0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 1
0.1 Przestrzenie topologiczne
0.1.1 Bazy i generowanie topologii
Przestrzeń topologiczna, to para (X, T ) złożona ze zbioru X i z pewnej
rodziny T jego podzbiorów (zwanych zbiorami otwartymi). O rodzinie T
zakładamy, że jest ona:
(1ć%) zamknięta ze względu na operację brania dowolnych sum:
U " T (" U ‚" T ),
(2ć%) zamknięta ze względu na operację brania skończonych przecięć, tzn.
W " T (" W ‚" T , #W < "),
co przy konwencji: " = X, " = " wskazuje, że " oraz X są zawsze zbiorami
otwartymi. Topologię {", X} nazywamy topologią trywialną, najsłabszą lub
antydyskretnÄ…, zaÅ› rodzinÄ™ 2X  topologiÄ… dyskretnÄ….
TopologiÄ™ T1 nazwiemy sÅ‚abszÄ… od topologii T2, gdy T1 ‚" T2, zaÅ› topo-
logiÄ… generowanÄ… na zbiorze X przez rodzinÄ™ zbiorów G ‚" 2X nazwiemy
najsłabszą z topologii zawierających G. Rodzinę U nazwiemy bazą topolo-
gii T , gdy dowolny zbiór otwarty W " T można zapisać w postaci U1 dla
pewnej U1 ‚" U. Zbiór E ‚" X nazwiemy otoczeniem punktu x0 " X,
zaś x0 -punktem wewnętrznym zbioru E , zapisując ten fakt symbolem
x0 " int(E) lub x0 " intT (E), gdy istnieje W " T taki, że x0 " W ‚" E.
Określony w ten sposób zbiór int(E) nazwiemy wnętrzem zbioru E.
Zadanie 0.1. Niech Tcf = Tcf(Z) := {"}*"{E ‚" Z : #(Z \E) < 5!0} dla
ustalonego zbioru Z. Wykazać, że jest to rodzina zbiorów otwartych w pewnej
topologii ( co-finite topology ), która nie jest dyskretna gdy zbiór Z jest nie-
skończony. Znalez
ć pewnÄ… minimalnÄ… (wzglÄ™dem relacji ‚") rodzinÄ™ generujÄ…cÄ…
dla tej topologii i pewną różną od Tcf bazę. Określić też, jak wygląda operacja
brania domkniÄ™cia zbioru A ‚" Z w tej topologii (w zależnoÅ›ci od mocy zbioru
A). Analogicznie, zamieniajÄ…c warunek #(Z \ E) < 5!0 na #(Z \ E) 5!0
otrzymamy topologiÄ™  ko-przeliczalnÄ… Tcc.
Zadanie 0.2. Wykazać, że przecięcia skończonej ilości zbiorów należą-
cych do rodziny G ‚" 2X tworzÄ… rodzinÄ™ (oznaczmy jÄ… symbolem Gd) stanowiÄ…cÄ…
bazÄ™ topologii generowanej przez G.
2
Zadanie 0.3. Czy przedziały (-", t), t " R tworzą bazę topologii?
Opisać topologiÄ™ Tleft generowanÄ… przez tÄ™ rodzinÄ™. Analogicznie, Tleft[Ä…, ²]
-generowana przez {(-", t) )" [Ä…, ²], t " R} nazywana bywa lewostronnÄ…
topologiÄ… na przedziale [Ä…, ²]. Jakie zbiory sÄ… tu otwarte?
Zadanie 0.4. Opisać topologie Td (odp. TarrL  lewej strzałki ) gene-
rowane na R przez rodziny E1 := {[a, b] : a < b} (odp. E2 := {(a, b] : a < b}).
Zadanie 0.5. Opisać wnętrza zbioru A w topologiach Tcf, Td oraz TarrL.
Zadanie 0.6. Gdy topologia T1 jest słabsza od topologii T2, ustalić in-
kluzje między wnętrzami intTj (E) ustalonego zbioru względem tych topologii.
Zadanie 0.7. Wykazać, że operacja brania wnętrza zbioru ma nastę-
pujące własności: int(int(E)) = int(E), int(E )" F ) = int(E) )" int(F ) oraz
int(E) *" int(F ) ‚" int(E *" F ), przy czym ostatnia inkluzja może być ostra.
RodzinÄ™ W ‚" T nazwiemy bazÄ… otoczeÅ„ (otwartych) punktu x0, gdy
[W " W Ò! x0 " W i każde otoczenie x0 zawiera pewien zbiór U " W].
c
Zbiór F ‚" X nazwiemy domkniÄ™tym, gdy F := X \ F " T . DomkniÄ™-
cie zbioru A ‚" X, oznaczane symbolem A, lub cl(A), czy też clT (A), jest to
najmniejszy domknięty nadzbiór zbioru A. Podzbiór D przestrzeni X nazwie-
my gęstym, gdy D = X.
Brzegiem topologicznym zbioru A nazywamy zbiór Fr(A) := A )" X \ A.
Punkt x0 jest punktem skupienia zbioru E, gdy x0 " E \ {x0}. SÄ…-
siedztwo punktu x0 to zbiór postaci U \ {x0}, gdzie x0 " int(U).
Szczególne znaczenie odgrywa klasa przestrzeni Hausdorffa (tzw. T2-
przestrzeni), w których dowolne dwa różne punkty (x, y " X, x = y) można

rozdzielić przez zbiory otwarte U, W w tym sensie, że x " U, y " W, U )"W = ".
Zadanie 0.8. Opisać topologię T2 -przestrzeni, w której każdy punkt
ma skończoną bazę otoczeń.
Zadanie 0.9. Wykazać, że gdy B jest bazą topologii T , to bazą otoczeń
punktu x jest rodzina Bx := {W " B : x " W }. Na odwrót: gdy D = X i dla
x " D mamy Ax ‚" T  bazy otoczeÅ„ punktów x, to sprawdzić, czy zawsze
rodzina Ax musi być bazą dla T (por. zad. 0.24).
x"D
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 3
Zadanie 0.10. Czy X ‚" Ux, gdy D = X i dla x " D x " Ux " T
x"D
?
Zadanie 0.11. (Lokalna charakteryzacja domknięcia) Ustalmy
dowolnie bazę Bx otoczeń punktu x. Wykazać, że x " clT (A) wtedy i tylko
wtedy gdy istnieje otoczenie W " Bx tego punktu rozłączne ze zbiorem A.
Zadanie 0.12. Gdy każde sąsiedztwo punktu x0 ma punkty wspólne ze
zbiorem A, to x0 jest punktem skupienia zbioru A. Wykazać, że w przestrzeni
Hausdorffa jedynie zbiory nieskończone posiadają punkty skupienia. Ponadto
dołączenie do zbioru A wszystkich jego punktów skupienia daje domknięcie
zbioru A. Zbadać punkty skupienia w przypadku topologii: Tcf oraz dyskretnej.
Zadanie 0.13. Zbadać odpowiedniki własności z zadania 0.7 dla opera-
cji domknięcia zbioru i dla operacji brania zbioru punktów skupienia. Ponadto
wykazać, że gdy U jest zbiorem otwartym, to U )" A ‚" U )" A = U )" A.
0.1.2 Przestrzenie metryczne, rodziny semimetryk
Najprostszym, podstawowym przykładem przestrzeni topologicznych są prze-
strzenie metryczne (ogólniej: semimetryczne), czyli pary (X, d), gdzie
funkcja d : X × X R+ zwana semimetrykÄ…, speÅ‚nia postulaty: d(x, x) = 0,
d(x, y) = d(y, x) oraz d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (nierówność trójkąta). Zastą-
pienie warunku d(x, x) = 0 przez d(x, y) = 0 Ô! x = y daje definicjÄ™ metryki.
