Ą# , M = -36 < 0 , ekstremum nie występuje.
2
ó#- Ą#
ó# Ą#
0 0 2Ś#
Ł#
36
Ą# - 6 0
ń#
ó#
Hessf ( 6 ,18 ,1) = 6 2 0Ą# , M1 = 36, M = 36, M = 72 .
2 3
ó#- Ą#
ó# Ą#
0 0 2Ś#
Ł#
Ponieważ M1 > 0, M > 0, M > 0 , to w badanym punkcie występuje minimum lokalne
2 3
umin = f ( 6 ,18 ,1 ) = -109 .
1 5 1 1
d) Punkty stacjonarne funkcji: P1( - , - , - ), P2( 1, - 2 , ) .
2 4 4 2
Ą#-3 1 -2
ń#
1 5 1ó#Ą#
Hessf ( - , - , - ) = 1 2 0 , M2 = -7 < 0 , ekstremum nie występuje.
2 4 4ó#Ą#
ó#-2 0 4
Ł#Ą#
Ś#
6 1 -2
Ą# ń#
1
ó# Ą#
Hessf ( 1, - 2 , ) = 1 2 0 , M1 = 6, M2 =11, M3 = 36 .
ó# Ą#
2
ó#-2 0 4
Ą#
Ł# Ś#
Ponieważ M1 > 0, M > 0, M > 0 , to w badanym punkcie występuje minimum lokalne
2 3
1 7
umin = f ( 1, - 2, ) = - .
2 2
e) Punkty stacjonarne funkcji: P1( 0,0,-1 ), P2( 24,-144,-1 ) .
0 12 0
Ą#ń#
ó#12
Hessf ( 0,0,-1 ) = 2 0Ą# , M = -144 < 0 , ekstremum nie występuje.
2
ó#Ą#
ó#Ą#
0 0 2Ś#
Ł#
4
Zadania do wykładu 27: Ekstrema funkcji wielu zmiennych
5
144 12 0
Ą#ń#
ó#
Hessf ( 24,-144,-1 ) = 12 2 0Ą# , M1 = 144, M =144, M3 = 288 .
2
ó#Ą#
ó#Ą#
0 0 2Ś#
Ł#
Ponieważ M1 > 0, M > 0, M > 0 , to w badanym punkcie występuje minimum lokalne
2 3
umin = f ( 24,-144,-1 ) = -6913 .
7.
a) Punkt stacjonarny P( 4,-8,-16,20) .
We wszystkich punktach hesjan funkcji przyjmuje tę samą postać. W szczególności
1 0 0 0
Ą#ń#
ó#0 1 0 0Ą#
3
ó#
Hessf ( 4,-8,-16,20) =0 0 01 Ą# . M1 =1 > 0, M2 =1,> 0 M3 =1 > 0, M4 = > 0 .
ó#Ą#
4
2
ó#Ą#
1
0Ś#
ó#Ą#
Ł#0 0 2
W punkcie występuje minimum globalne. umin = f ( 4,-8,-16,20) = -208 .
b) Punkt stacjonarny P(4,-8,-12,6) .
We wszystkich punktach hesjan funkcji przyjmuje tę samą postać. W szczególności
1 0 0 0
Ą#ń#
ó#0 1 0 0Ą#
ó#Ą#
Hessf (4,-8,-12,6) = . Ponieważ M1 = 1, M2 =1, M3 =1 oraz M =-1 < 0 , to
4
ó#Ą#
0 0 0 1
ó#Ą#
Ł#0 0 1 0Ś#
ze względu na ostatni z minorów funkcja nie posiada ekstremum.
c) Funkcja ma 2n punktów stacjonarnych postaci P(ą1,ą1,...,ą1) . W punkcie P1(1,1,...,1) funkcja

n
posiada minimum lokalne fmin = f (1,1,...,1) = -2n , a w punkcie P2 (-1,-1,...,-1) - maksimum
lokalne fmax = f (-1,-1,...,-1) = 4n . W pozostałych punktach stacjonarnych ekstremum nie ma.
d) Funkcja ma 16 punktów stacjonarnych postaci P(ą1,ą1,ą1ą1) . W punkcie P1(1,1,...,1) funkcja
posiada minimum lokalne fmin = f (1,1,1,1) = 8 , a w punkcie P2 (-1,-1,-1,-1) - maksimum
lokalne fmax = f (-1,-1,-1,-1) = -8 . W pozostałych punktach stacjonarnych ekstremum nie ma.
5