Wykład 14
11 Procesy transportu
11.1 Strumień cząstek
11.2 Åšrednia droga swobodna
11.3 Uogólniony współczynnik transportu.
11.3.1 Przewodnictwo cieplne
11.3.2 ZwiÄ…zek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym
11.3.3 Dyfuzja
11.3.4 Lepkość dynamiczna
12. Niskie temperatury
12.1 Metody pomiaru niskich temperatur
12.2 Zjawisko nadciekłości
12.3 Nadprzewodnictwo
Reinhard Kulessa 1
Wykład 14
11 Procesy transportu
Ażeby móc omówić procesy transportu, należy wprowadzić pewne
pojęcia. Są nimi strumień cząstek, średnia droga swobodna i przekrój
czynny na zderzenie.
11.1 Strumień cząstek
Chcemy określić liczbę cząstek przechodzących przez jednostkową
powierzchnię dA w ciągu jednostki czasu. Załóżmy, że mamy do
czynienia z czÄ…stkami podlegajÄ…cymi statystyce Maxwella 
Bolzmana. Zgodnie z tą statystyką część cząstek posiadająca
prędkości pomiędzy v a v + dv jest równa;
1 3
2
dnv 2 m
ëÅ‚ öÅ‚2 ëÅ‚ öÅ‚2 v2e-mv / 2kT = f (v)dv .
=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
n kT
íÅ‚Ä„ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Reinhard Kulessa 2
Liczba molekuł na
z
jednostkową objętość
posiadających prędkości
v
pomiędzy v a v + dv
test równa
Ć
dA
f(v) n dv.
y
¸
Część molekuł
docierajÄ…cych do
x
płaszczyzny xy z
kierunku Åš, ¸, jest dana przez;
r sin Åš dÅš rdÅš sin Åš dÅš dÅš
=
.
4Ä„ r2 4Ä„
W czasie dt w powierzchnię dA uderzy następująca część molekuł:
Reinhard Kulessa 3
(dAcosÅš)v dt dnv
gdzie,
v dt oznacza odległość przebytą w czasie t,
dA cosŚ oznacza część dA prostopadłą do kierunku v,
dnv oznacza liczbę molekuł na jednostkę prędkości,
objętości i kąta bryłowego, przy czym
sinÅšdÅšdÅš
.
dnv = f (v)ndvÅ"
4Ä„
W wyniku tego liczba molekuł uderzających w powierzchnię dA
w czasie dt jest dana przez;
sin Åš dÅš dÅš
f (v) n dv (dAcosÅš)v dt
4Ä„
Reinhard Kulessa 4
Strumień molekuł padający na jednostkę powierzchni w czasie
jednostkowym otrzymamy w wyniku całkowania ostatniego
wyrażenia po wszystkich kierunkach i prędkościach.
Ä„
2Ä„
2"
1 3
2
n 2 m
2 2
ÅšN = v ( ) ( ) v2 e-mv / 2kT sin Åš cosÅš dÅš dÅš dv
+" +"+"4Ä„ Ä„
kT
0 0 0
W wyniku całkowania otrzymuje się, że
n v
.
(11.1)
Åš =
N
4
Skorzystaliśmy z faktu, że
"
2
1
x3e-ax = a2
.
+"
2
0
Reinhard Kulessa 5
oznacza średnią prędkość jonów i jest równa:
v
1
2
ëÅ‚ öÅ‚
8kT
ìÅ‚ ÷Å‚
v =
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ m
íÅ‚ Å‚Å‚
W wykonanych obliczeniach nie braliśmy pod uwagę zderzeń
pomiędzy cząstkami. Uwzględnienie tych zderzeń nie zmieni
jednak otrzymanego wyniku.
Reinhard Kulessa 6
11.2 Åšrednia droga swobodna
Aby poprawnie opisać zjawiska transportu, należy uwzględnić
zderzenia pomiędzy cząstkami.
Chcemy obliczyć średnią odległość przebywaną przez cząsteczkę
przed zderzeniem z innÄ….
Załóżmy, że mamy szereg molekuł w spoczynku, a porusza się
jedna o średnicy d mająca prędkość v.
v
d
Ã
v dt
Ä„d2
Reinhard Kulessa 7
Liczba zderzeń będzie równa liczbie molekuł w objętości
Ä„d2 v dt. Ã = Ä„d2 nazywamy przekrojem czynnym.
Inaczej przekrój czynny definiujemy jako stosunek liczby
zderzeń dN do liczby cząstek padających, gęstości cząstek w
tarczy n i grubości tarczy.
dN
(11.2)
à =
N Å" n Å" x
Częstość zdarzeń określamy jako liczbę zdarzeń zachodzących
na jednostkÄ™ czasu.
