materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl
x 4 5 4 7 8
Narysuj wykres następującej funkcji. To przyporządkownie nie jest funkcją, po-

nieważ liczbie 4 zostały przyporządkowane
y 2 3 5 0 1
-2x - 3 dla x " -5, -1)
dwie liczby 2 i 5.
f(x) =
x2 - 2 dla x " -1, 3)
RozwiÄ…zanie:
x 1 1 1 3 2
To przyporzÄ…dkownie nie jest funkcjÄ…, po-
y = -2x - 3 y = x2 - 2
nieważ liczbie 1 zostały przyporządkowane
y 0 2 8 9 12
trzy liczby 0, 2 i 8.
x -5 -3 -2 x -1 0 1 2
y 7 3 1 y -1 -2 -1 2
Funkcja jest określona wzorem f(x) = x2 - 3x + 5. Oblicz jej wartości dla argumentów 4, 0,
" "
3
-4, 1 + 2, 5 - 2.
RozwiÄ…zanie:
y
f(4) = 42 - 3 · 4 + 5 = 16 - 12 + 5 = 9
f(0) = 02 - 3 · 0 + 5 = 5
f(-4) = (-4)2 - 3 · (-4) + 5 = 16 + 12 + 5 = 33
" " " " " "

=
f(1 + 2) = (1 + 2)2 - 3 · (1 + 2) + 5 1 + 2 2 + 2 - 3 - 3 2 + 5 = 5 - 2
x
" " " " " "

3 3 3 3 3 3
=
f( 5 - 2) = ( 5 - 2)2 - 3 · ( 5 - 2) + 5 25 - 4 5 + 4 - 3 5 + 6 + 5 =
" "
3 3
= 15 - 7 5 + 25
Funkcja f : {-3, -2, 0, 1} R każdej liczbie ze zbioru {-3, -2, 0, 1} przyporządkowuje
jej kwadrat pomniejszony o 4. Określ funkcję za pomocą grafu, tabelki, wzoru. Podaj zbiór
Czy następujące określone tabelką przyporządkowania są funkcjami?
wartości funkcji.
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
To przyporzÄ…dkownie jest funkcjÄ…, ponie-
x 1 3 7 2 8 waż każdej liczbie ze zbioru x-ów jest przy-
Wzór tej funkcji:
porządkowana dokładnie jedna liczba ze
y 4 8 9 0 1
f(x) = x2 - 4
zbioru y-ów.
wartości tej funkcji dla argumentów: -3, -2, 0, 1
x 2 3 5 8 9 To przyporzÄ…dkownie jest funkcjÄ…, ponie-
waż każdej liczbie ze zbioru x-ów jest przy-
f(-3) = (-3)2 - 4 = 9 - 4 f(0) = 02 - 4 = 0 - 4
y 1 4 1 1 10
porządkowana dokładnie jedna liczba ze
f(-3) = 5 f(0) = -4
zbioru y-ów. Nie szkodzi, że wartość 1 po-
wtarza siÄ™ trzy razy.
f(-2) = (-2)2 - 4 = 4 - 4 f(1) = 12 - 4 = 1 - 4
 matematyka.pisz.pl  1  matematyka.pisz.pl 
f(-2) = 0 f(1) = -3 RozwiÄ…zanie:
y = 2 y = |x|
x -3 -2 0 1
x -4 -3 x -2 0 2
y 5 0 -4 -3
y 2 2 y 2 0 2
-3 5
-2 0
0 -4
1 -3
y = 2x - 2
y
zbiór wartości funkcji: {5, 0, -4, -3} 2
x 3 4 5
y 4 6 8
Narysuj wykres następującej funkcji.
y = 2x - 3
RozwiÄ…zanie:
x
x -1 0 2
y -5 -3 1
y
Narysuj wykres następującej funkcji.
x
y = 2|x|
Narysuj wykres następującej funkcji.
RozwiÄ…zanie:
Å„Å‚
òÅ‚ 2 dla x " -4, -2)
x -2 -1 0 1 2
f(x) = |x| dla x " -2, 2
ół
2x - 2 dla x " (2, ") y 4 2 0 2 4
 matematyka.pisz.pl  2  matematyka.pisz.pl 
Dziedzina funkcji
y Dziedzina funkcji to zbiór zawierający wszystkie liczby, które możemy podstawić do wzoru funk-
cji. Możemy ją też odczytać z wykresu funkcji.
Oznaczenia: D Df X
Przykłady:
x
"
y = x D = 0, "), ponieważ nie można pierwiastkować liczb ujemnych.
1 1
y = D = R \ {0}, ponieważ nie można dzielić przez 0 ( = 1 : x).
x x
y
D = -2, 5)
x
Narysuj wykres następującej funkcji.
-2 5

