Przykład: Belka stropowa wieloprzęsłowa
1. Dane podstawowe
Częściowe współczynniki bezpieczeństwa
PN-EN
1990
·ð ðgðG = 1,35 (oddziaÅ‚ywania staÅ‚e)
PN-EN
·ð ðgðQ = 1,50 (oddziaÅ‚ywania zmienne)
1993-1-1
·ð ðgðM0 = 1,0 (współczynnik częściowy dla noÅ›noÅ›ci przekroju)
ż 6.1
·ð ðgðM1 = 1,0 (współczynnik częściowy dla noÅ›noÅ›ci elementów)
Założenia projektowe
·ð Ilość przÄ™seÅ‚: 4
·ð RozpiÄ™tość przÄ™sÅ‚a: 6,00 m
·ð Rozstaw belek: 2,50 m
·ð Obciążenia staÅ‚e: pÅ‚yta żelbetowa gr. 12cm, styropian gr. 5cm, posadzka betonowa gr.
6cm, wykładzina PCW
·ð Obciążenie użytkowe: 2,50 kN/m2
·ð Gatunek stali: S235
Charakterystyka przekroju
Dobrano przekrój belki IPE330
·ð Szerokość półki bf=160mm
·ð Grubość półki tf=11,5mm
·ð Grubość Å›rodnika tw=7,5mm
·ð Wysokość przekroju h=330mm
·ð PromieÅ„ wyokrÄ…glenia r=18mm
·ð Masa jednostkowa 49,1 kg/m
·ð Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi y Jy=11770cm4
·ð Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi z Jz=788cm4
·ð Wskaz
nik wytrzymałości względem osi y Wy=713cm3
·ð Wskaz
nik wytrzymałości względem osi z Wz=98,5cm3
·ð Wskaz
nik oporu plastycznego Wy,pl=804cm3
·ð Pole przekroju poprzecznego A=62,6cm2
·ð Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci przy skrÄ™caniu JT=28,8cm4
·ð Wycinkowy moment bezwÅ‚adnoÅ›ci Jw=199100cm6
2. Zebranie obciążeń
L.p. Rodzaj obciążenia Obciążenie
charakterystyczne
[kN/m]
Obciążenia stałe G
1 Wykładzina PCW 0,18
0,07 *2,50
2 Posadzka betonowa 3,15
21*0,06*2,50
3 Styropian 0,06
0,45*0,05*2,50
4 Płyta żelbetowa 7,5
25*0,12*2,50
5 Ciężar własny belki IPE330 0,48
0,48
11,37
Obciążenia zmienne Q
6 Obciążenie użytkowe 6,25
2,50*2,50
Dla obliczeń SGN: (nośność na zginanie, zwichrzenie, ścinanie)
PN-EN
Å‚G*G + Å‚Q*Q = 1,35*11,37+1,5*6,25=24,7kN/m
1990
ż 6.4.3.2
3. Ustalenie sił wewnętrznych  na podstawie programu RM-Win
ż 6.5.3
Tabl.
Największy obliczeniowy moment zginający w środku przęsła:
A1.2(B)
, = 100
Największa obliczeniowa siła ścinająca na podporze:
, = 91,0
4. Ustalenie klasy przekroju
Gatunek stali S235
Największa grubość ścianki wynosi 11,5 mm < 40 mm, więc: PN-EN
fy = 235 MPa 1993-1-1
Tablica 3.1
= 235/ = 1

Półka - ściskanie
c = (b  tw  2 r) / 2 = (160  7,5  2 × 18)/2 = 58,25 mm
PN-EN
c/tf = 58,25 / 11,5 = 5,07 d" 9 eð ð= 9 Klasa 1
1993-1-1
Tablica 5.2
Åšrodnik - zginanie
c = h  2 tf  2 r = 330  2 × 11,5  2 × 18 = 271 mm
c / tw = 271 / 7,5 = 36,1 < 72 eð ð= 72 Klasa 1
Wniosek: Przekrój jest klasy 1
5. Nośność przekroju przy zginaniu (SGN)
PN-EN
Obliczeniowa nośność przekroju przy zginaniu dla klas 1 i 2
1993-1-1
Mc,Rd = Mpl,Rd = Wpl,y fy / gðM0 = (804 × 23,5 / 1,0) = 18864kNcm=189kNm
ż 6.2.5
My,Ed / Mc,Rd = 100 / 189 = 0,529d"1 Nośność na zginanie jest wystarczająca
6. Nośność elementu na zwichrzenie (SGN)
a.) Belka zabezpieczona przed zwichrzeniem w strefie przęsłowej
W strefie przęsłowej:
Przyjęto, że ściskany pas górny belki został zatopiony w płycie żelbetowej  belka
zabezpieczona przed zwichrzeniem na caÅ‚ej dÅ‚ugoÅ›ci - ðcðLT,mod = 1,0
W strefie przypodporowej:
Dla najbardziej niekorzystnego przypadku obciążenia gdy My,Ed=99,9 kNm długość belki
niezabezpieczonej przed zwichrzeniem (odcinek przypodporowy obciążony momentem
ujemnym) wynosi Lc=1,57m (wg RM-Win)
Elementy, w których pas ściskany jest stężony punktowo w kierunku
bocznym, nie są narażone na zwichrzenie, jeśli rozstaw pomiędzy
stężeniami bocznymi Lc i wynikająca z niego smukłość zastępczego pasa ściskanego
spełnia warunek:
PN-EN
,
1993-1-1

