Zadania z analizy zespolonej przed kolokwium
1. Zaznacz na płaszczyz
nie zespolonej zbiór dany nierównościami
1 < zz < 2, Re z > 0, 0 d" Im z d" 1.
2. Oblicz (przedstaw w postaci algebraicznej)
4
- 8 + i8 3
Uwaga: jest tu rozumiany jako kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby 3
3
3. Oblicz wartości funkcji
cosh(1- Ä„ i) Log(1+ i)
a) sin(Ä„ / 3 - 2i) , b) , c)
4. Sprawdz
tożsamość
z4 + 4 = (z - 1- i)(z - 1+ i)(z + 1+ i)(z + 1- i)
5. Wykaż, że dla każdego naturalnego n
n
nĄ nĄ
öÅ‚
(1+ i)n = 22 ëÅ‚ cos + i sin
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
6. Oblicz sumę wszystkich pierwiastków stopnia n z 1.
7. Oblicz wartość wyznacznika
1 1 z
2Ä„ 2Ä„
1 1 z2 z = cos + i sin
gdzie .
3 3
z2 z 1
f (z) ( z = x + iy)
8. Znajdz
funkcję , różniczkowalną w sensie zespolonym wiedząc, że jej
f (0) = 1.
u(x, y) = x2 - y2 - 2x + 1
część rzeczywista jest równa oraz
f (z) ( z = x + iy) (z `" 0)
9. Znajdz
funkcję , różniczkowalną w sensie zespolonym wiedząc,
y
v(x, y) = 1-
f (1) = 1+ i.
że jej część urojona jest równa oraz
x2 + y2
10. Oblicz całki:
zA = 0, zB = 2 + 2i,
a) +"Im z3dz; AB  odcinek,
AB
2
zA = 1, zB = 1- i,
b) +"(z + 7z + 1)dz; AB  odcinek,
AB
+"| z | dz; zA = 0, zB = - 1+ i, zC = 1+ i,
c) ABC  Å‚amana,
ABC
2
+"(z + cos z)dz; zA = 0, zB = 1, zC = i,
d) ABC  Å‚amana,
ABC
{| z |= 1, Im z e" 0},
e) +"z | z | dz; L:
L
{| z |= 1, Re z e" 0},
f) +"(sin iz + z)dz; L:
L
{| z |= 3}.
g) +"(sin iz + z)dz; L:
L
11. Korzystając ze wzoru Cauchy ego oblicz całki:
dz
a)
+"
z(z2 + 1)
|z|= 1/ 2
2 + sin 3z
dz
b)
+"
z2 (z - Ä„ )
|z- 3|= 1
z + 2i
dz
c)
+"
(z - i)(z + 2)
|z- 1|= 5