Redukcja dowolnego układu sił
1. Wybrane aksjomaty statyki
2. Twierdzenie o przesunięciu siły wzdłuż jej linii działania
3. Moment siły względem bieguna i osi
4. Zastępowanie prostych układów sił siłą wypadkową
5. Redukcja dowolnego układu sił
" Wektor główny i moment główny
" Transformacja momentu głównego
" Niezmienniki redukcji
" Oś centralna
" Skrętnik
" Szczególne przypadki redukcji
Wybrane aksjomaty statyki
Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego wzajemnie się równoważą wtedy i
tylko wtedy, gdy są sobie równe co do wartości, mają ten sam kierunek i
przeciwne zwroty.
r
P2
B
r
P1 A
r r
Własności równoważących się sił:
P1 = P2
leżą na wspólnej prostej:
mają przeciwne zwroty
r r
P i P2
Określenie: Siły tworzą dwójkę zerową
1
r r
Zapis: (dwójka zerowa jest równoważna układowi zerowemu)
{P , P2}= {0}
1
Aksjomaty statyki c.d.
Dodanie lub odjęcie dwójki zerowej nie narusza stanu równowagi ciała.
r r
Z : {P , P2}= {0}
1
r r
G G
r r
P1 P2
r r r r
{G}={P , P2,G}
1
Aksjomaty statyki c.d.
Dwie siły przyłożone w jednym punkcie można zastąpić wypadkową siłą,
przyłożoną w tym samym punkcie i przedstawioną jako przekątną
równoległoboku utworzonego z tych sił.
r r
P1 W
A
r
P2
r r r
{P , P2}={W}
1
r r r
W = P + P2
1
Uwaga:
Każdą siłę można rozłożyć na dwie składowe wyznaczone na zasadzie
równoległoboku
Twierdzenie o przesunięciu siły wzdłuż jej linii działania
Skutek działania siły na ciało sztywne nie zmieni się, gdy przesuniemy ją
wzdłuż jej linii działania.
r
r r
P3
r
Z : {P2, P3}= {0}
B
P2
r
.
r r
P1
P2 || P1
A
.
l
P2 = P1
Dowód:
Ak.2 Ak.2
r r r r r r r
{P} = {P , P2, P3} = {P3} {P , P2}={0}
1 1 1
Wniosek:
Siła działająca na ciało sztywne jest wektorem liniowym
(wektorem związanym z prostą działania)
Podział wektorów:
1. Swobodne (moment pary sił)
2. Liniowe (siła działająca na ciało sztywne)
3. Zaczepione (siła działająca na ciało odkształcalne)
Moment siły względem bieguna
r r
MO(P)
l
r
P
def
r r r
r
r
. . A
O
MO(P) = r P
r
j
h
.
Własności momentu siły względem bieguna:
r r r r r
r
1. MO(P) ^ r, MO(P) ^ P
r r r
r
2. wektory r, P,MO(P) tworzą układ prawoskrętny
r r
3. MO(P) = rPsin j = Ph
4. Moment siły względem bieguna nie zależy od punktu zaczepienia siły
Moment siły względem osi
k
l
r r
def
r
r r r
r
MO(P) a
P
Mk (P) = e.MO(P)
r
A
e
r
r
r r r r
r
O
Mk (P) = e.MO(P) = MO(P)cosa
Własności momentu siły względem osi:
1. Moment siły względem osi jest skalarem (liczbą)
2. Moment siły względem osi nie zależy od punktu zaczepienia siły
ani od wyboru bieguna na osi k
3. Moment siły względem osi zeruje się, gdy linia działania siły
(prosta l) jest równoległa lub przecina oś k
Zastępowanie prostych układów sił siłą wypadkową
1. Zbieżny układ sił
2. Dwie siły równoległe, zgodnie skierowane
3. Dwie siły równoległe, przeciwnie skierowane, o różnych
modułach
Zbieżny (centralny) układ sił
r r r
r
{P , P2 ...Pn}
Dane:
1
P1
r
C punkt zbieżności
P2
O dowolny biegun
C
r
W
r
r
.