= d"
6.3.2.4
, ,
(1)B
kc - współczynnik poprawkowy uwzględniający rozkład momentu zginającego pomiędzy
stężeniami;
PN-EN
Rozkład momentu zginającego pomiędzy stężeniami w przypodporowej części belki, założono
jako liniowy È= 0 1993-1-1
NA.17
= = 0,6 + 0,4 = 0,775

Tablica B.3
if,z - promień bezwładności przekroju pasa zastępczego, składającego się z pasa ściskanego i
1/3 ściskanej części środnika, względem osi z-z przekroju;
If,z = [788 - (2/3 × (33-2*1,15) ) × 0,753/ 12] / 2 = 393,6 cm4
Af,z = [62,6 - (2/3 × (33-2*1,15)) × 0,75] / 2 = 23,62 cm2
, = 393,6/23,62 = 4,08

= 93,9 = 93,9
ð
lð ðc0 - smukÅ‚ość graniczna pasa, lð ðc0 = 0,40
PN-EN
1993-1-1
0,775 " 157 189
NA.18

= = 0,317 < 0,4 " = 0,757
4,08 " 93,9 100,0
Belka jest zabezpieczona przed zwichrzeniem
b.) Belka niezabezpieczona przed zwichrzeniem
Obliczenie wpływu zwichrzenia na podstawie uproszczonej oceny zwichrzenia belek w
budynkach
Elementy, w których pas ściskany jest stężony punktowo w kierunku
bocznym, nie są narażone na zwichrzenie, jeśli rozstaw pomiędzy
stężeniami bocznymi Lc i wynikająca z niego smukłość zastępczego pasa ściskanego
spełnia warunek:
,
PN-EN

= d"
1993-1-1
, ,
6.3.2.4
(1)B
Lc = 600cm  przyjęto stężenia na podporach w rozstawie co 600cm
kc - współczynnik poprawkowy uwzględniający rozkład momentu zginającego pomiędzy
stężeniami, PN-EN 1993-1-1 Tablica 6.6;
Rozkład momentu zginającego pomiędzy podporami wg Tablicy B.3
PN-EN
1993-1-1
Przęsło 12 (45):
NA.17
M2 =  100,0kNm M1 = 0 È=0
Tablica B.3
Ä…s = M12 / M2 = 72,6/( 100,0)=  0,727
CmLT = 0,1 0,8*Ä…s = 0,1+0,8*0,727=0,68
Siły wew-
Przęsło 23 (34):
nętrzne wg
M2 =  100,0kNm M3 =  51,5kNm M23 = 4,70kNm È=51,5*100,0=0,515
Rm-Win
Ä…s = M23 / M2 = 4,70/( 100,0)=  0,047
CmLT = 0,1 0,8*Ä…s = 0,1+0,8*0,047=0,138
Decyduje większa wartość CmLT = 0,68
= = 0,68 = 0,825

if,z - promień bezwładności przekroju pasa zastępczego, składającego się z pasa ściskanego i
1/3 ściskanej części środnika, względem osi z-z przekroju;
If,z = [788 - (2/3 × (33-2*1,15) ) × 0,753/ 12] / 2 = 393,6 cm4
Af,z = [62,6 - (2/3 × (33-2*1,15)) × 0,75] / 2 = 23,62 cm2
, = 393,6/23,62 = 4,08

PN-EN
= 93,9 = 93,9
1993-1-1
ð
NA.18
lð ðc0 - smukÅ‚ość graniczna pasa, lð ðc0 = 0,40
0,825 " 600 189

= = 1,29 > 0,4 " = 0,757
4,08 " 93,9 100,0
Belka nie jest zabezpieczona przed zwichrzeniem, nośność na zwichrzenie przybiera postać:
PN-EN
, = , , d" , 1993-1-1
6.3.2.4
(2)B
h/b=330/160=2,06>2  krzywa c (Ä…LT=0.49)