-1 dla x " (-", -3) *" (3, ")
f(x) =
-|x| + 2 dla x " -3, 3
RozwiÄ…zanie:
Znajdz
dziedzinÄ™ funkcji.
y = -1 y = -|x| + 2
"
f(x) = 3x + 9
x -6 -4 4 6 x -3 -2 0 2 3
RozwiÄ…zanie:
y -1 -1 -1 -1 y -1 0 2 0 -1 Wyznaczamy dziedzinę wiedząc, że liczb ujemnych nie możemy pierwiastkować.
3x + 9 0
3x -9 / : 3
y
x -3
Odp. D = -3, ")
Znajdz
dziedzinÄ™ funkcji.
"
f(x) = 4 - 2x
x
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy dziedzinę wiedząc, że liczb ujemnych nie możemy pierwiastkować.
4 - 2x 0
 matematyka.pisz.pl  3  matematyka.pisz.pl 
-2x -4 / : (-2) Odczytaj dziedzinÄ™ funkcji o podanych wykresach.
x 2
RozwiÄ…zanie:
y
Odp. D = (-", 2
5
4
3
2
dziedzina: D = (-4, 4
1
Znajdz
dziedzinÄ™ funkcji.
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
5
-2
f(x) =
-3
2x + 6
-4
-5
RozwiÄ…zanie:
dziedzina funkcji
y
Mianownik nie może być równy 0, ponieważ nie wolno dzielić przez 0.
5
4
3
2x + 6 = 0
2
dziedzina: D = -2, ")
1
2x = -6 / : 2
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
x = -3
-2
-3
-4
-5
Odp. D = R \ {-3}
y
Znajdz
dziedzinÄ™ funkcji.
5
4
4
f(x) =
3
x(x + 3)
2
dziedzina: D = R
1
RozwiÄ…zanie: -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
dziedzina funkcji
-3
-4
Mianownik nie może być równy 0, ponieważ nie wolno dzielić przez 0.
-5
x(x + 3) = 0
x = 0 lub x + 3 = 0
x = -3
Odp. D = R \ {0, -3}
Zbiór wartości
Zbiór wartości to zbiór zawierający wszystkie liczby, które możemy otrzymać ze wzoru funkcji.
 matematyka.pisz.pl  4  matematyka.pisz.pl 
Możemy go też odczytać z wykresu funkcji.
Oznaczenia: ZW, ZWf , Zf , Y
y
funkcja dla żadnego argumentu
5
4
nie przyjmuje wartości -5
Przykłady:
3
2
f(-1, 5) = 0 f(3) = 0
y = x2 ZW = 0, "), ponieważ podnosząc do kwadratu
1
otrzymujemy liczby nieujemne.
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
f(-1, 8) = 2 f(5) = 2
-1
y = x + 1 ZW = R, ponieważ możemy otrzymać dowolną liczbę -2
-3
wstawiajÄ…c odpowiedniÄ… za x.
-4
-5
y
4
ZW = -2, 4)
x
y
-2
5
4
3
f(-4) = -5
2
1
f(-2) = 0
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
f(-1) = 2
-3
-4
Odczytaj z wykresów funkcji dla jakich argumentów, wartości funkcji wynoszą -5, 0, 2 -5
RozwiÄ…zanie:
Miejsce zerowe
y
5
f(3) = -5
Miejsce zerowe to liczba, która podstawiona do wzoru funkcji daje wartość równą 0. Miejsce
4
3 zerowe możemy też odczytać z wykresu funkcji.
f(-3) = 0 f(1) = 0
2
1
f(-2) = 2 f(0) = 2
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
Przykłady:
-1
-2
y = x + 2 x0 = -2, ponieważ podstawiając -2 za x otrzymujemy 0.
-3
-4
y = 2x - 6 x0 = 3, ponieważ podstawiając 3 za x otrzymujemy 0.
-5
 matematyka.pisz.pl  5  matematyka.pisz.pl 
y
x1 = 0 i x2 = 2
x0 = 1
Odp. Funkcja y = x2 - 2x ma dwa miejsce zerowe: x1 = 0 i x2 = 2.
x
1
"
y = 2x - 6
"
0 = 2x - 6
0 = 2x - 6

