Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 4
Wykład nr 4
Obliczanie sił wewnętrznych
Obliczanie sił wewnętrznych
w układach prętowych
w układach prętowych
Belki
Belki
1
1
Siły wewnętrzne w płaskich
Siły wewnętrzne w płaskich
układach prętowych
układach prętowych
Siła normalna (osiowa, podłużna);
Siła normalna (osiowa, podłużna);
Siła poprzeczna (tnąca);
Siła poprzeczna (tnąca);
Moment zginający
Moment zginający
M M
a� a�
M
A
P
a�
N N
a�
a� a�
H
T
A
a�
a�
T
a�
V
A
2
2
Siły wewnętrzne 
Siły wewnętrzne 
konwencja znaków
konwencja znaków
Siła normalna rozciągająca
Siła normalna rozciągająca
Na� Na�
pręt jest dodatnia.
pręt jest dodatnia.
a�
Siła poprzeczna
Siła poprzeczna
powodowana przez
powodowana przez
Ta�
obciążenie działające po
obciążenie działające po
Ta�
lewej stronie od przekroju
lewej stronie od przekroju
a�
do góry lub po prawej
do góry lub po prawej
stronie do dołu jest
stronie do dołu jest
Ma� Ma�
dodatnia.
dodatnia.
Moment rozciągający
Moment rozciągający
a�
włókna dolne jest dodatni.
włókna dolne jest dodatni.
spody (włókna dolne)
3
3
Siły wewnętrzne 
Siły wewnętrzne 
wykresy (1)
(1)
wykresy
Kreskowanie (rzędne wykresu) należy
Kreskowanie (rzędne wykresu) należy
zaznaczać prostopadle do osi pręta.
zaznaczać prostopadle do osi pręta.
Rzędne dodatnie wykresów sił
Rzędne dodatnie wykresów sił
normalnych i tnących odkłada się
normalnych i tnących odkłada się
zazwyczaj u góry.
zazwyczaj u góry.
Wykresy sił podłużnych i poprzecznych
Wykresy sił podłużnych i poprzecznych
rysujemy ze znakiem.
rysujemy ze znakiem.
4
4
Siły wewnętrzne 
Siły wewnętrzne 
wykresy (2)
(2)
wykresy
Wykresy momentów nie muszą być
Wykresy momentów nie muszą być
znakowane, ale należy zwracać uwagę, aby
znakowane, ale należy zwracać uwagę, aby
rzędne momentu odkładać po stronie
rzędne momentu odkładać po stronie
włókien rozciąganych.
włókien rozciąganych.
Rzędne dodatnie wykresu momentów
Rzędne dodatnie wykresu momentów
zginających odkłada się u dołu (moment
zginających odkłada się u dołu (moment
dodatni, gdy rozciągane są włókna dolne).
dodatni, gdy rozciągane są włókna dolne).
Wykres momentu wskazuje jak odkształci
Wykres momentu wskazuje jak odkształci
się pręt i gdzie w poszczególnych
się pręt i gdzie w poszczególnych
elementach włókna są rozciągane.
elementach włókna są rozciągane.
5
5
Wykresy sił
Wykresy sił
wewnętrznych
wewnętrznych
a�
P
a�
l
Pcosa�
N [kN]
+
a�
Psina�
+
T [kN]
a�
Plsina�
- M [kNm]
a�
6
6
Punkty charakterystyczne,
Punkty charakterystyczne,
przekroje
przekroje
Ze względu na zmianę równań sił
Ze względu na zmianę równań sił
wewnętrznych:
wewnętrznych:
 w belkach i ramach: końce prętów,
 w belkach i ramach: końce prętów,
punkty przyłożenia sił
punkty przyłożenia sił
 czynnych: siła skupiona, moment skupiony,
 czynnych: siła skupiona, moment skupiony,
początek lub koniec obciążenia ciągłego
początek lub koniec obciążenia ciągłego
 biernych: punkty podporowe
 biernych: punkty podporowe
 w ramach: dodatkowo węzły (połączenia
 w ramach: dodatkowo węzły (połączenia
prętów o różnej krzywiz
nie)
prętów o różnej krzywiz
nie)
7
7
Przegub
Przegub
Przegub jest jedynie punktem
Przegub jest jedynie punktem
kontrolnym (moment równy jest 0).
kontrolnym (moment równy jest 0).