TopologiÄ… (semi)metryki d nazwiemy topologiÄ™ generowanÄ… przez rodzinÄ™
B = {Bd(x, r) : x " X, r > 0} wszystkich kul. Przypomnijmy, że kula B(x, r)
lub Bd(x, r), to zbiór {y " X : d(x, y) < r}. O zbiorach, które zawierają się w
jakiejś kuli mówimy, że są ograniczone. Topologia metryzowalna, to topo-
logia, którą można określić przez pewną metrykę. Topologia naturalna w
przestrzeni Rk lub Ck, to topologia metryki euklidesowej
d((a1, . . . , ak), (b1, . . . , bk)) = |b1 - a1|2 + . . . + |bk - ak|2.
TopologiÄ… rodziny semimetryk {dj}j"J jest topologia generowana przez
wszystkie kule postaci Bdj (x, r), gdzie x " X, r > 0, j " J.
Zadanie 0.14. W przestrzeni metrycznej bazą otoczeń punktu x0 jest
{B(x0, r) : r " D}, o ile D ‚" (0, +"), inf D = 0.
4
Zadanie 0.15. Dla j = 1, 2 niech Tj będzie topologią metryki dj na Xj.
Gdy F : X1 X2 jest izometriÄ…, tzn. d1(x, y) = d2(F (x), F (y)) "x, y 
wykazać, że dla podzbiorów A przestrzeni X1 mamy intT2F (A) ‚" F (intT1(A)),
a równości zachodzą gdy izometria ta jest suriekcją, czyli gdy F (X1) = X2.
Zadanie 0.16. Domknięcie kuli: Bd(x, r) może być mniejsze od tzw.
 kuli domkniętej , czyli od Bd(x, r) := {y : d(x, y) r}. Podać przykład.
Zadanie 0.17. Czy każdy podzbiór niepusty ustalonego zbioru jest kulą
o promieniu 1 względem pewnej metryki przyjmującej jedynie 3 wartości?
Zadanie 0.18. Wykazać, że podzbiór E jest ograniczony w semimetryce
d wtedy i tylko wtedy, gdy wielkość diam(E) := sup{d(a, b) : a " E b}, czyli
tzw. średnica zbioru E jest liczbą skończoną.
1
Zadanie 0.19. Niech E będzie zbiorem wyrazów ciągu { }" , zaś
n=1
n
E0 := E *" {0}. Zbiory te rozważamy z topologią naturalną, czyli pochodzącą
od metryki d(s, t) := |t-s|. Jakie zbiory sÄ… otwarte w tych przestrzeniach i jak
wyglÄ…da int(A) dla A ‚" E0, odp. dla A ‚" E (rozważyć przypadki).
Zadanie 0.20. Wykazać, że przestrzeń z semimetryką d ma własność
Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy d jest metrykÄ…. Ponadto warunek ten jest
też równoważny domkniętości jej wszystkich skończonych podzbiorów.
Zadanie 0.21. Wykazać, że topologii Tcf nie można zdefiniować przez
żadną semimetrykę.
Zadanie 0.22. Wprowadz
my funkcję odległości od zbioru: distd(x, E) :=
inf{d(x, e) : e " E}. Przy użyciu tej funkcji opisać operacje topologiczne: wnę-
trza, brzegu i domknięcia. Wykazać np., że E = {x " X : distd(x, E) = 0}.
Zadanie 0.23. Wprowadzić możemy następujące trzy pojęcia odległo-
ści między ograniczonymi podzbiorami A, B przestrzeni X z metryką d: Niech
dist(A, B) := inf{d(a, b) : a " A, b " B}, Ál(A, B) := sup{dist(a, B) : a " A, }
oraz Á(A, B) = Ád(A, B) := max{Ál(A, B), Ál(B, A)}. Tylko jedna z tych wiel-
koÅ›ci okreÅ›la semimetrykÄ™. Wykazać, że Á -tak zwana odlegÅ‚ość Hausdorffa
jest metryką na rodzinie podzbiorów domkniętych i ograniczonych.
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 5
Zadanie 0.24. Niech U będzie dowolnie wybranym otwartym (w to-
pologii naturalnej), ograniczonym otoczeniem zera w przestrzeni Rk. Niech
Un := {x " Rk : nx " U} i dla wektora o współrzędnych wymiernych: q " Qk
niech Un + q := {x + q : x " Un} będzie przesunięciem równoległym zbioru
Un o ten wektor. Czy otrzymamy w ten sposób bazę topologii -biorąc rodzinę
B0 := {Un + q : n " N, q " Qn} (jeśli tak, to jakiej topologii?).
Zadanie 0.25. W zbiorze X liczb zespolonych z takich, że z = 0 lub

z = 0 określmy funkcję d(z, w) równą |z-w| gdy z w 0 oraz równą |z|+|w|
gdy punkty z, w leżą w dwu różnych półpłaszczyznach. Sprawdzić, że jest to
metryka, której topologia jest taka sama, jak topologia metryki euklidesowej,
chociaż jej kule mają dość nietypową postać. Zinterpretować można d(x, y)
jako najkrótszą drogę łączącą te punkty w sytuacji, gdy są to punkty miasta
przedzielonego rzeką, na której znajduje się tylko jeden most (o zaniedbywalnej
długości) usytuowany w punkcie zero. Rzeką jest oś rzeczywista. ( z = część
urojona liczby z " C).
Zadanie 0.26. Gdy semimetryki dj są  silnie równoważne w tym sen-
sie, że dla pewnych stałych C1, C2 > 0 mamy C1d1 d2 C2d1, wykazać,
że generują one jednakowe topologie, takie same rodziny zbiorów ograniczo-
nych, klasy ciągów Cauchy ego i równoważne metryki Hausdorffa. Jakie relacje
zachodzą między topologiami metryk spełniających warunek d1 d2?
Zadanie 0.27. Wykazać, że pewne funkcje ograniczone -np. min{d, 1}
d
lub utworzone z metryki d są również metrykami i definiują topologię taką,
1+d
jak metryka d.
Zadanie 0.28. Niech F : R+ R+ będzie funkcją subaddytywną:
F (s + t) F (s) + F (t), niemalejącą, taką, że F (0) = 0, F (t) > 0"t > 0. Gdy d
jest metryką na przestrzeni X, wykazać, że również d1 := F ć% d jest metryką.
Gdy ponadto pochodna prawostronna F+(0) jest > 0, to topologie metryk d
oraz d1 sÄ… takie same.
Zadanie 0.29. W przestrzeni M(X) funkcji ograniczonych, o warto-
Å›ciach rzeczywistych na zbiorze X niech ÁX(f, g) := supx"X |f(x) - g(x)|.
Czy jest to metryka? Narysować sumę mnogościową wykresów funkcji z kuli
"
1
{f : ÁX(f, r) < }, gdy r(t) = t, X = [0, 1].
2
6
Zadanie 0.30. Gdy d jest metrykÄ… ograniczonÄ… na X, dla a " X
zdefiniujmy funkcję fa : X R wzorem fa(x) := d(a, x). Na przykładzie
X = [0, 1], d(s, t) = |t - s| (albo: ogólnie) sprawdzić, czy d(a, b) = ÁX(fa, fb).
Zadanie 0.31. W przestrzeni M funkcji ograniczonych f : R R z me-
trykÄ… ÁR zbadać, czy funkcja arcus tangens jest punktem wewnÄ™trznym zbioru
A = {f " M : f(t) < f(t + 1) ("t)}. Czy zbiory:
{f " M : ("´>0) f(t) + ´ f(t + 1) ("t)}, M \ {f " M : f(t) f(t + 1) ("t)}
sÄ… otwarte w topologii tej metryki?