-2x = -6 : (-2)
x0 = 3
Oblicz miejsze zerowe funkcji.
"
"
Odp. Funkcja y = 2x - 6 ma jedno miejsce zerowe: x0 = 3.
y = 3x - 2 y = x2 - 4 y = x2 - 2x y = 2x - 6
RozwiÄ…zanie:
Oblicz miejsce zerowe funkcji.
WyznaczajÄ…c miejsce zerowe szukam dla jakiego x mam y = 0.
3x x2 - 6
y = y =
y = 3x - 2
x + 2 x2 + 3
0 = 3x - 2
RozwiÄ…zanie:
2 = 3x
3x

y =
3x = 2 : 3 x + 2
2
Na poczÄ…tku szukam dziedziny tej funkcji.
x =
3
2 x + 2 = 0
Odp. Miejsce zerowe funkcji y = 3x - 2 to x0 = .
3
x = -2
Mianownik nie może być równa 0, a tak jest dla x = -2, dlatego dziedzina funkcji to x "
y = x2 - 4
R \ {-2}. WyznaczajÄ…c miejsce zerowe szukam dla jakiego x mam y = 0.
0 = x2 - 4
3x
y =
x+2
4 = x2
3x
x2 = 4 0 =
x+2
0 = 3x
x1 = -2 i x2 = 2