Nie powoduje konieczności
Nie powoduje konieczności
wprowadzenia dodatkowego
wprowadzenia dodatkowego
przekroju.
przekroju.
8
8
Siła skupiona
Siła skupiona
a� P
P
VA =� VB =� H =� 0
x A
2
Na�1 =� 0 Na� 2 =� 0
l/2 l/2
P P
a� a� Ta�1 =� VA =� Ta� 2 =� VA -� P =� -�
1 2
P
2 2
H
A
P
x =� 0 Ma�1 =� 0
Ma�1 =� VA �� x =� �� x
2
V
A l Pl
R
B
x =� Ma�1 =�
2 4
N [kN]
a�
0
l
��
Ma�1 =� VA �� x -� Pć� x -� =�
�� ��
P/2
2
Ł� ł�
T [kN]
+ a�
P l l x
�� ��
-
=� �� x -� Pć� x -� =� Pć� -�
�� �� �� ��
2 2 2 2
Ł� ł� Ł� ł�
P/2
l Pl
M [kNm]
a�
x =� Ma�1 =�
2 4
+
x =� l Ma�1 =� 0
Pl/4
9
9
Moment skupiony
Moment skupiony
a� a�
M M
1 2
M
VA =� -� VB =� H =� 0
A
H x
A
l l
Na�1 =� 0 Na� 2 =� 0
M M
V
A
R Ta�1 =� VA =� -� Ta� 2 =� -�
B
l/2 l/2 l l
M
Ma�1 =� VA �� x =� -� �� x
N [kN] l
a�
0
x =� 0 Ma�1 =� 0
l M
T [kN]
a�
x =� Ma�1 =� -�
-
2 2
M/l
x
��
M/2
Ma�1 =� VA �� x +� M =� M ��ć�1-�
�� ��
-
l
M [kNm] Ł� ł�
a�
l M
x =� Ma�1 =�
+
M/2
2 2
x =� l Ma�1 =� 0
10
10
Obciążenie ciągłe
Obciążenie ciągłe
równomierne
równomierne
ql
a�
VA =� VB =� H =� 0
x
A
2
q
H
Na� =� 0
A
ql
Ta� =� VA -� qx =� -� qx
2
V ql
A
R
B x =� 0 Ta� =�
l
2
l
x =� Ta� =� 0
N [kN]
a�
0
2
ql/2 ql
x =� l Ta� =� -�
+
2
T [kN]
a�
ć� ��
x l �� x x2 ��
-
��
Ma� =� VA �� x -� q �� x �� =� q ���� -�
ql/2 ��
2 2 2
Ł� ł�
x =� 0 Ma� =� 0
M [kNm]
a�
l q ��l2
+
x =� Ma� =�
2 8
2
ql /8 x =� l Ma� =� 0
11
11
Obciążenie ciągłe liniowo
Obciążenie ciągłe liniowo
zmienne
zmienne
ql ql
a�
q
VA =� VB =� H =� 0
x
A
6 3
q
H
Na� =� 0
A
q
q(x) =� �� x
l
1 ql 1 qx2
V
A
R
B Ta� =� VA -� q(x)�� x =� -�
l
2 6 2 l
ql
x =� 0 Ta� =�
N [kN]
a�
0
6
ql
ql/6
x =� l Ta� =�
3
+
T [kN]
a�
1 x
-
Ma� =� VA �� x -� q(x) �� x �� =�
ql/3
2 3
ql 1 qx x ql 1 q
M [kNm]
=� �� x -� �� x �� =� �� x -� x3
a�
6 2 l 3 6 6 l
+
x =� 0 Ma� =� 0
x =� l Ma� =� 0
12
12
Obciążenie ciągłe
Obciążenie ciągłe
momentem
momentem
a�
VA =� -�m VB =� m H =� 0
A
x
m
Na� =� 0
H
A
Ta� =� VA =� -�m
V
A
R
B
Ma� =� VA �� x +� m �� x =� -�mx +� mx =� 0
l
N [kN]
a�
0
T [kN]
a�
-
m
M [kNm]
a�
0
13
13
Warunki różniczkowe (1)
(1)
Warunki różniczkowe
Zależności różniczkowe między Ma�, Ta�,
a� a�
Zależności różniczkowe między M , T ,
Na� i pz(x), px(x), m(x).
a� z x
N i p (x), p (x), m(x).