Mówimy, że przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, gdy
każdy jej punkt posiada przeliczalną bazę otoczeń. Drugi aksjomat przeli-
czalności to postulat istnienia przeliczalnej bazy zbiorów otwartych. Ośrod-
kowość, to istnienie podzbioru przeliczalnego gÄ™stego D ‚" X, czyli takiego,
którego domknięcie jest całą przestrzenią.
Zadanie 0.32. Z drugiego wywnioskować pierwszy aksjomat przeliczal-
ności i ośrodkowość. Podać przykład przestrzeni nieośrodkowej spełniającej
pierwszy aksjomat przeliczalności.
Zadanie 0.33. Wykazać, że przestrzenie metryczne spełniają pierwszy
aksjomat przeliczalności, zaś drugi aksjomat przeliczalności jest dla nich rów-
noważny z ośrodkowością.
Zadanie 0.34. Zbadać aksjomaty przeliczalności dla topologii Tcf, Td
oraz TarrL na prostej R.
Zadanie 0.35. Rozważmy metryki d1, d2 na zbiorze R. Niech Bj będą
bazami topologii tych metryk, złożonymi z kul. Czy topologia generowana
przez B1 *" B2 jest metryzowalna? Czy rodzina B1 *" B2 jest bazÄ… topologii?
Zadanie 0.36. Gdy istnieje baza przeliczalna otoczeń punktu x0, to wy-
kazać istnienie ciągu otoczeń Wn punktu x0, który stanowi bazę jego otoczeń
i jest zstÄ™pujÄ…cy, tzn. Wn+1 ‚" Wn ("n).
Zadanie 0.37. W przestrzeni metrycznej znalez
ć zstępujący ciąg two-
rzÄ…cy bazÄ™ otoczeÅ„ punktu x0 taki, że Wn+1 ‚" Wn = int(Wn) ("n). Czy tego
typu bazy istniejÄ… w Tcf?
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 7
0.1.3 Zbieżność
Gdy x " Bd(x0, r), punkt x znajduje się  blisko (rzędu r) punktu x0 .
Podobnie, w przestrzeni topologicznej (X, T ) możemy powiedzieć, że pewna
wÅ‚asność ¨(x) zachodzi w punktach x dostatecznie bliskich x0, gdy
istnieje otoczenie U " T punktu x0 takie, że x " U Ò! ¨(x).
Gdy mamy przestrzenie topologiczne X, Y i na podzbiorze D ‚" X -funkcjÄ™
f : D Y , to mówimy, że y0 jest granicą funkcji f w punkcie x0, pisząc
y0 = limxx0 f(x), lub  f(x) y0 przy x x0 , jeżeli x0 " D \ {x0} i w
dowolnie zadanym otoczeniu W punktu y0 zawiera siÄ™ obraz f(U )" D \ {x0})
(śladu na zbiorze D) pewnego sąsiedztwa punktu x0. Innymi słowy, wartości
f w punktach x = x0, x " D dostatecznie bliskich punktowi x0 sÄ… dowolnie

bliskie punktowi y0. Zauważmy, że w żadnym otoczeniu punktu x0 topologia
nie może być dyskretna.
Zadanie 0.38. Gdy w topologiach TX, TY mamy y0 = limxx0 f(x), to
y0 jest również granicÄ… f : D ‚" X Y w tym punkcie wzglÄ™dem topologii
TX, TY , z których pierwsza jest silniejsza, a druga sÅ‚absza: TX ‚" TX, TY ‚" TY
(o ile nadal x0 jest punktem skupienia D).
Zadanie 0.39. Funkcja może mieć dwie różne granice w danym punkcie
gdy pewne zbiory jedno-elementowe w (Y, TY ) nie są domknięte. Niech y1 "
{y0} oraz X = Y, f(y) = y. Wykazać, że zarówno f(y) y0, jak i f(y) y1
przy y y0. Zbadać też zbiór wszystkich granic dowolnej funkcji o wartościach
w przestrzeni Y , której jedynymi podzbiorami otwartymi są ", Y . Gdy Y jest
T2-przestrzenią, wykazać jednoznaczność granic f : X Y .
1
Å»
Zadanie 0.40. W zbiorze N = N *" ", przy konwencji = 0, 0 " N
"
1 1
zdefiniujmy topologię metryki d(m, n) := | - |. Wykazać, że na podprze-
m n
strzeni N metryka ta określa topologię dyskretną i jedynym punktem skupienia
zbioru N jest punkt ". Ponadto dla ciÄ…gu {yn} ‚" Y o wartoÅ›ciach w prze-
strzeni topologicznej (Y, T ), traktowanego jako funkcja f : N n yn mamy
g = limn" g Ô! ("g"U"T )("M ) (n > M Ò! yn " U). Ostatni warunek de-
finiuje zbieżność ciągu o wyrazach yn do granicy g. Granica ciągu podpada
więc pod ogólny schemat granicy funkcji w punkcie.
Zadanie 0.41. Czy gdy topologia przestrzeni Y pochodzi od semime-
tryki Á, to dla f : D ‚" X Y , x0 " D \ {x0} warunki: y0 = limxx0 f(x)
oraz 0 = limxx0 Á(f(x), y0) (wzgl. topologii naturalnej w R) sÄ… równoważne?
8
W przestrzeniach topologicznych niemetryzowalnych istotne znaczenie od-
grywa następujące uogólnienie pojęcia granicy ciągu.
Zbiorem skierowanym nazywamy zbiór M z relacją binarną , która
jest zwrotna (n n), przechodnia i taka, że
("m, n " M) ("k " M) n k, m k.
Ciągiem uogólnionym w przestrzeni X nazwiemy każdą rodzinę jej punk-
tów, (xm)m"M indeksowaną przez pewien zbiór skierowany M. Gdy n l,
mówimy, że wyraz xn poprzedza element xl (a wyraz xl następuje po xn).
Taki ciąg jest zbieżny do punktu z, co zapisujemy symbolem
-
z " lim xm, z " lim xm lub xm m"M z,
m"M M
jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu z znajdują się wszystkie wyrazy nastę-
pujÄ…ce po pewnym wyrazie ( wszystkie od pewnego miejsca ), czyli gdy
(U " U, z " U) Ò! ("k"M "n"M k n Ò! xn " U).
Najczęściej będziemy mieli do czynienia z ciągami zbieżnymi tylko do jednej
granicy i wówczas zamiast z " limM xm piszemy z = limM xm.
Twierdzenie 0.42. Gdy M = B0 jest dowolnie ustaloną bazą otoczeń
punktu x0 " X, to relacja U W zdefiniowana przez  odwrotnÄ… inkluzjÄ™ U ƒ"
W skierowuje zbiór M. Dla dowolnego wyboru punktów xW " W otrzymujemy
ciąg uogólniony zbieżny do x0. (Sprawdzić bezpośrednio na podstawie definicji!)
Zadanie 0.43. Gdy M = N z relacjÄ… n m oznaczajÄ…cÄ… n m,
otrzymamy zwykłą definicję ciągu i jego granicy (x0 = limn" xn). Wykazać,
że jeżeli istnieje przeliczalna baza otoczeń punktu x0 przestrzeni Hausdorffa,
to punkt ten należy do domknięcia (odp. jest punktem skupienia) zbioru E
wtedy i tylko wtedy, gdy jest on granicÄ… pewnego ciÄ…gu (odpowiednio -ciÄ…gu
różnowartościowego) punktów ze zbioru E.