3x = 0 : 3
Odp. Funkcja y = x2 - 4 ma dwa miejsce zerowe: x1 = -2 i x2 = 2.
x0 = 0
3x
Odp. Wynik 0 należy do dziedziny funkcji. Funkcja y = ma jedno miejsce
x+2
y = x2 - 2x
zerowe: x0 = 0.
0 = x2 - 2x
0 = x(x - 2)
x2 - 6
y =
x(x - 2) = 0
x2 + 3
 matematyka.pisz.pl  6  matematyka.pisz.pl 
Na poczÄ…tku szukam dziedziny tej funkcji.
y
5
miejsca zerowe:
x2 + 3 = 0 4
3
x1 = -1, 5; x2 = 3
x2 = -3
2
1
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
To równanie nia ma rozwiązania, dlatego dziedzina funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste.
-3
WyznaczajÄ…c miejsce zerowe szukam dla jakiego x mam y = 0.
-4
-5
x2-6
y =
x2+3
x2-6
y
0 =
x2+3
5
miejsca zerowe:
4
0 = x2 - 6
3
x1 = -2
2
6 = x2
1
x2 = 6
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
" "
-3
x1 = 6 i x2 = - 6
-4
-5
" "
x2-6
Odp. Funkcja y = ma dwa miejsca zerowe: x1 = 6 i x2 = - 6.
x2+3
Wyznacz miejsca zerowe funkcji o podanych wykresach.
Monotoniczność
RozwiÄ…zanie:
Monotoniczność oznacza najczęściej, że funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.
y
5
miejsca zerowe:
4 y
3
x1 = -3, x2 = 1 f(x2)
2
1
Funkcja Definicja funkcji rosnÄ…cej:
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
rosnÄ…ca: x1 x2x
-2
Dla każdego x1 < x2: f(x1) < f(x2)
-3
f(x1)
-4
-5
 matematyka.pisz.pl  7  matematyka.pisz.pl 
y
y
f(x1)
5
funkcja jest:
Funkcja Definicja funkcji malejÄ…cej:
4
malejÄ…ca: x1 x2 x
3 malejÄ…ca dla x " -2, -1
Dla każdego x1 < x2: f(x1) > f(x2)
2
f(x2)
stała dla x " -1, 2
1
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
rosnÄ…ca dla x " 2, ")
-1
-2
-3
-4
y
-5
c
Funkcja Definicja funkcji stałej:
x
stała:
Dla każdego x: f(x) = c
y
5
4
3 funkcja jest:
2
rosnÄ…ca dla x " (-", 1
1
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
stała dla x " 1, ")
-1
-2
-3
-4
-5
Wyznacz przedziały monotoniczności dla funkcji o podanych wykresach.
Odczytaj z wykresu najmniejszą i największą wartość funkcji.
RozwiÄ…zanie:
RozwiÄ…zanie:
y
y
5
4
5
funkcja jest:
3 Największa wartość: ymax = 3
4
2
3 rosnaca dla x " (-4, -1
Minimalna wartość: ymin = -5
1
2
malejÄ…ca dla x " -1, 3
1
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x -2
rosnÄ…ca dla x " 3, 4
-1
-3
-2
-4
-3
-5
-4
-5
 matematyka.pisz.pl  8  matematyka.pisz.pl 
y
y
5
4
1
3 Funkcja nie ma największa wartości.
funkcja nie jest różnowartościowa, ponieważ
2
x
dla -4 i 3 wartość wynosi tyle samo.
Najmniejsza wartość: ymin = -2
1 -4 3
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
Czy funkcje o podanych wykresach są różnowartościowe?
RozwiÄ…zanie:
y
y y y
5
4 5 5 5
4 4 4
3 Maksymalna wartość: ymax = 4
3 3 3
2
2 2 2
Funkcja nie ma najmniejszej wartości.
1
1 1 1
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 x -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5
x
x
-1 -1 -1
-1
-2 -2 -2
-2
-3 -3 -3
-3
-4 -4 -4
-4 -5 -5 -5
-5
funkcja nie jest funkcja nie jest funkcja jest
różnowartościowa różnowartościowa różnowartościowa
Parzystość i nieparzystość
Różnowartościowość
Funkcja jest parzysta, jeżeli dla dowolnych liczb przeciwnych wartość funkcji wynosi tyle samo.
Lewa strona wykresu jest odbiciem prawej.
Funkcja jest różnowartościowa, jeżeli nie ma takich dwóch liczb, dla których wartość funkcji
f(-x) = f(x)
wynosi tyle samo.
y
Przykłady:
Funkcja parzysta, ponieważ dla liczb przeciwnych
(np -3, 3) wartość wynosi tyle samo.
y
2
x
Przykłady funkcji parzystych:
-3 3
y = |x| y = x2 y = cos x
funkcja różnowartościowa
x
Funkcja jest nieparzysta, jeżeli dla dowolnych liczb przeciwnych wartości funkcji są też przeciwne.
 matematyka.pisz.pl  9  matematyka.pisz.pl 
Lewa strona wykresu jest odwróconym odbiciem prawej. Zadania + Rozwiązania
Wskaż wykresy funkcji okresowych i wartość ich okresu podstawowego.
f(-x) = -f(x)
y y
y
Funkcja nieparzysta, ponieważ dla liczb przeciwnych
1 x 1 x
(np -5, 5) wartości też są przeciwne.
4
x Przykłady funkcji nieparzystych:
-5 5
1
-4
y y
y = x3 y = y = sin x
x
x x
1 1
y
Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Tak jest z większością funkcji.
Wskaż wykresy funkcji okresowych i wartość ich okresu podstawowego.
x
RozwiÄ…zanie:
y
Funkcja jest okresowa.
Okres podstawowy: T = 4
1 x
Okresowość funkcji
Funkcja jest okresowa, jeżeli jej wykres da się podzielić na nieskończenie wiele identycznych

części.
T = 4
y
y
Funkcja nie jest okresowa.
x
1 x
y
Okres funkcji - długość jednej części na jakie został podzielony wykres.
Funkcja jest okresowa.
Przykłady funkcji okresowych:
Okres podstawowy: T = 2
y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x y = x - [x]
x
1