Aby wyznaczyć te zależności rozważymy
Aby wyznaczyć te zależności rozważymy
belkę swobodnie podpartą, obciążoną
belkę swobodnie podpartą, obciążoną
obciążeniami ciągłymi i ciągłym momentem
obciążeniami ciągłymi i ciągłym momentem
na fragmencie belki.
na fragmencie belki.
14
14
Warunki różniczkowe (2)
(2)
Warunki różniczkowe
Z tej belki wycinamy fragment przedstawiony na
Z tej belki wycinamy fragment przedstawiony na
rysunku.
rysunku.
15
15
Warunki różniczkowe (3)
(3)
Warunki różniczkowe
Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą x :
Suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą x :
��X =� 0 -�Na� +� px (x)dx +� (Na� +� dNa� ) =� 0
Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową z :
Suma rzutów wszystkich sił na oś pionową z :
-�Ta� +� pz (x)dx +� (Ta� +� dTa� ) =� 0
��Z =� 0
Suma momentów wszystkich sił względem punktu O :
Suma momentów wszystkich sił względem punktu O :
��M =� 0
o
dx
Ma� +� Ta�dx +� mx (x)dx -� pz (x)dx -� (Ma� +� dMa� ) =� 0
2
16
16
Warunki różniczkowe (4)
(4)
Warunki różniczkowe
Po odrzuceniu wielkości małej w
Po odrzuceniu wielkości małej w
dx
pz (x)dx
porównaniu z pozostałymi 2 ,
porównaniu z pozostałymi ,
otrzymujemy:
otrzymujemy:
dTa� dMa�
dNa�
=� -�pz (x) =� Ta� +� m(x)
=� -�px (x)
dx dx
dx
Z powyższych równań wynika, że:
Z powyższych równań wynika, że:
d2Ma� dTa�
=� =� -�p(x)
dx
dx2
17
17
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (1)
(1)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia
Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia
ciągłego poprzecznego to wykres sił
ciągłego poprzecznego to wykres sił
tnących jest stały, równoległy do osi
tnących jest stały, równoległy do osi
pręta.
pręta.
dTa�
=� -� p(x) =� 0
P
dx
Ta� (�x)�=� C1 =� const
P/2
Ta� [kN]
+
-
P/2
18
18
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (2)
(2)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia
Jeżeli w przedziale nie ma obciążenia
ciągłego poprzecznego i nie występuje
ciągłego poprzecznego i nie występuje
obciążenie ciągłe momentem to
obciążenie ciągłe momentem to
wykres momentu jest linią prostą
wykres momentu jest linią prostą
nachyloną do pręta.
nachyloną do pręta.
dMa�
=� Ta� (�x)�=� C1
P
dx
M [kNm]
a� Ma� (�x)�=� C1 �� x +� C2
+
Pl/4
19
19
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (3)
(3)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli w przedziale działa stałe
Jeżeli w przedziale działa stałe
obciążenie ciągłe to wykres sił
obciążenie ciągłe to wykres sił
tnących jest nachylony do pręta,
tnących jest nachylony do pręta,
rzędne maleją wraz ze wzrostem x.
rzędne maleją wraz ze wzrostem x.
q
dTa�
=� -�q
dx
ql/2
+
Ta� =� -�qx +� C1
T [kN]
a�
-
ql/2
20
20
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (4)
(4)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli w przedziale działa stałe

Jeżeli w przedziale działa stałe
obciążenie ciągłe i nie ma
obciążenie ciągłe i nie ma
obciążenia ciągłego momentem, to
obciążenia ciągłego momentem, to
wykres momentów zginających
wykres momentów zginających
jest parabolą drugiego stopnia.
jest parabolą drugiego stopnia.