Zadanie 0.44. Zbadać równoważność relacji x " E z istnieniem ciągu
(odp. ciągu uogólnionego) zbieżnego do x.
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 9
Zadanie 0.45. (Zbieżność określa topologię) Gdy dla topologii
T1, T na X ciągi uogólnione zbieżne w T1 są też zbieżne w T2 i to do takich
2
samych granic, wykazać, że zbiory domknięte w jednej z tych topologii (któ-
rej?) muszą być domknięte w drugiej. Wywnioskować odpowiednią inkluzję
typu: T2 ‚" T1 lub T1 ‚" T2.
Zadanie 0.46. (Zbieżność ciągów determinuje topologię me-
tryczną) Sprawdzić, czy równość topologii generowanych na zbiorze X przez
ustalone dwie metryki (odp. semimetryki) d1, d2 jest równoważna warunkowi:
[d1(xn, x0) 0 Ô! d2(xn, x0) 0 ("(xn)" -ciÄ…gu punktów zbioru X)].
n=0
Zadanie 0.47. (Zbieżność punktowa). Właśnie tę topologię (na do-
wolnej przestrzeni X złożonej z pewnych funkcji f : &! R) łatwiej jest zdefi-
niować poprzez zbieżność. Dla ciągu uogólnionego funkcji fm przez zbieżność
punktową do funkcji g rozumiemy zbieżności liczbowych ciągów uogólnionych:
fm(É) -
g(É) ("É"&!). Sprawdzić, że jest to zbieżność w topologii rodziny
m"M
semimetryk {ÁÉ}É"&!, gdzie ÁÉ(f, g) := |f(É) - g(É)|.
Zadanie 0.48. Gdy X = RR jest zbiorem wszystkich funkcji zmiennej
rzeczywistej, wykazać, że jej podprzestrzeń P = R[x] złożona z wielomianów
jest zbiorem gęstym: P = X w topologi zbieżności punktowej. Nasuwa się py-
tanie: czy każda funkcja jest granicą punktowo zbieżnego ciągu wielomianów?
Zadanie 0.49. Na ogół rozważamy relacje na zbiorze M, które są
zarazem relacjami częściowego porządku. Wówczas skierowanie zbioru M przez
relację oznacza, że każdy skończony podzbiór ma majorantę. Gdy w zbiorze M
istnieje element maksymalny m", to wykazać, że jest on największy. Ponadto
relacja g = limm"M xm dla ciągu uogólnionego o wartościach w T2-przestrzeni
X zachodzi w tym szczególnym przypadku wtedy i tylko wtedy, gdy xm" = g.
Zadanie 0.50. (Warunek Heinego dla granic) Dla przestrzeni, w
której punkt x0 posiada przeliczalną bazę otoczeń, dowieść równoważności
warunków: g = limxx0 f(x) oraz [(xn x0, xn " D \ {x0}) Ò! f(xn) g].
Zadanie 0.51. Dla podzbioru ograniczonego E na prostej rzeczywistej
(z metryką euklidesową) wykazać, że sup E " E.
10
Zadanie 0.52. Jakiego typu zbieżność zachodzi dla ciągu (restrykcji)
wielomianów jednorodnych fn|(-1,1) : (-1, 1) R, gdy fn(t) = tn ? Dla
jakich przedziałów [Ä…, ²] restrykcje fn|[Ä…,²] tworzÄ… ciÄ…g zbieżny jednostajnie?
Zadanie 0.53. Wykazać, że gdy każda z funkcji fn : X R przyjmuje
w dowolnym punkcie jedną z dwu wartości: 0 lub 1, to zbieżność jednostajna
-czyli wedÅ‚ug metryki ÁX z zadania 0.29 ciÄ…gu fn może zachodzić jedynie w
przypadku ciągu stałego od pewnego miejsca.
Zadanie 0.54. Wykazać, że zbieżność punktowa ciągu z zadania 0.53
-1
(takiego, że fn = ÇEn dla En = fn {1}) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
" " " "
-1 -1
fk {1} = fk {1}.
n=1 k=n n=1 k=n
b
Zadanie 0.55. (Całka Riemanna f(t)dt z funkcji f : [a, b] R
a
jako granica ciągu uogólnionego) Gdy m oznacza ustalony układ punk-
tów podziaÅ‚u t0 = a < t1 < . . . < tk = b i punktów poÅ›rednich ¾j " [tj-1, tj],
to niech ´(m) = max{|tj - tj-1| : 1 j < k} oznacza  Å›rednicÄ™ tego
podziału i niech Sm = Sm(f) będzie odpowiednią  sumą całkową : Sm :=
k
f(¾j)(tj - tj-1). Relacja skierowania: m m zdefiniowana przez waru-
j=1
nek ´(m) ´(m ) nie jest tym razem relacjÄ… częściowego porzÄ…dku. OkreÅ›lić,
kiedy istnieje i co przedstawia granica tego ciągu uogólnionego (Sm(f))m"M .
Zadanie 0.56. CiÄ…g uogólniony liczb rzeczywistych (aµ)µ"M nazwie-
my ciÄ…giem niemalejÄ…cym, gdy z relacji (skierowania) µ ½ wynika, że
aµ a½. Wykazać, że zbieżność takiego ciÄ…gu monotonicznego (w topolo-
gii naturalnej w R) jest równoważna jego ograniczoności z góry. Ponadto dla
S := sup{aµ; µ " M} mamy S = limµ aµ. Analogicznie dla ciÄ…gów uogólnio-
nych nierosnących, ich granicą jest kres dolny zbioru wyrazów.
Zadanie 0.57. Gdy na odcinku [0, 1] rozważamy lewostronną topologię
(odpowiednio topologiÄ™ TarrL -por.0.3), zaÅ› w zbiorze R -topologiÄ™ naturalnÄ…,
sprawdzić, czy dla funkcji h : [0, 1] R zachodzi równoważność
lim h(x) = y0 Ô! (xn x0, xn < x0 Ò! h(xn) y0).
xx0
Ostatni warunek odczytujemy  y0 jest lewostronnÄ… granicÄ… funkcji h w punkcie
x0 . Możemy przyjąć wówczas:
y0 = lim h(x) lim h(x) = lim h(1 - x).
x(1-x0)-
xx- xx+
0 0
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 11
0.1.4 Ciągłość
Gdy D = X i albo x0 " X \ {x0}, albo limxx0 f(x) = f(x0), to mówimy,
że funkcja f : X Y jest ciągła w punkcie x0. Ciągłość funkcji f :
X Y , zapisywana symbolem f " C(X, Y ), oznacza jej ciągłość w każdym
punkcie dziedziny. Odwzorowania ciągłe ł : [a, b] X nazwiemy krzywymi
w przestrzeni X. Nazwę  krzywa stosuje się też dla określenia jej obrazu,
czyli zbioru “ = {Å‚(t) : a t b}. Wówczas samÄ… funkcjÄ™ Å‚ nazywa siÄ™
parametryzacjÄ… krzywej “.
Oprócz odwzorowań ciągłych w topologii rozważane są także tzw. od-
wzorowania otwarte (odp. domknięte). Są to odwzorowania, dla których
obrazy zbiorów otwartych są otwarte (odp. -obrazy zbiorów domkniętych są
domknięte). Pojęcie odwzorowanie domknięte będzie jednak przez nas uży-
wane (w przypadku odwzorowań liniowych) w odmiennym sensie  będzie ono
oznaczało domkniętość wykresu odwzorowania.