T = 2
 matematyka.pisz.pl  10  matematyka.pisz.pl 
y Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa
Funkcja nie jest okresowa.
Parzystość: funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
x
1
Okresowość: funkcja nie jest okresowa
Dla poniższej funkcji określ dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, różno-
Zadania + RozwiÄ…zania
wartościowość, parzystość, okresowość.
Dla poniższych funkcji określ dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, różno-
wartościowość, parzystość, okresowość.
y

y y y
1 x
1 x 1 x 1 x
Dla poniższej funkcji określ dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, różno-
RozwiÄ…zanie:
wartościowość, parzystość, okresowość.
Dziedzina: D = -4, 4)
y
Zbiór wartości: ZW = -4, 3
Miejsce zerowe: x0 H" -2,8 lub x0 = 3
1 x
Monotoniczność: funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejÄ…ca w przedziale -4, -1
stała w przedziale -1, 1
rosnÄ…ca w przedziale 1, 4)
Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina: D = R
Parzystość: funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
Zbiór wartości: ZW = (-", 3
Okresowość: funkcja nie jest okresowa
Miejsce zerowe: x0 H" -3 lub x0 H" 1, 5
Monotoniczność: funkcja jest przedziałami monotoniczna
rosnÄ…ca w przedziale (-", -1
malejąca w przedziale -1, ") Dla poniższej funkcji określ dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, różno-
 matematyka.pisz.pl  11  matematyka.pisz.pl 
wartościowość, parzystość, okresowość. Wykres funkcji f(x + a) otrzymuję przez przesunięcie wykresu f(x) o a w lewo.
Przykłady:
y
y y
1 x
1 1
1 1
x x
f(x) f(x - 4) f(x + 2) f(x)
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina: D = -3, ")
Przesunięcie wykresu wzdłuż osi y
Zbiór wartości: ZW = -4, ")
Wykres funkcji f(x) + b otrzymuję przez przesunięcie wykresu f(x) o b do góry.
Wykres funkcji f(x) - b otrzymuję przez przesunięcie wykresu f(x) o b do dołu.
Miejsce zerowe: x0 H" -2, 1 lub x0 = 0 lub x0 H" 2, 3
Przykłady:
y y
f(x) + 3
Monotoniczność: funkcja jest przedziałami monotoniczna
rosnÄ…ca w przedziale -3, -1
malejÄ…ca w przedziale -1, 1
f(x) f(x)
rosnÄ…ca w przedziale 1, ")
1 1
1 1
x x
f(x) - 2
Różnowartościowość: funkcja nie jest różnowartościowa
Parzystość: funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta
Okresowość: funkcja nie jest okresowa
Przesunięcie wykresu wzdłuż osi x
Wykres funkcji f(x - a) otrzymuję przez przesunięcie wykresu f(x) o a w prawo. Narysuj wykres funkcji y = x2 a następnie przekształć go tak aby otrzymać wykres funkcji
 matematyka.pisz.pl  12  matematyka.pisz.pl 
y = (x - 3)2, y = (x + 1)2, y = x2 + 4, y = x2 - 3.
RozwiÄ…zanie:
Wykres y = x2 + 4 otrzymuję przesuwając y = x2 o 4 w górę.
x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4
y y
x
x
Wykres y = (x - 3)2 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = x2 o 3 w prawo.
y
Wykres y = x2 - 3 otrzymuję przesuwając y = x2 o 3 w dół.
y
x
Wykres y = (x + 1)2 = (x - (-1))2 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = x2 o 1 w lewo.
x
y
x
 matematyka.pisz.pl  13  matematyka.pisz.pl 
1
Narysuj wykres funkcji y = a następnie przekształć go tak aby otrzymać wykres funkcji:
x
1 1 1 1
y = , y = , y = + 1, y = - 1.
x-2 x+3 x x
1 1 1
Wykres y = = otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = o 3 w lewo.
RozwiÄ…zanie:
x+3 x-(-3) x
1 1
x -2 -1 - 1 2
2 2
1 1 1
y = - -1 -2 2 1
x 2 2 y
y
1
x
1
1
x
1
1 1
Wykres y = + 1 otrzymuję przesuwając y = o 1 w górę.
x x
1 1
Wykres y = otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = o 2 w prawo.
x-2 x
y y
1 1
x x
1 1
 matematyka.pisz.pl  14  matematyka.pisz.pl 
y
1 1