ą�
ą�
21
21
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (5)
(5)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli w przedziale zeruje się

Jeżeli w przedziale zeruje się
równanie siły tnącej to wykres
równanie siły tnącej to wykres
momentów osiąga ekstremum w
momentów osiąga ekstremum w
tym punkcie. ą�
tym punkcie. ą�
q
ql/2
+
T [kN]
a�
-
ql/2
M [kNm]
a�
+
2
ql /8
22
22
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (6)
(6)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli obciążenie ciągłe jest

Jeżeli obciążenie ciągłe jest
skierowane do dołu, to wypukłość
skierowane do dołu, to wypukłość
wykresu jest skierowana w dół i
wykresu jest skierowana w dół i
odwrotnie.
odwrotnie.
2
q
d Ma�
=� -� p(�x)�=� -�q
dx2
dMa�
=� -�qx +� C2
Ma� [kNm]
dx
+
1
M(�x)�=� -� qx2 +� C1x +� C2
ql2/8
2
23
23
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (7)
(7)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe
Jeżeli w przedziale działa obciążenie ciągłe
liniowo zmienne i nie ma obciążenia ciągłego
liniowo zmienne i nie ma obciążenia ciągłego
momentem to wykres sił poprzecznych jest
momentem to wykres sił poprzecznych jest
parabolą drugiego stopnia. W punkcie, gdzie
parabolą drugiego stopnia. W punkcie, gdzie
obciążenie ciągłe się zeruje parabola jest
obciążenie ciągłe się zeruje parabola jest
styczna do osi do pręta.
styczna do osi do pręta.
p(�x)�=� C1x +� C2
q
1
T(�x)�=� -� C1x2 -� C2x +� C3
2
ql/6
+
Ta� [kN]
-
ql/3
24
24
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (8)
(8)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli w przedziale działa obciążenie
Jeżeli w przedziale działa obciążenie
ciągłe liniowe to wykres momentów
ciągłe liniowe to wykres momentów
zginających jest parabolą trzeciego
zginających jest parabolą trzeciego
stopnia.
stopnia.
ą�
ą�
25
25
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (9)
(9)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli równanie sił tnących zeruje się
Jeżeli równanie sił tnących zeruje się
w przedziale, to wykres momentów
w przedziale, to wykres momentów
osiąga ekstremum w tym punkcie. ą�
osiąga ekstremum w tym punkcie. ą�
q
ql/6
+
T [kN]
a�
-
ql/3
M [kNm]
a�
+
26
26
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (10)
(10)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli obciążenie ciągłe jest
Jeżeli obciążenie ciągłe jest
skierowane do dołu, to wypukłość
skierowane do dołu, to wypukłość
wykresu jest skierowana w dół i
wykresu jest skierowana w dół i
odwrotnie.
odwrotnie.
p(�x)�=� C1x +� C2
q
2
d Ma�
=� -� p(�x)�=� -�C1x -� C2
dx2
dMa� 1
Ma� [kN m]
=� -� C1x2 -� C2x +� C3
+ dx 2
1 1
M(�x)�=� -� C1x3 -� C2x2 +� C3x +� C4
6 2
27
27
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (11)
(11)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli na pręcie występuje siła skupiona,
Jeżeli na pręcie występuje siła skupiona,
to na wykresie sił poprzecznych wystąpi
to na wykresie sił poprzecznych wystąpi
 skok o tą wartość, a na wykresie
 skok o tą wartość, a na wykresie
momentów zginających wystąpi
momentów zginających wystąpi
 załamanie wykresu.
 załamanie wykresu.
P
P/2
T [kN]
+
a�
-
P/2
M [kNm]
a�
+
Pl/4
28
28
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (12)
(12)
a� a�
M , T oraz q
Jeżeli na pręcie występuje moment
Jeżeli na pręcie występuje moment
skupiony, to na wykresie momentów
skupiony, to na wykresie momentów
zginających wystąpi  skok o wartość
zginających wystąpi  skok o wartość
tego momentu.
tego momentu.