Mamy następujące kryteria ciągłości f : X Y :
Twierdzenie 0.58. Dla funkcji f następujęce warunki są równoważne:
(a) f jest ciągła,
-1
(b) Przeciwobrazy f (W ) zbiorów otwartych W ‚" Y sÄ… otwarte.
(c) przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego jest domknięty,
(d) f(cl(E)) Ä…" cl(f(E)),
-
(e) xm m"M z Ò! f(xm) -
f(z) ("(xm)m"M ciągu uogólnionego w X).
m"M
Zachodzenie warunku (e) dla wszystkich  zwykłych ciągów {xn}" okre-
n=1
śla ciągową ciągłość funkcji.
Zadanie 0.59. Wykazać równoważność warunków (a)-(e). Ponadto za-
uważyć, że wystarczy w warunku (b) ograniczyć się do przeciwobrazów zbiorów
z pewnej rodziny generujÄ…cej topologiÄ™ TY przestrzeni Y .
Zadanie 0.60. Z ciągowej ciągłości funkcji określonej na przestrzeni
spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności wywnioskować jej ciągłość.
Zadanie 0.61. Dla funkcji monotonicznej h : [0, 1] R punkty nie-
ciągłości (wzgl. topologii naturalnej) tworzą zbiór co najwyżej przeliczalny.
Ponadto funkcja ta funkcja musi być ciągła, jeśli obrazem dowolnego prze-
działu zawartego w dziedzinie jest przedział.
12
Zadanie 0.62. Dla bijekcji f : X Y następujące 3 warunki są rów-
-1
noważne: ciągłość f : Y X, otwartość f, domkniętość f.
Zadanie 0.63. Gdy x0 " X \ {x0}, gdzie (X, T ) jest przestrzeniÄ… topo-
logicznÄ…, niech T0 bÄ™dzie topologiÄ… generowanÄ… przez T *" {E ‚" X : x0 " E}.
Można ją zinterpretować jako lokalizację  opisującą jedynie T w punkcie x0 .
Wykazać, że funkcja f : X Y jest ciągła wzgl. topologii T0 wtedy i tylko
wtedy, gdy limxx0 f(x) = f(x0) (w topologii T ).
Zadanie 0.64. Wykazać, że złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Natomiast funkcja odwrotna do bijekcji ciągłej nie musi być ciągła.
-1
Gdy zarówno f : X Y , jak i f : Y X są ciągłe, funkcję f nazwiemy
homeomorfizmem. Przestrzenie, pomiędzy którymi istnieje homeomorfizm,
nazywamy homeomorficznymi. Okazuje się, że własności topologiczne prze-
strzeni homeomorficznych sÄ… takie same.
Zadanie 0.65. Jakie funkcje f : R R są ciągłe względem pary topo-
logii: (Tleft, Tleft)
[Ciągłość funkcji o wartościach rzeczywistych względem topologii Tleft  po stro-
nie zbioru wartości nazywana jest półciągłością z góry.]
Zadanie 0.66. Mówimy, że odwzorowanie g : X1 X2 pomiędzy prze-
strzeniami metrycznymi (X1, d1) oraz (X2, d2) spełnia warunek Lipschitza
ze staÅ‚Ä… M, gdy d2(g(s), g(t)) Md1(s, t) ("s, t " X1). Warunek Höldera
z wykładnikiem ą > 0 to istnienie stałej C > 0 dla której d2(g(s), g(t))
Cd1(s, t)Ä… ("s, t " X1).
Wykazać, że warunki: Lipschitza lub Höldera implikujÄ… ciÄ…gÅ‚ość funkcji,
ale nie na odwrót. Gdy ponadto X1 = [a, b] ‚" R zaÅ› d1(s, t) = |t - s|, to dla
Ä… > 1 warunek Höldera jest zbyt restrykcyjny: implikuje staÅ‚ość funkcji.
Zadanie 0.67. (Zasada tożsamości) Przypuśćmy, że funkcje f1, f2 :
X Y są ciągłe, o wartościach w przestrzeni Hausdorffa Y . Wykazać, że
gdy dla pewnego zbioru gÄ™stego D ‚" X (tzn. takiego, że D = X) mamy
f1|D = f2|D, to wówczas f1 = f2. Ponadto zbiór {x " X : f1(x) = f2(x)} jest
domknięty.
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 13
W przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych (odpowiednio -zespolo-
nych, co wynika z kontekstu) zamiast C(X, R) (odp. C(X, C)) piszemy C(X).
Jak zwykle, przestrzeniach R, C, Rn za domyślną uważać będziemy topologię
naturalnÄ… (metryki euklidesowej).
Zadanie 0.68. Wykazać, że C(X) z określonymi w sposób naturalny
działaniami jest algebrą: sumy (odpowiednio  iloczyny) funkcji ciągłych są
ciągłe. Iloraz funkcji ciągłych jest natomiast ciągły w punktach, w których
funkcja znajdująca się w mianowniku nie przyjmuje wartości zero.
Zadanie 0.69. Dla jakich wartości ą " R funkcja gą : R \ {0} R,
(1-cos x)Ä…
gdzie gą(x) := jest restrykcją jakiejś funkcji ciągłej Gą : R R ?
x
Zadanie 0.70. Dla jakich wartoÅ›ci ² " R funkcja h² : R2 \{(0, 0)} R,
sin(xy)
gdzie h²(x, y) := jest restrykcjÄ… jakiejÅ› funkcji ciÄ…gÅ‚ej H² : R2 R ?
(x2+y2)²
Zadanie 0.71. Jeżeli w przestrzeni C([0, 1]) funkcji ciągłych na odcinku
rozważamy metrykÄ™ Á(f, g) := sup{|f(t) - g(t)| : 0 t 1}, zbadać ciÄ…gÅ‚ość
odwzorowaÅ„: Ć, È, Ç : C[0, 1] R, okreÅ›lonych wzorami
1
1
Ć(f) = Á(f, 0) - |f( )|, È(f) = (f(t))2 dt, Ç(f) = lim (min{|f(0)|, 1})n.
n"
2
0
0.1.5 Topologie zadane przez rodziny odwzorowań
Ustalmy zbiory X, Y i niech dla każdego indeksu ą " A będzie dana prze-
strzeń topologiczna (&!ą, Tą) oraz odwzorowania fą : X &!ą, gą : &!ą Y .
Topologią generowaną (określoną) na X przez rodzinę odwzorowań
fą : X &!ą nazwiemy najsłabszą spośród topologii na zbiorze X, względem
których wszystkie te odwzorowania są ciągłe. Topologia ta zwana też jest to-
pologią początkową dla rodziny {fą}ą"A. Zauważmy, że jest to topologia ge-
-1
nerowana przez zbiory postaci fÄ… (UÄ…) (przeciwobrazy), gdzie Ä… " A, UÄ… " TÄ…,
więc bazę stanowią skończone przecięcia tego typu zbiorów.
Natomiast topologia generowana przez rodzinę {gą}ą"A, zwana też topo-
logią końcową dla tej rodziny jest z definicji najsilniejsza z topologii, przy
ktorych wszystkie gÄ… sÄ… ciÄ…gÅ‚e. Tym razem zbiór W ‚" Y jest otwarty, gdy
-1
otwarte sÄ… wszystkie jego przeciwobrazy: gÄ… (W ) ‚" &!Ä….
14
Twierdzenie 0.72. Odwzorowanie F : Z X jest ciągłe w topologii
początkowej dla rodziny odwzorowań fą : X &!ą wtedy i tylko wtedy, gdy
wszystkie złożenia fą ć% F są ciągłe.
Analogicznie, ciągłość złożeń G ć% gą jest równoważna ciągłości odwzoro-
wania G określonego na przestrzeni Y z topologią końcową rodziny {gą}ą"A.