Wykres y = - 1 otrzymuję przesuwając y = o 1 w dół. y = f(x + 1)
x x
y = f(x)
1
y
1 x
x
1
Wykres y = f(x - 2) otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c wykres y = f(x) o 2 w prawo.
y
y = f(x - 2)
y = f(x)
1
1 x
Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).
y
Wykres y = f(x) + 1 otrzymuję przesuwając wykres y = f(x) o 1 do góry.
y = f(x)
1
1 x
y
y = f(x) + 1
y = f(x)
1
1 x
Narysuj wykresy funkcji:
y = f(x + 1), y = f(x) + 1, y = f(x + 2) - 1, y = f(x - 1) + 1.
y = f(x - 2), y = f(x) - 3, y = f(x - 3) - 2,
Wykres y = f(x) - 3 otrzymuję przesuwając wykres y = f(x) o 3 do dołu.
RozwiÄ…zanie:
Wykres y = f(x + 1) otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c wykres y = f(x) o 1 w lewo.
 matematyka.pisz.pl  15  matematyka.pisz.pl 
y y
y = f(x - 1) + 1
y = f(x)
y = f(x)
1 1
1 x 1 x
y = f(x) - 3
Wykres y = f(x+2)-1 otrzymuję przesuwając wykres y = f(x) o 2 w lewo i 1 do dołu.
y
Odbicie wykresu względem osi x
y = f(x)
1
1 x
Wykres funkcji -f(x) otrzymuję przez odbicie f(x) względem osi x. Wykresy f(x) i -f(x)
są symetryczne względem osi x.
y = f(x + 2) - 1
y
f(x)
Wykres y = f(x - 3) - 2 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c wykres y = f(x) o 3 w prawo i 2 do
1
dołu.
1
x
y
-f(x)
y = f(x)
1
1 x
y = f(x - 3) - 2
Odbicie wykresu względem osi y
Wykres y = f(x - 1) + 1 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c wykres y = f(x) o 1 w prawo i 1 do
Wykres funkcji f(-x) otrzymuję przez odbicie f(x) względem osi y. Wykresy f(x) i f(-x)
góry.
są symetryczne względem osi y.
 matematyka.pisz.pl  16  matematyka.pisz.pl 
y y
f(x) f(-x)
f(x) |f(x)|
1 1
1 1
x x
Odbicie wykresu względem początku układu współrzędnych
Przesuwanie wykresu funkcji
Wykres funkcji
f(x - a) + b
Wykres funkcji -f(-x) otrzymuję przez odbicie f(x) względem początku układu współrzęd-
nych. Wykresy f(x) i -f(-x) są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
otrzymujemy przez narysowanie funkcji f(x) i przesunięciu jej o wektor [a, b].
y
Przykłady:
y = |x - 3| + 2 rysujemy y = |x| i przesuwamy o wektor [3, 2]
f(x)
y = (x - 2)2-4 y = x2 [2, -4]
1
y = (x + 1)3 + 2 y = x3 [-1, 2]
1
x
y = (x + 5)2-3 y = x2 [-5, -3]
-f(-x)
y = x2 + 1 y = x2 [0, 1]
y = (x - 2)2 y = x2 [2, 0]
2 2
y = -1 y = [-3, -1]
x+3 x
Pierwsza współrzędna wektora ma przeciwny znak niż liczba przy x, druga współrzędna ma
znak taki sam jak liczba na końcu.
Wykres wartości bezwzględnej z funkcji.
Narysuj wykres funkcji
Wykres funkcji |f(x)| otrzymuję przez odbicie części wykresu f(x) znajdującej się pod osią x.
y = |x - 3| + 2
 matematyka.pisz.pl  17  matematyka.pisz.pl 
RozwiÄ…zanie:
przesuwanie funkcji o wektor
Wykres y = |x - 3| + 2 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = |x| o wektor [3, 2]. y
x -2 -1 0 1 2
y = |x|
y = |x| 2 1 0 1 2
x
y = |x + 1| - 2
y
y = |x - 3| + 2
y = |x|
Narysuj wykres funkcji
y = (x - 2)2 - 1
x
RozwiÄ…zanie:
przesuwanie funkcji o wektor
Wykres y = (x - 2)2-1 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = x2 o wektor [2, -1].
x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4
Narysuj wykres funkcji
y
y = |x + 1| - 2
RozwiÄ…zanie:
x
przesuwanie funkcji o wektor
Wykres y = |x + 1|-2 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = |x| o wektor [-1, -2].
x -2 -1 0 1 2
y = |x| 2 1 0 1 2
 matematyka.pisz.pl  18  matematyka.pisz.pl 
Narysuj wykres funkcji
1
y
y = - 1
x + 3 "
y = x - 2 + 3
RozwiÄ…zanie:
przesuwanie funkcji o wektor
1 1
Wykres y = -1 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = o wektor [-3, -1].
"
x+3 x
y = x
1 1 x
x -2 -1 - 1 2
2 2
1 1 1
y = - -1 -2 2 1
x 2 2
y
Zapisz wzór funkcji f przesuniętej o wektor
u.