Åš = Ã n v
Dla cząsteczek o prędkości średniej, częstość zdarzeń wynosi;
Reinhard Kulessa 8
Åš = Ã n v .
Droga przebyta w czasie t, jest równa v t, a liczba zderzeń w tym
czasie ¸ t = Ã n v t.
Średnia odległość pomiędzy zderzeniami będzie więc wynosiła:
vt 1
.
 = =
à nvt à n
Uwzględniając ruch wszystkich cząstek, oraz fakt, że prędkości
cząstek dane są przez rozkład Maxwella, otrzymujemy na średnią
drogę swobodną wartość;
1
 =
(11.3)
.
2 Ã n
Reinhard Kulessa 9
Można również policzyć, że średnia wartość odległości od
płaszczyzny x-y do miejsca, w którym cząsteczki miały ostatnie
zderzenie przed przejściem przez powierzchnię dA wynosi;
2
(11.4)
z = 
3
11.3 Uogólniony współczynnik transportu.
Zdefiniowane do tej pory zależności pozwolą nam opisać
zjawiska transportu czÄ…stek.
Załóżmy, że mamy pole cząstek o jednorodnej gęstości
n = const. W tym polu cząsteczek istnieje również gradient
pewnej wÅ‚asnoÅ›ci “ w kierunku osi z.
Reinhard Kulessa 10
“ może oznaczać energiÄ™, pÄ™d, stężenie czÄ…stek, Å‚adunek, itp..
z
Transport wielkoÅ›ci “ przez
powierzchnię dA jest zależny od
“
zmiany “ w kierunku z. W pobliżu
powierzchni dA możemy napisać:
y
d“
(11.5)
“ = “ |z=0 + |z=0 dz
x
.
dz
Zależność ta jest ważna w odległości kilku dróg swobodnych od
z = 0.
Transport w dół wielkoÅ›ci “ przez powierzchniÄ™ dA otrzymuje
się przez przemnożenie strumienia cząstek (wzór 11.4)
przechodzących przez powierzchnię dA, przez wartość
Reinhard Kulessa 11
wielkoÅ›ci “ w miejscu ostatniego zderzenia przed dA, czyli w
odległości 2/3 .
dA
2/3
“0
2/3
1 d “ 2
îÅ‚ Å‚Å‚
(J ) = - n v “0 + ( ) Å" 
“ - z
0
ïÅ‚ śł
4 dz 3
ðÅ‚ ûÅ‚
1 d “ 2
îÅ‚ Å‚Å‚
(J ) = + n v “0 - ( ) Å" 
“ 0
+ z
ïÅ‚ śł
4 dz 3
ðÅ‚ ûÅ‚
Reinhard Kulessa 12
Wypadkowy transport wielkoÅ›ci “ w kierunku dodatniej osi z jest
sumą dwóch podanych strumieni;
1 d“
J“ = - nv
(11.6)
3 dz
Czynnik 1 / 3 n v  nazywamy uogólnionym
współczynnikiem transportu.
11.3.1 Przewodnictwo cieplne
Przewodnictwo cieplne jest zdefiniowane przez relacjÄ™;
qz "T
JQ = = -K
A "z
(11.7)
r
JQ = -K "T
Reinhard Kulessa 13
Współczynnik K jest stałą przewodnictwa cieplnego. Druga
część równania dotyczy transportu w dowolnym kierunku.
Wielkością transportowaną jest energia cząsteczek. Transport
ten zachodzi zawsze w kierunku od wyższej do niższej
temperatury. Pamiętamy, że cząsteczki charakteryzują się
kilkoma rodzajami energii. Możemy energię cząsteczek
wyrazić przez liczbę stopni swobody f.
f
µi = kT
2
Wtedy zgodnie z równaniem (11.6) mamy;
qz 1 d f
ëÅ‚ öÅ‚
JQ = = - nv kT
ìÅ‚ ÷Å‚
A 3 dz 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Z porównania ostatniego równania z równaniem (11.7) mamy;
Reinhard Kulessa 14
1 f
ëÅ‚ öÅ‚
.
K = nv k
ìÅ‚ ÷Å‚
3 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie to da się również przedstawić w następującej
postaci:
1 nv cv 1 vcv
.
K = =
3 N0 3 N0Ã
Ostatnią postać równania uzyskaliśmy w oparciu o zależność
pomiędzy średnią drogą swobodną a przekrojem czynnym.
11.3.2 ZwiÄ…zek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym
Równanie transportu prądu elektrycznego jest dane przez prawo
Ohma.
