Funkcje: własności ogólne
1
1. Która z liczb  1, 1, 2, -2, 5 należy do dziedziny funkcji f (x) = ?
- x2 + 3x + 4
2. Która z powyższych liczb jest wartością tej funkcji?
x2 - 7x + 6 - x2 +16x
3. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f1(x) = , f2 (x) = ,
64 - x2 cos x
tgx 1
f3 (x) = , f4 (x) =
(x2 - 2x - 3)sin x
x2 - 2x - 3
1
4. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f (x) = x2 +1, g(x) = , h(x) = 2 - sin x, oraz funkcji z
2x -1
zadania 1
5. f (x) = x2 , g(x) = x +1. Napisać wzory funkcji złożonych h1(x) = f (g(x)) , h2 (x) = g( f (x)) ,
h3 (x) = g(g(x)) i h4 (x) = f ( f (x)) .
1
6. f1(x) = x +1, f2 (x) = 2x , f3 (x) = . Napisać wzory wszystkich funkcji złożonych z f1, f2 , f3 , w
x
których każda z tych funkcji występuje dokładnie raz. Obliczyć, tam gdzie to jest możliwe, wartość
każdej z tych funkcji złożonych w 0.
1 1
7. W funkcjach złożonych f1(x) = sin(x + 2), f2 (x) = (sin x) + 2, f3 (x) = , f4 (x) = tg ,
tgx x
wyróżnić funkcję zewnętrzną i funkcję wewnętrzną.
2
8. Wyznaczyć funkcje elementarne, których złożeniem jest funkcja: f1(x) = 2sin x2 , f2 (x) = 2 + tg x ,
1
f3 (x) = 5 �" 2( x+1)3 , f4 (x) = cos2 .
sin x
1
9. Naszkicować wykres funkcji f1(x) = (x -1)2 , f2 (x) = x +1, f3 (x) = x - x -1,
Ą
f4 (x) = 3sin 2x, f5 (x) = cos(x - ), f6 (x) = sin x
2
x +1 dla x < -2
ńł
ńł
x2 dla x > 0
�ł
10. Dla funkcji f1(x) = , f2 (x) = 2 dla - 2 d" x < 0 ,
�ł �ł
ół- x dla x d" 0
�ł- x2 +1 dla x e" 0
ół
x
ńł
dla x < 0
�ł
2
�ł
f3 (x) = 2 dla x = 0 obliczyć wartości
�ł
�łx + 2 dla x > 0
�ł
ół
3
f1(-1), f1(2), f2 (- ), f2 (-3), f2 (1), f3 (-4), f3 (4) i naszkicować wykresy.
2
11. Naszkicować wykres obciętych funkcji f , g , h , gdzie f (x) = x2 + x,
(0,1)
(-Ą 2,Ą ) (-Ą 2,Ą )
g(x) = sin x, h(x) = tgx .
x2
12. f (x) = . Dla ilu i jakich argumentów funkcja ta ma wartość 0, 1, -2 ? Czy jest
x -1
różnowartościowa?
1 x -1
13. Znalez
ć funkcje odwrotne do funkcji f (x) = 2x - 4 , g(x) = x3 - 5, h(x) = , k(x) =
x + 4 x +1
14. Obliczyć f (2), f (1) , jeśli funkcja y = f (x) jest przedstawiona parametrycznie równościami
t -1
x = , y = -3t + 2 .
t
15. Znalez
ć wzór funkcji y = f (x), jeśli
x = 2t -1, a y = 4t + 3
x = 3sin t , y = 2cost
1
2
x = , y = t
t
16. Napisać wzór na funkcję odwrotną do funkcji f (x) z zadania 14.
2
17. Niech f (x) = g(x) �" h(x) . Określić parzystość funkcji f (x) w zależności od parzystości funkcji
g(x) , h(x).
18. Niech f (x) = g(h(x)). Określić parzystość funkcji f (x) w zależności od parzystości funkcji
g(x) , h(x).
19. Jeśli funkcja f (x) ma okres T, to czy funkcje g(x) = f (3x) , h(x) = f (x + 5) są okresowe, a
jeśli tak, to z jakim okresem?
20. Funkcja f (x) jest nieparzysta i okresowa o okresie T. Czemu równa się f (T ) ?
3