1 1
y = x2 = [2, 3] y = = [-3, -5] y = sin x = - , 0
u u u
x 2
1
y =
y = x3 = [-1, 4] y = |x| = [0, -7] y = 2x = [0, 8]
u u u
x
RozwiÄ…zanie:
x
funkcja przesunięta o wektor
1 y = x2 [2, 3] y = (x - 2)2 + 3
y = - 1
x+3
y = x3 [-1, 4] y = (x - (-1))3 + 4 = (x + 1)3 + 4
1 1 1
y = [-3, -5] y = - 5 = - 5
x x-(-3) x+3
y = |x| [0, -7] y = |x|-7
Narysuj wykres następującej funkcji.
"

1 1 1
y = x - 2 + 3
y = sin x - , 0 y = sin(x - (- )) = sin(x + )
2 2 2
RozwiÄ…zanie:
y = 2x [0, 8] y = 2x + 8
przesuwanie funkcji o wektor
"
"
Wykres y = x - 2 + 3 otrzymujÄ™ przesuwajÄ…c y = x o wektor [2, 3].

x+1
.
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x) = 2x+1 oraz g(x) =
x
x 0 1 4 9
Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań równania f(x) = g(x).
"
y = x 0 1 2 3
 matematyka.pisz.pl  19  matematyka.pisz.pl 


1 1
RozwiÄ…zanie:

y = + 1 y = + 1

x x
Wykres f(x) = 2x+1 otrzymuję przez przesunięcie f(x) = 2x o wektor [-1, 0]
x -2 -1 0 1 2
y y
2x 1 1 1 2 4
4 2
y
x x
x

x+1

RysujÄ™ na jednym wykresie f(x) = 2x+1 i g(x) = i na podstawie rysunku okre-
x
ślam liczbę ujemnych rozwiązań równania f(x) = g(x).
y