M
M/2
-
M [kNm]
a�
+
M/2
29
29
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q i m (13)
(13)
a� a�
M , T oraz q i m
Jeżeli w przedziale działa obciążenie
Jeżeli w przedziale działa obciążenie
ciągłe momentem to wykres
ciągłe momentem to wykres
momentów zginających jest liniowy
momentów zginających jest liniowy
(liniowo zmienny lub w szczególnym
(liniowo zmienny lub w szczególnym
przypadku stały, gdy Ta�=-m).
a�
przypadku stały, gdy T =-m).
m
m
ml
Ma� [kNm]
0
-
dMa�
=� Ta� +� m(x)
dx
30
30
Zależności między
Zależności między
Ma� , Ta� oraz q (14)
(14)
a� a�
M , T oraz q
Obciążenie Wykres T Wykres M
Brak obc. ciągłego stały prosta
Obc. ciągłe stałe prosta parabola 2o
Obc. ciągłe trójkątne parabola 2o parabola 3o
Siła skupiona skok załamanie
Moment skupiony  skok
Obc. ciągłe momentem  prosta
31
31
Przykład  belka
Przykład  belka
przegubowa
przegubowa
8kN/m
15kNm
10kN
6�0�o�
2,5m 1,5m 1,5m 1,5m
1m 1m 1m
8kN/m
M
15kNm
E
10kN
6�0�o�
H
E
B
A E
D
C
V
2,5m 1,5m 1,5m 1,5m E
1m R R 1m 1m
A B
32
32
Reakcje
Reakcje
8kN/m
ME
15kNm
6�0�o� 10kN
HE
B
A E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
X : H -�10cos60�� =� 0
�� A
=�
��Y : RA +� RB +�VE -�8kN / m��3,5m -�10kN sin 60�� 0
: RA ��9m +� RB ��6,5m +� M +�
��M E E
1
+�15kNm -�10kN sin 60���� 4m -�8��3,5m ��ć� 3,5m +� 6,5m�� =� 0
�� ��
2
Ł� ł�
1
l
: RA �� 4m +� RB ��1,5m -�8kN / m��3,5m ��ć� 3,5m +�1,5m�� =� 0
�� ��
��MC
2
Ł� ł�
l
-�10kN sin 60����1m =� 0
�� ��
��M : RA ��6m +� RB ��3,5m -� 8kN / m ��3,5m ��ć� 1 3,5m +� 3,5m��
E
2
Ł� ł�
33
33
Przyjęcie przekrojów,
Przyjęcie przekrojów,
przedziały
przedziały
x
a�1 8kN/m a�2
a�3 6�0�o� 10kN a�4 15kNm a�5
ME
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
a�1 -�a�1 x �� 0;1m
H =� 5
A
RA =�17,002kN a�2 -�a�2 x �� 1m;3,5m
RB =� 15,328kN
a�3 -�a�3 x �� 3,5m;6m
VA =� 3,744kN
a�4 -�a�4 x �� 6m;8,5m
M =� -�2,010kN
A
a�5 -�a�5 x �� 8,5m;10m
34
34
a�1 -�a�1 x �� 0;1m
Przekrój
Przekrój
x
a�1 8kN/m
ME
15kNm
6�0�o� 10kN
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na�1 =� 0
x =� 0 Ta�1 =� 0
Ta�1 =� -�8kN / m�� x
x =�1m Ta�1 =� -�8kN
x
x =� 0 Ma�1 =� 0
Ma�1 =� -�8kN / m �� x �� =�
2
x =�1m Ma�1 =� -�4kNm
=� -�4kN / m�� x2
35
35
a�2 -�a�2 x �� 1m;3,5m
Przekrój
Przekrój
x
a�2 8kN/m
ME
15kNm
6�0�o� 10kN
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na� 2 =� 0
Ta� 2 =� -�8kN / m �� x +�17,002kN x =�1m Ta� 2 =� 9,002kN
x =� 3,5m Ta� 2 =� -�10,998kN