Reinhard Kulessa 15
r
r
.
j = -Ãel "Õ
W ostatnim równaniu Õ jest potencjaÅ‚em skalarnym pola
elektrycznego, a Ãel współczynnikiem przewodnoÅ›ci
elektrycznej. Podobieństwo tego wzoru z wzorem (11.7) jest
widoczne natychmiast. Fakt ten został sformułowany w prawie
Wiedermanna-Franza;
K = LÃ T
,
el
gdzie L = 1/3 (Ä„k/e)2.
Przy transporcie ciepła należy pamiętać, że wypadkowe ciepło
wpływające do elementu objętości musi być równe czasowej
zmianie energii wewnętrznej. Prowadzi to do tzw. równania
przewodnictwa cieplnego:
Reinhard Kulessa 16
"T K "2T
.
= Å"
(11.8)
"t Á cw "z2
W równaniu tym Á oznacza gÄ™stość, a cw ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe
oÅ›rodka. Współczynnik K/Ác okreÅ›la zdolność przewodzenia
ciepła.
11.3.3 Dyfuzja
Jeśli doprowadzimy np. w cylindrze do kontaktu dwóch gazów lub
cieczy o różnych ciężarach cząsteczkowych, ostra granica
pomiędzy tymi materiałami po jakimś czasie zaniknie. Zakładamy,
że nie zachodzą ruchy konwekcyjne. Każdy ze składników będzie
chciał zająć całą dostępną objętość. Koncentracja np. gazów w
cylindrze będzie dana przez równanie barometryczne. Zachodzące
W cylindrze zjawisko nazywamy dyfuzjÄ… i zaliczamy je do
procesów transportu.
Reinhard Kulessa 17
Wielkością transportowaną jest koncentracja. Jeśli przez dn/dz
oznaczymy zmianÄ™ koncentracji, to
dn
(11.9)
JN = -D
.
dz
Na wskutek dyfuzji istnieje wypadkowy ruch czÄ…stek z obszaru o
wyższej koncentracji do obszaru o niższej koncentracji.
Współczynnik dyfuzji dla cząstek jednakowych jest dany przez;
1
.
D = v
3
W przypadku, gdy dyfuzja dotyczy dwóch różnych gazów lub
cieczy, współczynnik dyfuzji przyjmuje postać;
Reinhard Kulessa 18
1
2
3 Ä„ kT 1
ëÅ‚ öÅ‚
D1,2 =
ìÅ‚ ÷Å‚
8 2m nĄ d12
íÅ‚ Å‚Å‚
,2
gdzie
m1 Å" m2 d1 + d2
m = d1,2 =
.
m1 + m2 2
Zmianę koncentracji w określonym kierunku w czasie podaje
równanie dyfuzji;
2
dn " n
(11.10)
.
= D
2
dt "z
11.3.4 Lepkość dynamiczna
Jedną z bardzo częstych transportowanych wielkości fizycznych
jest pęd. Z transportem tej wielkości związana jest lepkość.
Reinhard Kulessa 19
z
F/A=Ä = µdu/dz
Współczynnik
Tarcia
u
wewnętrznego
Pęd jest transportowany z obszarów o dużej prędkości do obszarów
o małej prędkości, przy czym p = mu.
W oparciu o równanie (11.6) mamy:
1 "(mu) 1 "u
(11.11)
.
J = - nv = - nv m
p
3 "z 3 "z
Reinhard Kulessa 20
Z drugiej strony mamy, że:
"u
J = Ä =µ
p
"z
Otrzymujemy wobec tego na współczynnik lepkości wartość:
1
µ = n m v 
3
Należy jeszcze zaznaczyć, że wypadkowy transport pędu jest
ujemny dla "u/"z dodatniego.
Istnieje również związek pomiędzy przewodnictwem ciepła a
lepkością.
K cv
=
µ mN0
Reinhard Kulessa 21
Współczynniki te można powiązać z tzw. Liczbą Prandtla
cpµ
cv µ
,
Pr = = º
K K
gdzie º=cp/cv.
Dla gazu idealnego pod ciśnieniem 1 at liczba Prandtla
wynosi 1.667, dla He  0.69, dla 02  0.71.
Reinhard Kulessa 22
12. Niskie temperatury
Jedną z głównych metod otrzymywania niskich temperatur jest
wykorzystanie efektu Joule a-Thomsona.
Przypomnijmy, że zjawisko to polegające na ochładzaniu się gazu
przy rozprężaniu nazywamy dodatnim, zaś polegające na
ogrzewaniu  ujemnym.
Okazuje się, że znak zjawiska Joule a  Thomsona zależy od
tego, która z poprawek a, czy b w równaniu van der Waalsa
odgrywa większa rolę.
