Zadania nr 2 z analizy zespolonej
1) Znajdz
szereg Laurenta (lub Taylora) postaci
"
f (z) = an zn
a)
"
n= - "
"
f (z) = an (z - i)n
b)
"
n= - "
dla funkcji
2z
f (z) =
,
z2 + 1
który byłby zbieżny dla z = 0 .
z - 2
f (z) = z
2) Znajdz
wszystkie szeregi Laurenta funkcji według potęg
2z3 + z2 - z
z + 1
f (z) = (z - 1- 2i)
3) Znajdz
wszystkie szeregi Laurenta funkcji według potęg
z(z - 1)
z
f (z) = sin z0 = 1
4) Rozłóż funkcję w szereg Laurenta w otoczeniu punktu
z - 1
5) Znajdz
szereg Laurenta w zerze dla funkcji
n= "
1
f (z) = = an zn ,
"
z4 + 1
n= - "
który byłby zbieżny dla z = 2 . Określ, w jakim pierścieniu szereg ten jest zbieżny
| z |< 1
6) Korzystając z twierdzenia Rouchy ego określ, w kole , liczbę pierwiastków
równania:
a) - 2z6 + 7z2 - z + 2 = 0
z7
b)
z3ez + 7z4 + 2z2 - 2z = 0
z = 0
7) Zbadaj rodzaj osobliwości w punkcie dla funkcji
e9 z - 1
a) b)
z3e7 / z2
sin z - z + z3 / 6
8) Znajdz
wszystkie punkty osobliwe (określ także rodzaj osobliwości) dla funkcji
ez - 1 1 1
tg
a) b) c)
z3 (z + 1)2 ez + 1 z
9) Oblicz następujące całki po okręgu C: | z |= 1 zorientowanym przeciwnie do ruchu
wskazówek zegara. Uzasadnij odpowiedz
:
4
+"(z - 4z3 + 2z - 3)ezdz
a)
C
dz
b)
+"(2z - 1)2
C
dz
c)
+"z3
cosh z
C
10) Oblicz całki
dz
z7
dz
oraz ,
+"
+"
z4 + 1
z4 + 1
|z|= 2
|z|= 2
po okręgu | z |= 2 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
11) Oblicz całki
dz sin 3z + 2
ezi + 2
dz
dz
a) b) c)
+" +"
+"
z(z2 + 1) z2 (z - Ą )
sin(3zi)
|z|= 1/ 2 |z- 3|= 1
|z|= 1
12) Korzystając z rachunku residuów oblicz całkę
2Ą
dt
+"2 + 3 sin t
0
13) Korzystając z rachunku residuów oblicz całki
" "
x2 + 4 dx
dx
a) b)
+"(x2 +"(x2
+ 9)2 + 1)2 (x2 + 4)
- " - "
14) Korzystając z rachunku residuów oblicz całki
2Ą Ą
dt dt
a)
+"3 + 2cost , b) +"3 + 2cost
0 0
15a) Wykaż bezpośrednio, że zarówno maksimum, jak i minimum modułu funkcji w
ez
ograniczonym obszarze D jest przyjmowane na brzegu tego obszaru. Dla jakich funkcji
zachodzi powyższa zasada minimum modułu?
15b) Udowodnij zasadnicze twierdzenie algebry (każdy wielomian (różny od stałej) ma
pierwiastek w C), korzystając z zasady minimum modułu.