O
r
Pn
Ak.3 Ak.3 Ak.3
r r r r r r r r r r r r r
{P , P2, P3...Pn} = {W1, P3...Pn} = ...{Wn-2, Pn} = {W} {W1}={P , P2}
1 1
n
r r r r r r r
W =Wn-2 + Pn = ...=W1 + P3 + ...Pn =
P
i
i=1
Moment układu sił względem dowolnego bieguna
n n n
r r r r r r r r
r r r
MO({P ..Pn}) =
1 M (Pi) = r Pi = r P = r W
O i
i=1 i=1 i=1
Wniosek: Moment układu sił zbieżnych jest równy momentowi wypadkowej
względem tego samego bieguna
Układ dwóch sił równoległych, zgodnie skierowanych
r
C
r r
W2
Dane:
{P , P2}, AB
1
r
r r r r
W1
P || P2
{Q1,Q2}={0}
1
r
W
zwroty zgodne
r r
Q1 A Q2
rB
O
r
P2
r
W2
P1
r
W1
Ak.2 Ak.3 Ak.3
r r r r r r r r r
{P , P2} = {P , P2,Q1,Q2} = {W1,W2} = {W}
1 1
r r r r r r r r r
W =W1 +W2 = P + Q1 + P2 + Q2 = P + P2 (W = P + P2)
1 1 1
Z podobieństwa trójkątów mamy:
P2 P
1
OA = AB, OB = AB
P + P2 P + P2
1 1
Układ dwóch sił równoległych, przeciwnie skierowanych, o różnych
r
modułach
r r W2
r r
Dane:
{P , P2}, AB
Q1 A P2
1
O
r
r r
B Q2
P || P2 , P ą P2
r
1 1
P1
r r r
zwroty przeciwne
W1 {Q1,Q2}={0}
r
W2
C
r
r
W
Ak.2 Ak.3 Ak.3
r r r r r r r r r
W1
{P , P2} = {P , P2,Q1,Q2} = {W1,W2} = {W}
1 1
r r r r r r r r r
W =W1 +W2 = P + Q1 + P2 + Q2 = P + P2 (W = P - P2)
1 1 1
Z podobieństwa trójkątów mamy:
P2 P
1
OA = AB, OB = AB
P - P2 P - P2
1 1
Prosty układ, którego nie da się zastąpić wypadkową
r r
Dane:
{P , P2}, AB
1
r r
r
P || P2 , P = P2
P2
1 1
A
zwroty przeciwne
B
r
P1
Uwaga: dodanie dwójki zerowej zamienia zadany układ sił równoległych na inny układ
o takich samych cechach
P2
Z : P > P2 , P2 P
W = P - P2 ,
OA = AB
1 1
1
P - P2
1
lim W = 0, lim OA = Ą
P2P1 P2P1
r r
{P , P2} - para sił
1
Para sił: dwie siły równoległe, przeciwnie skierowane, o równych modułach
Moment pary sił
r r
Dane: para sił
{P , P2}
1
O
O dowolny biegun
r r
r
r1 r2
P2
AB
A
B
r
r r
P1 r2 = r1 + AB
r r r r r r r r r r r
r r r r r
MO({P , P2}) = r1 P + r2 P2 = r1 P + (r1 + AB) P2 = r1 (123) + AB P2 = AB P2
P1 + P2
1 1 1
0
Wniosek: Moment pary sił nie zależy od wyboru bieguna (jest wektorem swobodnym)
Własności par sił:
" Pary sił o takich samych momentach są sobie równoważne
" Układ par sił można zastąpić parą wypadkową, o momencie równym sumie
geometrycznej momentów wszystkich par
Redukcja* dowolnego układu sił
r
r r
P1
Dane: dow. układ sił
{P ,...Pn}
1
r
r
- Qn
O dowolny biegun r
r
Q1
Pi
Qi
r
r r
ri
O
Z : Qi || Pi , i =1..n
r
- Qi
Qi = Pi , i =1..n
r
r
Wg
r
r
Qn
Pn
- Q1
r
MgO
r r r r r r r r r r r r r r r r r
P -Q1...Pn,4 = {Wg,MgO}
{P, P2 ...Pn} = {P ...Pn,Q1...Qn,-Q1...- Qn} ={Q12Qn,1,44
1 1 1
1...3 24-Qn}
3
r r
Wg MgO
n n
r r r
Wg =
Q = P - wektor główny
i i
i=1 i=1
n n
r r r r r
r
MgO =
M ({Pi,-Qi}) = r Pi - moment główny
O i
i=1 i=1
* Zastępowanie danego układu sił prostszym układem równoważnym
Transformacja momentu głównego przy zmianie bieguna redukcji *
r r
Dane:
{Wg,MgO}
r
Pi
O stary biegun
.
r
C nowy biegun
ri
r r r r
r
ri = OC+ ri ri = ri - OC
ri
n
r r
.