x
Ma� 2 =� -�8kN / m�� x �� +�17,002kN ��(�x -�1m)�=�
x =�1m Ma� 2 =� -�4kNm
2
x =� 3,5m Ma� 2 =� -�6,495kNm
=� -�4kN / m�� x2 +�17,002kN �� x -�17,002kNm
36
36
a�3 -�a�3 x �� 3,5m;6m
Przekrój
Przekrój
x
a�3 6�0�o� 10kN
ME
15kNm
8kN/m
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na� 3 =� 0
Ta� 3 =� -�8kN / m��3,5m +�17,002kN +�15,328kN
=� 4,33kN
3,5m
��
Ma� 3 =� -�8kN / m ��3,5m ��ć� x -� +� x =� 3,5m Ma� 3 =� -�6,495kNm
�� ��
2
Ł� ł�
x =� 5m Ma� 3 =� 0
+�17,002kN ��(�x -�1m)�+�15,328kN ��(�x -� 3,5m)�=�
x =� 6m Ma� 3 =� 4,330kNm
=� 4,33kN �� x -� 21,65kNm
37
37
a�4 -�a�4 x �� 6m;8,5m
Przekrój
Przekrój
x
a�4 15kNm
ME
6�0�o� 10kN
8kN/m
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na� 4 =� -�10kN cos60�� =� -�5kN
Ta� 4 =� 4,33kN -�10kN cos60�� =� -�4,33kN
Ma� 4 =� 4,33kN �� x -� 21,65kNm -�10kN cos60����(�x -� 6m)�=�
=� -�4,33kN �� x +� 30,31kNm
x =� 6m Ma� 4 =� 4,33m
x =� 7m Ma� 4 =� 0
x =� 8,5m Ma� 4 =� -�6,495kNm
38
38
a�5 -�a�5 x �� 8,5m;10m
Przekrój
Przekrój
x
a�5
ME
6�0�o� 10kN 15kNm
8kN/m
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na� 5 =� -�5kN
Ta� 5 =� -�4,33kN
Ma� 5 =� -�4,33kN �� x +� 30,31kNm +�15kNm =�
=� -�4,33kN �� x +� 45,31kNm
x =� 8,5m Ma� 5 =� 8,505kNm
x =�10m Ma� 5 =� 2,01kNm
39
39
Wykresy
Wykresy
8kN/m
o�
M
15kNm
E
10kN
6�0�
H
E
B
A E
D
C
V
E
2,5m 1,5m 1,5m 1,5m
1m R R 1m 1m
A B
N [kN]
a�
-
9,002 5 5
4,330 4,330
+
+
T [kN]
a�
-
- -
4,330 4,330
8
10,998
6,495 6,495
4
-
-
-
M [kNm]
a�
+
+
1,065
+
4,330
8,505
40
40
Ekstremum
Ekstremum
9,002
9,002kNm +�10,998kNm 9,002kNm
=�
4,330
2,5m x0 -�1m
x0 +
+
Ta� [kN]
- -
8
8
10,998
2,5m
1m
x0 =� 2,125m
Ta� 2 =� -�8kN / m�� x +�17,002kN =� 0
Ma� 2 =� -�4kN / m �� x2 +�17,002kN �� x -�17,002kNm
Ma� 2(�x0 =� 2,125m)�=� 3,065kNm
41
41
Przykład  belka
Przykład  belka
przegubowa
przegubowa
20kN
8kN/m
4kNm/m
1m 2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
20kN
8kN/m
4kNm/m
A B D
C F
E
HA
RB RD RF
VA
1m 2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
42
42
Reakcje
Reakcje
20kN
8kN/m
4kNm/m
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
X : H =� 0
�� A
��Y :VA +� RB +� RD +� RF -� 20kN -� 8kN / m �� 2m -� 1 8kN / m �� 4m =� 0
2
: RB ��3m +� RD ��6m +� RF ��10,5m +� 20kN ��1m -� 8kN / m �� 2m��1m +�
��M A
1 1
-� 8kN / m�� 4m ��ć�2m +� 4m�� +� 4kNm / m ��3,5m =� 0
�� ��
2 3
Ł� ł�
p
: RF �� 2,5m +� 4kNm / m ��3,5m =� 0
��M E
1 1
p
