Procesy stochastyczne
4. Zbieżność martyngałów zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 4.1 (B. M. P., Ex. 3.5 p. 34) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych lo-
sowych o jednakowym rozkładzie N(0, �2) (� > 0). Funkcja tworząca momenty dla tak
n
zdefiniowanych zmiennych losowych ma postać M(t) = exp(1�2t2). Niech Sn = Xk.
k=1
2
n
Ciąg Mn = etS (M(t))-n jest martyngałem względem filtracji Fn = �(S1, . . . , Sn) (patrz
zad. 2.5.). Wykaż, że dla każdego t " R martyngał ten jest prawie wszędzie zbieżny do
pewnej zmiennej losowej M". Wyznacz M".
Zad. 4.2 (L., Ex. 6 p. 102) Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednako-
wym rozkładzie

3 1 1
P Xi = = P Xi = =
2 2 2
dla i 1. Niech M0 = 1, a dla n > 0 niech Mn = X1 � . . . � Xn, Fn = �(X1, . . . , Xn). Zbadaj
zbieżność prawie wszędzie martyngału {Mn}. Korzystając z MPWL wyznacz jego granicę.
Czy {Mn} jest zbieżny w L1?
Zad. 4.3 (L., Ex. 2 p. 101) Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednako-
wym rozkładzie
1
P (Xi = 1) = P (Xi = -1) =
2
n 1
dla i 1 i niech Mn = Xj. Pokaż, że {Mn} z filtracją Fn = �(X1, . . . , Xn) jest
j=1
j
martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L1 (czyli szereg harmoniczny o losowych znakach
jest prawie na pewno zbieżny!).
Zad. 4.4 (J. S., Zad. 2 str. 241) Korzystając z twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów, wykaż,
"
że jeżeli {Xn} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych z EXn = 0 i V arXn < ",
n=1
"
to szereg Xn jest zbieżny prawie wszędzie.
n=1
Zad. 4.5 (K., Ex. 50.2/255) Niech {Xn} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych
1 1
P (Xn = n3) = P (Xn = -n3) = , P (Xn = 0) = 1 - , n " N.
2n2 n2
m
Udowodnij, że Sm = Xn, m " N, z filtracją Fm = �(X1, . . . , Xm) jest martyngałem
n=1
zbieżnym prawie wszędzie, ale nie w L1.