O
Wg =
P
i
.
i=1n
OC
C
r r
r
MgO =
r Pi
i
i=1
n n n n
r r r r r r r
ć
r r r
MgC =
r Pi = r - OC Pi = r Pi -OC Pi = MgO - OCWg
i i i
Ł ł
i=1 i=1 i=1 i=1
r r r
MgC = MgO - OCWg
Niezmienniki redukcji
Niezmiennikami redukcji nazywamy wielkości nie ulegające zmianie podczas
zmiany bieguna redukcji
n
r r
1. Wektor główny Wg =
P
i
r r
i=1
Wg.MgO
2. Rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego
l =
Wg
Dowód:
r r r r
MgC = MgO - OCWg .Wg
r r r r r r
ć
:Wg
Wg.MgC =Wg.MgO -Wg.OCWg
Ł
14 244
4 3ł
0
r r r r
Wg.MgC Wg.MgO
= = l
Wg Wg
r r
r r
Wg Wg
MgC MgO
r r
l = 0
jeżeli Wg ^ MgO wtedy
. .
l l
C O
Oś centralna
Równanie wektorowe:
r
r r
Dane:
a, b (b ^ a)
a r = b
r
r
Szukane: r
r
r b a r
r = + ta t - parametr
a2
Sprawdzenie
0
}
r r r
0
r r r r r r
}
r r r r
a (b a) r r b(a.a) - a(a.b)
r r r r r r
L = + ta a = = b a (b c) = b(a.c) - c(a.b)
a2 a2
Osią centralną nazywamy prostą, charakteryzującą się tym, że w wyniku redukcji
dowolnego układu sił do dowolnie wybranego punktu tej prostej otrzymamy wektor
i moment główny wzajemnie równoległe, posiadające kierunek tej prostej
r r r r
Wg || MgC MgC = kWg
r r r
r
poszukiwany wektor
MgC = MgO - OCWg OC = r
r r r
r
(-1)
r Wg = MgO - kWg
r r r
r
Wg r = kWg - MgO
r r r r r
r
(kWg - MgO)Wg
r Wg MgO r
r = + tWg = + tWg postać wektorowa równania
2 2
Wg Wg
osi centralnej
Skrętnik
Wynik redukcji do dowolnego punktu leżącego na osi centralnej nosi nazwę skrętnika
skrętnik prawy
l > 0 r r
r Wg MgO r
l < 0 r
skrętnik lewy
r = + tWg
Wg
2
Wg
z r
r
r
r r
MgC
r
Wg
r i j k
r
C
r r
MgO
Wg MgO = Wg Wg Wg
x y z
y
O
MgOx MgOy MgOz
oś centralna
x
r r
Wg MgOz -Wg MgOy
y z
MgC = kWg
x = + tWg
x
2
r r r r
Wg
Wg.MgC Wg.kWg l
Wg MgOx -Wg MgOz
l = = = kWg k =
y = z x
+ tWg
Wg Wg Wg
y
2
Wg
r r
l
MgC = Wg
Wg MgOy -Wg MgOx
x y
Wg
z = + tWg
z
2
Wg
MgC = l
Wniosek: moduł momentu głównego jest
najmniejszy, gdy p. C leży na osi centralnej
Szczególne przypadki redukcji
r
MgC
r
Wg
C
r r r r
l ą 0 - skrętnik
r
1. Wg ą 0 i MgO ą 0
l = 0 - wypadkowa na osi centralnej
Wg
(MgC = l )
C
r r r r r
(l = 0) - wypadkowa (O leży na osi centralnej)
2. Wg ą 0 i MgO = 0 Wg
O
r
r r r r
MgO
3. Wg = 0 i MgO ą 0 - para sił (wynik nie zależy od wyboru bieguna)
0
O
}
r r r r
MgC = MgO - OCWg = MgO
r r r r
4. Wg = 0 i MgO = 0 - układ zerowy (wynik nie zależy od wyboru bieguna)
Podsumowanie
n
r r
Wg =
P - wektor główny
i
i=1
n
r r
r
MgO =
r Pi - moment główny
i
i=1
r r
Wg.MgO
l = - niezmiennik redukcji
Wg
Wg MgO
r = + tWg - równanie osi centralnej
Wg2
r r r
MgC = MgO - OCWg - transformacja momentu głównego
Procedura redukcja
> redukcja:=proc(wg,mgo,modwg,modmgo)
global lambda:
if modwg <>0 then
lambda:=DotProduct(wg,mgo)/modwg
end if;
if modwg<>0 and modmgo<>0 and lambda<>0 then
"układ redukuje się do skrętnika"
elif modwg<>0 and lambda=0 then
"układ redukuje się do wypadkowej"
elif modwg=0 and modmgo<>0 then
"układ redukuje się do pary sił"
else "układ jest w równowadze"
end if;
end proc:
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklad 4 Reakcje utleniajaco redukcyjneSieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjaWYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznejmo3 wykladyJJZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczneWyklad studport 8Kryptografia wykladBudownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppozwyklad09Sporzadzanie rachunku przepływów pienieżnych wykład 1 i 2fcs wyklad 5więcej podobnych podstron