: RD ��1,5m +� RF ��6m -� 3kN / m ��1,5m �� 1,5m +� 4kNm / m ��3,5m =� 0
��MC
2 3
43
43
Przyjęcie przekrojów,
Przyjęcie przekrojów,
przedziały
przedziały
a�
20kN a�
8kN/m 2
3 a�
a�
6
a� 7
x a� 4kNm/m
5
a� 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
a�1 -�a�1 x �� 0;1m
H =� 0
A
a�2 -�a�2 x �� 1m;3m
RF =� 5,6kN
a�3 -�a�3 x �� 3m;4m
RD =�13,817
a�4 -�a�4 x �� 4m;7m
RB =� 3,744kN
a�5 -�a�5 x �� 7m;9m
VA =� 40,039kN
a�6 -�a�6 x �� 9m;11,5m
a�7 -�a�7 x �� 11,5m;12,5m
44
44
a�1 -�a�1 x �� 0;1m
Przekrój
Przekrój
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na�1 =� 0
Ta�1 =� -�20kN
x =� 0 Ma�1 =� 0
Ma�1 =� -�20kN �� x
x =�1m Ma�1 =� -�20kNm
45
45
a�2 -�a�2 x �� 1m;3m
Przekrój
Przekrój
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na� 2 =� H =� 0
A
Ta� 2 =� -�20kN +�VA -� 8kN / m��(x -�1m) =� -�20kN +� 40,039kN -� 8kN / m��(x -�1m) =�
=� 28,039kN -� 8kN / m �� x x =� 1m Ta� 2 =� 20,039kN
x =� 3m Ta� 2 =� 4,039kN
x -�1m
Ma� 2 =� -�20kN �� x +�VA ��(�x -�1m)�-�8kN / m ��(�x -�1m)��� =�
2
x -�1m
=� -�20kN �� x +� 40,039kN ��(�x -�1m)�-� 8kN / m��(�x -�1m)��� =�
2
x =�1m Ma� 2 =� -�20kNm
=� -�4kN / m �� x2 +� 28,039kN �� x -� 44,039kNm
x =� 3m Ma� 2 =� 4,078kNm
46
46
a�3 -�a�3 x �� 3m;4m
Przekrój
Przekrój
 siły normalne i tnące
 siły normalne i tnące
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
q3(�x)� 8kN / m
=�
7m -� x m
Na� 3 =� H =� 0
q3(�x)�=� 2kN / m2 ��(7m -� x)
A
1
Ta� 3 =� -�20kN +�VA -� 8kN / m �� 2m -� q3(�x)���(�x -� 3)�-� (�q -� q3(�x)�)���(�x -� 3)�=�
2
=� -�20kN +� 40,039kN -�16kN -� 2kN / m2 ��(�7m -� x)���(�x -� 3)�+�
1
-� (�8kN / m -� 2kN / m2 ��(�7m -� x)�)���(�x -� 3)�=�
x =� 3m Ta� 3 =� 4,039kN
2
x =� 4m Ta� 3 =� -�2,961kN
kN kN
=�1 x2 -�14 x +� 37,039kN
m2 m
47
47
a�3 -�a�3 x �� 3m;4m
Przekrój
Przekrój
 momenty zginające
 momenty zginające
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Ma� 3 =� -�20kN �� x +�VA ��(�x -�1m)�-� 8kN / m �� 2m��(�x -� 2m)�+�
-� 1 2
-� q3(�x)���(�x -� 3)�(�x 2 3)� -� (�q -� q3(�x)�)���(�x -� 3)��� (�x -� 3)�=�
2 3
=� -�20kN �� x +� 40,039kN ��(�x -�1m)�-�16kN ��(�x -� 2m)�+�
-�
-� 2kN / m2 ��(�7m -� x)���(�x -� 3)�(�x 2 3)� +�
x =� 3m Ma� 3 =� 4,078kNm
x =� 4m Ma� 3 =� 4,450kNm
1
-� (�8kN / m -� 2kN / m2 ��(�7m -� x)�)���(�x -� 3)�=�
3
1
=� kN / m2 �� x3 -� 7kN / m �� x2 +� 37,039kN �� x -� 53,039kNm
3
48
48
a�4 -�a�4 x �� 4m;7m
Przekrój
Przekrój