Podstawowe konstrukcje nowych przestrzeni topologicznych na bazie za-
danych topologii podpadają z reguły pod jeden spośród tych dwu schematów.
Oto najważniejsze przykłady:
1. Topologia podprzestrzeni na podzbiorze X przestrzeni topologicznej
&!1 -to topologia poczÄ…tkowa dla rodziny jednoelementowej {f1}, gdzie
f1(x) = x  złożonej z odwzorowania inkluzji kanonicznej f1 : X &!1.
2. Topologia iloczynu kartezjańskiego pary przestrzeni na zbiorze
X = &!1 × &!2, to topologia poczÄ…tkowa pary {f1, f2}, gdzie f1(x, y) =
x, f2(x, y) = y sÄ… rzutami na odpowiednie osi.
3. Ogólniej: topologia produktowa na iloczynie kartezjańskim, to topo-
logia poczÄ…tkowa dla rodziny projekcji naturalnych fÄ… : &!Ä… &!Ä…
Ä…"A
4. Topologia sumy rozÅ‚Ä…cznej przestrzeni &!Ä…, gdzie &!Ä… )" &!² = " dla
Ä… = ², to topologia koÅ„cowa dla rodziny inkluzji kanonicznych gÄ… : &!Ä…

Y = &!ą. (Nie będziemy używać dla niej nazwy  suma prosta )
Ä…"A
5. Topologia ilorazowa dla przestrzeni topologicznej (&!, T ) względem
określonej na niej relacji równoważnościowej R, to topologia końcowa
jednoelementowej rodziny złożonej z suriekcji kanonicznej Ą : &! &!/R,
gdzie Ą(x) jest klasą równoważności elementu x.
(W zadaniach na temat tych konstrukcji użyjemy występujących powyżej
oznaczeń.)
Zadanie 0.73. Wykazać, że zbiór W ‚" X jest otwarty w tej topologii
(T ) podprzestrzeni, gdy W = U )" X dla pewnego U " T1. (Mówimy wtedy, że
 W jest śladem zbioru U na X , stąd nazwa  ślad topologii T1 na X ). Wy-
kazać, że domknięcie zbioru E w podprzestrzeni jest śladem na X domknięcia
E względem T1. Czy podobną tezę otrzymamy dla brzegu (odp. dla wnętrza)?
Zadanie 0.74. ZÅ‚ożenie È ć% f1 jest restrykcjÄ… È : &!1 Z do podprze-
strzeni X. Wykazać, że restrykcja funkcji ciÄ…gÅ‚ej jest ciÄ…gÅ‚a. Dla Õ : Z X
zÅ‚ożenie f1 ć% Õ jest  rozszerzeniem przeciwdziedziny Õ do &!1 . Tym razem 
ciągłości tych dwu funkcji są równoważne.
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 15
Zadanie 0.75. Wykazać, że gdy topologia na &!1 pochodzi od metryki
d, to topologia podprzestrzeni X pochodzi od jej restrykcji: d|X×X Ponadto
z ośrodkowości przestrzeni (&!1, d) wynika ośrodkowość podprzestrzeni X.
Zadanie 0.76. (PÅ‚aszczyzna Niemytzkiego) W przestrzeni &!1 =
R × [0, +") = C+ niech bazÄ™ otoczeÅ„ punktu z stanowi {(B(z + ir, r) *" {z} :
r > 0} w przypadku gdy z " R × {0}, natomiast {(B(z, r) : 0 < r < b}
gdy z = (a, b) : b > 0. Znalez
ć tu zbiór przeliczalny gęsty i wykazać, że
prosta R × {0} jako podprzestrzeÅ„ przestrzeni &!1 nie jest oÅ›rodkowa. Zbadać
aksjomaty przeliczalności dla &!1.
Zadanie 0.77. Wykazać, że przekÄ…tna iloczynu kartezjaÅ„skiego X × X,
czyli zbiór ´ := {(x, y) " X ×X : x = y} jest zbiorem domkniÄ™tym w topologii
produktu wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzeniÄ… Hausdorffa
Zadanie 0.78. Zestawienie: (f1, f2) : &! É (f1(É), f2(É)) " X1 ×X2
jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie funkcje f1, f2 są ciągłe.
Zadanie 0.79. Wykazać domkniętość (w topologii produktowej) wykre-
su funkcji ciągłej i przykład nieciągłej f : R R o domkniętym wykresie.
Zadanie 0.80. Wykazać metryzowalność produktu kartezjańskiego pary
przestrzeni metrycznych. W przypadku przeliczalnego produktu przestrzeni
(Xj.dj) sprawdzić, czy wzór
"
d(x, y) := 2-j min{1, dj(xj, yj)} dla x = (xn)" , y = (yn)"
n=1 n=1
j=1
określa metrykę i czy jest to metryka określająca topologię produktową.
Zadanie 0.81. Elementy produktu kartezjańskiego X = Xą moż-
Ä…"A
na traktować jako funkcje x : A Xą. Gdy wszystkie przestrzenie Xą są
Ä…
takie same -równe &!, przestrzeń produktową zapisujemy też jako A&!. Wyka-
zać, że gdy Xą = R lub C, to topologia zbieżności punktowej (określona w
0.47) jest równa topologii produktowej. Z zadania 0.48 wywnioskować nieme-
tryzowalność produktu nieprzeliczalnej ilości prostych euklidesowych.
16
Zadanie 0.82. Wywnioskować niemetryzowalność produktu nieprzeli-
czalnej ilości przestrzeni przynajmniej 2-punktowych z następującej własno-
ści: w przestrzeni metrycznej dla dowolnego punktu P istnieje ciąg otoczeń Un
"
tego punktu taki, że Un = {P }.
n=1
Zadanie 0.83. Czy  prostsza definicja topologii T0 na zbiorze: X :=
XÄ… -jako topologii generowanej przez produkty (dowolnych) otwartych
Ä…
podzbiorów nie daje przypadkiem  rozsądnej zbieżności ? Wątpliwości rozwie-
je następujące rozumowanie: Gdy Xą = R, to otoczeniami funkcji stale równej
zero będą zbiory postaci Wh := {f : A R : |f(ą)| < h(ą) ("ą " A)}, gdzie
h(Ä…) > 0 ("Ä…). Gdy ciÄ…g funkcji fn " X zmierza do zera w topologii T0 wy-
kazać, że poza pewnym skoÅ„czonym zbiorem indeksów {Ä…1, . . . , Ä…k} ‚" A musi
być fn(ą) = 0 dla dostatecznie dużych n " N. (W przeciwnym przypadku
zdefiniować odpowiednio wartości h(ą) w punktach, w których |fn(ą)| > 0 dla
nieskończenie wielu n.)
0.1.6 Spójność
Przestrzeń topologiczną (X, T ) nazywamy spójną, gdy ", X są jedynymi jej
podzbiorami, które są równocześnie otwarte i domknięte. (Takie zbiory nazy-
wamy otwarto-domkniÄ™tymi): (U " T , X \ U " T ) Ò! U " {", X}. Podzbiór E
przestrzeni topologicznej (X, T ) nazwiemy zbiorem spójnym, gdy topologia
podprzestrzeni E jest spójna. Spośród wszystkich podzbiorów spójnych zawie-
rających ustalony punkt x0 " X zawsze istnieje podzbiór największy -zwany
składową spójną punktu x0 w przestrzeni X.
Twierdzenie 0.84. W przestrzeni euklidesowej R zbiór E jest spójny
wtedy i tylko wtedy, gdy jest on przedziałem (niekoniecznie ograniczonym).