ëÅ‚ öÅ‚
a
ìÅ‚ ÷Å‚
.
p + (V0 - b)= RT
ìÅ‚
V0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Gaz, dla którego można pominąć poprawkę b w równaniu van der
Reinhard Kulessa 23
Waalsa a poprawka a odgrywa znaczącą rolę, oziębia się przy
rozprężaniu.
Ażeby gazy skroplić, musimy je oziębić poniżej temperatury
krytycznej, gdyż powyżej tej temperatury nie da się gazu skroplić
żadnymi metodami.
Najważniejszymi metodami otrzymywania niskich temperatur są;
1. Ekspansja gazu z wykonywaniem pracy zewnętrznej,
2. Odparowanie cieczy pod zmniejszonym ciśnieniem,
3. Zjawisko Joule a-Thomsona dla przypadku zjawiska
dodatniego, czyli dla gazu ochłodzonego poniżej temperatury
inwersji,
4. Efekt Peltiera, polegający na wymianie ciepłą pomiędzy
dwoma różnymi metalami na wskutek przepływu prądu.
Reinhard Kulessa 24
Omówmy pokrótce ten efekt;
a JQa JQb b
Je
Mamy tu do czynienia z równoczesnym transportem ciepła i
Å‚adunku.
JQa = TµaJe
JQb = TµbJe
dE
öÅ‚
oznacza siłę termoelektryczną.
µ = -ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dT
íÅ‚ Å‚Å‚J =0 Wypadkowy transport ciepÅ‚a wynosi:
e
JQab = JQa - JQb =T(µa -µb)Je
(12.1)
JQab =Ä„abJe
Reinhard Kulessa 25
Ąab jest współczynnikiem Peltiera.
Dla złącza chromel  konstantan współczynnik Peltiera wynosi
22.3 mV. Współczynnik Peltiera rośnie z temperaturą .
5. Adiabatyczne rozmagnesowanie paramagnetyka
Problem ten omówiliśmy w czasie jednego z wykładów.
6. Mieszanie ciekłego 3He i 4He.
Proces ten umożliwia osiąganie temperatur do 0.001K.
12.1 Metody pomiaru niskich temperatur
Do pomiaru temperatur poniżej 1K najczęściej stosuje się
następujące metody;
Reinhard Kulessa 26
a). Pomiar podatności magnetycznej,
b). Pomiar zależności oporu elektrycznego od temperatury,
c). Pomiar ciśnienia par 4He w równowadze z cieczą. (jest to
związane ze zmniejszaniem się ciepła właściwego mieszaniny.
12.2 Zjawisko nadciekłości
Przy obniżaniu temperatury pewne ciecze wykazują bardzo
charakterystyczne właściwości.Omówmy to na przykładzie
ciekłego 4He. W temperaturze 2.17 K istnieje punkt przejścia, w
którym zmienia się cały szereg własności tej cieczy.:
1. W temperaturze 2.17 K następuje skok pojemności cieplnej
ciekłego helu, tzw. Punkt  (lambda) (patrz rysunek)
2. Znikanie lepkości poniżej punktu . Lepkość jest 106 razy
mniejsza niż powyżej punktu  .
Reinhard Kulessa 27
Cp[J/Mol·K]
30
20
10
0
T[K]
1 234
3. Zjawisko pełzania ciekłego 4He po ściankach naczynia
Reinhard Kulessa 28
4. Występowanie w nadciekłym He II fali podłużnej (dz
więku)
wzbudzanej termicznie.
Jak wyglÄ…da diagram fazowy 3He i 4He?.
P[at]
P[at]
3
4
Krzywa topnienia
He
He
160
75
120
Ciało stałe
He stały Ciekły HeI
50
ciecz
80
25
Ciekły
40
Krzywa przejścia
HeII
T
1 2 3 4 5
12 34T
Reinhard Kulessa 29
12.3 Nadprzewodnictwo
Stan nadprzewodnictwa cechuje się następującymi
własnościami;
1. Skokowy zanik oporu elektrycznego w temperaturze przejścia
(np. 7.19K dla Pb). Wzbudzony w obwodzie kołowym prąd
może krążyć 105 lat.
2. Zależność temperatury przejścia od pola magnetycznego,
3. Zjawisko Meissnera-Ochsenfelda: zanikanie pola
magnetycznego wewnÄ…trz nadprzewodnika w temperaturze
przejścia,
4. Zwiększenie nachylenia krzywej zależności entropii od
temperatury poniżej temperatury przejścia (skok pojemności
cieplnej).
Reinhard Kulessa 30