x + 1

g(x) =

x
x
x + 1
Na poczÄ…tek narysujÄ™ wykres y =
x
Wykresy przecinają się w trzech punktach, ale tylko dwa punkty przecięcia są dla x < 0.
x + 1 x 1 1 1
y = = + = 1 + = + 1
x x x x x
Odp. Równanie f(x) = g(x) ma dwa ujemne rozwiązania.
1 1
Wykres y = + 1 otrzymuję przez przesunięcie y = o wektor [0, 1]
x x
1 1
x -2 -1 - 1 2
2 2 Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej f. Wykres funkcji g jest obrazem wy-
1 1 1
- -1 -2 2 1 kresu funkcji f otrzymanym za pomocą przesunięcia o wektor = [2, 1]. Wyznacz miejsce
u
x 2 2
zerowe funkcji g.
 matematyka.pisz.pl  20  matematyka.pisz.pl 
RozwiÄ…zanie: nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi.
y
B
3
g
Dziedzina: R \ {0} Zbiór wartości: R \ {0}
2
f
B
A
1 Przykłady:
s
-6 -5 -4 -3 -1 1 2 3 4 5 6
A
Czas przejazdu t z miasta do miasta jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości v: t =
x
-1 v
Liczba litrów benzyny n jest odwrotnie proporcjonalna do ceny c, jeżeli tankujemy za każdym
s
razem za tÄ… samÄ… sumÄ™ s: n =
PrzesuwajÄ…c A = (-2, 0) o wektor = [2, 1] otrzymujÄ™ A = (0, 1) c
u
a
PrzesuwajÄ…c B = (3, 2) o wektor = [2, 1] otrzymujÄ™ B = (5, 3)
u
Wykresem proporcjonalności odwrotnej y = jest hiperbola:
x
Równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (0, 1) i B = (5, 3)
y y
(y - 1) (5 - 0) - (3 - 1) (x - 0) = 0
a > 0 a < 0
(y - 1)5 - 2x = 0
5y - 5 - 2x = 0

x x
5y = 2x + 5 : 5
2
y = x + 1
5
2
Wzór funkcji g: y = x + 1
5
Wyznaczam miejsce zerowe
2
0 = x + 1
5

Czy wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne?

2 2
- x = 1 : -
5 5
RozwiÄ…zanie:

1
5
x -2 1 2
x = -1 · 2
2
1 1
y -2 -1 -
2 2
1
x = -2
2 Przkształcam wzór proporcjanonalności odwrotnej
1
Odp. x0 = -2
2

a
y = · x
x
Proporcjonalność odwrotna
y · x = a
Wielkości związane zależnością
a
y = a = 0

x · y = a
x
 matematyka.pisz.pl  21  matematyka.pisz.pl 
Pary liczb są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli ich iloczyn a jest taki sam. Rozwiązanie:
1 1 1
-2 · = -1 x -2 -1 - 1 2
2 2 2
1 1 1
y = - -1 -2 2 1
x 2 2
1
· (-2) = -1
2
y
1 · (-1) = -1

1
2 · - = -1
2
Odp. Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne.
x
x -5 -1 1 5
y -2 -8 8 2
-5 · (-2) = 10
dziedzina D = R \ {0}
zbiór wartości ZW = R \ {0}
-1 · (-8) = 8
miejsce zerowe nie ma
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
malejąca w przedziałach (-", 0) i (0, ")
Dalej już nie trzeba sprawdzać, bo dla dwóch pierwszych par iloczyn jest różny.
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
Odp. Wielkości x i y nie są odwrotnie proporcjonalne.
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
Narysuj wykres funkcji i wypisz jej własności:
1 -2
y = y =
x x
 matematyka.pisz.pl  22  matematyka.pisz.pl 
RozwiÄ…zanie:
x -2 -1 1 2
-2
y = 1 2 -2 -1
x
y
x
dziedzina D = R \ {0}
zbiór wartości ZW = R \ {0}
miejsce zerowe nie ma
monotoniczność funkcja jest przedziałami monotoniczna
rosnąca w przedziałach (-", 0) i (0, ")
różnowartościowość funkcja jest różnowartościowa
parzystość funkcja jest nieparzysta
okresowość funkcja nie jest okresowa
 matematyka.pisz.pl  23  matematyka.pisz.pl