Twierdzenie 0.85. Obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe jest
zbiorem spójnym. W szczególności spójne są wszystkie krzywe.
Zadanie 0.86. Wykazać, że przestrzeń X jest spójna wtedy i tylko wte-
dy, gdy jedynymi funkcjami ciągłymi z X do dowolnej przestrzeni dyskretnej
 są funkcje stałe.
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 17
Zadanie 0.87. Niech A, B, An będą spójnymi podzbiorami danej prze-
strzeni topologicznej. Który z następujących warunków gwarantuje spójność
"
zbiorów: A *" B (odpowiednio An:
n=1
"
1. A )" B = " (odp. An = " )

n=1
2. A )" B = " (odp."n"k =nAn )" Ak = " )

3. A )" B = " (odp. "n (An )" An+1) *" (An )" An+1) = "

Zadanie 0.88. Wykazać, że jeśli funkcja ciągła f : X R na przestrze-
ni spójnej X przyjmuje wartości a, c, gdzie a < c, to przyjmuje ona również
wszystkie wartości pośrednie: b " [a, c].
Zadanie 0.89. Ustalmy pewien podzbiór E przestrzeni topologicznej
Y . Wykazać, że jeśli funkcja ciągła f : X Y na przestrzeni spójnej X
przyjmuje wartości zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz zbioru E (czyli gdy
(f(X) )" int(E) = " oraz f(X) )" int(Y \ E) = "), to przyjmuje ona również

wartości należące do brzegu tego zbioru: f(X) )" Fr(E) = ".

Przestrzeń (X, T ) nazwiemy łukowo spójną, gdy każde dwa jej punkty x0,x1
można połączyć pewną krzywą ł " C([0, 1], X) - czyli x1 = ł(1), x0 = ł(0).
Lokalna spójność oznacza istnienie otoczenia otwartego i spójnego dla każ-
dego punktu przestrzeni.
Zadanie 0.90. Znalez
ć przykład podzbioru spójnego płaszczyzny eu-
klidesowej, który nie jest łukowo spójny, chociaż jego domknięcie jest łukowo
spójne. Ponadto ani zbiór ten, ani jego domknięcie nie są lokalnie spójne.
Zadanie 0.91. Każdy punkt x0 przestrzeni topologicznej (X, T ) zawiera
się w pewnym X(x0) -maksymalnym spośród jej podzbiorów, które są spójne.
Taki zbiór X(x0) nazwiemy składową spójną elementu x0 w tej przestrzeni.
Sprawdzić, że składowe spójne są klasami równoważności w pewnej relacji rów-
noważności. Składowe spójne są zbiorami otwartymi w przypadku przestrzeni
lokalnie spójnej. Wywnioskować, że otwarte podzbiory prostej (euklidesowej)
R są sumami parami rozłącznych przedziałów otwartych.
Zadanie 0.92. Znalez
ć składowe spójne w przestrzeni Q liczb wymier-
nych z metrykÄ… euklidesowÄ… i w przestrzeni R z topologiÄ… TarrL (por. 0.4).
Zadanie 0.93. Opisać składową spójną macierzy identyczności w zbio-
rze GL(n) macierzy nieosobliwych n × n o wyrazach rzeczywistych (traktowa-
nej jako podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej Rk dla k = n2).
18
0.1.7 Zwartość
Przestrzeń Hausdorffa (X, T ) nazywamy przestrzenią pre-zwartą, gdy z
każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie skończone:
X ‚" Wj, Wj " T ("j " J) Ò! ("k"N, "j1,...,jk"J) X ‚" Wj1 *" . . . *" Wjk.
j"J
Przestrzeń zwarta, to przestrzeń, pre-zwarta, która jest przestrzenią Haus-
dorffa (T2). Zbiór zwarty w przestrzeni topologicznej (Y, T1), to podzbiór
X ‚" Y , który jako podprzestrzeÅ„ topologiczna przestrzeni Y jest przestrzeniÄ…
zwartą. Zbiór relatywnie zwarty, to zbiór, którego domknięcie jest zwarte.
Rodzinę F zbiorów nazwiemy scentrowaną, gdy każda jej skończona pod-
rodzina F1 (tzn. F1 ‚" F, #F1 < ") ma niepuste przeciÄ™cie.
Twierdzenie 0.94. Przestrzeń jest pre-zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy
każda scentrowana rodzina złożona ze zbiorów domkniętych ma przecięcie nie-
puste. Zwarte podzbiory przestrzeni Hausdorffa są domknięte. Domknięte pod-
zbiory przestrzeni zwartych sÄ… zwarte.
Gdy z każdego ciÄ…gu (xn)" ‚" X można wybrać podciÄ…g zbieżny, to
n=1
przestrzeń nazwiemy ciągowo pre-zwartą.
Twierdzenie 0.95. Obraz zbioru pre-zwartego przez odwzorowanie ciÄ…-
głe jest pre-zwarty. Obraz zbioru ciągowo pre-zwartego przez odwzorowanie
ciągowo ciągłe jest ciągowo pre-zwarty.
Zadanie 0.96. Wykazać, że funkcja półciągła z góry f : X R osiąga
na zbiorze zwartym wartość największą.
Zadanie 0.97. Wykazać, że obraz przez odwzorowanie ciągłe przecięcia
rodziny skierowanej zbiorów zwartych jest równy przecięciu odpowiedniej ro-
dziny obrazów. Która z inkluzji może nie zachodzić, jeśli pominiemy założenie
o zwartości?
Twierdzeniem o wielkim znaczeniu, którego dowód wymaga użycia pew-
nika wyboru jest następujący rezultat.
Twierdzenie 0.98. (Tichonow) Iloczyn kartezjański X := Xą
Ä…"A
dowolnej rodziny przestrzeni zwartych XÄ… jest zwarty w topologii produktowej.
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 19
Zadanie 0.99. Czy przestrzeÅ„ Z z topologiÄ… Tcf := {"} *" {E ‚" Z :
#(Z \ E) < "} (por. zadanie 0.1) jest zwarta (odp. pre-zwarta)?
Zadanie 0.100. Wykazać, że zbiory zwarte w przestrzeni metrycznej są
ograniczone. Natomiast zbiory domknięte i ograniczone nie muszą być zwarte.
Zadanie 0.101. Wykazać, że suma A*"B pary zbiorów relatywnie zwar-
tych jest relatywnie zwarta. W przestrzeni euklidesowej Rn zbiory ograniczone
sÄ… relatywnie zwarte.
Zadanie 0.102. Punktem skupienia ciÄ…gu nazwiemy punkt z, w
którego dowolnym otoczeniu Uz znajdziemy  dowolnie odległe wyrazy tego
ciÄ…gu. W przypadku ciÄ…gu uogólnionego (xµ)µ"M oznacza to, że
" " x½ " Uz, czyli z " {x½ : ½ " M, µ ½}.
µ"M ½"M, µ ½
µ"M
Sprawdzić, że gdy punkt skupienia  zwykłego ciągu (xn)" ma przeliczalną
n=1
bazę otoczeń, to jest on granicą pewnego podciągu: (xnk)" tego ciągu.
k=1
Zadanie 0.103. Wykazać, że przestrzeń Hausdorffa jest zwarta w. t. w.
gdy dowolny ciąg uogólniony ma w niej przynajmniej jeden punkt skupienia.
Zadanie 0.104. Wykazać zbieżność ciągu (xn)" w przestrzeni me-
n=1
trycznej zwartej, jeśli ma on co najwyżej jeden punkt skupienia.