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na� 4 =� H =� 0
A
1
Ta� 4 =� -�20kN +�VA -� 8kN / m �� 2m -� q3(�x)���(�x -� 3)�-� (�q -� q3(�x)�)���(�x -� 3)�+� RB =�
2
kN kN
=� 1 x2 -�14 x +� 37,039kN +� 3,744kN =�
x =� 4m Ta� 3 =� 0,783kN
m2 m
x =� 7m Ta� 3 =� -�8,217kN
kN kN
=� 1 x2 -�14 x +� 40,783kN
m2 m
-�
Ma� 4 =� -�20kN �� x +�VA ��(�x -�1m)�-� 8kN / m�� 2m��(�x -� 2m)�-� q3(�x)���(�x -� 3)�(�x 2 3)�
1 2
x =� 4m Ma� 4 =� 4,450kNm
-� (�q -� q3(�x)�)���(�x -� 3)��� (�x -� 3)�+� RB ��(�x -� 4m)�=�
2 3
x =� 5,5m Ma� 4 =� 0
1
x =� 7m Ma� 4 =� -�11,201kNm
=� kN / m2 �� x3 -� 7kN / m�� x2 +� 40,783kN �� x -� 68,015kNm
3
49
49
a�5 -�a�5 x �� 7m;9m
Przekrój
Przekrój
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na� 5 =� H =� 0
A
1
Ta� 5 =� -�20kN +�VA -� 8kN / m �� 2m -� 8kN / m�� 4m +� RB +� RD =�
2
=� -�20kN +� 40,039kN -�16kN -�16kN +� 3,744kN +�13,817kN =�
=� 5,6kN
Ma� 5 =� -�20kN �� x +�VA ��(�x -�1m)�-�8kN / m ��2m��(�x -� 2m)�+�
1 ć� 1 ��
ć�3m
-� 8kN / m �� 4m���� x -� +� 4m���� +� RB ��(�x -� 4m)�+� RB ��(�x -� 7m)�=�
�� ��
2 3
Ł� ł�
Ł� ł�
x =� 7m Ma� 5 =� -�11,201kNm
=� 5,6kN �� x +� 50,401kNm
x =� 9m Ma� 5 =� -�0,001kNm � 0
50
50
a�6 -�a�6 x �� 9m;11,5m
Przekrój
Przekrój
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na� 6 =� H =� 0
A
Ta� 6 =� 5,6kN
Ma� 5 =� 5,6kN �� x +� 50,401kNm -� 4kNm / m��(�x -� 9m)�=�
=�1,6kN �� x -�14,401kNm
x =� 9m Ma� 6 =� -�0,001kNm � 0
x =�11,5m Ma� 6 =� 3,999kNm
51
51
a�7 -�a�7 x �� 11,5m;12,5m
Przekrój
Przekrój
a�2 a�3
20kN
8kN/m
a�6 4kNm/m
a�7
a�5
x a�4
a�1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na� 7 =� H =� 0
A
Ta� 7 =� 5,6kN -� RF =� 0
Ma� 7 =�1,6kN �� x -�14,401kNm -� 5,6kN ��(�x -�11,5m)�=�
=� -�4kN �� x +� 49,999kNm
x =� 11,5m Ma� 7 =� 3,999kNm
x =� 12,5m Ma� 7 =� -�0,001kNm � 0
52
52
Wykresy
Wykresy
20kN
8kN/m
4kNm/m
A B D
C F
E
H
A
R R R
V
B D F
A
1m 2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
N [kN]
0
a�
20,039
4,036
56 56
, ,
+
0783
,
T [kN]
a�
+
2,961 -
8,217
- 5,967
20
20
11,200
-
-
4,45
M [kNm]
a�
+
+ +
4,078
4
4,502
5,145
53
53
Ekstrema
Ekstrema
kN kN
x0 =� 3,542m
Ta� 3 =� 1 x2 -�14 x +� 37,039kN =� 0
m2 m
1
Ma� 3(�x0)�=� kN / m2 �� x03 -� 7kN / m�� x02 +� 37,039kN �� x0 -� 53,039kNm =�
3
=� 5,145kNm
kN kN
x0 =� 4,133m
Ta� 4 =�1 x2 -�14 x +� 40,783kN =� 0
m2 m
1
Ma� 4(�x0)�=� kN / m2 �� x03 -� 7kN / m�� x02 +� 40,783kN �� x0 -� 68,015kNm =�
3
=� 4,502kNm
54
54