[ ( ) ]
= 0,5 1 + - , + = 0,5 1 + 0,49 1,29 - 0,4 + 0,75 " 1,29 = 1,34
PN-EN
1 1
1993-1-1
= = = 0,481
6.3.2.3. (1)



+ - 1,34 + 1,34 - 0,75 " 1, 29

NA. 19
kfl = 1,1
, = 1,1 " 0,481 " 189 = 100
My,Ed / Mb,Rd = 100 / 100 = 1,0d"1 Nośność na zwichrzenie jest spełniona
Obliczenie wpływu zwichrzenia na podstawie obliczeń momentu krytycznego
Sprężysty moment krytyczny przy zwichrzeniu belki o stałym przekroju bisymetrycznym:
SN003a
.

( )


= + + + -
( )
Współczynnik k odnosi się do obrotu końca elementu w planie. Jest on analogiczny do
współczynnika długości wyboczeniowej w stosunku do długości elementu ściskanego.
Współczynnik k powinien być brany jako nie mniejszy niż 1,0 chyba że wartości mniejsze od
1,0 mogą być uzasadnione
Przyjęto k=1,0
Współczynnik kw odnosi się do spaczenia końca elementu. W przypadku braku specjalnych
usztywnień przeciwdziałających spaczeniu, kw powinien być przyjmowany jako 1,0.
Przyjęto kw=1,0
 24,7 " 6,00
= = = 1,11
8 8 " 100,0
È=0
C1=1,85 C2=0,82 zg=16,5cm
SN003a
.

. " ( , " ) " ,
= 1,85 + + (0,82 " 16,5) - 0,82 "
+
( , " ) . "
16,5 = 838,4 " 17,3 = 14504
PN-EN
Smukłość względna dla zwichrzenia
1993-1-1

= , " / = 804 " 23.5/14504 = 1,14 6.3.2.2 (1)

6.3.2.3 (1)
h/b=330/160=2,06>2  krzywa c (Ä…LT=0.49)

[ ( ) ]
= 0,5 1 + - , + = 0,5 1 + 0,49 1,14 - 0,4 + 0,75 " 1,14


= 1,17
1 1
= = = 0,556



+ - 1,11 + 1,11 - 0,75 " 1,14

PN-EN
Nośność na zwichrzenie przyjmuje postać:
1993-1-1
Mb,Rd = cðLT, Wpl,y fy / gðM1
6.3.2.1. (3)
Mb,Rd = 0,556 × 804 × 23,5 / 1,0 = 105 kNm
My,Ed / Mb,Rd = 100,0 / 105 = 0,951 d"1 Nośność na zwichrzenie jest spełniona
7. Nośność przekroju na ścinanie (SGN)
Pole przekroju czynnego przy ścinaniu PN-EN
1993-1-1
Av= A  2 b tf + (tw + 2 r) tf ż 6.2.6 (3)
Av= 6260  2 × 160 × 11,5 + (7,5 + 2 × 18) × 11,5 = 3080 mm2 a)
Obliczeniowa nośność plastyczna przy ścinaniu (przy braku
skręcania)
PN-EN
1993-1-1
( / 3) 3080(235/ 3)
" "
, = = = 418
ż 6.2.6 (2)
1,0
PN-EN
91,0
= = 0,217 < 1 1993-1-1
, 418
ż 6.2.6 (1)
Sprawdzenie warunku stateczności środnika przy działaniu siły poprzecznej
PN-EN
nie jest wymagane, gdy:
1993-1-1
hw / tw d" 72 eð ð/ hð ð
ż 6.2.6 (6)
Można w przybliżeniu przyjmować hð =1.0
! 330 - 2 " 11,5 1
= = 40,9 < 72 " = 72
7,5 1
Nośność przekroju nie ulega redukcji wskutek wyboczenia czy ścinaniu.
Siła poprzeczna nie przekracza 50% nośności plastycznej przekroju przy ścinaniu.
Wniosek: Można pominąć wpływ siły poprzecznej na nośność przekroju przy zginaniu.
PN-EN
1990
8. Ugięcie (SGU)
ż 6.5.3
Ugięcie maksymalne odczytane z programu RM-Win dla kombinacji obciążeń stałych
PN-EN
i zmiennych w przęsłach 1 i 3: f=0,71cm
1993-1-1
NA.22
Ugięcie dopuszczalne fdop = L/250=600/250=2,40cm
f=0,71cm < fdop = 2,40cm