Zadanie 0.105. Sformułować w terminach punktu g := lim xn warunek
konieczny i wystarczający dla zwartości zbioru E = {xn : n " N}, który
tworzą wyrazy ciągu zbieżnego w danej przestrzeni Hausdorffa.
Zadanie 0.106. Zbadać, czy z ciągłości restrykcji funkcji do każdego
zwartego podzbioru danej przestrzeni (X, T ) wynika ciągłość tej funkcji na
całej przestrzeni, o ile (X, T ) spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
20
Zadanie 0.107. Wykazać, że funkcja na przestrzeni spełniającej pierw-
szy aksjomat przeliczalności, przyjmująca wartości w przestrzeni zwartej jest
ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres jest zbiorem domkniętym (w topo-
logii produktowej).
Definicja 0.108. Ciąg uogólniony (yk)k"K jest ciągiem subtelniej-
szym od (lub: podciągiem uogólnionym) ciągu (xm)m"M , jeśli istnieje
pewne odwzorowanie µ : K M zbiorów skierowanych K w M takie, że
xµ(k) = yk oraz " " (l k Ò! n µ(k) ).
n"M l"K
Sprawdzić że, podciÄ…gi zwykÅ‚ych ciÄ…gów (tu K = M = N, µ(k) := nk) speÅ‚-
niajÄ… ten warunek. Analogicznie jest w przypadku, gdy funkcja µ : M1 M
jest niemalejÄ…ca wzglÄ™dem relacji skierowujÄ…cych te zbiory, zaÅ› zbiór µ(M1)
jest  nieograniczony z góry w M (albo współkońcowy z M), czyli taki, że
("m " M)("l " M1) m µ(l) .
Zadanie 0.109. Gdy mamy ciąg uogólniony (xm)m"M i bazę otoczeń
U punktu z w danej przestrzeni topologicznej (X, T ), wykazać, że iloczyn
kartezjaÅ„ski M ×U stanowi zbiór skierowany przez relacjÄ™ w której para (m, V )
poprzedza parÄ™ (n, W ), gdy m n oraz V ƒ" W . JeÅ›li za y(m,W ) przyjąć
dowolnie wybrany wyraz xj, gdzie m j, wykazać, że otrzymamy w ten
sposób podciąg uogólniony. Gdy ponadto j dobierzemy tak, aby xj " W ,
wykazać, że otrzymany ciąg uogólniony będzie zbieżny (do jakiej granicy?).
Zadanie 0.110. Wykazać, że przestrzeÅ„ Hausdorffa jest zwarta Ô! gdy
każdy ciąg uogólniony jej punktów ma podciąg uogólniony zbieżny. Wykazać
też, że granica podciągu uogólnionego jest zawsze punktem skupienia.
Zadanie 0.111. Zbadać odpowiednik tezy z zadania 0.104 dla ciągów
uogólnionych.
Zadanie 0.112. Gdy w przestrzeni topologicznej (X, T ) dana jest ro-
dzina A otwartych otoczeń punktu z0 która jest skierowana przez odwrotną
inkluzję i taka, że {W : W " A} = {z0}, to A nie musi, na ogół, być ba-
zą otoczeń punktu z0 (podać przykład gdy X = R). Gdy jednak przestrzeń
(X, T ) jest zwarta, wykazać, że A jest bazą otoczeń z0.
0.1. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE 21
0.1.8 Zupełność
Przestrzeń (X, d) z semimetryką d jest zupełna, gdy zbieżny jest każdy ciąg
{xn}" jej elementów spełniający warunek Cauchy ego, czyli taki, że od-
n=1
ległości jego wyrazów: d(xm, xk) są dowolnie małe dla m, k dostatecznie du-
żych. Jeśli oznaczymy przez x[m,) tzw.  m-tą końcówkę tego ciągu, czyli
zbiór {xk : k " N, k m}, to warunek Cauchy ego można zapisać w postaci:
limm" diam(x[m,)) = 0. Równoważny zapis  d(xm, xk) -
0 można in-
m,k"
terpretować jako zmierzanie do zera ciÄ…gu uogólnionego (d(xm, xk))(m,k)"N×N,
jeśli relacja (n, k) (n1, k1) oznacza np., że max(n, k) min(n1, k1).
Zadanie 0.113. Wykazać, że podzbiór przestrzeni metrycznej zupeł-
nej jest przestrzenią zupełną (wzgl. restrykcji metryki) wtedy i tylko wtedy
gdy jest on zbiorem domkniętym. Ponadto przestrzenie metryczne zwarte są
zupełne (lecz, na ogół, implikacja przeciwna nie zachodzi).
Zadanie 0.114. Wykazać, że gdy pewien podciąg ciągu Cauchy ego (xn)
jest zbieżny do granicy g, to również lim xn = g.
Zadanie 0.115. Ustalmy pewien ciąg liczb dodatnich cn, który jest su-
"
mowalny: cn < ". Wykazać, że przestrzeń metryczna (X, d) jest zu-
n=1
pełna, gdy wszystkie ciągi jej punktów spełniające warunek: d(xn, xn+1)
cn ("n) są zbieżne.
Zadanie 0.116. (Twierdzenie Cantora) Warunkiem koniecznym i
wystarczającym dla zupełności przestrzeni (X, d) jest, by każdy ciąg zbiorów
domkniÄ™tych Fn ‚" X i takich, że Fn+1 ‚" Fn, lim diam(Fn) = 0 miaÅ‚ przeciÄ™cie
niepuste. (Wówczas dla pewnego punktu x0 mamy Fn = {x0}.)
n
Zadanie 0.117. Podać przykład homeorfizmu f : R X który prze-
kształca ciągi Cauchy ego w ciągi Cauchy ego, lecz którego obraz nie jest prze-
strzenią zupełną.
Zadanie 0.118. Mówimy, że funkcja F : X1 X2 jest jednostajnie
ciągła względem mertyk dj na przestrzeniach Xj, jeżeli
" > 0"´ > 0 "s,t"X1(d1(s, t) < ´ Ò! d2(F (s), F (t)) < ).
Wykazać, że funkcje jednostajnie ciągłe przekształcają ciągi Cauchy ego w
ciągi Cauchy ego. Istnieją funkcje ciągłe, które nie są ciągłe jednostajnie, ale
nie jest to możliwe w przypadku, gdy przestrzeń (X1, d1) jest zwarta.
22
Zadanie 0.119. Gdy D ‚" X1 jest podzbiorem gÄ™stym przestrzeni me-
trycznej, to wykazać, że każda funkcja jednostajnie ciągła f : D X2 daje
się przedłużyć (jednoznacznie) do funkcji ciągłej F : X1 X2. Skonstruować
F i wykazać, że jest to funkcja jednostajnie ciągła. Czy istnieje odpowiednik
tej tezy dla warunku Lipschitza (por. zadanie 0.66)?
Zadanie 0.120. Wykazać, że dla każdej przestrzeni metrycznej (X, d)
Ü Ü Ü
istnieje przestrzeń metryczna zupełna (X, d) i odwzorowanie j : X X ta-
Ü
kie, że j jest zanurzeniem izometrycznym: d(s, t) = d(j(s), j(t)), zaś zbiór
Ü Ü
j(X) jest gęsty w X. Parę (j, (X, d)) nazywamy uzupełnieniem przestrze-
Ć Ć
ni metrycznej(X, d). Ponadto gdy (5
, (X, d)) jest innym uzupełnieniem tej
Ü Ć
samej przestrzeni, to istnieje bijekcja izometryczna Ś : X X, dla której
Ś ć% j = 5
. Innymi słowy, uzupełnienie jest wyznaczone jednoznacznie z do-
kładnością do izomorfizmu izometrycznego  zgodnego z zanurzeniami .